Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN

1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

• Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
• Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).

2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

2.1. Khái niệm về hình đa diện

• Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
• Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2.2. Khái niệm về khối đa diện

• Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
• Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
• Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.

3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU

3.1. Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm với điểm xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

* Một số phép dời hình trong không gian:

3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ

3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng

3.1.3. Phép đối xứng qua tâm

3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục )

* Nhận xét:

• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
• Phép dời hình biến đa diện thành đa diện , biến đỉnh, cạnh, mặt của thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của .

3.2. Hai hình bằng nhau

Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI

5.1. Khối đa diện lồi

Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm và nào của nó thì mọi điểm của đoạn cũng thuộc khối đó.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

5.2. Khối đa diện đều

5.2.1. Định nghĩa

• Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
• Các mặt là những đa giác đều cạnh.
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng cạnh.
• Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại .

5.2.2. Định lí

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại , loại , loại , loại , loại . Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.

5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại có đỉnh, cạnh và mặt.

Khi đó:

5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi

5.3.1. Kết quả 1

Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:

• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

5.3.2. Kết quả 2

Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.

5.3.3. Kết quả 3

Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.

5.3.4. Kết quả 4

Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
• Ba đường chéo bằng nhau.

6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

6.1. Thể tích khối chóp

6.2. Thể tích khối lăng trụ

6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật

6.4. Thể tích khối lập phương

6.5. Tỉ số thể tích

6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt

• Đường chéo của hình vuông cạnh là

• Đường chéo của hình lập phương cạnh là :

• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là :

• Đường cao của tam giác đều cạnh là:

7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG

7.1. Hệ thức lượng trong tam giác

7.1.1. Cho vuông tại, đường cao

7.1.2. Cho có độ dài ba cạnh là: độ dài các trung tuyến là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; bán kính đường tròn nội tiếp nửa chu vi

• Định lí hàm số cosin:

• Định lí hàm số sin:

• Độ dài trung tuyến:

7.2. Các công thức tính diện tích

7.2.1. Tam giác

• vuông tại
• đều, cạnh ,

7.2.2. Hình vuông

• ( cạnh hình vuông)

7.2.3. Hình chữ nhật

• (: hai kích thước)

7.2.4. Hình bình hành

• S = đáy × cao

7.2.5. Hình thoi

7.2.6. Hình thang

• ( hai đáy,: chiều cao)

7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc

8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP

9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN

PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU

1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN

1.1. Mặt nón tròn xoay

1.2. Khối nón

Cho hình nón có chiều cao đường sinh và bán kính đáy.

• Diện tích xung quanh: của hình nón:
• Diện tích đáy (hình tròn):
• Diện tích toàn phần: của hình nón:
• Thể tích khối nón:

1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY

2.1. Mặt trụ

2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

• Khi quay quanh hai cạnh và sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
• Độ dài đoạn gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
• Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh khi quay xung quanh gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao đường sinh và bán kính đáy

• Diện tích xung quanh:
• Diện tích toàn phần:
• Thể tích:

3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU

3.1. Mặt cầu

3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Khi đó:

Lưu ý:

Khi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi là hình chiếu của lên . Khi đó:

Lưu ý:

Trong trường hợp cắt tại 2 điểm thì bán kính của được tính như sau:

3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:

Cho mặt cầu

• Diện tích mặt cầu: .
• Thể tích khối cầu: .

4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI

4.1. Bài toán mặt nón

4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng

4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáy và đường sinh .

Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là

4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp

4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.

4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt

4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ

4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy

4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách

4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu

4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng

Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là thì thể tích khối trụ là

Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung quanh hình trụ là thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là

5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU

5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

5.1.1. Các khái niệm cơ bản

Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

Bán kính: là khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.

5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện

5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn

5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông

5.1.3.4. Hình chóp đều

5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

5.1.3.6. Hình chóp khác

• Dựng trục của đáy.

• Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì.

• là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

• Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.

5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.

O

Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.

O

Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo.

O

O

∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm).

∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆.

O

5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng

5.3.3. Nhận xét quan trọng

là trục đường tròn ngoại tiếp .

5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu

5.5.1. Dạng 1

5.5.2. Dạng 2

5.5.3. Dạng 3

5.5.4. Dạng 4

5.5.5. Dạng 5

Chóp có đường cao , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là . Khi đó ta giải phương trình: . Với giá trị tìm được ta có: .

5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: .

6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY

6.1. Chỏm cầu

6.2. Hình trụ cụt

6.3. Hình nêm loại 1

6.4. Hình nêm loại 2

6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay

6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip

6.7. Diện tích hình vành khăn

6.8. Thể tích hình xuyến (phao)

PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1. Các khái niệm và tính chất

1.1.1. Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ truc hoành trục tung trục cao các mặt tọa độ

1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ hay không gian

Chú ý:

1.1.3. Tọa độ véc tơ

1.1.4. Tọa độ điểm

1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho

1.1.6. Chú ý

Góc của 2 véc tơ là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong là:

1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là

Công thức tọa độ của M là :

1.1.8. Công thức trung điểm

Nếu là trung điểm thì

1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác

Nếu là trọng tâm của thì

1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện

Nếu là trọng tâm của tứ diện thì

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ

Cho 2 véc tơ và ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí hiệu hay có toạ độ:

1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

• • vuông góc với và
  • cùng phương

1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

• • Diện tích hình bình hành :

• • Diện tích :

• • Ba véc tơ đồng phẳng:

• • Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành và cạnh bên:

• • Thể tích khối tứ diện:

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
  • Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
  • Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
• thẳng hàng cùng phương
• là hình bình hành
• Cho có các chân của các đường phân giác trong và ngoài của góc của trên .

Ta có: ,

• không đồng phẳng không đồng phẳng

2. MẶT PHẲNG

2.1. Các khái niệm và tính chất

2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến

khác và có giá vuông góc được gọi là véc tơ pháp tuyến của

2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến

Nếu là véc tơ pháp tuyến của thì cũng là véc tơ pháp tuyến của

2.1.3. Phương trình tổng quát của

Phương trình tổng quát của qua và có véc tơ pháp tuyến là

2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát

Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (trong đó không đồng thời bằng 0)

2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát

• qua gốc tọa độ
• song song hoặc trùng
• song song hoặc trùng
• song song hoặc trùng
• song song hoặc chứa
• song song hoặc chứa
• song song hoặc chứa
• cắt tại cắt tại và cắt tại có phương trình

2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Cho và ;

2.1.7. Chùm mặt phẳng

2.2. Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTPT của nó.

2.2.1. Dạng 1

đi qua điểm có VTPT thì:

2.2.2. Dạng 2

đi qua điểm có cặp VTCP thì là một VTPT của

2.2.3. Dạng 3

đi qua điểm và song song với thì

2.2.4. Dạng 4

đi qua 3 điểm không thẳng hàng . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của là:

2.2.5. Dạng 5

đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa :

• Trên lấy điểm và VTCP .
• Một VTPT của là:

2.2.6. Dạng 6

đi qua một điểm , vuông góc với đường thẳng thì VTCP của đường thẳng là một VTPT của .

2.2.7. Dạng 7

chứa đường thẳng cắt nhau

• Xác định các VTCP của các đường thẳng
• Một VTPT của là: .
• Lấy một điểm thuộc d₁ hoặc

2.2.8. Dạng 8

chứa đường thẳng và song song với đường thẳng ( chéo nhau

• Xác định các VTCP của các đường thẳng
• Một VTPT của là: .
• Lấy một điểm thuộc

2.2.9. Dạng 9

đi qua điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau :

• Xác định các VTCP của các đường thẳng
• Một VTPT của là: .

2.2.10. Dạng 10

chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

• Xác định VTCP của và VTPT của
• Một VTPT của là: .
• Lấy một điểm thuộc

2.2.11. Dạng 11

đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau

• Xác định các VTPT của và
• Một VTPT của là: .

2.2.12. Dạng 12

chứa đường thẳng cho trước và cách điểm cho trước một khoảng cho trước:

• Giả sử (α) có phương trình: .
• Lấy 2 điểm ta được hai phương trình )
• Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình
• Giải hệ phương trình (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

2.2.13. Dạng 13

là tiếp xúc với mặt cầu tại điểm

• Giả sử mặt cầu có tâm và bán kính
• Một VTPT của là:

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng và

Khi đó:

• cắt

2.4. Khoảng cách và hình chiếu

2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm là hình chiếu của điểm trên .

2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm đối xứng với điểm qua

2.5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng có phương trình:

Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .

Chú ý: ;

2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Cho mặt phẳng và mặt cầu có tâm

• và không có điểm chung
• tiếp xúc với với là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
• Tìm toạ độ giao điểm của và . là tiếp điểm của với .
• cắt theo một đường tròn

Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
• Tìm toạ độ giao điểm của và . Với là tâm của đường tròn giao tuyến của với .
• Bán kính của đường tròn giao tuyến:

3. ĐƯỜNG THẲNG

3.1. Phương trình của đường thẳng

3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

3.1.1.1. Ðịnh nghĩa

Cho đường thẳng . Nếu vectơ và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng thì được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng . Kí hiệu:

3.1.1.2. Chú ý

• là VTCP của thì cũng là VTCP của

• Nếu đi qua hai điểm thì là một VTCP của

• Trục có vectơ chỉ phương

• Trục có vectơ chỉ phương

• Trục có vectơ chỉ phương

3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm VTCP là :

O

3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm VTCP là

3.2. Vị trí tương đối

3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

a

a

a

3.2.1.1. Phương pháp hình học

Định lý

Trong không gian cho đường thẳng có VTCP và qua và mặt phẳng có VTPT

Khi đó :

a

Đặc biệt

và cùng phương

3.2.1.1. Phương pháp đại số

Muốn tìm giao điểm của và ta giải hệ phương trình: tìm Suy ra: .

Thế vào phương trình và rút gọn dưa về dạng:

• cắt tại một điểm có một nghiệm .
• song song với vô nghiệm.
• nằm trong có vô số nghiệm .

• vuông góc và cùng phương

3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

3.2.2.1. Phương pháp hình học

Cho hai đường thẳng: đi qua và có một vectơ chỉ phương

đi qua và có một vectơ chỉ phương

• cắt
• và chéo nhau

3.2.2.2. Phương pháp đại số

Muốn tìm giao điểm của ta giải hệ phương trình : tìm Suy ra:

3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng và mặt cầu có tâm , bán kính

3.2.3.1. Phương pháp hình học

• Bước 1:

Tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến đường thẳng là

• Bước 2:

So sánh với bán kính của mặt cầu:

• Nếu thì không cắt

• Nếu thì tiếp xúc
• Nếu thì cắt tại hai điểm phân biệt và vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu

3.2.2.2. Phương pháp đại số

Thế vào phương trình và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo

• Nếu phương trình vô nghiệm thì không cắt

• Nếu phương trình có một nghiệm thì tiếp xúc

• Nếu phương trình có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt

Chú ý:

Ðể tìm tọa độ ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng

3.3. Góc trong không gian

3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng

3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng

3.4. Khoảng cách

3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau

3.5. Lập phương trình đường thẳng

Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó.

3.5.1. Dạng 1

đi qua điểm và có VTCP là.

3.5.2. Dạng 2

đi qua hai điểm Một VTCP của là .

3.5.3. Dạng 3

đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của cũng là VTCP của .

3.5.4. Dạng 4

đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên VTPT của cũng là VTCP của .

3.5.5. Dạng 5

là giao tuyến của hai mặt phẳng :

• Cách 1:

Tìm một điểm và một VTCP.

• Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
• Tìm một VTCP của
• Cách 2:

Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

3.5.6. Dạng 6

đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng

Vì nên một VTCP của là:

3.5.7. Dạng 7

đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .

• Cách 1:

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi qua

• Cách 2:

Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và chứa Khi đó

3.5.8. Dạng 8

đi qua điểm và cắt hai đường thẳng

• Cách 1:

Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó suy ra phương trình đường thẳng .

• Cách 2:

Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP củacó thể chọn là .

3.5.9. Dạng 9

nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng

Tìm các giao điểm

Khi đó chính là đường thẳng

3.5.10. Dạng 10

Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và

Khi đó

3.5.11. Dạng 11

là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

• Cách 1:

Gọi Từ điều kiện , ta tìm được Khi đó, là đường thẳng

• Cách 2:
• Vì và nên một VTCP của có thể là: .
• Lập phương trình mặt phẳng chứavà bằng cách:
• Lấy một điểm trên
• Một VTPT của có thể là: .
• Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứavà Khi đó

3.5.12. Dạng 12

là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng bằng cách:

• Lấy .
• Vì chứa và vuông góc với nên .
• Khi đó

3.5.13. Dạng 13

đi qua điểm , vuông góc với và cắt

• Cách 1:

Gọi là giao điểm củavà Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là đường thẳng

• Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với
• Viết phương trình mặt phẳng chứa và
• Khi đó

3.6. Vị trí tương đối

3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.

3.7. Khoảng cách

3.7.1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

• Cách 1:

Cho đường thẳng đi qua và có VTCP thì

• Cách 2:
• Tìm hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng
• Cách 3:
• Gọi Tính theo tham số trong phương trình đường thẳng
• Tìm để nhỏ nhất.
• Khi đó Do đó

3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau và Biết đi qua điểm M₁ và có VTCP , đi qua điểm và có VTCP thì

Chú ý:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa với mặt phẳng chứa và song song với

3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳngvới mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trênđến mặt phẳng .

3.8. Góc

3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng lần lượt có các VTCP .

Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa là:

3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng có VTCP và mặt phẳng có VTPT .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên là:

4. MẶT CẦU

4.1. Phương trình mặt cầu

4.1.1. Phương trình chính tắc

Phương trình của mặt cầu tâm bán kính là:

Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi thì

4.1.2. Phương trình tổng quát

Phương trình : với là phương trình của mặt cầu có tâm bán kính .

4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình :

Gọi là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng

Cho mặt cầu và mặt phẳng .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

4.3. Một số bài toán liên quan

4.3.1. Dạng 1

có tâm và bán kính thì

4.3.2. Dạng 2

có tâm và đi qua điểm thì bán kính .

4.3.3. Dạng 3

nhận đoạn thẳng cho trước làm đường kính:

• Tâm là trung điểm của đoạn thẳng

• Bán kính .

4.3.4. Dạng 4

đi qua bốn điểm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)

• Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:

• Thay lần lượt toạ độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được Phương trình mặt cầu .

4.3.5. Dạng 5

đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng cho trước thì giải tương tự dạng 4

4.3.6. Dạng 6

có tâm và tiếp xúc với mặt cầu cho trước:

• Xác định tâm và bán kính của mặt cầu .

• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính của mặt cầu . (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)

Chú ý:

Với phương trình mặt cầu

với thì có tâm và bán kính .

Đặc biệt:

Cho hai mặt cầu và

• trong nhau

• ngoài nhau

• tiếp xúc trong

• tiếp xúc ngoài

• cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao tuyến).

4.3.7. Dạng 7

Viết phương trình mặt cầu có tâm , tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thì bán kính mặt cầu

4.3.8. Dạng 8

Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt mặt phẳng cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .

• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến .
• Tính
• Tính bán kính mặt cầu
• Kết luận phương trình mặt cầu.

4.3.9. Dạng 9

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với một đường thẳng cho trước và có tâm cho trước thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ta có .

4.3.10. Dạng 10

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với một đường thẳng tại tiếp điểm thuộc và có tâm thuộc đường thẳng cho trước thì ta làm như sau:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng .

• Toạ độ tâm là nghiệm của phương trình.

• Bán kính mặt cầu .

• Kết luận về phương trình mặt cầu

4.3.10. Dạng 10

Viết phương trình mặt cầu có tâm và cắt đường thẳng tại hai điểm thoả mãn điều kiện:

• Độ dài là một hằng số.

• Tam giác là tam giác vuông.

• Tam giác là tam giác đều.

Thì ta xác định , vì cân tại nên và bán kính mặt cầu được tính như sau:

4.3.11. Dạng 11

Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm thoả tính chất nào đó.

• Tìm hệ thức giữa các toạ độ của điểm

hoặc:

• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

4.3.12. Dạng 12

Tìm tập hợp tâm mặt cầu

• Tìm toạ độ của tâm , chẳng hạn:
• Khử trong ta có phương trình tập hợp điểm.
• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

5.1. Dạng 1

Cho và hai điểm Tìm để ?

Phương pháp

• Nếu và trái phía so với thẳng hàng
• Nếu và cùng phía so với thì tìm là đối xứng của qua

5.2. Dạng 2

Cho và hai điểm Tìm để ?

Phương pháp

• Nếu và cùng phía so với thẳng hàng
• Nếu và trái phía so với thì tìm là đối xứng của qua

5.3. Dạng 3

Cho điểm không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình qua và cắt 3 tia lần lượt tại sao cho nhỏ nhất?

Phương pháp

5.4. Dạng 4

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , sao cho khoảng cách từ điểm đến là lớn nhất?

Phương pháp

5.5. Dạng 5

Viết phương trình mặt phẳng qua và cách một khảng lớn nhất ?

Phương pháp

5.6. Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , sao cho tạo với ( không song song với ) một góc lớn nhất là lớn nhất ?

Phương pháp

5.7. Dạng 7

Cho . Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) song song với và cách một khoảng nhỏ nhất ?

Phương pháp

Lấy , gọi là hình chiếu vuông góc của trên thì .

5.8. Dạng 8

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước và nằm trong mặt phẳng cho trước sao cho khoảng cách từ điểm cho trước đến là lớn nhất ( không vuông góc với ) ?

Phương pháp

5.9. Dạng 9

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước và nằm trong mặt phẳng cho trước sao cho khoảng cách từ điểm cho trước đến là nhỏ nhất ( không vuông góc với ) ?

Phương pháp

5.10. Dạng 10

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước, sao cho nằm trong và tạo với đường thẳng một góc nhỏ nhất ( cắt nhưng không vuông góc với )?

Phương pháp

MỤC LỤC

PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN 54

1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 54

2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54

2.1. Khái niệm về hình đa diện 54

2.2. Khái niệm về khối đa diện 54

3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 55

3.1. Phép dời hình trong không gian 55

3.2. Hai hình bằng nhau 56

4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56

5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI 56

5.1. Khối đa diện lồi 56

5.2. Khối đa diện đều 57

5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 58

6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58

6.1. Thể tích khối chóp 58

6.2. Thể tích khối lăng trụ 58

6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật 59

6.4. Thể tích khối lập phương 59

6.5. Tỉ số thể tích 59

6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt 59

7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 60

7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 60

7.2. Các công thức tính diện tích 60

8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 61

9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63

PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64

1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN 64

1.1. Mặt nón tròn xoay 64

1.2. Khối nón 64

1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng 65

2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 65

2.1. Mặt trụ 65

2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay 65

3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66

3.1. Mặt cầu 66

3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 66

3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng 67

3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu 67

4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 68

4.1. Bài toán mặt nón 68

4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ 71

5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 72

5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 72

5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 75

5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 75

5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 76

5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 77

6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 78

6.1. Chỏm cầu 78

6.2. Hình trụ cụt 78

6.3. Hình nêm loại 1 79

6.4. Hình nêm loại 2 79

6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 79

6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip 79

6.7. Diện tích hình vành khăn 79

6.8. Thể tích hình xuyến (phao) 79

PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 80

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 80

1.1. Các khái niệm và tính chất 80

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp 82

2. MẶT PHẲNG 82

2.1. Các khái niệm và tính chất 82

2.2. Viết phương trình mặt phẳng 83

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 85

2.4. Khoảng cách và hình chiếu 85

2.5. Góc giữa hai mặt phẳng 86

2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86

3. ĐƯỜNG THẲNG 87

3.1. Phương trình của đường thẳng 87

3.2. Vị trí tương đối 87

3.3. Góc trong không gian 90

3.4. Khoảng cách 90

3.5. Lập phương trình đường thẳng 91

3.6. Vị trí tương đối 94

3.7. Khoảng cách 94

3.8. Góc 95

4. MẶT CẦU 95

4.1. Phương trình mặt cầu 95

4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng 96

4.3. Một số bài toán liên quan 96

5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 99

5.1. Dạng 1 99

5.2. Dạng 2 99

5.3. Dạng 3 99

5.4. Dạng 4 99

5.5. Dạng 5 99

5.6. Dạng 6 99

5.7. Dạng 7 100

5.8. Dạng 8 100

5.9. Dạng 9 100

5.10. Dạng 10 100