Dạng toán số nguyên tố ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ
A.Bài toán
Chứng minh thì là hợp số
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố
Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số.
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Cho là các số nguyên khác 0, sao cho Chứng minh rằng không phải là số nguyên tố.
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương
Chứng minh rằng nếu thì không là số nguyên tố
Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Tìm các số nguyên dương n để là số nguyên tố.
Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Tìm tất cả các số nguyên dương để là số nguyên tố
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho
Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của là số chính phương.
Tìm các số nguyên tố và sao cho
Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố
Chứng minh rằng: Nếu aN, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
Tìm tất cả các số nguyên dương là số nguyên tố
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên ....để là số nguyên tố.
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: .
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: ..
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
B. HƯỚNG DẪN
Chứng minh thì là hợp số
Lời giải
Ta có:
Do nên và . Vậy là hợp số
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố
Lời giải
Để A là nguyên tố thì . Khi đó
Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số
Lời giải
Do là số nguyên tố lớn hơn nên có dạng
với
+ Nếu
thì
Suy ra
là hợp số (vô lý)
+Nếu thì
Do nên Do đó là hợp số.
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Lời giải
nên có thể viết
là hợp số
Cho là các số nguyên khác 0, sao cho Chứng minh rằng không phải là số nguyên tố.
Lời giải
Ta có:
Mà
Ta thấy do đó nếu là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau:
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Lời giải
Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có
Khi đó là số nguyên tố .
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương
Lời giải
Để và là hai số chính phương
và
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Từ
Thay vào ta được
Vậy với thì và là hai số chính phương
Chứng minh rằng nếu thì không là số nguyên tố
Lời giải
Vì nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi
Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là nếu
Còn các trường hợp khác là tích
Vậy ngoài khi đó thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên không thể là số nguyên tố.
Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Lời giải
Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*)
pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau.
Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 903 nên pn ..3
Điều này mâu thuẫn (*).
Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Tìm các số nguyên dương n để là số nguyên tố.
Lời giải:
+ Với ta có là số nguyên tố.
+ Với ta có
Mặt khác, ta có
* Chú ý :
Mà
Suy ra
Tương tự,
Khi đó,
Suy ra với thì là hợp số.
Vậy, thì là số nguyên tố.
Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ,
Khi đó,
Vậy, và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên
Lời giải
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.
Giả sử , mà
Khi đó (*)
Vì 7, p là các số nguyên tố,
nên từ (*) suy ra hoặc .
, đúng.
.
Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện .
Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm.
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Lời giải
Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có
Khi đó là số nguyên tố
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Lời giải
nên có thể viết
là hợp số
Tìm tất cả các số nguyên dương
để là số nguyên tố
Lời giải
Đặt:
Với thì là số nguyên tố
Với ta có:
Ta lại có:
. Suy ra mà nên A là hợp số.
Vậy là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:
Lời giải
Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề Câu
Nếu thỏa mãn đề Câu vì
Nếu không thỏa mãn đề Câu vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Vậy là số nguyên tố thì
Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho
Lời giải
Ta có:
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3.
Do đó
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với suy ra
Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của .. là số chính phương.
Lời giải
Các ước dương của là
Tổng các ước là
Ta có:
Do đó :
Vậy
Tìm các số nguyên tố và sao cho
Lời giải
Ta có:
Xét trường hợp :
Khi đó ta có (do nguyên tố) . Từ đó suy ra
Xét trường hợp
Khi đó ta có: (do y nguyên tố) suy ra
Ta có:
Với thì
Nên để B là số nguyên tố thì trước hết
Hay
Thử lại , với thì
37 là số nguyên tố nên là giá tị cần tìm
Đặt a2+ a + 1 = x (1)
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12
= (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)
= (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có
A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5)
= (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5)
= (a - )( a + 2)(a2 + a + 5)
Ta thấy
Vậy A là hợp số
Lời giải
Đặt:
Với thì là số nguyên tố
Với ta có:
Ta lại có:
Suy ra nên A là hợp số
Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện.
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Lời giải
Vì n là số tự nhiên nên . Như vậy muốn là số nguyên tố thì phải có hay
Khi đó là số nguyên tố.
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: .
Lời giải
Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu thỏa mãn đề bài vì
Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:
Lời giải
1) Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu thỏa mãn đề bài vì
Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Vậy là số nguyên tố thì
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới