Dạng toán giải phương trình ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH
A. Bài toán
Bài 1: Giải phương trình:
a)
b)
c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)
Bài 2: Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5:
a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)
b) Giải phương trình:
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) b)
Bài 8: Giải phương trình sau:
Bài 9: Giải các phương trình:
a) b)
Bài 10: Giải các phương trình:
a) b)
Bài 11: 1) Tìm
a)
b)
2) Tìm biết:
Bài 12: Tìm biết:
a) b)
c) d)
Bài 13: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Bài 14: Giải phương trình:
Bài 15: Giải phương trình:
a)
b)
Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?
Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ?
Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 19: Giải các phương trình sau:
Bài 20: Giải phương trình
Bài 21: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:
Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Bài 23 : Giải các phương trình sau:
Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 25 : Giải các phương trình sau:
Bài 26 : Giải các phương trình:
Bài 27: Giải phương trình:
Bài 28: Tìm biết:
Bài 29: Giải phương trình:
Bài 30: Tìm thỏa mãn phương trình sau:
Bài 31: Giải phương trình sau:
Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó
Bài 33: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 35: Giải các phương trình sau:
Bài 36: Tìm giá trị của để cho phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình:
Bài 37: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài 38: Tìm để phương trình sau vô nghiệm
Bài 39: Giải phương trình :
Bài 40: Giải các phương trình sau:
- với nguyên dương.
Bài 41: Giải các phương trình sau:
Bài 42: Giải phương trình:
Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Bài 44: Giải phương trình:
Bài 45: Giải phương trình
Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó
Bài 47: Giải phương trình:
Bài 148: Tìm biết:
Bài 49: Giải phương trình:
Bài 50: Tìm biết :
a)
b)
Bài 51: Tìm biết:
Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?
Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết phút, do đó phải tăng vận tốc thêm để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ?
Bài 54: Giải các phương trình sau
Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó
Bài 56: Giải phương trình:
Bài 57: Giải phương trình:
Bài 58: Giải phương trình:
Bài 59: Giải các phương trình sau:
Bài 60: Giải các phương trình sau:
Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Bài 61: Giải các phương trình sau:
1)
Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 63: Giải phương trình
- b)
Bài 64: Giải các phương trình sau:
Bài 65: Giải các phương trình sau:
Bài 66: Giải phương trình:
Bài 67: Tìm biết:
Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 69: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:
Bài 70: Giải các phương trình sau:
Bài 71: Giải phương trình:
Bài 72: Giải phương trình:
Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Bài 74: Giải phương trình
Bài 75.
- Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?
- Giải phương trình
Bài 76. Giải phương trình:
Bài 77.
Giải phương trình sau:
Bài 78.
Giải các phương trình sau:
Bài 79: Giải phương trình :
Bài 80 Giải phương trình:
Bài 81: Giải các phương trình sau:
Bài 82. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương:
Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại … cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?
Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.
Bài 85. Giải các phương trình sau:
Bài 86: Giải phương trình:
Bài 87
- Tìm biết:
- Tìm biết: và
Bài 88:
- Giải phương trình:
- Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Bài 89: Giải phương trình sau:
Bài 90:
- Giải phương trình:
- Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”
Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu?
Bài 91: Giải các phương trình sau:
Bài 92: Giải phương trình sau:
Bài 93:
- Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)
- Giải phương trình:
Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo?
Bài 95: Giải phương trình sau:
Bài 96:
- Giải phương trình sau:
- Xác định giá trị của để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn
Bài 97: Tìm biết:
Bài 98: Giải phương trình:
Bài 99: Giải các phương trình sau:
Bài 100: Giải phương trình:
Bài 101: Giải phương trình:
Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Bài 103: Giải phương trình
Bài 105: Giải phương trình:
Bài 106: Tìm sao cho phương trình ẩn : có nghiệm duy nhất thỏa mãn
Bài 107: Giải phương trình
Bài 108: Giải các phương trình sau:
Bài 109: Giải phương trình sau:
Bài 110: Giải phương trình sau:
Bài 111: Cho phương trình . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương.
Bài 112: Tìm thỏa mãn đẳng thức:
Bài 113: Giải phương trình:
Bài 114:
a) Giải phương trình:
b) Tìm và thỏa mãn:
Bài 115: Giải các phương trình sau:
Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 117: Tìm thỏa mãn phương trình sau:
Bài 118: Giải phương trình:
Bài 119: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Bài 120: Giải phương trình a) b)
Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 122: Giải phương trình sau:
(2x2 + x – 2013)2 + 4.(x2 – 5x – 2012)2 = 4.(2x2 + x – 2013)(x2 – 5x – 2012)
Bài 223: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số):
Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)2(4x-1) = 9
Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4
Bài 126:
a) Giải phương trình sau: x2 – 3x + 2 + |x – 1| = 0
b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3(x - 2) – 8(x + m) =4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1
Bài 127: Tìm x biết:
Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72
Bài 129: Giải phương trình:
Bài 130: Tìm biết :
a)
b) và
c)
Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .
Bài 132: Giải các phương trình:
a)
b) Giải phương trình:
Bài 133: Giải phương trình:
a)
b)
Bài 134: Giải các phương trình sau:
a) ( Phương trình ẩn )
b)
c)
Bài 135: Giải các phương trình sau:
a) ;
b)
c) ;
d)
e) .
Bài 136: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Bài 137: Giải phương trình:
Bài 138: Giải phương trình:
Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?
Bài 141: Giải phương trình:
Bài 142: Giải phương trình:
b)
c)
Bài 143: Giải phương trình:
Bài 144: Giải các phương trình sau:
Bài 145: Giải phương trình:
Bài 146: Giải phương trình:
Bài 147: Giải phương trình:
Bài 148: Tìm biết:
Bài 149: Tìm biết:
Bài 150: Giải phương trình :
Bài 151: Một vật thể chuyển động từ đến theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ đến kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ đến .
Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ đến cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách và vận tốc dự định đi của người đó.
Bài 154 Giải phương trình:
Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
Bài 156: Giải phương trình
Bài 157: Giải các phương trình sau:
Bài 158: Giải phương trình :
Bài 159: Giải phương trình :
Bài 160: Giải phương trình:
Bài 161
- Giải phương trình:
- Giải phương trình:
Bài 162: Giải các phương trình sau:
Bài 163: Giải phương trình sau:
b)
Bài 164: Giải phương trình sau:
Bài 165: Giải phương trình:
b)
c)
Bài 166: Giải các phương trình sau:
Bài 167: Giải phương trình sau:
Bài 168: Giải các phương trình sau:
Bài 169: Giải phương trình:
Bài 170: Giải phương trình:
Bài 171: Giải các phương trình sau :
Bài 172: Giải các phương trình sau
Bài 173: Giải phương trình :
Bài 174: Giải các phương trình sau :
Bài 175: Giải phương trình :
Bài 176: Tìm thỏa mãn đẳng thức
Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:
Bài 178: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) .
b) .
Bài 180: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Bài 181: Giải các phương trình sau:
a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
b)
Bài 182: Giải các phương trình sau:
a,
b, + + =
Bài 183Giải các phương trình sau:
a)
b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1
Bài 184: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Bài 185: Giải phương trình:
Bài 186: Giải các phương trình sau:
a.) . b.
Bài 187: Giải phương trình:
Bài 188: Giải các phương trình:
a)
b) Giải phương trình:
Bài 189: Giải phương trình:
a)
b)
Bài 190: Giải các phương trình sau:
a) ( Phương trình ẩn )
b)
c)
Bài 191: Giải các phương trình sau:
a) ;
b)
c) ;
d)
e) .
Bài 192: Giải phương trình:
Bài 193: Giải phương trình sau:
Bài 194: Giải phương trình:
Bài 195: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Bài 196: Tìm biết :
a)
c)
Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .
Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?
Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?
Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Bài 201: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài 202: Giải phương trình:
Bài 203:Giải phương trình sau: .
Bài 204: Giải phương trình:
Bài 205: Giải phương trình:
Bài 206: Tìm x :
Bài 207: Giải phương trình :
Bài 208: Giải phương trình:
Bài 209: Giải phương trình:
Bài 2100: Giải phương trình sau:
Bài 211: Giải phương trình:
Bài 212: Giải phương trình:
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Giải phương trình:
a)
b)
c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)
Lời giải
a)
Giải phương trình được tập nghiệm
b)
c)
x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế cho ta được:
Đặt
Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình ta được:
Bài 2: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt Ta có:
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 3: Giải phương trình :
Lời giải
Bài 4: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
Bài 5:
a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)
b) Giải phương trình:
Lời giải
a) ĐKXĐ: ta có:
Với thì có dạng
Nghiệm đúng mọi thỏa mãn điều kiện , do đó tập nghiệm của phương trình là
Với thì phương trình có nghiệm
Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:
và tức là
Vậy nếu thì là nghiệm.
Kết luận: với thì Với thì
b) Ta có:
Đặt ta có:
Với ta có:
(Vô nghiệm vì
Với ta có
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) b)
Lời giải
a)
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành
Vậy
b) ĐKXĐ:
Vậy
Bài 8: Giải phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 9: Giải các phương trình:
a) b)
Lời giải
a)
Ta có:
(Áp dụng tính chất: )
b) (2)
ĐKXĐ:
Bài 10: Giải các phương trình:
a) b)
Lời giải
a) Đặt
Ta có (pt đề)
Vậy
b) ĐKXĐ:
Vậy
Bài 11:
1) Tìm
a)
b)
2) Tìm biết:
Lời giải
1a)
Vế trái luôn luôn không âm nên ta luôn có
nên
Do đó
1b)
Điều kiện :
. Vậy
2)
Vậy
Bài 12: Tìm biết:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
b)
c)
Vậy
Bài 13: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải
a)
b)
c) ĐKXĐ:
Bài 14: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có điều kiện . Khi đó ta có:
Vậy
Bài 15: Giải phương trình:
a) b)
Lời giải
a)
b)
Đặt
Phương trình trở thành:
Với
Vậy nghiệm của phương trình là :
Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?
Lời giải
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là
Thời gian xe đạp đi là ; Thời gian xe máy đi là :
Quãng đường ô tô đi là
Quãng đường xe đạp đi là
Quãng đường xe máy đi là
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp nên ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy nên ta có phương trình
Vậy đến 10 giờ 50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe dạp và xe máy
Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ?
Lời giải
Gọi số công nhân xí nghiệp I năm 2016 là (
Số công nhân xí nghiệp II năm 2016 là
Theo bài toán, năm 2017 số công nhân xí nghiệp I và xí nghiệp II tăng 60, 90 người nên ta có phương trình:
Vậy số công nhân năm 2017 của xí nghiệp I và xí nghiệp II lần lượt là 100 và 140 công nhân.
Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Lời giải
Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số của phân số cần tìm là
Phân số cần tìm là
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
Theo bài ta có phương trình:
Giải phương trình và tìm được (thỏa mãn)
Vậy phân số cần tìm là
Bài 19: Giải các phương trình sau:
Lời giải
, đặt
Vậy
Bài 20: Giải phương trình
Lời giải
Đặt và
Phương trình (*) trở thành:
+Nếu thì
+Nếu thì
Vậy
Bài 21: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:
Lời giải
vả
Do
Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Lời giải
Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng
Vận tốc ca nô khi nước lặng:
Vận tốc ca nô khi ngược dòng:
Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:
Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là
Bài 23: Giải các phương trình sau:
Lời giải
hoặc
Vậy hoặc
Vậy
Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Lời giải
- Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện
Khi đó: Xe đạp đi được :
Xe máy đi được :
Ô tô đi được:
Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua
Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:
Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:
Theo đề bài ta có phương trình:
Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút
Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 25: Giải các phương trình sau:
Lời giải
- Đặt . Ta có:
Vậy
Phương trình trở thành:
Bài 26: Giải các phương trình:
Lời giải
(thêm vào 2 vế)
Vậy
Bài 27: Giải phương trình:
Lời giải
Bài 28: Tìm biết:
Lời giải
ĐKXĐ:
Đặt , ta có hệ thức:
Bài 29: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 30: Tìm thỏa mãn phương trình sau:
Lời giải
Do
Nên :
Bài 31: Giải phương trình sau:
Lời giải
Ta có:
Điều kiện xác định của phương trình (1) là :
Ta có:
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó
Lời giải
Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số của phân số cần tìm là
Phân số cần tìm là
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số
Theo bài ta có phương trình :
Giải phương trình và tìm được
Từ đó phân số cần tìm là
Bài 33: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Lời giải
a)
hoặc
Vậy hoặc
b)
Vậy
Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Lời giải
Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện
Khi đó: Xe đạp đi được :
Xe máy đi được :
Ô tô đi được:
Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua
Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:
Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:
Theo đề bài ta có phương trình:
Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút
Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 35: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 36: Tìm giá trị của để cho phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình:
Lời giải
Để phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình hay
Ta có
Vậy với thì phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình
Bài 37: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Lời giải
- Ta có:
Vì
Do đó:
Vậy phương trình có nghiệm :
- Ta có:
Do và với mọi
Nên
Bài 38: Tìm để phương trình sau vô nghiệm
Lời giải
ĐKXĐ: và
+Nếu ta có: (vô nghiệm)
+Nếu ta có
- Xét
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét
Vậy phương trình vô nghiệm khi hoặc
Bài 39: Giải phương trình :
Lời giải
Bài 40: Giải các phương trình sau:
- với nguyên dương.
Lời giải
Vậy
Đặt
Ta có:
Với ta có phương trình :
Với ta có phương trình:
(vô nghiệm)
Vậy
Vì nguyên dương nên
và
Phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 41: Giải các phương trình sau:
Lời giải
a)
Đặt
vô nghiệm vì với mọi
b)
Vì
Bài 42: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
Vậy
Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Lời giải
Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : (ngày)
Điều kiện nguyên dương và
Vậy số ngày tổ đã thực hiện là : (ngày)
Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : (sản phẩm)
Số sản phẩm thực hiện là : (sản phẩm)
Theo đề bài ta có phương trình:
Vậy số ngày dự định sản xuất là : 10 ngày
Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch: (sản phẩm)
Bài 44: Giải phương trình:
Lời giải
2.1
Nếu (thỏa mãn điều kiện
Nếu
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
2.2
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
Bài 45: Giải phương trình
Lời giải
Vậy
Do nên
Vậy
Ta có: nên
Phương trình được viết dưới dạng:
Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó
Lời giải
Gọi khoảng cách giữa A và B là
Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là:
Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên là:
Theo đề bài ta có phương trình:
Vậy khoảng cách giữa và là
Vận tốc dự định là
Bài 47: Giải phương trình:
Lời giải
Vì
Vậy phương trình có nghiệm
Bài 48: Tìm biết:
Lời giải
Bài 49: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài 50: Tìm biết :
a)
b)
Lời giải
a) hay
Bài 51: Tìm biết:
Lời giải
Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?
Lời giải
Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là
Ta có:
Tính đúng và kết luận
Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết phút, do đó phải tăng vận tốc thêm để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ?
Lời giải
Gọi là độ dài quãng đường AB. ĐK:
Thời gian dự kiến đi hết quãng đường AB: (giờ)
Quãng đường đi được sau 1 giờ:
Quãng đường còn lại :
Thời gian đi quãng đường còn lại: (giờ)
Theo bài ta có phương trình:
(thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB là
Bài 54: Giải các phương trình sau
Lời giải
c) Ta có: nên
Phương trình được viết lại:
Vậy
Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó
Lời giải
Gọi khoảng cách giữa A và B là
Vận tốc dự định của người đi xe máy là
Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên
Theo đề Câu ta có phương trình :
Vậy khoảng cách giữa A và B là :
Vận tốc dự định:
Bài 56: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có: 2.1
Nếu (thỏa mãn điều kiện
Nếu
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
2.2 Ta có:
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
Bài 57: Giải phương trình:
Lời giải
Bài 58: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
ĐKXĐ:
Đặt , ta có hệ thức:
Bài 59: Giải các phương trình sau:
Lời giải
, đặt
Vậy
Bài 60: Giải các phương trình sau:
Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Lời giải
Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng
Vận tốc ca nô khi nước lặng:
Vận tốc ca nô khi ngược dòng:
Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:
Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là
Bài 61: Giải các phương trình sau:
Lời giải
hoặc
Vậy hoặc
Vậy
Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Lời giải
- Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện
Khi đó: Xe đạp đi được :
Xe máy đi được :
Ô tô đi được:
Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua
Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:
Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:
Theo đề Câu ta có phương trình:
Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút
Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 63: Giải phương trình
- b)
Lời giải
(khẳng định sai vì )
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
- ĐKXĐ:
Vậy
Bài 64: Giải các phương trình sau:
Lời giải
- Đặt . Ta có:
Vậy
Phương trình trở thành:
Bài 65: Giải các phương trình sau:
Lời giải
(thêm vào 2 vế)
Vậy
Bài 66: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
Bài 67: Tìm biết:
Lời giải
ĐKXĐ:
Đặt , ta có hệ thức:
Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Lời giải
Gọi (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc
Một ngày người thứ nhất làm được (công việc)
Một ngày người thứ hai làm được (công việc)
Một ngày hai người làm chung được (công việc)
Theo Câu ta có phương trình
Vậy người thứ nhất làm xong trong ngày
Người thứ hai làm xong trong ngày.
Bài 69: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:
Lời giải
vả
Do
Bài 70: Giải các phương trình sau:
Lời giải
a)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
c)
(1)
ĐKXĐ:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Bài 71: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Ta có phương trình:
Xét các trường hợp ta tìm được
Bài 72: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt có
Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Lời giải
Gọi là số lần đi , số lần dừng là
Thời gian đi
Thời gian dừng:
Lập được phương trình
Khoảng cách AB là
Bài 74: Giải phương trình
Lời giải
b)
Đặt
Khi đó
Vậy
Bài 75.
- Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?
- Giải phương trình
Lời giải
- Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ đến là thì vận tốc của xe buýt khi đi từ C đến là
Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường là thời gian để xe buýt đi hết quãng đường CB là . Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút
Theo bài ta có phương trình:
Giải ra được
Vậy khi đi từ tới xe buýt đi với vận tốc , suy ra thời gian để xe buýt đo đi hết quãng đường AC là : (giờ)
Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng.
- Giải phương trình
Bài 76. Giải phương trình:
Lời giải
Vì
Bài 77.
Giải phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 78.
Giải các phương trình sau:
Lời giải
1.
* Với ta có phương trình
(Thỏa *)
*Với ta có phương trình
+ (không thỏa mãn điều kiện
không thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là
2.
Xét không phải là nghiệm
Xét
Đặt ta có phương trình:
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Bài 79:Giải phương trình :
Lời giải
a) ĐK:
Vậy phương trình có một nghiệm
Bài 80:
Giải phương trình:
Lời giải
Nhân cả 2 vế với ta được:
Bài 81: Giải các phương trình sau:
a)
Lời giải
- (I)
Đặt ta có:
- (II)
+Nếu ta có
+Nếu ta có: , Phương trình nghiệm đúng với
+Nếu ta có: (thỏa mãn)
+Nếu ta có: (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
Bài 82. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương:
Lời giải
Ta có phương trình tương đương:
Vậy thì phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:
*)
và hoặc và
*)(vì
Vậy hoặc và
Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại … cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?
Lời giải
Gọi là chiều dài đoạn đường cả khối 8 là vệ sinh ()
Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài :
Sau khi lớp nhận, đoạn đường còn lại:
Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài :
Ta có phương trình :
Giải ra : (thích hợp)
Khối 8 có 9 lớp
Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.
Lời giải
Gọi số kẹo phân đội được tặng là (cái) ;
Số kẹo bạn thứ nhất nhận: (cái)
Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận (cái)
Số kẹo bạn thứ hai nhận : (cái)
Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình:
Số kẹo mỗi đội viên nhận là:
Số đội viên là : (bạn)
Bài 85. Giải các phương trình sau:
Lời giải
Do với mọi nên phương trình có tập nghiệm
Bài 86
Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện
Với không phải là nghiệm của phương trình :
Với phương trình trở thành:
. Đặt phương trình trở thành:
Điều kiện :
Phương trình trở thành:
Với thì
Với thì
Vậy tập nghiệm phương trình là
Bài 87
- Tìm biết:
- Tìm biết: và
Lời giải
a)
Do đó: và
Vậy
Bài 88:
- Giải phương trình:
- Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Lời giải
- Phân tích được
Vì
- Ta có:
Vì nên
(2) viết thành:
Vậy
Bài 89: Giải phương trình sau:
Lời giải
- ĐKXĐ:
Thay vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình
Với ta có:
Vậy
Bài 90:
- Giải phương trình:
- Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”
Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?
Lời giải
- Điều kiện xác định đặt
giải ra
vô nghiệm vì
Vậy
- Gọi là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là (nguyên dương)
Ta có:
Gọi là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay (nguyên dương)
Tổng số tuổi hiện nay của hai người là
Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là
Ta có phương trình:
Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là tuổi
Tuổi của cha Bắc hiện nay là tuổi
Bài 91: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Vậy
b)
ĐKXĐ:
Vậy
Bài 92: Giải phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 93:
- Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)
- Giải phương trình:
Lời giải
- ĐKXĐ: ta có:
Với thì có dạng Nghiệm đúng mọi thỏa mãn điều kiện
do đó tập nghiệm của phương trình là
Với thì phương trình có nghiệm
Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:
và tức là Vậy nếu thì là nghiệm.
Kết luận : với thì Với thì
- Ta có:
Đặt ta có:
Với ta có:
(Vô nghiệm vì
Với ta có
Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ?
Lời giải
Gọi số lớp của trường A được nhận áo là
Vì lớp thứ nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ nhận được là .
Lớp thứ nhận số áo là
Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình:
Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: (áo)
Suy ra số áo trường A nhận được: (áo)
Bài 95: Giải phương trình sau:
Lời giải
+Nếu phương trình đã cho trở thành :
+)Nếu phương trình đã cho trở thành:
vô nghiệm
Phương trình có một nghiệm
Bài 96:
- Giải phương trình sau:
- Xác định giá trị của để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn
Lời giải
a)
+ Nếu
+Nếu
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
b)Ta có:
Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì
Vậy thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1
Bài 97: Tìm biết:
Lời giải
Bài 98: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt . Ta có:
Bài 99: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
(1)
ĐKXĐ:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Bài 100: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Ta có phương trình:
Xét các trường hợp ta tìm được
Bài 101: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt có
Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Lời giải
Gọi là số lần đi , số lần dừng là
Thời gian đi:
Thời gian dừng:
Lập được phương trình:
Khoảng cách AB là
Bài 103: Giải phương trình
Lời giải
b)
Đặt
Khi đó
+)
+)
Vậy
Bài 104: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Ta có phương trình:
Xét các trường hợp ta tìm được
Bài 105: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
Bài 106: Tìm sao cho phương trình ẩn : có nghiệm duy nhất thỏa mãn
Lời giải
Nếu phương trình đã cho trở thành 1=0 (vô lý) nên phương trình vô nghiệm, loại
Nếu phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Kết hợp điều kiện ta có thì có nghiệm duy nhất thỏa mãn
Bài 107: Giải phương trình
Lời giải
ĐKXĐ:
Vậy tập nghiệm phương trình
Bài 108: Giải các phương trình sau:
Lời giải
b)
Đặt thì
Ta có phương trình:
hoặc
Vậy
Bài 109: Giải phương trình sau:
Lời giải
ĐKXĐ: x 0; x 2
x = 0 (loại) hoặc x = - 1(nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = - 1
Bài 110: Giải phương trình sau:
Lời giải
+Nếu phương trình đã cho trở thành :
+)Nếu phương trình đã cho trở thành:
vô nghiệm
Phương trình có một nghiệm
Bài 111: Cho phương trình . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương.
Lời giải
ĐKXĐ:
(*)
Nếu m = 1 thì phương trình (*) có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
Nếu phương trình (*) trở thành
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm dương
Mà m nguyên.
Vậy thì thỏa mãn đầu bài
Bài 112: Tìm thỏa mãn đẳng thức:
Lời giải
Do và với mọi
Nên
Suy ra
Bài 113: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 114:
a) Giải phương trình:
b) Tìm và thỏa mãn:
Lời giải
a)
b)
Bài 115: Giải các phương trình sau:
Lời giải
b) Ta có:
ĐKXĐ:
Phương trình trở thành:
Từ đó tìm được
Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Lời giải
Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số cua phân số cần tìm là . Phân số cần tìm là
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số:
Theo bài ta có phương trình: (thỏa mãn)
Từ đó ta tìm được phân số
Bài 117: Tìm thỏa mãn phương trình sau:
Lời giải
Do:
Nên :
Vậy
Bài 118: Giải phương trình:
Lời giải
TXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 119: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
- (1)
ĐKXĐ:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Bài 120: Giải phương trình a) b)
Lời giải
(khẳng định sai vì )
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
- ĐKXĐ:
Vậy
Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Lời giảiGọi (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc
Một ngày người thứ nhất làm được (công việc)
Một ngày người thứ hai làm được (công việc)
Một ngày hai người làm chung được (công việc)
Theo bài ta có phương trình
Vậy người thứ nhất làm xong trong ngày
Người thứ hai làm xong trong ngày.
Bài 122: Giải phương trình sau:
(2x2 + x – 2013)2 + 4.(x2 – 5x – 2012)2 = 4.(2x2 + x – 2013)(x2 – 5x – 2012)
Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
a2 + 4b2 = 4ab ⬄ (a - 2b)2 = 0 ⬄ a - 2b = 0 ⬄ a = 2b
Khi đó ta có:
2x2 + x – 2013 = 2.(x2 – 5x – 2012) ⬄ 2x2 + x – 2013 = 2x2 – 10x – 4024
⬄ 11x = -2011
⬄
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 123: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số):
Lời giải
ĐKXĐ : ta có:
Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0. Nghiệm dúng với mọi x thỏa mãn điều kiện , do đó tập nghiệm của phương trình là .
Với thì phương trình (1) có nghiệm
Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:
tức là .
Vậy nếu thì là nghiệm
Kết luận :
+ Với m = -3 thì
+ Với thì
Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)2(4x-1) = 9
Lời giải
Ta có: 2x(8x -1)2(4x – 1) = 9 ⬄ (64x2 – 16x + 1)(8x2 – 2x) = 9
⬄(64x2 – 16x + 1)(64x2 – 16x) = 72 (*)
Đặt : 64x2 – 16x = t ta có :
(*)⬄ t(t + 1) – 72 = 0
- Với t = -9 ta có: 64x2 – 16x = -9 ⬄ 64x2 – 16x + 9 = 0 ⬄ (8x – 1)2 + 8 = 0
Vô nghiệm v ì (8x – 1)2 + 8 > 0
-Với t = 8 ta có 64x2 – 16x = 8 ⬄ 64x2 -16x – 8 = 0
Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4
Lời giải
+ Nếu phương trình đã cho trở thành :
(x -2)(x-1)(x+1)(x+2) = 4
⬄ (x2 -1)(x2-4) = 4
⬄ x4 – 5x2 = 0 ⬄x2(x2 – 5) = 0
+) Nếu x < 2 phương trình đã cho trở thành:
(2 – x)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 4 ⬄ (x – 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = -4
⬄(x2 – 1)(x2 – 4) = -4
⬄ x4 – 5x2 + 8 = 0
⬄ (Vô nghiệm)
Bài 126: Phương trình có một nghiệm
a) Giải phương trình sau: x2 – 3x + 2 + |x – 1| = 0
b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3(x - 2) – 8(x + m) =4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1
Lời giải
a) x2 – 3x + 2 + |x - 1| = 0 (1)
+ Nếu : (1) ⬄ (x – 1)2 = 0 ⬄ x = 1 (thỏa mãn)
+ Nếu x< 1: (1) ⬄ x2 – 4x + 3 = 0 ⬄ x2 – x - 3(x - 1) = 0 ⬄ (x - 1)(x - 3) = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1.
b)Ta có: m3(x – 2) – 8(x + m) = 4m2
⬄ (m3 – 8)x = 2m(m2 + 2m + 4)
⬄ (m – 2)(m2 + 2m + 4)x = 2m(m2 + 2m + 4)
⬄ ( Do m2 + 2m + 4 > 0)
Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì
Vậy thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1.
Bài 127: Tìm x biết:
Lời giải
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm x = -1001.
Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72
Lời giải
(6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72
Đặt 6x + 7 = t. Ta có:
(t + 1)(t – 1)t2 = 72 ⬄ (t2 – 1)t2 = 72 ⬄ t4 – t2 – 72 = 0
Vậy phương trình có nghiệm
Bài 129: Giải phương trình:
Lời giải:
Giải phương trình:
Ta có:
.
Bài 130: Tìm biết :
a)
b) và
c)
Lời giải:
Tìm biết :
a)
và
b) và
Ta có:
và
Từ (1) và (2) suy ra .
Thay vào (1) suy ra .
Vậy, và .
c) ( ĐK: )
và
và
Vậy, hoặc hoặc hoặc
Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .
Lời giải:
Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .
Ta có: (*)
+ Nếu thì pt (*) trở thành
+ Nếu thì pt (*) trở thành
+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất
KL: + Nếu thì pt (*) có vô số nghiệm.
+ Nếu thì pt (*) vô nghiệm.
+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất
Bài 132: Giải các phương trình:
a)
b) Giải phương trình:
Lời giải:
a)
Vậy,
b) Giải phương trình:
Điều kiện . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên
Đặt . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: .
*) Với y = 5, ta có:
*) Với ,ta có:
Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .
Bài 133: Giải phương trình:
a)
b)
Lời giải:
a)
( Vì )
b) Ta có:
( Vì )
Bài 134: Giải các phương trình sau:
a) ( Phương trình ẩn )
b)
c)
Lời giải:
Giải các phương trình sau:
a) ( Phương trình ẩn ) ( ĐK: )
( Vì )
+ Nếu , phương trình có vô số nghiệm .
+ Nếu , phương trình vô nghiệm .
+ Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất.
b)
ĐKXĐ:
Ta có:
( Thỏa ĐKXĐ )
Vậy,
c)
( ĐKXĐ: )
Đặt khi đó , ta có pt viết theo ẩn là:
+ Với , ta có:
+ Với , ta có:
Vậy,
Bài 135: Giải các phương trình sau:
a) ;
b)
c) ;
d)
e) .
Lời giải:
Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
(?)
d)
* Nhớ công thức:
( HS suy nghĩ c/m)
Ta có:
e) ĐKXĐ:
(thỏa ĐKXĐ)
Bài 136: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải:
a)
HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y.
Khi đó phương trình trở thành
+ Với thì x = 1
+ Với thì x = -5
Vậy
b)
Đặt , phương trình đã cho trở thành:
Rút gọn ta được:
Đặt , ta có:
Giải phương trình trên ( nhận ) và ( loại )
Với thì
Khi đó, hoặc
Vậy
* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng , ta thường đặt
c)
Ta thấy không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho , ta được :
Đặt thì , ta được .
Giải pt trên hoặc
+Với , ta có : nên ( vô nghiệm )
+Với , ta có : nên
Vậy,
Bài 137: Giải phương trình:
Lời giải:
- Giải phương trình:
Ta có:
(*)
Xét :
Khi đó, với (gt)
( theo câu a)
Suy ra .
Theo (*) suy ra
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là .
Bài 138: Giải phương trình:
Lời giải:
ĐKXĐ: , ta có:
+ Xét phương trình: ( thỏa ĐKXĐ)
+ Xét phương trình: .
Vậy,
Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Lời giải:
Gọi và lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với .
Theo đề bài, ta có:
Nhận xét : Do
Lập bảng :
-4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | |
-1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 | |
-2 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 | |
1 | 0 | -2 | 6 | 4 | 3 |
KL : hoặc hoặc
Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?
Lời giải
+ Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ ( x nguyªn vµ x ≥ 2)
Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1.
+ Theo gi¶ thiÕt: NÕu sè xe lµ th× sè häc sinh ph©n phèi ®Òu cho tÊt c¶ c¸c xe, mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y ≤ 30).
+ Do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:
+ V× x vµ y ®Òu lµ sè nguyªn dư¬ng, nªn ph¶i lµ íc sè cña 23.
Mµ 23 nguyªn tè, nªn: hoÆc
- NÕu th× (tr¸i gi¶ thiÕt)
- NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n).
+ VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: häc sinh.
Bài 141: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
TXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 142: Giải phương trình:
b)
c)
Lời giải
Ta có: nên
Phương trình được viết dưới dạng:
Vậy
Bài 143: Giải phương trình:
Lời giải
Vì
Bài 144: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 145: Giải phương trình:
Lời giải
Bài 146: Giải phương trình:
Lời giải
Vì
Bài 147: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt có
Bài 148: Tìm biết:
Lời giải
ĐKXĐ:
Đặt , ta có hệ thức:
Bài 149: Tìm biết:
Lời giải
- Ta có:
Bài 150: Giải phương trình :
Lời giải
(1)
Do
Với thì
Khi đó từ phương trình (1)
và
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
Bài 151: Một vật thể chuyển động từ đến theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ đến kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ đến .
Lời giải Gọi là số lần đi , số lần dừng là
Thời gian đi
Thời gian dừng:
Lập được phương trình
Khoảng cách AB là
Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ đến cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là
Lời giải
Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng
Vận tốc ca nô khi nước lặng:
Vận tốc ca nô khi ngược dòng:
Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:
Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là
Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách và vận tốc dự định đi của người đó.
Lời giải
Gọi khoảng cách giữa và là
Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là:
Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên là:
Theo đề bài ta có phương trình:
Vậy khoảng cách giữa và là
Vận tốc dự định là:
Bài 154: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt có
Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
Lời giải
Điều kiện , Khi đó:
Vì nên
Bài 156: Giải pt
Lời giải
Trước hết chứng minh được rằng:
Nếu có 3 số thỏa mãn thì
Ta có:
Áp dụng đẳng thức (2c) và vì nên phương trình đã cho tương đương với :
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
Bài 157: Giải các phương trình sau:
Lời giải
1)*Với ta có phương trình:
*Với ta có phương trình:
Vậy nghiệm của phương trình là
2) Xét không phải là nghiệm
Xét
Đặt ta có phương trình:
ĐKXĐ:
Bài 158: Giải phương trình :
Lời giải
ĐK:
Đặt , phương trình đã cho trở thành:
Xét ta có:
Xét ta có:
Vậy
Bài 159: Giải phương trình :
Lời giải
Bài 160: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 161:
- Giải phương trình:
- Giải phương trình:
Lời giải
a) (ĐKXĐ:
Vậy
b)
Ta có:
Bài 162: Giải các phương trình sau:
Lời giải
- Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Bài 163: Giải phương trình sau:
b)
Lời giải
- Đặt:
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó, ta có:
- Lập bảng xét dấu các nhị thức : và
Xét
Phương trình (không thỏa (1))
Xét
Phương trình (Thỏa mãn với mọi
Xét
Phương trình (thỏa mãn (3))
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm
Bài 164: Giải phương trình sau:
Lời giải
: Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 165: Giải phương trình:
b)
c)
Lời giải
Ta có: nên
Phương trình được viết dưới dạng:
Vậy
Bài 166: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 167: Giải phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 168: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Đặt
Vậy
b)
ĐKXĐ:
Vậy
Bài 169: Giải phương trình:
Lời giải
1)
Nếu (thỏa mãn điều kiện
Nếu
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
2)
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm .
Bài 170: Giải phương trình:
Lời giải
Bài 171: Giải các phương trình sau :
Lời giải
b)
Đặt thì
Ta có phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài 172: Giải các phương trình sau
Lời giải
- đặt
vô nghiệm vì với mọi x
Vậy
b)
Vì
Bài 173: Giải phương trình :
Lời giải
Điều kiện xác định
Vậy
Bài 174: Giải các phương trình sau :
Lời giải
Ta có:
ĐKXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 175: Giải phương trình :
Lời giải
Ta có :
Vậy
Bài 176: Tìm thỏa mãn đẳng thức
Lời giải
Do và với mọi
Nên
Suy ra
Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:
Lời giải
và
Bài 178: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Lời giải
PT
(x – 2014)( ) = 0
x = 2014
Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) .
b) .
Lời giải
a) Nếu hay thì .
Nếu hay thì .
* TH1: Với , PT đã cho trở thành (t/m).
* TH2: Với , PT đã cho trở thành (loại).
Vậy PT đã cho có nghiệm .
b) Vì với mọi x nên BPT đã cho tương đương với
. Vậy nghiệm của BPT ban đầu là .
Bài 180: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Lời giải
a)
Pt
CM Pt vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =
b)
(5x -200) = 0x = 40.
Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S =
Bài 181: Giải các phương trình sau:
a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
b)
Lời giải
a) Đặt x2 + x + 1 = y
pt đã cho trở thành y( y + 1) - 12 = 0
y2 + y - 12 = 0
(y - 3)(y + 4) = 0
y = 3 hoặc y = - 4
+ Với y = 3 ta được x1 = 1; x2 = - 2
+ Với y = - 4, vô nghiệm
KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x1 = 1; x2 = - 2
b)
(x - 105)= 0
x = 105
KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x= 105.
Bài 182: Giải các phương trình sau:
a,
b, + + =
Lời giải
a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23
⇔x2-25=(2x+3)(x+5)⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5)
⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 ⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0
⇔(x+5)(-x-8)=0
⇔ x-5=0 hoặc x+8 =0
⇔ x=-5 hoặc x=-8
b) Phương trình được biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: )
=
() + () + () =
= (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình là: S =
Bài 183: Giải các phương trình sau:
a)
b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1
Lời giải
a)
ĐK: 9 – 3x 0 x 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1 (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0
(x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 (x2 – 5x)2 = 0 x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0
Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5.
Bài 184: Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
Lời giải
a) PT
(1)
Vì với mọi giá trị của x.
Nên (1)
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b)
Đặt 64x2 -16x = t ta có (*) t(t+1) – 72 = 0 t =- 9 hoặc t = 8.
Với t = -9 ta có 64x2 -16x = -9 64x2 -16x + 9 = 0(8x -1)2 +8 = 0
(vô nghiệm vì (8x -1)2 +8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x = 8 64x2 - 16x – 8 = 0 (8x -1)2 -9 = 0
Vậy tập nghiệm phương trình là
Bài 185: Giải phương trình:
Lời giải
Vì
Bài 186: Giải các phương trình sau:
a.) . b.
Lời giải
a) ĐK:
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
b) PT
Bài 187: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
.
Vậy nghiệm của phương trình là
Bài 188: Giải các phương trình:
a)
b) Giải phương trình:
Lời giải
a)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
b) Giải phương trình:
Điều kiện . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên
Đặt . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: .
*) Với y = 5, ta có:
*) Với ,ta có:
Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .
Bài 189: Giải phương trình:
a)
b)
Lời giải
a)
( Vì )
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
b) Ta có:
( Vì )
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
Bài 190: Giải các phương trình sau:
a) ( Phương trình ẩn )
b)
c)
Lời giải
a) ( Phương trình ẩn ) ( ĐK: )
( Vì )
+ Nếu , phương trình có vô số nghiệm .
+ Nếu , phương trình vô nghiệm .
+ Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất.
b)
ĐKXĐ:
Ta có:
( Thỏa ĐKXĐ )
Vậy,
c) ( ĐKXĐ: )
Đặt khi đó , ta có pt viết theo ẩn là:
+ Với , ta có:
+ Với , ta có:
Vậy,
Bài 191: Giải các phương trình sau:
a) ;
b)
c) ;
d)
e) .
Lời giải
a)
b)
c)
(?)
d)
* Nhớ công thức: ( HS suy nghĩ c/m)
Ta có:
e)ĐKXĐ:
( thỏa ĐKXĐ )
Bài 192: Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ: , ta có:
+ Xét phương trình: ( thỏa ĐKXĐ)
+ Xét phương trình: .
Vậy,
Bài 193: Giải phương trình sau:
Lời giải
ĐKXĐ:
Thay vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình
Với ta có:
Vậy
Bài 194: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện xác định đặt
giải ra
vô nghiệm vì
Vậy
Bài 195: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải
a)
HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y.
Khi đó phương trình trở thành
+ Với thì x = 1
+ Với thì x = -5
Vậy
b)
Đặt , phương trình đã cho trở thành:
Rút gọn ta được:
Đặt , ta có:
Giải phương trình trên ( nhận ) và ( loại )
Với thì
Khi đó, hoặc
Vậy
* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng , ta thường đặt
c)
Ta thấy không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho , ta được :
Đặt thì , ta được .
Giải pt trên hoặc
+Với , ta có : nên ( vô nghiệm )
+Với , ta có : nên
Vậy,
Bài 196: Tìm biết :
a)
b)
Lời giải
a)
và
KL :.............
b) ( ĐK: )
và
và
Vậy, hoặc hoặc hoặc .
Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .
Lời giải
Ta có: (*)
+ Nếu thì pt (*) trở thành
+ Nếu thì pt (*) trở thành
+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất
KL: + Nếu thì pt (*) có vô số nghiệm.
+ Nếu thì pt (*) vô nghiệm.
+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất
Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?
Lời giải
+ Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x ≥ 2)
Số học sinh đi tham quan là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y ≤ 30).
+ Do đó ta có phơng trình:
+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên phải là ước số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc
- Nếu thì (trái giả thiết)
- Nếu thì < 32 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi tham quan là: học sinh.
Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?
Lời giải
Gọi là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là (nguyên dương)
Ta có:
Gọi là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay (nguyên dương)
Tổng số tuổi hiện nay của hai người là
Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là
Ta có phương trình:
Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là tuổi
Tuổi của cha Bắc hiện nay là tuổi
Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Lời giải
Gọi và lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với .
Theo đề bài, ta có:
Nhận xét : Do
Lập bảng :
-4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | |
-1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 | |
-2 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 | |
1 | 0 | -2 | 6 | 4 | 3 |
KL : hoặc hoặc
Bài 201: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Lời giải
Giải các phương trình sau:
a)
Ta có với mọi .
Do đó,
Vậy,
b)
ĐKXĐ:
Ta có
+ Với , ta có pt
+ Với , ta có pt
Vậy, .
c) Ta có: (*)
Các giá trị đặc biệt :
Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối :
0 1 | ||||
- | - | |||
VT | 4 | |||
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
KL : Pt đã cho có các nghiệm là : .
Bài 202: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
+ Với không là nghiệm của phương trình
+Với phương trình đã cho được viết lại:
Đặt , phương trình viết lại theo ẩn là
+ Với thì ( vô nghiệm )
+ Với thì
Vậy,
Bài 203: Giải phương trình sau: .
Lời giải
Ta có:
Vì nên theo câu a) ta có:
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :
Bài 204: Giải phương trình:
Lời giải
Đặt Ta có:
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 205: Giải phương trình:
Lời giải
Phân tích được
Vì
Bài 206: Tìm x :
Lời giải
a)hay
Bài 207: Giải phương trình :
Lời giải
(1)
Do
Với thì
Khi đó từ phương trình (1)
và
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
Bài 208: Giải phương trình:
Lời giải
Bài 209: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có:
TXĐ:
Phương trình trở thành:
Bài 210: Giải phương trình sau:
Lời giải
Ta có:
Ta có:
Điều kiện xác định của phương trình (1) là :
Ta có:
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
Bài 211: Giải phương trình:
2.2
Đặt
Phương trình trở thành:
Với
Vậy nghiệm của phương trình là :
Bài 212: Giải phương trình:
Lời giải
2.1
Nếu (thỏa mãn điều kiện
Nếu
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
2.2
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Giá trị lớn nhất nhỏ nhất ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Phân tích đa thức thành nhân tử ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán phương trình nghiệm nguyên ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán số chính phương ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết