Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên bồi dưỡng hsg toán 8 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Dạng 1: Sử dụng tính chất:

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

=>

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Nhân với 4 ta được:

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

HD:

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

nếu đặt

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::

HD :

=>

=>

Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

=>

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

Nhân 4

Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:

, mà là số chính phương nên =>y

Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

HD :

Ta có phương trình trở thành :

=> , Vì x,y là số nguyên nên

=>

Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

HD:

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT=> .

Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4

Nếu xy=3 thì và xy=3( vô lý)

Nếu xy=4 thì

Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:

HD:

Biến đổi: khi

Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:

Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn:

Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết:

Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn :

HD:

Ta có , Ta có : mà 4 không chia hết cho 8

( nên không tần tại x,y,z)

Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn :

Bài 24: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:

HD:

Vì x, y,z là các số nguyên nên:

DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Ta có:

Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

=> mà là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn

Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

với

Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

=>

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

=>

Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

=>

Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

=> =>

Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Đặt :

Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Có , Để phương trình có nghiệm thì :

Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Có , để phương trình có nghiệm thì

Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Xét :

Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Theo vi- ét ta có :

Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Chuyển phương trình thành bậc hai với x

, có :

, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương

=>

Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng : =>

Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về :

Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

=> Vô nghiệm

Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về thành : , Vô nghiệm

Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng : , Vô nghiệm

Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Phương trình có nghiệm , xét x, y # 0 => là 1 số chính phương

Đặt : Tìm x

Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình vê dạng :

Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình thành :

=>

Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Phương trình <=>

Vì VP là 1 số lẻ => là số lẻ ,

Giả sử : => d lẻ , Mà :

là số chính phương =>

Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Từ đó ta có :

Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Làm giống bài trên

Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

TH1 : y=0 => ...

TH2 :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là phải là 1 số chính phương

=> => Tìm x

Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên

Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương

Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :

=>

Cách 2 : Tính

Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

TH1 :

TH2 :

Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Chú ý : Vì là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn

Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Giả sử :

TH1 :

TH2 : hoặc

Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình về dạng :

Bài 69: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:

DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ

Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Phương trình tương đương với :

Với x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có :

Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình về dạng :

Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :

HD :

Ta có :

Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

ta có :

Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình trở thành :

Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình ta có :

Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình ta có :

Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình về dạng :

Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Đưa phương trình trở thành :

TH1 : y=1=>x=0

TH2 :

Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :

HD :

Biến đổi phương trình thành :

Chứng minh k=1=>a=4, b=3

Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :

HD:

Biến đổi phương trinhg thành:

và và

Với

Với

Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Tương tự ta có: , Mà , Vậy không tồn tại x,y,z

Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn : 

HD:

Xét

Xét còn dư 0 hoặc 1

=> dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý

Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :

HD:

Với y<0 => Phương trình vô nghiệm

Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm

Nếu

=> ( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4

Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

HD:

Gọi x, y là các cạnh của hình vuông

Ta có: và (2)

Khi đó ta có:

Thay vào (2) ta được

Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Đưa phương trình thành:

Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đôi phương trình thành:

Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Vì

Bài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến dổi phương trình thành:

Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

, Đặt:

Khi đó phương trình trở thành:

Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành: (1)

Phương trình đã cho có nghiệm:

Xét: từ (1) => là 1 số chính phương

Đặt => Tìm đc x

=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)

Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :

HD:

Ta có: (1)

Mặt khác (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Mặt khác :

Khi đó :

Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có : (1)

mặt khác :

Khi đó :

TH1 :

TH2 :

Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Mặt khác :

Khi đó :

Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :

HD :

Đặt

(1)

Vậy ta cần chứng minh

Thật vậy :

Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có :

Mà => Tìm x => Tìm y

Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :

Ta có : mà 5 :2 dư 1=> x² chia 2 dư 1=> x² chia 8 dư 1=>2y² +x² chia 8 dư 1 hoặc 3

mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý

vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn

Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Nhân với 4 ta có: =>

Do , mà => Vô lý

vậy không tồn tại x, y nguyên

Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Ta có:

là số lẻ < 7=>

Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho :

HD:

Xét

Xét Vô lý

Với dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> dư 1 (vl)

Vậy không tồn tại x, y nguyên

Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho :

HD :

TH1 : x là số lẻ :

=> chia 3 dư 2

VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2

TH2 : x là số chẵn :

Thấy và

hoặc

Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Ta có:

Ta cần chứng minh:

Khi đó:

Vậy

hoặc

Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Giả sử:

TH1: Với x=1=>

=> Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3

TH2 : Với x=2 làm tương tự

Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Giả sử:

Làm tương tự bài trên

Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :

Có giá trị nguyên

HD:

Ta có: có cùng tính chẵn lẻ:

Giả sử : Nếu

Nếu a=1=> thay a=1 và A=2 vào ta được:

hay

Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị

Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD:

Ta có:

Giả sử:

Khi đó:

Với => tự làm

Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của là số chính phương

HD:

Ta có:

=>

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:

Biến đổi thành:

Bài 19 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Biến đổi thành:

Xét các TH=> x

Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình :

HD:

Biến đổi thành:

Lại có: , Với và 1959=3.653

Bài 21 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:

Phương trình đã cho

Cô si ta có: , Do

và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:

(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị

Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Với x=0=> y= 1 hoặc y=-1

Với x # 0=>

Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Từ phương trình ta có :

Bài 24: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD :

Giả sử :

Với

TH1 :

Giải các TH và với t=2

Bài 25: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD :

Giả sử :

Bài 26: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD :

Giả sử :

Bài 27: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

HD :

Giả sử :

=>

Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

HD :

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :

, Giả sử :

Với

Với

Với

Bài 29: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình :

HD :

Ta có :

Với x=0=> Vô lý

Với x=1 đúng

Với

Bài 30: Chứng min rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho

HD :

Ta có :

Do (1)

và (2)

=> Vô lý

Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương :

HD :

Đặt

Ta cần chứng minh : với

Bài 32: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn :

HD :

Giả sử : và không xảy ra đấu =

, mà

Kết hợp với phương trình đầu=>

Bài 33: Tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của 2 số bất kỳ cộng với 1 chia hết cho số còn lại

HD :

Giả sử 3 số đẫ cho là :

Nhân theo vế ta được :

Vì

nếu k=4=>a=b=c=1 (t/m)

Nếu k=3 thì

nếu k=2, hoặc k=1 xét tương tự

Bài 34 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng

HD :

Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :

Giả sử :

Xét các TH của xy

Bài 35: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

HD :

Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là :

Giả sử :

Xét các TH của xyz

Bài 36 :Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:

HD :

Giả sử : và

=>

vậy x>17=> x=y=18

thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương

Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho và đều là số chính phương

HD :

Giả sử : y < x, Ta có :

Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu 

Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương:

HD :

Giả sử :

, Nên :

Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD :

ta có : ,

Đặt

Thấy ngày :

Chứng minh phương trình sau không có nghiệm

Bài 40 : Chứng minh rằng chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương

HD :

Giả sử : , Ta có :

=> x có hữu hạn giá trị

Với mỗi giá trị của x => giá trị

=> Tương ứng với z

Bài 41: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:

HD:

Bài 42: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

HD:

Phương trình đã cho viết lại thành:

Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình:

Nếu x>2 thì

Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình

Nếu x<0 ta đặt nên y, Ta có : ,

Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y1

Bài 43: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

HD:

Phương trình

Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT 0

, Do x, y nguyên nên

Với: ( vô nghiệm)

Với