Chuyên đề tìm min max của biểu thức bồi dưỡng hsg toán 8 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC

DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN

Bài 1: Tìm GTNN của:

Bài 2: Tìm GTNN của:

Bài 3: Tìm min của:

Bài 4: Tìm GTNN của:

Bài 5: Tìm GTNN của:

Bài 6: Tìm GTNN của :

Bài 7: Tìm GTNN của:

Bài 8: Tìm min của:

Bài 9: Tìm max của:

Bài 10: Tìm GTNN của:

Bài 11: Tìm min của:

Bài 12: Tìm min của: với a+d = b+c

Bài 13: Tìm GTNN của:

HD:

Bài 14: Tìm GTNN của:

HD:

Bài 15: Tìm GTNN của:

HD:

Bài 16: Tìm GTNN của:

HD:

Đặt:

Bài 17: Tìm GTNN của :

HD:

Đặt:

Bài 18: Tìm GTLN của:

Bài 19: Tìm min của:

Bài 20: Tìm min của:

Bài 21: Tìm min của:

Bài 22: Tìm min của:

Bài 24: Tìm max của:

Bài 25: Tìm min của:

Bài 26: Tìm min của:

Bài 27: Tìm max của:

Bài 28: Tìm min của:

Bài 29: Tìm min của:

Bài 30: Tìm max của:

Bài 31: Tìm min của:

Bài 32: Tìm min của:

Bài 33: Tìm min của:

Bài 34: Tìm min của:

Bài 35: Tìm min của:

Bài 36: Tìm max của :

Bài 37: Tìm max của:

Bài 38: Tìm max cảu:

Bài 39: Tìm max cảu:

Bài 40: Tìm max của:

Bài 41: Tìm max của:

Bài 42: Tìm max của:

Bài 43: Tìm min của:

Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:

Bài 45: Tìm GTNN của:

HD:

Ta có:

Do: , Nên

Bài 46: Tìm min của:

Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức:

HD:

= dấu bằng khi a=1

Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức :

Bài 49: Tìm Min của:

DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Bài 1: Tìm GTNN của:

Bài 2: Tìm min của:

Bài 3: Tìm min của:

Bài 4: Tìm min của:

Bài 5: Tìm min của:

Bài 6: Tìm max của:

Bài 7: Tìm min của:

Bài 8: Tìm max của:

Bài 9: Tìm min của:

Bài 10: Tìm min của:

Bài 11: Tìm min của:

Bài 12: Tìm min của:

Bài 13: Tìm min của:

Bài 14: Tìm min của:

Bài 15: Tìm min của:

Bài 16: Tìm min của:

Bài 17: Tìm min của:

Bài 18: Tìm min của:

Bài 19: Tìm max của:

Bài 20: Tìm min của:

Bài 21: Tìm GTNN của

HD:

Ta có:

Bài 22: Tìm min của:

Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:

Bài 24: Tìm min của:

Bài 24: Tìm min của:

Bài 25: Tìm min của:

Bài 26: Tìm min của:

Bài 27: Tìm min của:

Bài 28: Tìm min của:

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :

HD:

Bài 30: Tìm min của:

Bài 31: Tìm min của:

Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức:

Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức:

Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức:

DẠNG 3: PHÂN THỨC

Bài 1: Tìm min của:

Bài 2: Tìm min của:

Bài 3: Tìm max của:

Bài 4: Tìm min hoặc max của:

Bài 5: Tìm min hoặc max của:

Bài 6: Tìm min hoặc max của:

Bài 7: Tìm min hoặc max của:

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

Bài 9: Tìm min hoặc max của:

Bài 10: Tìm min hoặc max của:

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

Bài 12: Tìm min hoặc max của:

Bài 13: Tìm min hoặc max của:

Bài 14: Tìm min hoặc max của:

Bài 15: Tìm min hoặc max của:

Bài 16: Tìm min hoặc max của:

Bài 17: Tìm min hoặc max của:

Bài 18: Tìm cả min và max của:

Bài 19: Tìm min hoặc max của:

Bài 20: Tìm min hoặc max của:

Bài 21: Tìm min hoặc max của:

Bài 22: Tìm min hoặc max của:

Bài 23: Tìm min hoặc max của:

Bài 24: Tìm min hoặc max của:

Bài 25: Tìm min hoặc max của:

Bài 26: Tìm min hoặc max của:

Bài 27: Tìm min hoặc max của:

Bài 28: Tìm min hoặc max của:

Bài 29: Tìm min hoặc max của:

Bài 30: Tìm min hoặc max của:

Bài 31: Tìm min hoặc max của:

Bài 32: Tìm min hoặc max của:

Bài 33: Tìm min của:

Bài 34: Tìm min hoặc max của:

Bài 35: Tìm min hoặc max của:

Bài 36: Tìm min hoặc max của:

Bài 37: Tìm min hoặc max của:

Bài 38: Tìm min hoặc max của:

Bài 39: Tìm min hoặc max của:

Bài 40: Tìm min hoặc max của:

Bài 41: Tìm min hoặc max của:

Bài 42: Tìm min hoặc max của:

Bài 43: Tìm min hoặc max của:

Bài 44: Tìm min hoặc max của:

Bài 45: Tìm min hoặc max của:

Bài 46: Tìm min hoặc max của:

Bài 47: Tìm min hoặc max của:

Bài 48: Tìm min hoặc max của:

Bài 49: Tìm min hoặc max của:

Bài 50: Tìm min hoặc max của:

Bài 51: Tìm min hoặc max của:

Bài 52: Tìm min hoặc max của:

Bài 53: Tìm min và max của:

Bài 54: Tìm min hoặc max của:

Bài 55: Tìm min hoặc max của:

Bài 56: Tìm min hoặc max của:

Bài 57: Tìm min hoặc max của:

Bài 58: Tìm min hoặc max của:

Bài 59: Tìm min và max của:

Bài 39: Tìm min

Bài 60: Tìm min hoặc max của:

Bài 61: Tìm min hoặc max của:

Bài 62: Tìm min hoặc max của:

Bài 63: Tìm min hoặc max của:

Bài 64: Tìm min hoặc max của:

Bài 65: Tìm min hoặc max của:

Bài 66: Tìm min hoặc max của:

Bài 67: Tìm min hoặc max của:

Bài 68: Tìm min hoặc max của:

Bài 69: Tìm min hoặc max của:

Bài 70: Tìm min hoặc max của:

Bài 71: Tìm min hoặc max của:

Bài 72: Tìm min hoặc max của:

Bài 73: Tìm min hoặc max của:

Bài 74: Tìm min hoặc max của:

Bài 75: Tìm min hoặc max của:

Bài 76: Tìm min hoặc max của:

Bài 77: Tìm min hoặc max của:

Bài 78: Tìm min hoặc max của:

Bài 79: Tìm min hoặc max của:

Bài 80: Tìm min hoặc max của:

Bài 81: Tìm min hoặc max của:

Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x

HD:

Ta có : =>

Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức:

HD:

Ta có :

Đặt , ta có:

Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

HD:

Ta có:

Do , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0

Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức : , với x#0

Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài 89: Cho biểu thức , với x>0, Tìm x để M có GTNN

Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của:

Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 92: Cho , Tìm GTNN của :

Bài 93: Tìm GTNN của :

Bài 94: Tìm GTNN của :

Bài 95: Tìm GTLN của:

Bài 96: Tìm GTLN của:

Bài 97: Tìm GTLN của:

DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài 1: Tìm min của: biết :

HD:

=

Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: , tìm GTNN của

Bài 2: Tìm min của: biết

HD:

Bài 3: Tìm min của: biết: a – b =1

HD:

=

Bài 4: Tìm max của: biết:

HD:

Từ gt ta có: , thay vào

Bài 5: Tìm min của: biết:

HD:

Từ gt=> thay vào C ta được:

Bài 6: Tìm min của: biết:

HD:

Từ gt=> thay vào

Bài 7: Tìm min của: biết:

HD:

Từ gt=> thay vào E

Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của:

Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của:

Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của

Bài 10: Tìm min của: , biết: a+b=1 và a,b >0

HD:

Ta có: =

Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm max của: A= x.y

HD:

Từ gt ta có : =>

=>

Bài 12: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn: , Tìm min, max của:

HD:

Từ gt ta có :

=>

Mặt khác :

=> =>

Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: , Tìm min, max của:

HD:

Từ gt ta có :

=>

Mặt khác :

=>

Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn: , Tìm max, min của

Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết: , Tìm x,y để đạt min và đạt max

HD:

Ta có :

4 =

Mặt khác :

Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: . Tìm min của:

Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của:

HD:

Ta có :

Vì x+y =1 nên , thay vào A

, Đặt xy=t khi đó :

Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: Tìm min của biểu thức:

Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của:

HD:

Từ gt ta có : thay vào

Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: , Tìm min và max của:

HD:

Ta có :

=> hay

mặt khác :

=> hay

Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của:

HD:

Từ gt ta có : thay vào A ta được :

Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của:

HD:

Ta có : x+y= - 4, nên ,

thay vào

Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: , Tìm GTNN của

Bài 22: Cho x, y, z R, thỏa mãn: , Tìm max của:

HD:

Từ giả thiết=> thay vào A ta được :

Bài 23: Cho x,y,z R thỏa mãn: . Tìm max của:

HD:

Từ gt => thay vào

Bài 24: Cho x,y R thỏa mãn: , Tìm min và max của:

HD:

Từ gt ta có :

=>=>

=>=>

Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: , Tìm min, max của:

HD:

Từ gt ta có :

=>

=> =>

Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: , Tìm min, max của:

HD:

Ta có : , nên ta nhân 6 vào gt :

=>

Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt ta có :

=>

=> =>

Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt=> thay vào =

Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của:

HD:

Từ gt ta có : =>

=>B=

Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của

HD:

Từ gt=> thay vào

Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt ta có : thay vào

Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm min của:

HD:

Từ x + y= -2, ta có : thay vào và y= - 2 - x thay vào

Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm min của

HD:

Từ x+y= - 2, ta có:

, , Thay vào b ta được :

, thay

Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của:

HD:

Vì nên và thay vào

Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của:

HD:

Vì x+y=5 nên , ,

Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt=>=> =>

Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt=> =>

Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của:

HD:

Từ gt ta có:

=>

=>

Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn: . Tìm min max của:

HD:

Từ gt ta có: =>khi đó :

Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của:

HD:

Từ gt => thay vào

Bài 41: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y

HD:

Từ gt=> thay vào 

Bài 42: Cho x,y thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của:

HD:

Ta có :

Bài 43: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của:

HD:

Từ gt=> thay vào

Bài 44: Tìm min max của: , biết:

HD:

Từ gt =>

=>

=>

Bài 45: Cho , Tìm min, max của:

HD:

Từ gt=>

=> =>

Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c

HD:

Cộng theo vế giả thiết ta được :

Do

Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho

a, CMR:

b, Tìm GTNN của

Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min HD:

Cộng theo vế ta được : do

Khi đó:

Bài 48: Cho , Tìm GTLN của biểu thức :

HD:

Cộng theo vế của gt ta có: do nên

Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR:

Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn: , tìm min của:

HD:

Ta có:

MÀ , , , , ,

nên

Bài 51: Cho Tìm max

HD:

Ta có :

=> , mặt khác

Khi , dấu ‘=’ khi x = y = z = 3 

Bài 52: Cho , Tìm min của:

HD:

Ta có:

=>, min

Bài 53: Cho , , tìm min của:

Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: , Tìm min của:

HD:

Vì

Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: , CMR:

Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của:

HD:

Dự đoán dấu “=” , nên xét =>

=> dấu bằng xảy ra khi

Bài 57: Cho ,Tìm max của:

HD:

Ta có:

, Max

Bài 58: Cho , Tìm min của:

HD:

Đặt , => và

Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm min của:

HD:

Điểm rơi: ,=>

mà =>

Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm min của:

HD:

Điểm rơi

Khi đó:

Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: , tìm min của:

HD :

Điểm rơi: khi đó: , nên khi đó:

, Mà:

Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: , Tìm min của:

Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm min của:

HD:

Từ gt ta có : hoặc

TH1: Ta có : thay vào P

TH2: ta có: thay vào P

Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của:

Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm min của:

Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: , Tìm min

Bài 67: Cho , tìm min của:

Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: , tìm min của:

HD:

Ta có: , dấu “=” khi Vì đặt

Bài 69: Cho , CMR P luôn dương với mọi x,y R

Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: , Tìm min của:

Bài 71: Tìm min

Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN của :

HD:

Ta có :

==

Bài 73: Cho >0 Tìm GTNN của:

HD :

Ta có: dấu bằng khi hay x=y=z

Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: ,

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 76 : Cho , Tìm Min hoặc max của biểu thức :

HD :

Ta có :

Bài 77 : Cho , y > 0 , Tìm Min của

HD :

Ta có :

, Điểm rơi cosi :

Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của:

Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: , Tìm GTNN của:

Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

Các BĐT phụ là:

+ dấu “=” khi a=b

+

+

Bài 1: Tìm min của biểu thức:

HD:

Tách

Dấu ‘’ = ’’ khi

Bài 2: Tìm min của biểu thức: với

HD:

Tách

Dấu ‘’=’’ khi

Bài 3: Tìm min của: với x > 0

HD:

Tách , mà

Bài 4: Tìm min của:

Bài 5: Tìm min của: với

HD:

Ta có: , dấu bằng xảy ra khi

Bài 6: Tìm min của: với x >1

HD:

Ta có: , Dấu bằng khi

Bài 7: Tìm min của: với x > 0

HD:

Tách , dấu bằng xảy ra khi

Bài 8: Tìm min của: với

HD:

Tách

Dấu bằng khi

Bài 9: Tìm min của:

Bài 10: Tìm min của: với 0 < x < 1

HD:

Ta có: , dấu bằng khi

Bài 11: Tìm min của: (x > 1)

HD:

, Dấu bằng khi

Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của:

HD:

Đặt , mà

Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của: với x > 0

HD:

Ta có:

Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho , Tìm x,y để đạt min, Tìm min S theo a,b

HD:

Ta có , min

Dấu bằng khi mà

Bài 15: Tìm min của: với

HD:

Ta có: , dấu bằng khi

Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR:

HD:

Đặt => , thay vào VT

Ta được:

Bài 17: Cho 0<x<1, Tìm min của:

HD:

Ta có: , dấu bằng khi

Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min

HD:

Từ gt ta có: , thay vào

Bài 19: Cho , Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của:

HD:

Ta có : ,

để xy lớn nhất thì nhỏ nhất, do x,y mà x+y=2016 và x # y=>=> => Max B

Để xy nhỏ nhất thì lớn nhất, mà , Giả sử : x < y=>

=> Min B

Bài 20: Tìm min của: biết: x,y>0 và x+ y =1

HD:

Ta có : , và

Khi đó :

Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của :

HD:

Ta có : , Từ

và

mà =>

Vậy

Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của:

Bài 22: Cho x,y,z , Thỏa mãn: , CMR:

Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: , Tìm min của:

Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của:

Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của:

HD:

Ta có :, Co si => dấu bằng khi

Bài 26: Cho x,y>0 và , Tìm min của:

HD:

Gt=

Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0

Mặt khác : , mà

Bài 27: Tìm min của:

Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: