Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A.Bài toán
Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 2: Chứng minh rằng: với
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 5 :
- Chứng minh (với mọi
- Chứng minh:
- Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Bài 6 :
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR:
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 26 : Chứng minh rằng:
Bài 27 : So sánh hai số sau: và
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
Bài 30 : Chứng minh rằng:
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:
Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh
Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 37: Cho Chứng minh rằng:
Bài 38 : Cho CMR:
Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Bài 40 : Cho Chứng minh rằng:
Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi
Bài 42 : Cho và
Chứng minh rằng
Bài 43 : Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi
b. Chứng minh:
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 48: Chứng minh rằng: với
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 51: Cho biểu thức
- Phân tích biểu thức thành nhân tử
- Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 53: Cho Chứng minh rằng :
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 58: Chứng minh rằng:
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 61: Cho Chứng minh rằng :
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 70: Chứng minh rằng:
Bài 71: Chứng minh rằng: với
Bài 72: Chứng minh rằng:
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 75: Cho Chứng minh rằng
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 85: Cmr: a)
b)
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Bài 90: Cho ba số dương
- Chứng minh rằng:;
- Chứng minh rằng:
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ; b) khi .
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 102: Cho Chứng minh rằng
Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: .
Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 124: Cho Chứng minh rằng
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
Chứng minh rằng
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 129: Chứng minh rằng:
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 133: Cho Chứng minh rằng :
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh:
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Bài 137: Cho . Chứng minh
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt
và
Chứng minh:
hay
Bài 2 : Chứng minh rằng: với
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Tương tự:
BĐT chứng minh tương đương với:
do
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 5
- Chứng minh (với mọi
- Chứng minh:
- Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Lời giải
- (với mọi x)
- Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:
(luôn đúng)
Suy ra:
Vậy
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
- Ta có:
Do
Nên
Dấu “=” xảy ra
Vậy
b)
Do . Đẳng thức xảy ra
Vậy
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có :
Vậy
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên
Do dó
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
từ đó suy ra
Thay vào ta được
Từ đó suy ra hay
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Ta có:
mà nên
Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
. Vậy
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên suy ra
Do đó :
Lại có:
Vì nên
Do đó từ
Từ (1) và (3) suy ra
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu bằng xảy ra
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Lời giải
Ta có :
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Lời giải
Bài toán phụ : Chứng minh rằng
Chứng minh
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
(2)
Mà (vì
Với ta có: (vì
Từ (2) và (3) suy ra :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Lời giải
Ta có:
(vì
(Vì
(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Lời giải
Đặt Khi đó ta có:
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Ta cộng vế theo vế ta được:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Bài 26 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Vậy
Bài 27 : So sánh hai số sau: và
Lời giải
Vì nên
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Dấu xảy ra khi suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
Lời giải
Vì là 3 cạnh của tam giác nên
Đặt
Ta có:
Mà nên suy ra điều phải chứng minh.
Bài 30 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra khi
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Dấu xảy ra khi
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 32 : Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu xảy ra khi
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Nên
Ta lại có:
Tương tự:
Suy ra:
Do vậy,
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Bài 34 :
- Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
- Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Với và ta có:
luôn đúng
b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
Hay
Mà nên
Do đó:
Bài 35. Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh
Lời giải
Ta có:
Đặt : Suy ra và ta có:
(Vì )
Vậy . Dấu xảy ra
Chứng minh :
Thật vậy, do vai trò của như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử :
Xét hiệu :
Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm
Vậy
Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu xảy ra khi
Bài 36. Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 37. Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Do và với mọi b nên:
Tương tự ta có:
Mà nên
Cũng từ
Mà nên
Suy ra
Từ suy ra
Đẳng thức xảy ra
Bài 38. Cho CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng lại ta có điều phải chứng minh
Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Lời giải
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có:
==≥
Ta chứng minh ≥ 3(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0
[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy
Dấu “=” xảy ra .
Bài 40. Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Tương tự cũng có:
Cộng ta được:
Bài 41. Chứng minh rằng : với mọi
Lời giải
Ta có:
Vì với mọi
Do đó : với mọi (bài toán được chứng minh).
Bài 42. Cho và
Chứng minh rằng
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Mặt khác:
Bài 43. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Lại có :
Nên ta có:
Dấu bằng xảy ra khi
Bài 44: a. Chứng minh (với mọi
b. Chứng minh:
Lời giải
- (với mọi x)
- Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:
(luôn đúng)
Suy ra:
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
- Ta có:
Vì
Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu xảy ra
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Ta có:
Mà (BĐT Cô si). Do đó: . Vậy
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
- C/m:
+)Từ giả thiết suy ra :
Biến đổi được kết quả:
Tam giác đó là đều (đpcm)
- Đặt
và
Chứng minh:
hay
Bài 48: Chứng minh rằng: với
Lời giải
Ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
- Đặt
Tương tự:
BĐT chứng minh tương đương với:
do
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 51: Cho biểu thức
- Phân tích biểu thức thành nhân tử
- Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì
- Lời giải
- Ta có:
- Ta có: (BĐT tam giác)
(BĐT tam giác)
(BĐT tam giác)
(BĐT tam giác)
Vậy
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Dấu “=” xảy ra
Bài 53: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào biểu thức A ta được:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:
. Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có: (**)
Dấu xảy ra
Áp dụng BĐT (**) ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Hay
Mà nên
Vậy
Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Lời giải
Do nên
Bài 58: Chứng minh rằng:
Lời giải
Xét hiệu:
(Dấu xảy ra
Vậy (dấu xảy ra
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT và với dương , dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy
Bài 61: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Lời giải
Do nên
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào biểu thức A ta được:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:
. Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có: (**)
Dấu xảy ra
Áp dụng BĐT (**) ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Hay
Mà nên
Vậy
Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
- Nhận xét : có
Tương tự:
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra
Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi
Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Bài 70: Chứng minh rằng:
Lời giải
Bài 71: Chứng minh rằng: với
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 72: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có :
Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Với và ta có:
luôn đúng
b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
Hay
Mà nên
Do đó:
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
- Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 75: Cho Chứng minh rằng
Lời giải
Giả sử
Vậy
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt Ta có:
Từ đó suy ra :
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 80 : Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Lời giải
Do là 3 cạnh của một tam giác nên
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Lời giải:
Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Vì ta có: ;
;
Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.
( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương .
Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên )
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Lời giải:
a) Ta có:
( đúng )
Dấu “=” .
b) Ta có:
(đúng)
Dấu “=” .
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Lời giải:
a) Xét hiệu : =...
Đặt . Khi đó, .
Vậy, .
Dấu « = » ( giải tiếp tìm )
b) Ta có:
( Vì các số dương và thỏa mãn điều kiện )
Vây, . Dấu « = »
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT . Dấu “=” .
Ta có:
Tương tự, và
Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm.
Dấu “=” .
b) Đặt
+ Nếu thì , do đó , còn nên
+ Nếu thì , do đó , còn nên
Vậy, với mọi .
Bài 85: Cmr: a)
b)
Lời giải:
a)
( Đúng )
Dấu “=”
b)
Dấu “=” hoặc
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Lời giải:
Chứng minh rằng:
a) với
với ( Đúng )
b) Xét
Đặt . Khi đó, ta có:
Vậy, (đpcm)
c)
( Đúng )
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Lời giải:
Ta có:
( Đúng )
Dấu “ =” .
Vậy, với . Dấu “ =” .
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Lời giải:
Chứng minh BĐT:
Ta có:
( đúng )
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Lời giải:
a) Chứng minh:
Ta có:
( Đúng )
Vậy, . Dấu “=”.
b) Chứng minh:
* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.
Ta có:
( Đúng )
Vậy, . Dấu “=”.
* Cách 2: Dùng BĐT phụ: . Dấu “=”.
Ta có:
Vậy, . Dấu “=”.
c) Chứng minh: với .
Với ta có:
Do đó,
Vậy, với
d) Chứng minh: với
Với ta có:
Ta có:
Vậy, với .
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Ta có:
( Vì c/m được với a, b cùng dấu)
Dấu “=”
Vậy, với và cùng dấu. Dấu “=”
Bài 90: Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng:;
b) Chứng minh rằng:
Lời giải:
Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng: ( HS tự giải )
b) Chứng minh rằng:
* Cách 1: Ta có:
( Đúng) ( theo câu a)
Dấu “ =” .
KL: . Dấu “ =” .
* Cách 2: Đặt với .
Suy ra
Do đó,
Dấu “=” .
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Lời giải:
Cho , chứng minh: .
Ta có:
Vì và nên .
Dấu “=”
Vậy, với . Dấu “=” .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) ; b) khi .
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT . Dấu “=”
Ta có:
Dấu “=”
b) khi .
Ta có :
Dấu “=”
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
+Ta có:
( Đúng )
Dấu “=” tam giác đó là tam giác đều.
+ Theo BĐT tam giác ta có:
Vậy, với là ba cạnh của một tam giác.
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Xét hiệu
Suy ra
Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Cho . Chứng minh rằng: .
Xét hiệu:
( vì nên)
Do đó
Giả sử và , do đó (đpcm)
Tương tự, và , do đó (đpcm)
Dấu
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Lời giải:
a) Chứng minh: với
Ta có: với .
Do đó, .
Vậy, với
b) Chứng minh: với
Ta có:
Do đó,
Vậy, với .
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Lời giải:
Hay . Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh
Ta có
.
Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
b) Khi . Chứng minh .
Ta có
Kết hợp và ta có :
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải:
Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Lời giải
Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a)
Với nên
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được
Dấu “=”
Vậy, với . Dấu “=” .
b)
Áp dụng kết quả câu a, ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
c) .
Ta có
Áp dụng kết quả câu a, ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
Lời giải
a) Cho . Chứng minh rằng: .
Ta có mà
Do đó .
Vậy, nếu thì .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
Đặt
Đặt , ta có:
Vậy, . Dấu “=” .
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh: .
Đặt thì và
C/m BĐT phụ: với .
Thật vậy, ta có
Suy ra
( cả hai vế đều không âm)
Do đó, với . Dấu “=”
Áp dụng BĐT trên, ta có
Vậy, . Dấu “=” tam giác đã cho đều.
Bài 100:
Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 101:
Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên suy ra
Do đó :
Lại có:
Vì nên
Do đó từ
Từ (1) và (3) suy ra
Bài 102:
Cho Chứng minh rằng
Lời giải
Giả sử
Vậy
Bài 103:
Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt Ta có:
Từ đó suy ra :
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra
Bài 104:
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
- Nhận xét : có
Tương tự:
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Ta có:
mà nên
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Lời giải
Do là 3 cạnh của một tam giác nên
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Ta có:
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được
Từ đó suy ra hay
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Lời giải
(đúng với mọi )
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
;
Do đó, suy ra:
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
Áp dụng bđt côsi ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
(*)
Vì
Mà = (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
Lời giải
Ta có: ( x, y >0)
Áp dụng kết quả này ta được:
Tương tự ta có:
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều.
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :
+ 2 = 2 . = a
Suy ra a -
Tương tự b -
c -
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
+ + ( a + b + c ) - =
Vậy + + (đpcm)
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
Lời giải
Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:
(1)
Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2
(2)
Từ (1) và (2) ta có: (đpcm).
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Lời giải
A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2
= 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2
= 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2
Đặt a2 + ab + ac = m, ta có:
A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2
= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm)
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng
Lời giải
Từ
Dấu xảy ra
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên .
Tương tự ta có : ;
mà a + b + c = 3 nên (1)
Cũng từ a + b + c = 3 ⇒ (a + b + c)2 = 9
⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) ≤ 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có:
Dấu “=”xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
( luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Dấu “=” xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì abc = 1)
Hay
Mà nên :
Vậy
Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT :
và với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ta có:
Bởi vậy
(đpcm)
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có: (1)
(vì )
(vì x, y dương nên x + y dương) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
(đpcm)
Bài 124: Cho . Chứng minh rằng
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với ta có
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz
Ta có:
Suy ra :
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Lời giải
Ký hiệu vế trái là vế phải là xét hiệu
Do bình đẳng nên giả sử khi đó ,
Mà nên đpcm
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
Chứng minh rằng
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:
Mà nên
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số có một số bằng một số bằng một số bằng 1.
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Lời giải
(đúng với mọi
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 129: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương
Lời giải
Với mọi số dương ta có:
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhận xét có:
Tương tự có:
Do đó
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi
Bài 133: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh:
Lời giải
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được:
Cũng theo BĐT Cô si :
và
Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:
Hay
Từ và suy ra
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Lời giải
Gọi vế trái là ta có:
Vậy
Bài 137: Cho . Chứng minh
Lời giải
Từ thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:
BĐT này luôn đúng . Vậy
Dấu xảy ra
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng.
Dấu xảy ra
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi
Lời giải
Có với mọi
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
- Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
b)Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Phân tích đa thức thành nhân tử ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán phương trình nghiệm nguyên ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán số chính phương ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán số nguyên tố ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán chia hết ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết