Biến đổi biểu thức hữu tỉ ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

DẠNG 10: BIỂU THỨC HỮU TỈ

A. Bài minh họa

Bài 1: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Bài 2: Cho

Chứng minh rằng

Bài 3: Cho chứng minh rằng :

Bài 4: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ?
4. Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Bài 6: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Bài 7: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm để
3. Tìm giá trị của để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Bài 8: Cho và Tính

Bài 10: Cho Tính

Bài 11: Tìm số tự nhiên để: có giá trị là một số nguyên

Bài 12: Chứng minh rằng:

1. biết
2. Với thì

Bài 13: Cho và . Chứng minh rằng:

Bài 14: Cho phân thức

1. Tìm điều kiện của để giá trị của phân thức được xác định
2. Tìm giá trị của để giá trị của phân thức bằng 1

Bài 15: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của khi
3. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
4. Tìm để

Bài 16: a) Rút gọn biểu thức :

b) Cho Tính

Bài 17: Thực hiện phép tính:

Bài 18: Cho đôi một khác nhau và

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 19: Cho ba số khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện . Tính giá trị của biểu thức:

Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:

Bài 21: Cho biểu thức

a) Tìm giá trị của để biểu thức xác định

b) Tìm giá trị của để biểu thức có giá tri bằng 0

c) Tìm giá trị nguyên của dể biểu thức A có giá trị nguyên.

Bài 22:

a) Chứng minh :

b) Tìm biết: và

Bài 23: Cho biểu thức:

với

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:

Bài 24: Cho Chứng minh rằng:

Bài 25: Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A, biết

c) Tìm giá trị của để

d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Bài 26: Cho dương và . Tính :

Bài 27: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu thì

Bài 30: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình

Bài 31: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài 32: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên

c) Tìm để

Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Bài 34:

a) Cho Hãy rút gọn phân thức :

b) Tìm tích:

c) Cho và .

CMR:

d) Cho tính giá trị của biểu thức

Bài 35: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm để

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 36:

a) Rút gọn biểu thức sau:

b) Chứng minh rằng:

Bài 37:

a) Chứng minh rằng: Nếu thì

b) Cho ba số khác thỏa mãn :

Chứng minh rằng

Bài 38: Rút gọn biểu thức

Bài 39: Cho biểu thức

a) Hãy tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức A được xác định

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 40:

a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức

b) Cho

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Bài 41:

a) Tìm biết và

b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết:

c) Cho và Tính

d) Cho và

Tính

Bài 42:

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

b) Tính giá trị biểu thức Biết

Bài 43: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của để giá trị của A được xác định

b) Rút gọn

c) Nếu là các số thực làm cho xác định và thỏa mãn:hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của

Bài 44: Cho biểu thức :

a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên

Bài 45: Cho biểu thức :

1. Rút gọn
2. Tìm các giá trị của để

Bài 46: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Bài 47: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 48: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ?
4. Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.

Bài 49: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A, biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Bài 50: Cho biểu thức

1. Rút gọn M
2. Tính giá trị của M khi

Bài 51: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A biết
3. Tìm các giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Bài 52: Cho

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 53: Cho biểu thức :

1. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của để
3. Tính giá trị của A trong trường hợp

Bài 54: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên

Bài 55. Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị biểu thức khi thỏa mãn ; \
3. Nếu là các số thực dương làm cho xác định và thỏa mãn: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 56. Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của để

Bài 57. Rút gọn biểu thức sau:

Bài 58. Chứng minh rằng:

Bài 59 Biết với . Tính giá trị biểu thức:

Bài 60. Cho biểu thức :

1. Tìm điều kiện xác định của rút gọn
2. Tìm khi
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 61. Cho và Chứng minh rằng

Bài 62. Rút gọn biểu thức :

Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức .

b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Bài 64. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,

Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)²⁰¹⁴ + (y – 4)²⁰¹⁴ + (z – 4)²⁰¹⁴.

Bài 65. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức .

b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Bài 66. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,

Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)²⁰¹⁴ + (y – 4)²⁰¹⁴ + (z – 4)²⁰¹⁴.

Bài 67. Cho

1. Rút gọn M
2. Xác định a để

Bài 68 Cho Tính

Bài 69. Cho biểu thức: .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ? Cho biểu thức:

Bài 70: Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x³ + y³ + z³ = 3xyz và xyz ≠ 0.

Tính giá trị của biểu thức: .

Bài 71. Cho biểu thức:

1. Tìm điều kiện của để biểu thức M có nghĩa
2. Rút gọn biểu thức M
3. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên.

Bài 72. Cho Hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 73. Tính tổng

Bài 74. Cho là 3 số thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Bài 75: a) Cho thỏa mãn và Tính

b) Tính

Bài 76.

1. Tính giá trị của biểu thức tại
2. Cho và Tính giá trị của biểu thức sau theo và b:

Bài 77. Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức tại

c) Tìm giá trị của để

Bài 78. Cho ba số thỏa mãn

Tính:

Bài 79. Tính giá trị của biểu thức Biết

Bài 80. Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức

Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với

b) Cho . Tìm giá trị của biểu thức

Bài 82: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị của để

Bài 83: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm x để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số

d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài 84: Cho phân thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

Bài 85: Cho biểu thức

a) Rút gọn P

b) Tìm để P có giá trị nguyên

c) Tìm để

Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức

Bài 87: Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.

b) Rút gọn biểu thức P.

Bài 88: Cho biểu thức A =

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm x để A có giá trị bằng 671

c. Tìm x Z để Z

Bài 89: Cho biểu thức , với và .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tính giá trị của Q biết .

c) Tìm x để Q > 0.

Bài 90: Cho biểu thức với .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để .

Bài 91: Cho biểu thức , với và .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .

Bài 92: Cho và . Tính tỉ số

Bài 93: Cho và Chứng minh rằng :

Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng

Bài 95: Cho và . Chứng minh rằng:

Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức

.

b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .

Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0).

Chứng minh rằng : .

Bài 98: Cho a +b +c0 và a³ + b³ + c³ = 3abc . Tính N =

Bài 99: Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x, để A < 0

c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A² – = 6

Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a² + b² + c² = ab + bc + ca và a + b + c = 3.

Tính M = a²⁰¹⁶ + 2015b²⁰¹⁵ + 2020c

Bài 101: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .

b) Tìm để .

c) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi .

Bài 102: Cho Chứng minh rằng:

Bài 103: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị của , biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Bài 104: Cho dương và

Tính

Bài 105: Cho biểu thức :

với .

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

.

Bài 106:

1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của P khi
3. Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
4. Tìm để

Bài 107: Cho và Chứng minh rằng:

Bài 108: Cho biểu thức :

1. Rút gọn
2. Tìm các giá trị của để

Bài 109: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Bài 110: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 111: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ? Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên

Bài 112: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A, biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Bài 113: Cho: và (

Chứng minh

Bài 114: Cho Tính

Bài 115: Cho biểu thức

1. Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi

Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Bài 117: Cho Chứng minh rằng:

Bài 118: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A biết
3. Tìm các giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức :

Bài 120: Chứng minh rằng nếu với

Thì

Bài 121: Cho ba số thỏa mãn . Tính

Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức

Bài 123: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Bài 124: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Bài 125:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của P khi
3. Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
4. Tìm để

Bài 126: Cho

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 127: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của , biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 128: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 129: Rút gọn biểu thức:

Bài 130: Cho biểu thức :

1. Tìm giá trị của biểu thức xác định
2. Tìm giá trị của biểu thức có giá tri bằng 0
3. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Bài 131: Cho dương và . Tính

Bài 132: Cho Chứng minh rằng:

Bài 133: Cho chứng minh rằng

Bài 134: a) Cho và Tính giá trị của biểu thức

b) Cho và Tính giá trị của biểu thức

Bài 135: Cho Chứng minh rằng:

Bài 136: Cho và Chứng minh rằng:

Bài 137: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 138: Cho Chứng minh rằng:

Bài 139: Cho biểu thức

1. Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 140: Cho và Tính

Bài 141: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 142: Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Bài 143: Cho Chứng minh rằng:

Bài 144: Cho dương và .

Tính :

Bài 145: Biết và . Tính

Bài 146:

a) Cho Tính giá trị của biểu thức

b) Cho hai số thỏa mãn: và

Tính giá trị của biểu thức

Bài 147: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Tìm để P=

Bài 148: Cho và tính giá trị của biểu thức:

Bài 149: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Bài 150: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;
2. Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;
3. Tìm giá trị của để .

Bài 151: Tính giá trị của biểu thức , với.

Bài 152: Cho biểu

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .

b) Tìm để .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 153: Cho

1. Tìm ĐKXĐ của , rút gọn
2. Tìm nguyên thỏa mãn phương trình

Bài 154: Cho . Chứng minh :

Bài 155: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và

b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng

Bài 156: Cho biểu thức

Tính theo biết rằng

Bài 157: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 158: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Bài 159: Tính giá trị của biểu thức , với.

Bài 160: Cho là hai số khác nhau, biết .

Tính giá trị của biểu thức

Bài 161: Cho . Chứng minh rằng:

Bài 162: Cho . Tính giá trị của biểu thức:

Bài 163: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.

Bài 164: Rút gọn các phân thức:

a) ;

b)

Bài 165: a) Rút gọn phân thức:

b) Rút gọn phân thức:

Bài 166: Cho các số khác 0, thoả mãn .

Tính giá trị của biểu thức

Bài 167: Cho là các số dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Bài 168: Cho . Chứng minh rằng:

Bài 169: Chứng minh rằng nếu và thì

Bài 170: Cho thỏa điều kiện và .

Hãy tính giá trị của biểu thức:

Bài 171: Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Bài 172: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức

Bài 173: Cho phân thức

a) Rút gọn A.

b) Tính để

Bài 174: a) Cho, hãy tính

b) Cho , hãy tính

Bài 175: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Với thì không nhận những giá trị nào?

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 176: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Tìm các giá trị của để ;

c) Tìm các giá trị của để .

Bài 177: Cho phân thức:

1. Rút gọn ;

b) Tìm để có giá trị nguyên.

Bài 178: Cho . Tính theo .

Bài 179: Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .

Bài 180: Cho và . Chứng minh:

Bài 181: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:

Bài 182: Cho . Tính giá trị của biểu thức

Bài 183: Cho biểu thức

1. Rút gọn

b) Tính giá trị của tại .

Bài 184: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Cho Chứng minh rằng:

Bài 185: Rút gọn biểu thức sau:

Bài 186:Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0

Bài 187: Cho biểu thức

Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Bài 188: Cho x² + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x⁶ + 2x⁵ +2x⁴ +2x³ + 2x² +2x + 1

Bài 189: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2. Tìm x để A nhận giá trị là số âm
3. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức (x+2).A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 190: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên?
3. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 2010

Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a|

Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

(x – 1)⁴ –x²(x² + 6) + 4x(x² + 1)

Bài 193: Chứng minh rằng:

a(b – c)(b + c – a)² + c(a – b)(a + b – c)² = b(a – c)(a + c – b)²

Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c = 0 thì

Bài 1195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn :

Bài 196: Chứng minh rằng (x² + y² +z²)² = 2(x⁴ + y⁴ +z⁴) biết x+ y + z = 0

Bài 197: Biết và . Tính

Bài 198: Biết với Tính giá trị biểu thức

Bài 199: Cho 10a² = 10b² – c². Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)²

Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức :

là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 201: Cho ba số thỏa mãn Chứng minh rằng

Bài 202: Chứng minh rằng:

Bài 203: Cho dương và .

Tính

Bài 204: Tìm biết

Bài 205: Chứng minh rằng:

Bài 206:

a) Cho . Tính

b) Cho . Tính theo

Bài 207: Rút gọn biểu thức:

Bài 208: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của , biết .

c)Tìm giá trị của để . d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 209: Cho biểu thức: với

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:

Bài 210: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Bài 211: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm để
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 212: Cho biểu thức :

1. Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
2. Tìm để
3. Tìm các giá trị của để

Bài 213: Tính giá trị của biểu thức Biết

Bài 214: Rút gọn các biểu thức

Bài 215: Cho 3 số thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến :

Bài 216: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Bài 217: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Bài 218:

1. Tính giá trị của biểu thức sau: với
2. Cho

Tìm giá trị của biểu thức

Bài 219: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị của để

Bài 220: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:

Bài 221: Tính tổng:

1. Rút gọn
2. Rút gọn

Bài 222:

1. Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương
2. Cho

Chứng minh rằng

Bài 223: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biểu thức khi
3. Với giá trị nào của thì
4. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 224: Rút gọn biểu thức sau:

Bài 225: Chứng minh rằng:

Bài 226: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu thì

Bài 227: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình

Bài 228: Tìm 3 số dương thỏa mãn : và

Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng trận và thua trận, đội thứ 2 thắng trận và thua trận, …., đội thứ 9 thắng trận và thua trận.

Chứng minh rằng

Bài 230: Cho Tính giá trị biểu thức

Bài 231: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Bài 232: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm để nhận giá trị là số âm
3. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

Bài 234:Chứng minh rằng

Bài 235: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị của để nhận giá trị nguyên?
3. Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 236: Cho các số nguyên thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức

Bài 237: Cho biểu thức

1. Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 238: Cho và Tính

Bài 239: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 240: Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Bài 241: Cho dương và .

Tính :

Bài 242: Cho Chứng minh rằng:

Bài 243: Rút gọn biểu thức:

Bài 244: Biết và . Tính

Bài 245:

1. Cho Tính giá trị của biểu thức
2. Cho hai số thỏa mãn: và

Tính giá trị của biểu thức

Bài 246: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn
2. Tìm để P=
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 247: Cho và tính giá trị của biểu thức:

Bài 248: Rút gọn biểu thức:

Bài 249: Cho biểu thức

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 250: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 251: Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức

Bài 252: Cho Tính giá trị biểu thức

Bài 253: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Bài 254: Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

c) Tìm giá trị của x, để A < 0.

Bài 255: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Với thì không nhận những giá trị nào ?

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 256: Cho biểu thức . Chứng minh rằng:

a) Nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

b) Nếu thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức bằng 1, phân thức còn lại bằng

Bài 257: Cho biểu thức BTHH

a) Rút gọn

b) Tìm để có giá trị nguyên

c) Tìm để

Bài 258: Cho biết Hãy tính giá trị của biểu thức:

Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn: và . Chứng minh:

Bài 260: Cho biểu thức với BTHH

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính biết thỏa mãn

Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ

Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:

Bài 263: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của trên trục số

d) Tìm tất cả các số nguyên để A có giá tri là số nguyên.

Bài 264: Cho và Tính tỉ số

Bài 265: Cho và . Tính:

Bài 266: Cho

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 267:

a) Cho Chứng minh rằng

b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức

Bài 268: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức

b) Tìm để

c) Tìm các giá trị của để

Bài 269: Cho biểu thức

a) Rút gọn M

b) Tìm nguyên đểcó giá trị là số nguyên dương

c) Tìm để

Bài 270: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.

Bài 271: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 272: Cho biểu thức

a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức

Bài 274: Cho và Chứng minh rằng:

Bài 275: Cho và Tính

Bài 276: Cho Tính giá trị biểu thức

Bài 277: Cho . Chứng minh :

Bài 278: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Bài 279: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.

Bài 280: Cho biểu thức

Tính theo biết rằng

Bài 281: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;
2. Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;
3. Tìm giá trị của để .

Bài 282: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 283: Cho là 2018 số thực thoả mãn , với .

Tính

Bài 284: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Bài 285: Rút gọn:

a) ; b) .

Bài 286: Tính giá trị của biểu thức , với.

Bài 287: a) So sánh hai số và

b) và

Bài 288: Cho . Chứng minh rằng:

Bài 289: Cho . Tính giá trị của biểu thức:

Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.

Bài 291: Cho biểu

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .

b) Tìm để .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 292: Rút gọn các phân thức:

a) ; b)

Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .

Bài 294: a) Rút gọn phân thức:

b) Rút gọn phân thức:

Bài 295: Cho các số khác 0, thoả mãn .

Tính giá trị của biểu thức

Bài 296: Cho là các số dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Bài 297: Thực hiện phép tính:

a) .

b)

Bài 298: Cho . Chứng minh rằng:

Bài 299: Chứng minh rằng nếu và thì

Bài 300: a) Xác định để là số tự nhiên

b) Tính tổng

Bài 301: Cho thỏa điều kiện và .

Hãy tính giá trị của biểu thức:

Bài 302: Cho

1. Tìm ĐKXĐ của , rút gọn
2. Tìm nguyên thỏa mãn phương trình

Bài 303: Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Bài 304: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức

Bài 305: Cho phân thức

1. Rút gọn A.
2. Tính để

Bài 306: a) Cho, hãy tính

b) Cho , hãy tính

c) Cho thỏa mãn: . Tính

Bài 307: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Với thì không nhận những giá trị nào?

c)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Bài 308: Cho . Tính ?

Bài 309: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Tìm các giá trị của để ;
3. Tìm các giá trị của để .

Bài 310: Cho phân thức:

1. Rút gọn ;
2. Tìm để có giá trị nguyên.

Bài 311: Cho . Tính theo .

Bài 312: a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .

b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .

c) Tính:

Bài 313: Cho và . Chứng minh:

Bài 314: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.

Bài 315: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:

Bài 316: Cho . Tính giá trị của biểu thức

Bài 317: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của tại .

Bài 318: Cho đa thức .

Tính giá trị của với là nghiệm của phương trình: .

Bài 319: So sánh và , biết: ; .

Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương

Bài 321: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị của để
3. Giải phương trình

Bài 322: Cho và

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Bài 323: Cho

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị thực của để và có giá trị là số nguyên.

Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác đều.

B. Lời giải bài minh họa.

Bài 1: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Lời giải

1. Với thì:

1. Tại thì

1. Với thì khi và chỉ khi

Vì với mọi nên xảy ra khi và chỉ khi

Bài 2: Cho

Chứng minh rằng

Lời giải

Biến đổi đẳng thức để được

Biến đổi để có:

Biến đổi để có:

Vì với mọi

Nên xảy ra khi và chỉ khi

Từ đó suy ra

Bài 3: Cho chứng minh rằng :

Lời giải

Ta có:

Mặt khác

Bài 4: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ?
4. Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn được
2. ĐKXĐ: và

Thay vào, tính được

1. (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của để

Để thì Ư

Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được

Bài 5: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Lời giải

1. ĐKXĐ:

1. nguyên, mà nguyên nên

Từ đó tìm được và

Kết hợp điều kiện

1. Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

Bài 6: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Với

1. với

Bài 7: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm để
3. Tìm giá trị của để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

1. Điều kiện:

Ta có:

Kết hợp với điều kiện suy ra khi và

1. Ta có:

Vì với mọi nên với mọi

Dấu xảy ra khi

Vậy khi

Bài 8: Cho và Tính

Lời giải

Từ

Mà

Nếu

Nếu

Nếu

Bài 10: Cho Tính

Lời giải

nhận hai giá trị là hoặc 1

Bài 11: Tìm số tự nhiên để: có giá trị là một số nguyên

Lời giải

có giá trị nguyên

là ước tự nhiên của 2

Vậy với thì B có giá trị nguyên.

Bài 12: Chứng minh rằng:

1. biết
2. Với thì

Lời giải

(Vì )

Từ (1) và (2)

Bài 13: Cho và . Chứng minh rằng:

Lời giải

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 14: Cho phân thức

1. Tìm điều kiện của để giá trị của phân thức được xác định
2. Tìm giá trị của để giá trị của phân thức bằng 1

Lời giải

b)

Bài 15: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của khi
3. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
4. Tìm để

Lời giải

Điều kiện

1. Rút gọn

1. Ta có:

Vậy Ư

Ta có:

Để thì

Với thì

Bài 16: a) Rút gọn biểu thức :

b) Cho Tính

Lời giải

1. Ta có:

1. Vì

Do đó:

Bài 17: Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 18: Cho đôi một khác nhau và

Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Tương tự:

Do đó:

Tính đúng

Bài 19: Cho ba số khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện . Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Nếu thì

Do đó,

Nếu thì

Do đó, , trái giả thiết

Vậy

Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên:

Bài 21: Cho biểu thức

a) Tìm giá trị của để biểu thức xác định

b) Tìm giá trị của để biểu thức có giá tri bằng 0

c) Tìm giá trị nguyên của dể biểu thức A có giá trị nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b)

Vậy thì

c)

Vì

Vậy thì

Bài 22:

a) Chứng minh :

b) Tìm biết: và

Lời giải

a) Ta có:

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi về

Lập luận suy ra

Thay vào ta có:

Vậy

Bài 23: Cho biểu thức:

với

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải

a) Với ta có:

1. Ta có:

Lập luận

Nên thay vào biểu thức

Bài 24: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

Bài 25: Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A, biết

c) Tìm giá trị của để

d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Rút gọn kết quả :

c)

Bài 26: Cho dương và . Tính :

Lời giải

Vì

Vì

Vậy

Bài 27: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải

a) ĐKXĐ

b)

Vậy

Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Nếu

Nếu

Nếu

Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu thì

Lời giải

Đặt

Ta có:

Ta lại có:

Tương tự ta có:

Vì

Do đó:

Bài 30: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình

Lời giải

a) Với ta có:

Vậy thì

b)

thay vào ta có:

Kết luận với thì

Bài 31: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) Điều kiện

b)

c) Ta có nguyên

Vậy là ước của

Bài 32: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên

c) Tìm để

Lời giải

ĐKXĐ:

b) Để nguyên thì

Vậy thì A nhận giá trị nguyên

Đối chiếu với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm

Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Đặt Ta có:

Ta có:

Do la số nguyên có tổng bằng và nên

Bài 34:

a) Cho Hãy rút gọn phân thức :

b) Tìm tích:

c) Cho và .

CMR:

d) Cho tính giá trị của biểu thức

Lời giải

1. Từ chỉ ra được hoặc

1. Nhận xét được: . Do đó:

1. Từ giả thiết

Tương tự: . Khi đó:

1. Từ

Khi đó:

Bài 35: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm để

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Rút gọn ta có:

b)

Vậy với và thì

c) Ta có:

Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng

Bài 36:

a) Rút gọn biểu thức sau:

b) Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Điều kiện:

Ta có:

Vậy với

b) Ta có:

Đặt

Khi đó ta có:

=

Bài 37:

a) Chứng minh rằng: Nếu thì

b) Cho ba số khác thỏa mãn :

Chứng minh rằng

Lời giải

a) Ta có:

Ta có:

Do đó

b) Ta có:

Đặt Ta được:

Áp dụng kết quả câu a ta được:

Bài 38: Rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 39: Cho biểu thức

a) Hãy tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức A được xác định

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến

Lời giải

a) Giá trị của biểu thức được xác định với điều kiện:

b) Với ta có:

Vậy khi giá trị biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 40:

a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức

b) Cho

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Lời giải

a) Ta có:

Tương tự:

và

Do đó:

b) Từ

Bởi vì : thế vào ta có:

Nếu

*) Nếu

Do đó:

Vậy trong mọi trường hợp, ta có:

Bài 41:

a) Tìm biết và

b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết:

c) Cho và Tính

d) Cho và

Tính

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Do đó:

Nên và

Vậy

c) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm

Phân tích , phần nào có thì thay bằng

d) Ta có:

Do đó:

Vậy

Bài 42:

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

b) Tính giá trị biểu thức Biết

Lời giải

Vì nên Khi đó

Bài 43: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của để giá trị của A được xác định

b) Rút gọn

c) Nếu là các số thực làm cho xác định và thỏa mãn:hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của

Lời giải

3. Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của , từ đó tìm được được tất cả các giá trị nguyên dương của A

Từ (gt):

(do

+)khi

+)khi . Từ đó , chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của và y, chẳng hạn :

Vậy chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là:

Bài 44: Cho biểu thức :

a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên

Lời giải

a) ĐK: Ta có:

Vậy

b)

Bài 45: Cho biểu thức :

1. Rút gọn
2. Tìm các giá trị của để

Lời giải

Vậy

b) ĐK:

Ta có

Vậy

Bài 46: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Lời giải

1. Với thì

1. Tại
2. Với thì

Bài 47: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên

vì

Bài 48: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ?
4. Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn được
2. ĐKXĐ: và

Thay vào, tính được

1. (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của để

Để thì Ư

Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được

Bài 49: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A, biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Lời giải

1. Rút gọn được kết quả :

Bài 50: Cho biểu thức

1. Rút gọn M
2. Tính giá trị của M khi

Lời giải

1. Rút gọn M

Với

Với

Bài 51: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A biết
3. Tìm các giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn biểu thức được kết quả:

Bài 52: Cho

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

Nêu ĐKXĐ:

Rút gọn

ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được

Bài 53: Cho biểu thức :

1. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của để
3. Tính giá trị của A trong trường hợp

Lời giải

ĐKXĐ:

b)

Vậy thì

Bài 54: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Lời giải

1. Tìm được ĐKXĐ của P là :

Ta có:

Vì

Mà lớn nhất nên lớn nhất . Do đó (thỏa mãn )

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Bài 55. Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị biểu thức khi thỏa mãn ; \
3. Nếu là các số thực dương làm cho xác định và thỏa mãn: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

1a)

1b)

Điều kiện :

Ta có:

Vậy

1c)

Với dương và thỏa mãn điều kiện ta có:

(vì Dấu xảy ra

Vậy GTLN của bằng 1

Bài 56. Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của để

Lời giải

1. Với thì

1. Với thì (1)

Vì với mọi nên xảy ra khi và chỉ khi

Bài 57. Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải

Điều kiện:

Ta có:

Vậy với

Bài 58. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Khi đó ta có:

=

Bài 59

Biết với . Tính giá trị biểu thức:

Lời giải

Do nên loại

Với thì

Bài 60. Cho biểu thức :

1. Tìm điều kiện xác định của rút gọn
2. Tìm khi
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải

1. ĐK:

So sánh với điều kiện suy ra thì

1. Vì

đạt GTLN đạt . Lúc đó

Vậy GTLN của là khi

Bài 61. Cho và Chứng minh rằng

Lời giải

Từ

Do đó:

Suy ra :

(do )

Suy ra

Bài 62. Rút gọn biểu thức:

Lời giải

Điều kiện:

Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức .

b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Lời giải

a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.

b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

Suy ra A < - 4.

Bài 64. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,

Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)²⁰¹⁴ + (y – 4)²⁰¹⁴ + (z – 4)²⁰¹⁴.

Lời giải

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0

⇔ [4x² – 4x(y + z) + (y + z)²]+ (y² + z² – 6y – 10z + 34) = 0

⇔ (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

…

⇔ y = 3; z = 5; x = 4

Khi đó T = (4 – 4)²⁰¹⁴ + (3 – 4)²⁰¹⁴ + (5 – 4)²⁰¹⁴ = 2.

Bài 65. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức .

b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Lời giải

a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.

b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

Suy ra A < - 4.

Bài 66: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,

Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)²⁰¹⁴ + (y – 4)²⁰¹⁴ + (z – 4)²⁰¹⁴.

Lời giải

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0

⇔ [4x² – 4x(y + z) + (y + z)²]+ (y² + z² – 6y – 10z + 34) = 0

⇔ (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

…

⇔ y = 3; z = 5; x = 4

Khi đó T = (4 – 4)²⁰¹⁴ + (3 – 4)²⁰¹⁴ + (5 – 4)²⁰¹⁴ = 2.

Bài 67 Cho

1. Rút gọn M
2. Xác định a để

Lời giải

1. Khi đó:
2. Ta có:

Dấu xảy ra

Vậy GTNN của

Bài 68.

Cho Tính

Lời giải

Ta có:

Nên

Bài 69. Cho biểu thức: .

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ?Cho biểu thức:

Lời giải

* ĐKXĐ: x ≠ ±1

a)

b) =

Để P Z thì Z x – 1 Ư(1) = {1; -1}

+) Với x-1 = 1 thì x = 2 (TMĐKXĐ)

+) Với x-1=-1 thì x = 0 (TMĐKXĐ)

Vậy P nguyên khi x {2;0}.

Bài 70.

Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x³ + y³ + z³ = 3xyz và xyz ≠ 0.

Tính giá trị của biểu thức: .

Lời giải

x³ + y³ + z³ = 3xyz (x ≠ y ≠ z; xyz ≠ 0)

(x+y)³ – 3xy(x+y) + z³ – 3xyz= 0

(x+y+z)³ – 3z(x+y)(x+y+z) – 3xy(x+y+z) = 0

(x+y+z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0

(x+y+z)[(x – y)² + (y – z)² + (z-x)²] = 0

Vậy = (-16) + (-13) + 2038 = 2019.

Bài 71. Cho biểu thức:

1. Tìm điều kiện của để biểu thức M có nghĩa
2. Rút gọn biểu thức M
3. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên.

Lời giải

a)

b)

c)

M có giá trị nguyên Ư(1)

Vậy

Bài 72. Cho Hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Với thì

Với thì

Bài 73. Tính tổng

Lời giải

Bài 74. Cho là 3 số thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có: nên từ đề bài suy ra

Không mất tính tổng quát , giả sử thì , suy ra , do đó:

Bài 75 a) Cho thỏa mãn và Tính

b) Tính

Lời giải

a) Từ

Vì nên

Ta có:

b) Với ta có:

Áp dụng vào bài toán ta có:

Bài 76. a) Tính giá trị của biểu thức tại

b)Cho và Tính giá trị của biểu thức sau theo và b:

Lời giải

1. Thay vào biểu thức ta được:

Vậy giá tri của biểu thức tại là 4.

Thay và vào biểu thức ta được:

Vậy giá trị của biểu thức tại và là

Bài 77. Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức tại

c) Tìm giá trị của để

Lời giải

a)Với thì:

b) Tại thì A có giá trị là

c)Với thì

Vì nên

Bài 78. Cho ba số thỏa mãn

Tính:

Lời giải

Thay vào M ta có:

Bài 79. Tính giá trị của biểu thức Biết

Lời giải

Vì nên

Khi đó

Bài 80. Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với

b) Cho . Tìm giá trị của biểu thức

Lời giải

b)

Vậy

Bài 82: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị của để

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) với mọi

Để

Vậy để thì

Bài 83: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm x để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số

d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) Rút gọn được :

c) Để thì:

Biểu diễn trên trục số:

d)

Bài 84: Cho phân thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

Lời giải

b) Rút gọn

Bài 85: Cho biểu thức

a) Rút gọn P

b) Tìm để P có giá trị nguyên

c) Tìm để

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy

b) Ta có

Từ đó suy ra , kết hợp với điều kiện được

c)

Mà nên và xvà

Kết hợp với ĐKXĐ được và

Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức

Lời giải

1. Từ do đó

Lại có :

Suy ra

Bài 87: Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.

b) Rút gọn biểu thức P.

Lời giải

a) Tìm điều kiện đúng:

b) Rút gọn đúng:

=

Bài 88: Cho biểu thức A =

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm x để A có giá trị bằng 671

c. Tìm x Z để Z

Lời giải

a) ĐKXĐ x0, -1,

Ta có

b) Ta có A = 671 (thỏa mãn)

c) Ta có Với x Z để Z thì x -1 phải là ước của 6

Hay x -1 {1; 2; 3; 6}

Kết hợp với ĐKXĐ ta có x {-5; 2; 3; 4; 7}

Bài 89: Cho biểu thức , với và .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tính giá trị của Q biết .

c) Tìm x để Q > 0.

Lời giải

a) Với ta có:

b)

Khi

Khi

c) Q > 0

Kết hợp với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm.

Bài 90: Cho biểu thức với .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để .

Lời giải

a)

b) Với điều kiện ta có

.

Vậy với thì .

Bài 91: Cho biểu thức , với và .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .

Lời giải

Với ĐK:

Ta có

b) Q = =

x = -2 thỏa ĐKXĐ nên là giá trị cần tìm.

Bài 22: Cho và . Tính tỉ số

Lời giải

Bài 33: Cho và Chứng minh rằng :

Lời giải

Biến đổi:

(do và )

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng

Lời giải

Bài 95: Cho và . Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Ta có:

Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức

.

b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .

Lời giải

a)

Thay số, ta được .

b)

.

Vậy B = 2.

Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0).

Chứng minh rằng : .

Lời giải

Từ :

ayz + bxz + cxy = 0

Ta có :

Bài 98: Cho a +b +c0 và a³ + b³ + c³ = 3abc . Tính N =

Lời giải

a) a³ + b³ + c³ = 3abc

a² + b² + c² – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)

2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac –2bc = 0

(a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0

Vì (a – b)² 0 a, b; (b – c)² 0 b,c; (c – a)² 0 a, c.

Nên (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² 0 a, b,c ;

Do đó (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0 a, b,c

Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0

a = b = c

Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)

Thay (*) vào N ta có: .

Bài 99: Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x, để A < 0

c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A² – = 6

Lời giải

a. ÑKXĐ: x 1; x -2; x 3

A =

b. A < 0

< 0

x – 1 > 0 (vì -3 < 0)

x >1

Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài

c. Ta có: A² – = 6A² – – 6 = 0

Đặt = m (ĐK: m 0).

Ta có m² – m – 6 = 0

(m + 2) (m – 3) = 0

Với m = 3 ta có = 3

= 1

Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x -2; x 3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn.

Vậy x thì thỏa mãn đầu bài.

Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a² + b² + c² = ab + bc + ca và a + b + c = 3.

Tính M = a²⁰¹⁶ + 2015b²⁰¹⁵ + 2020c

Lời giải

Ta có: a² + b² + c² = ab + bc + ca

2(a² + b² + c²) – 2(ab + bc + ca) = 0

(a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0 (1)

Mà (a – b)² 0 với mọi a,b.

(b – c)² 0 với mọi b,c.

(c – a)² 0 với mọi a,c.

Nên (1) a = b = c

Lại có a + b + c = 3 a = b = c = 1

M = a²⁰¹⁶+ 2015b²⁰¹⁵+ 2020c

= 1 + 2015.1 +2020.1

= 4036

Bài 101: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .

b) Tìm để .

c) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi .

Lời giải

a) ĐKXĐ :

b) với ĐKXĐ

Vậy thì

c)

Với . Để nguyên thì nguyên là ước của 1.

*) (TMĐK)

*) (Loại do) ĐKXĐ

Vậy thì nhận giá trị nguyên.

d) =

Vì nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và ta có

Đẳng thức xảy ra khi ( x – 1)² = 1

x – 1 = 1 (vì x – 1 > 0) x = 2 (TMĐK)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2

Bài 102: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của với

Sau đó rút gọn ta được điều phải chứng minh.

Bài 103: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị của , biết

c) Tìm giá trị của để

d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Lời giải

a) Rút gọn được kết quả:

b)

c)

d) .

Bài 104: Cho dương và

Tính

Lời giải

Với

Với

Vậy

Bài 105: Cho biểu thức :

với .

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

.

Lời giải

Với ta có:

P =

= - .

= + .

= + =

Ta có:

Lập luận suy ra

Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện:

nên thay x = 1; y =- 3 vào biểu thức P =

ta có: P=

Bài 106:

1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của P khi
3. Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
4. Tìm để

Giải:

Phân tích:

Điều kiện:

1. Rút gọn:

Vậy

1. P=

Ta có:

Với thì

Bài 107: Cho và Chứng minh rằng:

Giải:

1. Biến đổi:

Bài 108: Cho biểu thức :

1. Rút gọn
2. Tìm các giá trị của để

Giải:

Vậy

b) ĐK:

Ta có

Vậy

Bài 109: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị của biểu thức tại
3. Tìm giá trị của để

Giải:

1. Với thì

1. Tại
2. Với thì

Bài 110: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Giải:

1. ĐKXĐ:

Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên

vì

Bài 111: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biết
3. Có giá trị nào của để không ?

Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên

Giải:

1. Rút gọn được
2. ĐKXĐ: và

Thay vào, tính được

1. (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của để

Để thì Ư

Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được

Bài 112: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A, biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Giải:

1. Rút gọn được kết quả :

Bài 113: Cho: và (

Chứng minh

Giải:

1. Bình phương 2 vế ta có:

Bài 114: Cho Tính

Giải:

1. Ta có thì :

(vì

Theo giả thiết

Bài 115: Cho biểu thức

1. Rút gọn M
2. Tính giá trị của M khi

Giải:

1. Rút gọn M:

Với

Với

Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Giải:

Xét

Vì

Bài 117: Cho Chứng minh rằng:

Giải:

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

Bài 118: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của A biết
3. Tìm các giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Giải:

1. Rút gọn biểu thức được kết quả:

Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức :

Giải:

Tương tự:

Bài 120: Chứng minh rằng nếu với

Thì

Giải:

Từ gt

Do nên

Hay

Bài 121: Cho ba số thỏa mãn . Tính

Giải:

Thay vào M ta có:

Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức

Giải:

Bài 123: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Lời giải

1. Với Ta có:

Để thì phải là ước của 2

Đối chiếu điều kiện tìm được hoặc thỏa mãn

Bài 124: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Lời giải

1. ĐKXĐ:

1. nguyên, mà nguyên nên

Từ đó tìm được và

Kết hợp điều kiện

1. Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

Bài 125:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của P khi
3. Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
4. Tìm để

Lời giải

ĐKXĐ:

1. Rút gọn

Kết luận: thì P nhận giá trị nguyên

Ta có:

Để thì

Với thì

Bài 126: Cho

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

Nêu ĐKXĐ:

Rút gọn

ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được

Bài 127: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của , biết
3. Tìm giá trị của để
4. Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn được kết quả

Bài 128: Cho biểu thức:

1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên

vì

Bài 129: Rút gọn biểu thức:

Lời giải

Bài 130: Cho biểu thức :

1. Tìm giá trị của biểu thức xác định
2. Tìm giá trị của biểu thức có giá tri bằng 0
3. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Lời giải

1. Ta có . Vậy biểu thức A xác định khi
2. Ta có: do đó

Vậy với thì biểu thức có giá trị bằng 0

1. Ta có:

Để có giá trị nguyên thì

Vậy với giá trị nguyên của là 0 và thì có giá trị nguyên

Bài 131: Cho dương và .

Tính

Lời giải

Với

Với

Vậy

Bài 132: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của vớirút gọn

Bài 133: Cho chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

suy ra

Mặt khác:

Suy ra

(đpcm)

Bài 134: a) Cho và Tính giá trị của biểu thức

b) Cho và Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

1. Từ

1. Từ

Ta lại có:

Do đó:

Bài 135: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

Bài 136: Cho và Chứng minh rằng:

Lời giải

Với và ta có:

Vậy

Bài 137: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Tương tự:

Bài 138: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì

Hay

Do đó:

Mà

Tương tự:

Vì vậy:

Suy ra :

Bài 139: Cho biểu thức

1. Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) Giá trị của được xác định

Ta có:

b)

mà

Vậy hoặc

Bài 140: Cho và Tính

Lời giải

Biến đổi được:

Mà nên

Ta có:

Vậy và thì

Bài 141: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Lời giải

Ta có

Ta có :

Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 142: Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì

Tương tự ta có:

Vậy

Ta có:

Vậy

Bài 143: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

Bài 144: Cho dương và .

Tính :

Lời giải

Vì

Vì

Vậy

Bài 145: Biết và . Tính

Lời giải

Bài 146:

a) Cho Tính giá trị của biểu thức

b) Cho hai số thỏa mãn: và

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

a) Từ với ta có:

Ta lại có

Do đó:

b) Từ

Từ (1) và (2)

Vậy

Bài 147: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Tìm để P=

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) với ĐKXĐ

Vậy

Bài 148: Cho và tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Bài 149: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Lời Giải:

Cho biểu thức

1. Rút gọn

HD: ĐKXĐ:

và .

Ta có:

Suy ra .

1. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Đề thì và ;

Ta có :

( thỏa ĐKXĐ )

Vậy,

Bài 150: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;

b) Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;

c) Tìm giá trị của để .

Lời Giải:

Cho biểu thức

a) ĐKXĐ: .

b) Rút gọn: .

Để

c)Ta có:

+ Với , ta có: ,

Giải pt ( không thỏa ĐKXĐ )

+ Với , ta có: ,

Giải pt ( vô lý )

Vậy không có giá trị nào của x để .

Bài 151: Tính giá trị của biểu thức , với.

Lời Giải:

Tính giá trị của biểu thức ,

với.

Thay vào ta được:

Vậy, khi .

Bài 152: Cho biểu

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .

b) Tìm để .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời Giải:

a) ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy, với .

b) Để với suy ra với

Vì nên chọn

Vậy,

c) Ta có:

Với nên và . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :

Dấu « = » với ( thỏa ĐKXĐ)

Vậy,

Bài 153: Cho . Chứng minh :

Lời Giải:

Ta có :

Do đó,

KL :…

Bài 154: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và

b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng

Lời Giải:

a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và

HD: Dùng biến đổi tương đương.

b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng

Theo câu a, ta có:

Dấu “ =”

Bài 155: Cho biểu thức

Tính theo biết rằng

Lời Giải

Ta có:

Từ

Thay vào ta được

Bài 156: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .

Tính giá trị của biểu thức:

Lời Giải:

Từ giả thiết, suy ra

Xét hai trường hợp :

+ Nếu

+ Nếu

KL :.....

Bài 157: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Lời Giải:

a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy, khi và .

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy, khi và

Bài 158: Tính giá trị của biểu thức , với.

Lời Giải:

Tính giá trị của biểu thức ,

với.

Thay vào ta được:

Vậy, khi .

Bài 159: Cho là hai số khác nhau, biết .

Tính giá trị của biểu thức

Lời Giải:

Cho là hai số khác nhau, biết .

Tính giá trị của biểu thức

Ta có :

Vì nên

Khi đó,

Vậy, khi và .

Bài 160: Cho . Chứng minh rằng:

Lời Giải:

Ta có:

( Vì )

Bài 161: Cho . Tính giá trị của biểu thức:

Lời Giải:

Ta có: .

( Vì ). Vậy, khi .

Bài 162: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.

Lời Giải:

Từ và suy ra

mà

Do đó, trong ba số phải có một số bằng 2018.

Bài 163: Rút gọn các phân thức:

a) ;

b)

Lời Giải:

* Nhớ :

Do đó, nếu hoặc thì .

a)

b)

Ta có :

Do đó,

Ta lại có:

Do đó,

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 164: a) Rút gọn phân thức:

b) Rút gọn phân thức:

Lời Giải:

a)

b)

Bài 165: Cho các số khác 0, thoả mãn .

Tính giá trị của biểu thức

Lời Giải:

Từ

Đặt

+ Nếu thì . Vậy, .

+ Nếu thì . Vậy, .

+ Nếu thì . Vậy, .

Kết luận: Với điều kiện đã cho .

Bài 166: Cho là các số dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Lời Giải:

Ta có:

Vì nên

KL:…

Bài 167: Cho . Chứng minh rằng:

Lời Giải:

Nhân cả hai vế của với , ta được:

KL:...

Bài 168: Chứng minh rằng nếu và thì

Lời Giải:

Bình phương hai vế , ta được

Suy ra ( Vì ) hay

KL: …

Bài 169: Cho thỏa điều kiện và .

Hãy tính giá trị của biểu thức:

Lời Giải:

Ta có:

( Vì )

Suy ra

Vậy, khi và .

Bài 170: Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Lời Giải:

Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Bài 171: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức

Lời Giải:

Ta có :

(1)

Ta lại có :

Do đó,

Bài 172: Cho phân thức

a) Rút gọn A.

b) Tính để

Lời Giải:

1. Rút gọn A.

Ta có

ĐKXĐ: và

Ta lại có:

Suy ra

Vậy, với và

1. Tính để

Ta có:

( Vì )

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được và .

Bài 173: a) Cho, hãy tính

b) Cho , hãy tính

Lời Giải:

a) Cho , hãy tính

Ta có: suy ra với và .

Ta có: ( vì )

Vậy, với .

b) Cho , hãy tính

Đặt với

Khi đó,

Vậy, khi với .

c) Cho thỏa mãn: . Tính

Vì nên

Xét

Suy ra vì

Vậy, với thỏa mãn:

Bài 174: Cho biểu thức:

a) Rút gọn ;

b) Với thì không nhận những giá trị nào?

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời Giải:

a) Rút gọn

ĐKXĐ: .

Ta có:

Vậy, .

b)Với thì không nhận những giá trị nào?

Ta có:

Với

Vậy, với thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là .

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Ta có:

Suy ra .

Lập bảng :

Vậy, .

Bài 175: Cho biểu thức:

a) Rút gọn ;

b) Tìm các giá trị của để ;

c) Tìm các giá trị của để .

Lời Giải:

Cho biểu thức:

1. Rút gọn :

Ta có:

ĐKXĐ: .

Suy ra

Vậy, với .

1. Tìm các giá trị của để

Ta có ( thỏa ĐKXĐ )

Ta có: ( không thỏa ĐKXĐ )

Vậy, tại thì và không tồn tại để .

1. Tìm các giá trị của để .

Ta có:

Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: và .

Bài 176: Cho phân thức:

a) Rút gọn ;

b) Tìm để có giá trị nguyên

Lời Giải:

1. Rút gọn :

Ta có:

ĐKXĐ: .

Khi đó, với .

1. Tìm để có giá trị nguyên.

Để có giá trị nguyên với và thì ( thỏa ĐKXĐ)

Vậy, hoặc thì nhận giá trị nguyên.

Bài 177: Cho . Tính theo .

Lời Giải:

Cho . Tính theo .

Ta có:

Thay vào , rút gọn ta được .

Bài 178: Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .

Lời Giải:

Ta có:

Khi đó,

Vậy, với là ba số dương khác 0.

Bài 180: Cho và . Chứng minh:

Lời Giải:

Với và , ta có:

( Vì và )

( Vì và )

( Vì )

Vậy, với và .

Bài 181: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:

Lời Giải:

Ta có:

.

Vậy, với .

Bài 182: Cho . Tính giá trị của biểu thức

Lời Giải:

Cho . Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Do đó,

Vậy, khi .

Bài 183: Cho biểu thức

1. Rút gọn

b) Tính giá trị của tại .

Lời Giải:

1. Rút gọn :

Ta có: với .

Do đó,

Vậy, .

1. Tính giá trị của tại .

Tại ta có

Vậy, tại .

Bài 184:

1. Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:

b) Cho Chứng minh rằng:

Lời Giải:

Tương tự:

1. Vì

Hay

Do đó:

Mà

Tương tự:

Vì vậy:

Suy ra :

Bài 185: Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải

Điều kiện:

Ta có:

= =

=

Vậy

Bài 186: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0

Lời giải

1. Với ta có :

Vậy thì

b) Ta có : x² – 3x + 2 = 0

thay x= 2 vào P ta có: P =

Kết luận với x = 2 thì P =

Bài 187: Cho biểu thức

Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có:

ĐK :

Khi đó:

Vậy R xác định khi và

Bài 188: Cho x² + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x⁶ + 2x⁵ +2x⁴ +2x³ + 2x² +2x + 1

Lời giải

Ta có: Q = x⁶ + 2x⁵ +2x⁴ +2x³ + 2x² +2x + 1

= x².(x⁴ + 2x³ +x²) + (x⁴ + 2x³+x²) + x² + x + x +1 = x²(x² + x)² +(x² +x)² + x + 2 = x² + x + 3 = 4

Vậy Q = 4

Bài 189: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2. Tìm x để A nhận giá trị là số âm
3. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức (x+2).A nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ : . Rút gọn được:

b) A< 0 ⬄ x – 1 < 0 ⬄ x < 1

Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x < 1

c) Ta có:

Lập luận để suy ra :

Bài 190: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên?
3. Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

1. Ta có:
2. Muốn A nhận giá trị nguyên thì

Từ đó tìm được tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là

1. Ta có : nhận giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất

Mà mọi x

Vậy Max A= 3 ⬄ x = 0

Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 2010

Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a|

Lời giải

Đặt

Ta có:

Do x,y,z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz = 70 = (-2).(-5).7 nên

Suy ra A = |a – b| +|b – c| +|c – a| = 14

Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

(x – 1)⁴ –x²(x² + 6) + 4x(x² + 1)

Lời giải

Ta có: (x – 1)⁴ –x²(x² + 6) + 4x(x² + 1) = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1 – x⁴ – 6x² + 4x³ + 4x = 1

Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

Bài 193: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c = 0 thì

Lời giải

Ta có: a(b – c)(b + c – a)² + c(a – b)(a + b – c)² - b(a – c)(a + c – b)² = 0 (1)

Đặt

Khi đó ta có:

VT =

=

• đpcm

Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c = 0 thì

Lời giải

Đặt : = y; (1)

Ta có: )

Ta lại có:

Tương tự ta có:

Vì a + b + c = 0 nên suy ra a³ + b³ + c³ = 3abc

Do đó:

Bài 195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn :

Lời giải

Từ giả thiết : a² + 2c² = 3b² + 19 suy ra a² + 2c² - 3b² = 19

Ta có:

Suy ra :

Vậy a = 7; b = 8; c =9

Bài 196: Chứng minh rằng (x² + y² +z²)² = 2(x⁴ + y⁴ +z⁴) biết x+ y + z = 0

Lời giải

Ta có: x + y + z = 0 suy ra x = -(y+z)

Do đó: x² = [-(y+z) ]²

⬄ x² = y² + z² + 2yz ⬄ x² – y² – z² = 2yz

⬄ (x² – y² –z²) = 4y²z² ⬄ x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2x²y² + 2y²z² + 2x²z²

⬄ 2(x⁴ + y⁴ + z⁴) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² + 2y²z² + 2x²z²

⬄ 2(x⁴ + y⁴ + z⁴) = (x⁴ + y⁴ + z⁴)²

Bài 197: Biết và . Tính

Lời giải

Bài 198: Biết với Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Do nên loại

Với thì

Bài 199: Cho 10a² = 10b² – c². Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)²

Lời giải

VT = (7a – 3b)² – 4c² = 49a²- 42ab + 9b² – 4c²

mà 10a² = 10b² + c² nên c² = 10a² – 10b²

nên VT = 49a² – 42ab + 9b² – 4(10a² – 10b²)

= 49a² – 42ab + 9b² – 40a² + 40b² = 9ª² – 42ab + 49b² = (3a – 7b)² = VP

Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức :

là bình phương của một số hữu tỉ

Lời giải

Ta có:

Đặt

Suy ra

Vậy

Bài 201: Cho ba số thỏa mãn Chứng minh rằng

Lời giải

Có:

Cộng được:

Cộng với được

Bài 202: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Khi đó ta có:

=

Bài 203: Cho dương và .

Tính

Lời giải

Với

Với

Vậy

Bài 204: Tìm biết

Lời giải

Từ

Thay vào tỉ lệ thức ta được:

Vậy

Bài 205: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Khi đó ta có:

=

Bài 206:

a) Cho . Tính

b) Cho . Tính theo

Lời giải

Cho . Tính

*Cách 1: Ta có

.

Vậy, khi .

*Cách 2:

b) Cho . Tính theo

+ Xét thì

+ Xét thì

Ta có

Mặt khác,

Từ và suy ra

Vậy, khi .

Bài 207: Rút gọn biểu thức:

Lời giải

Rút gọn biểu thức:

Xét

Do đó,

Bài 208: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của , biết .

c)Tìm giá trị của để . d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn

ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy,

1. Tính giá trị của , biết .

Ta có: hoặc .

+ Với ( thỏa ĐKXĐ) thì

+ Với ( thỏa ĐKXĐ) thì

+Vậy, khi thì hoặc

1. Tìm giá trị của để .

Ta có: (thỏa ĐKXĐ)

Vậy,

1. Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Để có giá trị nguyên khi nguyên và thì

Giải ra hoặc ( thỏa ĐKXĐ)

Suy ra thì có giá trị nguyên.

Bài 209: Cho biểu thức: với

1. Rút gọn biểu thức
2. Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải

1. Với ta có:

1. Ta có:

Lập luận

Nên thay vào biểu thức

Bài 210:

Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
3. Tìm để

Lời giải

1. ĐKXĐ:

1. nguyên, mà nguyên nên từ đó tìm được

Vậy

1. Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

Bài 211: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm để
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Rút gọn ta có:

b)

Vậy với và thì

1. Ta có:

Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng

Bài 212: Cho biểu thức :

1. Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
2. Tìm để
3. Tìm các giá trị của để

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Vậy thì

Bài 213: Tính giá trị của biểu thức Biết

Lời giải

Vì nên

Khi đó

Bài 214: Rút gọn

Lời giải

1. Rút gọn
2. Rút gọn

Bài 215: Cho 3 số thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến :

Lời giải

Bài 216: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Lời giải

1. Với Ta có:

Để thì phải là ước của 2

Đối chiếu điều kiện tìm được hoặc thỏa mãn

Bài 217: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Lời giải

1. Tìm được ĐKXĐ của P là :

Ta có: . Vì

Mà lớn nhất nên lớn nhất . Do đó (thỏa mãn )

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên

Bài 218: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với

b)Cho

Tìm giá trị của biểu thức

Lời giải

Kết quả

Bài 219: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm các giá trị của để

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) với mọi

Để

Vậy để thì

Bài 220: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên:

Bài 221: Tính tổng:

1. Rút gọn
2. Rút gọn

Bài 222:

1. Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương
2. Cho

Chứng minh rằng

Lời giải

Bài 223: Cho biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của biểu thức khi
3. Với giá trị nào của thì
4. Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. Điều kiện

3. Để nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên

Vậy với thì nhận giá trị nguyên.

Bài 224: Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải

Điều kiện:

Vậy với

Bài 225: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Khi đó ta có:

=

Bài 226: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu thì

Lời giải

Đặt

Ta có:

Ta lại có:

Tương tự ta có:

Vì

Do đó:

Bài 227: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình

Lời giải

a) Với ta có:

Vậy thì

b) . Thay vào ta có:

Kết luận với thì

Bài 228: Tìm 3 số dương thỏa mãn : và

Lời giải

Từ giả thiết

Ta có:

Suy ra :

Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng trận và thua trận, đội thứ 2 thắng trận và thua trận, …., đội thứ 9 thắng trận và thua trận.

Chứng minh rằng

Lời giải

Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận (với

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Mặt khác, tổng số trận thắng của các đôi bằng tổng số trận đấu nên :

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 230: Cho Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 231: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có:

ĐK:

Khi đó:

Vậy xác định khi và

Bài 232: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
2. Tìm để nhận giá trị là số âm
3. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải

1a) ĐKXĐ: Rút gọn được:

1b)

Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được

1c) Ta có:

Lập luận để suy ra :

Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

Lời giải

Vậy với mọi giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến

Bài 234: Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

Bài 235: Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị của để nhận giá trị nguyên?
3. Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

2. Muốn A nhận giá trị nguyên thì

• Nếu
• Nếu
• Nếu
• Nếu

Vậy tập hợp các giá trị của để A nhận giá trị nguyên là

1. nhận giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất

Mà với mọi

Vậy

Bài 236: Cho các số nguyên thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Đặt

Ta có:

Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên

Bài 237: Cho biểu thức

1. Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
2. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

1. Giá trị của được xác định

Ta có:

mà

Vậy hoặc

Bài 238: Cho và Tính

Lời giải

Biến đổi được:

Mà nên

Ta có:

Vậy và thì

Bài 239: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Lời giải

Ta có

Ta có :

Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 240: Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì

Tương tự ta có:

Vậy

Ta có:

Vậy

Bài 241: Cho dương và .

Tính :

Lời giải

Vì

Vì

Vậy

Bài 242: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

Bài 243: Rút gọn biểu thức:

Lời giải

Bài 244: Biết và . Tính

Lời giải

Bài 245:

1. Cho Tính giá trị của biểu thức
2. Cho hai số thỏa mãn: và

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

1. Từ với ta có:

Ta lại có

Do đó:

1. Từ

Từ (1) và (2)

Vậy

Bài 246: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn
2. Tìm để P =
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

1. ĐKXĐ:

1. với ĐKXĐ

Vậy

Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy của P là

Bài 247: Cho và tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Bài 248: Rút gọn biểu thức:

Lời giải

Vậy với

Bài 249: Cho biểu thức

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

Vậy với mọi

b) Ta có : với mọi

Nếu ta có

Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:

Ta có:

Nên ta có: . Dấu xảy ra khi

Vậy lớn nhất là khi

Bài 250: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn .Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Lời giải

Ta có

Ta có :

Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 251: Cho thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì

Tương tự ta có:

Vậy

Ta có:

Vậy

Bài 252: Cho Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 253: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có:

ĐK:

Khi đó:

Vậy xác định khi và

Bài 254: Cho biểu thức A = BTHT

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

c) Tìm giá trị của x, để A < 0.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Với , ta có:

b) Ta có: hoặc

(không TMĐK)

hoặc (TMĐK)

Với , ta có:

A = = =

Vậy khi thì A =

c) Ta có: A < 0 (1)

Mà với mọi

Nên (1)

Vậy với x > 1 thì A < 0

Bài 255: Cho biểu thức BTHT

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn

b) Với thì không nhận những giá trị nào ?

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) Ta có:

Để thì

Vậy thì không nhận những giá trị từ đến

c) Ta có

P có giá trị nguyên Ư

Từ đó tính được (Chú ý loại

Bài 256: Cho biểu thức BTHT

Chứng minh rằng:

a) Nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

b) Nếu thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức bằng 1, phân thức còn lại bằng

Lời giải

a) Vì là độ dài ba cạnh của tam giác nên và

Đặt

Ta cần chứng minh : hay

Ta có:

Suy ra

(đúng)

Từ đó suy ra đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay

Bài 257: Cho biểu thức BTHH

a) Rút gọn

b) Tìm để có giá trị nguyên

c) Tìm để

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy

b) Ta có: Ư

Từ đó suy ra

Kết hợp với ĐKXĐ được

c)

Mà nên và và

Kết hợp với ĐKXĐ được và

Bài 258: Cho biết Hãy tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

a) Từ do đó :

Lại có:

Suy ra

Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn:

và . Chứng minh: BTHT

Lời giải

Từ giả thiết suy ra:

Bài 260: Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính biết thỏa mãn

Lời giải

a)

b)

Thay vào biểu thức có

Vậy

Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ

Lời giải

Ta có:

Vậy là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:

Lời giải

Để xác định thì

Khi đó nguyên thì nguyên hay nguyên. Mà

Với thỏa mãn (*) và

Với thỏa mãn và

Vậy thỏa mãn điều kiện bài ra.

Bài 263: Cho biểu thức : BTHT

a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của trên trục số

d) Tìm tất cả các số nguyên để A có giá tri là số nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) Rút gọn được:

c) Để thì

hoặc

Học sinh tự biểu diễn trên trục số

Thử lại, chỉ có là thỏa mãn. Vậy

Bài 264: Cho và Tính tỉ số

Lời giải

Bài 265: Cho và . Tính:

Lời giải

Ta có: =

= ( do x + y = 1 y - 1= -x và x – 1 = - y)

Bài 266: Cho

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) =

Nêu ĐKXĐ:

Rút gọn

b)

ta thấy nguyên khi là ước của 3,

mà , từ đó tìm được

Bài 267:

a) Cho Chứng minh rằng

b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

a)

b)Với

Áp dụng kết quả câu ta có:

Bài 268: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức

b) Tìm để

c) Tìm các giá trị của để

Lời giải

ĐKXĐ:

b)

c)

Vậy thì

Bài 269: Cho biểu thức

a) Rút gọn M

b) Tìm nguyên đểcó giá trị là số nguyên dương

c) Tìm để

Lời giải

a) và

xác định

b) Với có giá trị nguyên dương có giá trị nguyên dương nguyên dương

là ước của 1(Thỏa mãn điều kiện)

Thử lại: Với ta có: có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)

Với ta có: có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn)

Vậy

c)

Ta có: hoặc Giải được hoặc

Kết hợp với điều kiện ta có: hoặc

Bài 270: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b) có giá trị nguyên khi là số nguyên thì có giá trị nguyên

là Ư(2)

Đối chiếu ĐK thì có thỏa mãn

Bài 271: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a)

b) Với Ta có:

Để thì phải là ước của 2

Xét từng trường hợp tìm đối chiếu điều kiện

Bài 272: Cho biểu thức

a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) Giá trị của được xác định

Ta có:

mà

Vậy hoặc

Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Có

Do là hai số dương và

Nên

Với (loại) hoặc

Với hoặc

Bài 274: Cho và Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Ta có:

Bài 275: Cho và Tính

Lời giải

Biến đổi được:

Mà nên

Ta có:

Vậy và thì

Bài 276: Cho Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Bài 277: Cho . Chứng minh :

Lời giải

Ta có :

Do đó,

KL :…

Bài 278: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Lời giải

1. Rút gọn

HD: ĐKXĐ:

và .

Ta có:

Suy ra .

1. Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.

Đề thì và ;

Ta có :

( thỏa ĐKXĐ )

Vậy,

Bài 279: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.

Lời giải

ĐKXĐ:

Ta có:

Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì

Lập bảng:

Vậy, .

Bài 280: Cho biểu thức

Tính theo biết rằng

Lời giải

Ta có:

Từ

Thay vào ta được

Bài 281: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;
2. Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;
3. Tìm giá trị của để .

Lời giải

a) ĐKXĐ: .

b) Rút gọn: .

Để

c)Ta có:

+ Với , ta có: ,

Giải pt ( không thỏa ĐKXĐ )

+ Với , ta có: ,

Giải pt ( vô lý )

Vậy không có giá trị nào của x để .

Bài 282: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .

Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Từ giả thiết, suy ra

Xét hai trường hợp :

+ Nếu

+ Nếu

KL :.....

Bài 283: Cho là 2018 số thực thoả mãn , với .

Tính

Lời giải

Ta có :

Do đó,

Bài 284: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy, khi và .

b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy, khi và

Bài 285: Rút gọn:

a) ; b) .

Lời giải

a) ;

b)

Bài 286: Tính giá trị của biểu thức , với.

Lời giải

Thay vào ta được:

Vậy, khi .

Bài 287: a) So sánh hai số và

b) và

Lời giải

Ta có:

Vậy,

Bài 288: Cho . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

( Vì )

Bài 289: Cho . Tính giá trị của biểu thức:

.

Lời giải

Ta có: .

( Vì ).

Vậy, khi .

Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.

Lời giải

Từ và suy ra

mà

Do đó, trong ba số phải có một số bằng 2018.

Bài 291: Cho biểu

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .

b) Tìm để .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

a) ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy, với .

b) Để với suy ra với

Vì nên chọn

Vậy,

c) Ta có:

Với nên và . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :

Dấu « = » với ( thỏa ĐKXĐ)

Vậy,

Bài 292: Rút gọn các phân thức:

a) ; b)

Lời giải

* Nhớ :

Do đó, nếu hoặc thì .

a)

b)

Ta có :

Do đó,

Ta lại có:

Do đó,

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .

Lời giải

Đặt , ta có:

Khi đó, với mọi giá trị của (Đpcm )

Bài 294: a) Rút gọn phân thức:

b) Rút gọn phân thức:

Lời giải

a)

b)

Bài 295: Cho các số khác 0, thoả mãn .

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Từ

Đặt

+ Nếu thì . Vậy, .

+ Nếu thì . Vậy, .

+ Nếu thì . Vậy, .

Kết luận: Với điều kiện đã cho .

Bài 296: Cho là các số dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Vì nên

KL:…

Bài 297: Thực hiện phép tính:

a) .

b)

Lời giải

a)

b)

Vậy,

Bài 298: Cho . Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhân cả hai vế của với , ta được:

KL:...

Bài 299: Chứng minh rằng nếu và thì

Lời giải

Bình phương hai vế , ta được

Suy ra ( Vì ) hay

KL: …

Bài 300: a) Xác định để là số tự nhiên

b) Tính tổng

Lời giải

a) Xác định để là số tự nhiên

Để là số tự nhiên

Lập bảng :

Vì nên chọn

Thử lại:

+ Với , ta có: ( Loại )

+ Với , ta có: ( Nhận )

+ Với , ta có: ( Nhận )

KL :

b) Tính tổng

Ta có:

Bài 301: Cho thỏa điều kiện và .

Hãy tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

( Vì )

Suy ra

Vậy, khi và .

Bài 302: Cho

1. Tìm ĐKXĐ của , rút gọn
2. Tìm nguyên thỏa mãn phương trình

Lời giải

a) Tìm ĐKXĐ của , rút gọn

+ ĐKXĐ :

+ Rút gọn :

Vậy, với .

b)Tìm nguyên thỏa mãn phương trình

Ta có :

hoặc

hoặc ( thỏa ĐKXĐ )

Vậy, hoặc

Bài 303: Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Lời giải

a)

b)

Bài 304: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Ta có :

(1)

Ta lại có :

Do đó,

Bài 305: Cho phân thức

1. Rút gọn A.
2. Tính để

Lời giải

1. Rút gọn A.

Ta có

ĐKXĐ: và

Ta lại có:

Suy ra

Vậy, với và

1. Tính để

Ta có:

( Vì )

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được và .

Bài 306: a) Cho, hãy tính

b) Cho , hãy tính

c) Cho thỏa mãn: . Tính

Lời giải

a) Cho , hãy tính

Ta có: suy ra với và .

Ta có: ( vì )

Vậy, với .

b) Cho , hãy tính

Đặt với

Khi đó,

Vậy, khi với .

c) Cho thỏa mãn: . Tính

Vì nên

Xét

Suy ra vì

Vậy, với thỏa mãn:

Bài 307: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Với thì không nhận những giá trị nào?

c)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Rút gọn

ĐKXĐ: .

Ta có:

Vậy, .

b)Với thì không nhận những giá trị nào?

Ta có:

Với

Vậy, với thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là .

c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Ta có:

Suy ra .

Lập bảng :

Vậy, .

Bài 308: Cho . Tính ?

Lời giải

ĐKXĐ : .

Ta có :

Vậy, với .

Bài 309: Cho biểu thức:

1. Rút gọn ;
2. Tìm các giá trị của để ;
3. Tìm các giá trị của để .

Lời giải

1. Rút gọn :

Ta có:

ĐKXĐ: .

Suy ra

Vậy, với .

1. Tìm các giá trị của để

Ta có ( thỏa ĐKXĐ )

Ta có: ( không thỏa ĐKXĐ )

Vậy, tại thì và không tồn tại để .

1. Tìm các giá trị của để .

Ta có:

Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: và .

Bài 310: Cho phân thức:

a)Rút gọn ;

b)Tìm để có giá trị nguyên.

Lời giải

1. Rút gọn :

Ta có:

ĐKXĐ: .

Khi đó, với .

1. Tìm để có giá trị nguyên.

Để có giá trị nguyên với và thì (thỏa ĐKXĐ)

Vậy, hoặc thì nhận giá trị nguyên.

Bài 311: Cho . Tính theo .

Lời giải

Ta có:

Thay vào , rút gọn ta được .

Bài 312: a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .

b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .

c) Tính:

Lời giải

a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .

Ta có:

Khi đó,

Vậy, với là ba số dương khác 0.

b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .

Ta có:

Khi đó, ta có:

Vậy, .

c) Ta có:

Vậy, .

Bài 313: Cho và . Chứng minh:

Lời giải

Với và , ta có:

( Vì và )

( Vì và )

( Vì )

Vậy, với và .

Bài 314: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.

Lời giải

Vì là một số tự nhiên chẵn nên .

Do đó

Ta có:

Ta cần c/m: . Thật vậy:

+ Nếu thì

+ Nếu thì

+ Nếu thì

Mà

Vậy, có giá trị nguyên với là một số tự nhiên chẵn.

Bài 315: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

.

Vậy, với .

Bài 316: Cho . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Do đó,

Vậy, khi .

Bài 317: Cho biểu thức

1. Rút gọn
2. Tính giá trị của tại .

Lời giải

1. Rút gọn :

Ta có: với .

Do đó,

Vậy, .

1. Tính giá trị của tại .

Tại ta có

Vậy, tại .

Bài 318: Cho đa thức .

Tính giá trị của E với là nghiệm của phương trình: .

Lời giải

Ta có:

*)

*) (vô nghiệm).

Vậy với .

Bài 319: So sánh và , biết: ;

Lời giải

Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương

Lời giải

Bài 321: Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị của để
3. Giải phương trình

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Vì với mọi

Để . Vậy

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 322: Cho và

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Lời giải

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Bài 323: Cho

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị thực của để và có giá trị là số nguyên.

Lời giải

1. Điều kiện xác định

1. nguyên thì nguyên nghĩa là

Suy ra

Vậy

Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải

Xét hiệu

Suy ra

Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.