Tài liệu ôn thi tốt nghiệp thpt môn toán 2022

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

NĂM 2022

MÔN TOÁN

Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

I. Cấp số cộng, cấp số nhân

1. Cấp số cộng

a. Định nghĩa: (u_n) là cấp số cộng ⇔ u_n+1 = u_n + d, ∀n ∈ N* (d: công sai)

b. Số hạng tổng quát: với n ≥ 2

c. Tính chất của các số hạng: với k ≥ 2

4. Tổng n số hạng đầu tiên: =

2. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: (u_n) là cấp số nhân ⇔ u_n+1 = u_n.q với n ∈ N* (q: công bội)

2. Số hạng tổng quát: , với n ≥ 2

3. Tính chất các số hạng: , với k ≥ 2

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

Hướng dẫn giải. Ta có:

Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.

Hướng dẫn giải. Ta có:.

Giải hệ phương trình, ta được:

Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 5 số hạng, biết:

Hướng dẫn giải. Ta có: ⇔

Vậy có hai dãy số: và

II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn

1. Quy tắc đếm

1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ.

Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4 có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà trường. Giải: Tổ 1 có 9 cách chọn +…+ Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn.

Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy và máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày.

Giải: Đi bằng ô tô có 10 cách+…+1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn.

1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp nhau.

Ví dụ 1. Nam có 3 áo màu và hai quần kiểu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo.

Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 3.2 = 6 bộ quần áo.

Ví dụ 2. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Biết rằng từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường. Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 4.6 = 24 con đường.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho

a) Các chữ số có thể giống nhau. b) Các chữ số khác nhau.

Giải:

a) Đặt chữ số cần tìm có dạng .

Vì chẵn nên và là số đầu tiên nên không thể bằng 0.

Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách.

Trường hợp 2. Nếu d0 thì d có 3 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách. Vậy có 294+882=1176 cách.

b) Đặt chữ số cần tìm có dạng .

Vì chẵn nên và là số đầu tiên nên không thể bằng 0.

Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách.

Trường hợp 2. Nếu d0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách. Vậy có 120+300=420 cách.

2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

2.1 Hoán vị: Sự sắp xếp thứ tự của phần tử trong một tập hợp gồm phần tử.

Công thức: .

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào một bàn học sinh gồm ba chỗ.

Giải: (Có thể dùng quy tắc nhân).

Ví dụ 2. Trong một cuộc thi thể thao có 4 đội tham gia A, B, C, D và có bốn giải nhất, nhì, ba và khuyến khích. Có bao nhiêu khả năng để 4 đội đoạt giải.

Giải: (Có thể dùng quy tắc nhân).

2.2. Chỉnh hợp: Chọn phần tử khác nhau (có thứ tự) từ phần tử của tập hợp (): .

2.3. Tổ hợp: Chọn phần tử (không thứ tự) từ phần tử của tập hợp (): .

Ví dụ 1. Tổ một lớp 11A8 có 5 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra ba học sinh từ tổ 1 để quét lớp, lau bảng và xếp bàn ghế. Hỏi GVCN có bao nhiêu cách chọn (HDG. ).

Ví dụ 2. Trong một trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11m. HLV của mỗi đội cần phải trình với trọng tài một danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11m. Hỏi HLV mỗi đội có bao nhiêu cách chọn (HDG. ).

Ví dụ 3. Trong một cuộc thi Maraton có 50 người tham gia nhưng chỉ có ba giải nhất, nhì, ba. Có bao nhiêu cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG. ).

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG. )

Ví dụ 5. Có bao cách chọn 3 học sinh trong đội tuyển gồm 8 học sinh giỏi môn văn lớp 12 của trường để đi dự thi cấp tỉnh. Biết rằng cả 8 em này đều có năng lực như nhau (HDG. ).

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P (HDG. ).

Ví dụ 7. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” của đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (HDG. ).

3. Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A được tính theo công thức .

Trong đó: là số phần tử của biến cố A; là số phần tử của không gian mẫu.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để:

1. Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ.
2. Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ.

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là

a) XS của bc A là .

b) XS của bc B là .

Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến thuê phòng cùng một lúc trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để:

1. Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
2. Có ít nhất 2 khách nữ.

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là

a) XS của bc A là .

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau:

+ Hai nữ, 4 nam: + Ba nữ, 3 nam: + Bốn nữ, 2 nam:

Suy ra số phần tử của biến cố B là ++=185.

Vậy XS của bc B là .

Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để:

1. Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng.
2. Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng.

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là

.

Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu.

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là .

Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là và .

Ví dụ 6. Cho tập . Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 (HDG :)

Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.

Tập A bao gồm các pần tử: . Khi đó.

4. Nhị thức Newton

+ Với hai số thực a và b, ta có

+ Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Số cách chọn học sinh từ học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Với và là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Giá trị bằng

A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.

Câu 15. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm học sinh?

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Từ một hộp chứa quả cầu đỏ và quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời quả cầu. Xác suất

để lấy được quả cầu màu xanh bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Hệ số của trong khai triển nhị thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để ba

số được viết ra có tổng chia hết cho bằng

A. . B. . C. . D. .

(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101)

Giải: Không gian mẫu có số phần tử là . Lấy một số tự nhiên từ đến ta có các nhóm số sau:

+ Số chia hết cho : có số thuộc tập .

+ Số chia cho dư : có số thuộc tập .

+ Số chia cho dư : có số thuộc tập .

Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho thì các khả năng xảy ra như sau:

TH1: Ba số đều chia hết cho có cách; TH2: Ba số đều chia cho dư có cách.

TH3: Ba số đều chia cho dư có cách.

TH4: Một số chia hết cho , một số chia cho dư , chia cho dư có cách.

Vậy xác suất cần tìm là . Chọn D.

Câu 20. Với là số nguyên dương thỏa mãn , số hạng không chứa trong khai triển của thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Giải: Điều kiện và .

Ta có . Với ta có khai triển .

Số hạng tổng quát của khai triển , với .

Số hạng không chứa ứng với thỏa .

Vậy số hạng không chứa là . Chọn D.

Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Khối đa diện

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước)

2. Thể tích của khối lập phương cạnh a : V = a³

3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)

4. Thể tích của khối chóp: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)

Chú ý: Tỉ số thể tích

5. Kiến thức liên quan

* Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

* Hệ thức lượng trong tam giác vuông:  Cho vuông ở A

• Định lý Pitago: hay

• hay

• hay

• hay

* Hệ thức lượng trong tam giác thường

• Định lý côsin:

• Định lý sin:

* Các công thức tính diện tích

a. Công thức tính diện tích tam giác.

•

•

• , S = pr

• với (Công thức Hê-rông)

• Đặc biệt: vuông ở A: , đều cạnh a:

b. Diện tích hình vuông cạnh a: c. Diện tích hình chữ nhật:

d. Diện tích hình thoi: e. Diện tích hình thang:

* Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng

• Đường chéo hình vuông cạnh a là

• Đường cao tam giác đều cạnh a là

II. Góc và khoảng cách

1. Góc:

+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đó.

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

+ Góc giữa hai mặt phẳng và :

▪ Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và

▪ Bước 2: Trên lấy điểm bất kỳ. Qua vẽ tia vuông góc với trong và vẽ tia vuông góc với trong .

Khi đó: Góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa tia và tia hay .

2. Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

▪ Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó.

▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu

1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó:

+ Diện tích xung quanh: ;

+ Diện tích toàn phần:

+ Thể tích:

2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó:

+ Diện tích xung quanh: ;

+ Diện tích toàn phần:

+ Thể tích:

3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R.

+ Diện tích mặt cầu:

+ Thể tích khối cầu:

Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a.

Giải

Gọi H là tâm của hình vuông. Vì là hình chóp đều nên

Vì ABCD là hình vuông nên (đvdt)

Ta có

vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên

(đvtt)

Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc .

Giải

Gọi H là tâm của tam giác , M là trung điểm của BC

là hình chóp đều nên

là tam giác đều nên

Trong tam giác vuông

(đvdt)

Ta lại có nên .

Do H là trọng tâm tam giác nên

Trong tam giác vuông ,

(đvtt)

Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải

Ta có:

Do đó,

Diện tích đáy là:

AC là hình chiếu của SC lên mp nên

Ta có:

Vậy thể tích khối chóp là: (đvtt)

Ví dụ 4. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A, . Các cạnh bên . Tính thể tích khối chóp .

Giải

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng

Ta có: nên

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Mà vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

đều cạnh 2a

(đvdt).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.

Giải

Vì nên

Ví dụ 6. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại A với AC = a, , biết BC' hợp với một góc 30⁰. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.

Giải

Ta cólà tam giác vuông tại A với AC = a, .

Ta có: nên AC' là hình chiếu của BC' trên . Vậy góc giữa BC’ và mặt phẳng là góc

vuông tại A’

vuông tại A,

(đvdt)

Vậy (đvtt)

Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và , biết AB' hợp với đáy một góc .Tính thể tích của khối hộp .

Giải

Vì đều cạnh a nên:

vuông tại B

Vậy (đvtt)

Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy một góc . Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải

Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)

Nên góc giữa CC’ và mpbằng

Vậy

Ví dụ 6. Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay.

a)Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó?

b)Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên?

Giải

a)Ta có

* Bán kính hình nón : r=IM=a

* Xét tam giác OIM vuông tại I ta có .Vậy .

b) Tacó

* Bán kính hình nón : r = IM = a

* h=OM= Vậy .

Ví dụ 7. Trong không gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.Khi quay hình vuông đó quanh trục IH tạo thành hình trụ tròn xoay.

a)Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó?

b)Tính thể tích khối trụ tròn xoay nói trên?

Hướng dẫn giải.

a) Ta có : * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a.

Vậy .

b) Thể tích (đvtt)

Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó?

Hướng dẫn giải. Gọi O,O’ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.Ta có OO’ là trục của hai tam giác đáy.Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của OO’ với bán kính

.

Diện tích mặt cầu ; Thể tích khối cầu .

Ví dụ 9. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông đỉnh , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Hướng dẫn giải. Trong tam giác SAB, kẻ AH vuông góc với SB tại H: (1). Ta có nên suy ra được hay (2). Từ (1) và (2), ta có: Tam giác SAB vuông tại A, có AH là đường cao nên

.

Ví dụ 10. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Hướng dẫn giải. Nhận thấy AC là hình chiếu của SC lên nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy là . Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = .

Tam giác SAC vuông cân tại A nên .

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là

A. B. C. D.

Câu 2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. B. C. D.

Câu 3. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và . Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 6. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Cho khối chóp đứng có đáy là tam giác đều cạnh và .

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng ., tam giác vuông cân tại và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D.

Câu 18. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳngbằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là thỏa mãn . Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng , thể tích khối trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , vuông góc với

mặt phẳng đáy và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Chủ đề 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (GIẢI TÍCH 12)

I. Sự đồng biến, nghịch biến:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b).

+ f’(x) ≥ 0, (a;b) ⬄ f(x) đồng biến trên (a:b).

+ f’(x) ≤ 0, (a;b) ⬄ f(x) nghịch biến trên (a:b).

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau

a) b) c) y = d) y =

Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y = đồng biến trên R.

II. Cực đại, cực tiểu:

1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:

2. Sự tồn tại cực trị

a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x_0:

b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x₀:

c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x₀:

d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y^/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) b) c) y = d) y =

Ví dụ 2: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Ví dụ 3: Cho hàm số (1). Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).

III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:

Quy tắc tìm GTLN,GTNN trên một đoạn.

• Tính y’. Tìm các điểm x₁, x₂,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’= 0 hoặc không xác định
• Tính f(a), f(b), tính f(x₁), f(x₂),….
• Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên.

Ví dụ 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) trên [-2;-1/2], [1;3). b) .

c) x∈[0;π/2] d) f(x) = x² – ln(1–2x) trên [– 2; 0]

e) f(x) = trên [1; 2]

Ví dụ 2: Tìm m để GTNN của hàm số trên đoạn [0; 1] bằng – 2.

IV. Đường tiệm cận

+ Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số y =f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: i) , ii) .

+ Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

i) , ii) , iii) , iv) .

V. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:

* Sự tương giao của hai hai đồ thị:

Cho 2 hàm số: y = f(x) có đồ thị (C₁) và y = g(x) có đồ thị (C₂).

Hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)

=> Số giao điểm của (C₁) và (C₂) là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)

* Điều kiện tiếp xúc:

+ Dấu hiệu: (C₁) và (C₂) tiếp xúc ⬄ Hệ phương trình có nghiệm

* Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình

- Biến đổi phương trình cần biện luận về dạng: f(x) = g(m) (1)

- Số nghiệm của pt(1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát và đường thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

* Dạng 2: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

Số giao điểm của hai đường cong (C₁) y= f(x) và (C₂) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = và đường thẳng d: y = -1.

Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị (Cm): cắt trục ox tại ba điểm phân biệt.

Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.

* Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(3;1).

Ví dụ 2: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

Ví dụ 3: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ sau

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. B. C. D.

Câu 8. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 0

Câu 16. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 17. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho hàm số có đạo hàm ,. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Cho hàm sốcó bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Chủ đề 4. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARÍT (GIẢI TÍCH 12)

1. Công thức lũy thừa: Cho và . Khi đó:

2. Công thức lôgarit: Với các điều kiện thích hợp ta có:

+ Định nghĩa:

+ Tính chất:

+ Quy tắc:

,

,

+ Đổi cơ số: hay .

Tổng quát:

Đặc biệt: ,

+ Lôgarit thập phân: + Lôgarit tự nhiên:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

a) A = b)

c) d)

Ví dụ 2: a) Cho . Tính theo a, b.

b) Cho Hãy biểu diễn theo a, b.

3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• ; •

• •

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b) c)

d) e) f)

4. Phương trình mũ:

+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa.

5. Phương trình lôgarít:

+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa.

6. Bất phương trình mũ:

6. Bất phương trình lôgarít:

Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình mũ:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 4. 15.

Ví dụ 2: Giải các phương trình, bất phương trình lôgarít:

1) 2) .

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Với là số thực dương tùy, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Nghiệm phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho và là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho phương trình (là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 7. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. (Nghiệm của phương trình là.

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Nghiệm của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho và là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Câu 13. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Cho ; là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D.

Câu 17. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Cho phương trình (là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. Vô số. B. . C. . D. .

Câu 19. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Với là số thực dương tùy ý, bằng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Cho là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Chủ đề 5. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (GIẢI TÍCH 12)

I. Kiến thức cơ bản

1. Công thức nguyên hàm cơ bản

2. Công thức tính tích phân

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

II. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

* Dạng 1: Tính I =

+ Đặt t =

+ Đổi cận : x = a t = , x = b t = , I =

* Dạng 2: Tính I = bằng cách đặt x =

Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a > 0)

Dạng chứa  : Đặt x = atant, t (a > 0)

2. Phương pháp tích phân từng phần

* Công thức tính :

🟇 Đặt

Ta thường gặp hai loại tích phân từng phần như sau:

* Loại 1: trong đó là đa thức bậc n.

* Loại 2:

1.5. Tính chất tích phân

i) ii) , iii) ,

iv) v) .

III. Ứng dụng tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng

* Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

* Dạng 2: Cho hai hàm số y = f₁(x) và y = f₂(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số f₁(x), f₂(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b là:

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Biết và khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 3. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 5. Cho hàm số. Biết và , , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và

, khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 10. Cho hàm số Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 12. Biết có đạo hàm liên tục trên R, và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 16. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên là:

A. .B. . C. . D. .

Câu 17. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Biết có đạo hàm liên tục trên . và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Biết . Khi đó bằng

A. 6. B. -6. C. . D. .

Câu 21. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B.

C. . D. .

Câu 22. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 24. Biết có đạo hàm liên tục trên . và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Chủ đề 6. SỐ PHỨC (GIẢI TÍCH 12)

1.Tổng quan về số phức:

+ Số phức là biểu thức có dạng .

Phần thực của là , phần ảo của là và được gọi là đơn vị ảo.

+ Số phức được biểu diễn bởi điểm trong mặt phẳng tọa độ.

+ Số phức liên hợp của là .

+ Mô đun của số phức là

2.Số phức bằng nhau.

Cho hai số phức , . Khi đó:

3. Phép cộng, phép trừ phép nhân, phép chia số phức:

Cho hai số phức : và

+

+

+

+

. Lũy thừa của :

4. Phương trình bậc hai

a. Căn bậc hai của số thực âm

+ Cho số , nếu có số phức sao cho thì ta nói là một căn bậc hai của .

+ Mọi số phức đều có hai căn bậc hai.

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là .

b. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai .

+ Tính .

+ Áp dụng công thức nghiệm.

phương trình có nghiệm thực .

: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .

A. Phần thực là và phần ảo là . B. Phần thực là và phần ảo là .

C. Phần thực là và phần ảo là . D. Phần thực là và phần ảo là .

Câu 2: Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Căn bậc hai của số là

A. . B. . C. . D.không có.

Câu 4: Điểm trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Cho số phức z thỏa . Tìm số phức liên hợp của z

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho hai số phức và . Số phức là số phức nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu7: Cho số phức . Tính môđun của số phức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Với các số phức tùy ý, khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. . C. . D.

Câu 9: Cho , , tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức , , . Số phức biểu diễn bởi điểm sao cho tứ giác là hình bình hành là

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Cho n nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị để là số thuần ảo?

A. 26. B. 25. C. 24. D. 50.

Câu 11: Gọi và là các nghiệm của phương trình . Gọi là các điểm biểu diễn

của và trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho là số phức khác 1, thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho số phức . Phần thực của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Cho số phức thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Gọi là bốn nghiệm của phương trình . Tìm tất cả các giá trị của để

A. hoặc . B. hoặc .

C. hoặc . D. hoặc .

Câu 16: Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức, biết số phức thỏa mãn điều kiện .

A. Tập hợp những điểm là đường thẳng có phương trình .

B. Tập hợp những điểm là đường thẳng có phương trình .

C. Tập hợp những điểm là đường thẳng có phương trình .

D. Tập hợp những điểm là đường thẳng có phương trình .

Câu 17: Cho số phức thoả và . Khi đó có giá trị lớn nhất là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Gọi là tổng phần thực, phần ảo của số phức . Tính T.

A. B. C. D.

Câu 19: Cho số phức thoả mãn là số thực và với . Gọi là tập hợp các số thực sao cho với mỗi có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Tính tổng của các phần tử của tập .

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính tổng .

A. . B. . C. . D.

Chủ đề 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH 12)

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1.1 Định nghĩa: Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ trong không gian.

* Chú ý: và .

1.2. Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa:

b) Tính chất: Cho

•

•

•

•

• cùng phương ⇔

•

•

•

•

• (với )

1.3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: •

• .

b) Tính chất: Cho

•

•

• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng :

• Toạ độ trọng tâm của tam giác :

1.4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ , . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

•

•

•

• cùng phương

• đồng phẳng

c) Ứng dụng của tích có hướng:

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng ⇔

• Diện tích hình bình hành :

• Diện tích tam giác :

• Thể tích khối hộp :

• Thể tích tứ diện :

2. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình mp(α) qua M(x_o ; y_o ; z_o) có vtpt = (A;B;C): A(x – x_o) + B(y – y_o ) + C(z – z_o ) = 0

• Phương trình tổng quát (α) : Ax + By + Cz + D = 0 , có VTPT = (A; B; C)

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;,0), B(0;b;0), C(0;0;c) là

• Vị trí tương đối của hai mp (α₁) và (α₂) :

° cắt

°

°

°

• Khoảng cách từ M(x­_0; y₀; z₀) đến (α): Ax + By + Cz + D = 0:

• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp và có VTPT lần lượt là

Ta có:

3. Phương trình đường thẳng:

Cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có VTCP

• Phương trình tham số của đường thẳng d :

• Phương trình chính tắc của d:

• Góc giữa 2 đường thẳng: Gọi là góc giữa d và d^’:

4. Phương trình mặt cầu

• Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình:

• Phương trình có dạng: x² + y² + z² –2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a² + b² + c² – d > 0)

là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính .

• Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu S(I,R):

° và (S) không giao nhau

° tiếp xúc ( S ) . gọi là tiếp diện của (S).

° cắt (S) . Bán kính đường tròn giao là

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A biết . Khi đó, điểm A có tọa độ là:

A. A(–2; 3; –1) B. A(2; –3; 2) C. A(2; –3; 1) D. A(–3; 2; 1)

Câu 2: Khoảng cách d từ điểm M(1; –2; 3) đến mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 5 = 0 bằng :

A. d = 1 B. d = 2 C. d = 3 D. d = 4

Câu 3: Cho hai vectơ . Tọa độ của vectơ là:

A. B. C. D.

Câu 4: Phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có tâm I(5; 4; 3) là:

A. B.

C. D.

Câu 5: Cho mặt phẳng và . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?

A. B. C. D. .

Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A(1; –3; 5), B(3; 1; –3).

A. B.

C. D.

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 4) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P).

A. B.

C. D. d: 2x – 3y + z – 12 = 0

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để: là phương trình mặt cầu?

A. 7 B. 6 C. 4 D. 5

Câu 9: Trong không gian Oxyz cho M(–3; 2; 4), gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng(ABC) là:

A. 4x – 6y –3z –12 = 0 B. 4x – 6y –3z + 12 = 0 C. 6x – 4y –3z – 12 = 0 D. 3x – 6y – 4z + 12 = 0

Câu 10: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) có bán kính R là:

A. R = 4 B. R = 5 C. R = D. R =

Câu 11: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Khi đó giá trị biểu thức m + n bằng:

A. 4 B. – 4 C. 2 D. – 2

Câu 12: Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

A. M(1; 2; 0) B. M(–1; –3; 4) C. M(3; 1; 0) D. M(2; 2; –2)

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , ,. Điểm là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Khi đó có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu cắt nhau tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. AB = 4 B. AB = 6 C. AB = 8 D. AB = 10

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. B. C. D.

Câu 16: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 3) và cắt các trục tọa độ lần lượt tại , và sao cho thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức bằng:

A. 25 B. 27 C. 7 D. 45

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d.

A. B.

C. D.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A, vuông góc với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.

A. B. C. D.

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm đường thẳng có phương trình tham số . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi của tam giác ABC là

A. B.

C. D.

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng Điểm M di động trên mặt phẳng sao cho MA, MB luôn tạo với các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn bằng

A. B. C. D.