Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

PHẦN I. HÀM SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên ta có:

• Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên nếu:

• Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là đơn điệu trên

* Nhận xét:

• Hàm số đồng biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
• Hàm số nghịch biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng
• Nếu hàm số không đổi trên khoảng
• Nếu đồng biến trên khoảng
• Nếu nghịch biến trên khoảng
• Nếu thay đổi khoảng bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho là hằng số .

• Tổng, hiệu:
• Tích:
• Thương:
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu .

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

1.5. Đạo hàm cấp 2

1.5.1. Định nghĩa

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

1. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là:

1.5.3. Đạo hàm cấp cao

1. .

* Một số chú ý:

• Nếu hàm số và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu .
• Nếu hàm số và là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số không là các hàm số dương trên
• Cho hàm số , xác định với và . Hàm số cũng xác định với .

Ta có nhận xét sau:

• Giả sử hàm số đồng biến với . Khi đó, hàm số đồng biến với đồng biến với .
• Giả sử hàm số nghịch biến với . Khi đó, hàm số nghịch biến với nghịch biến với .

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

2.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số xác định trên tập K và . Ta nói:

• là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
• là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
• Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .

* Nhận xét:

• Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một khoảng nào đó chứa hay nói cách khác khi điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa sao cho là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng
• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì

Chú ý:

• Đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì .

• Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số
• Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số

2.4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
• Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu . Nếu đổi dấu khi đi qua thì hàm số đạt cực trị tại .

Định lí 3:

Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:

• Nếu thì hàm số đạt cực đại tại
• Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
• Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình
• Bước 3: Tính và tính
• Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
• Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

hoặc hoặc

3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

với

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

3.2.1. Một số kết quả cần nhớ

• Hàm số có một cực trị
• Hàm số có ba cực trị
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu .
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại .
• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại .
• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại .

3.2.2. Một số công thức tính nhanh

Giả sử hàm số có cực trị:

tạo thành tam giác thỏa mãn dữ kiện:

Đặt:

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

4.1. Định nghĩa.

Cho hàm số xác định trên tập

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: .
• Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: .

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

• Bước 1: Tính và tìm các điểm mà tại đó hoặc hàm số không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

• Bước 1:
• Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
• Tìm các điểm trên khoảng , tại đó hoặc không xác định.
• Bước 2: Tính
• Bước 3: Khi đó:

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

• Bước 1: Tính đạo hàm .
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình và tất cả các điểm làm cho không xác định.
• Bước 3. Tính , , , .
• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận , .

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

• Nếu đồng biến trên thì .
• Nếu nghịch biến trên thì
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

5.1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng hoặc ). Đường thẳng là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

5.2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng luôn có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

6.1.1. Hàm số bậc ba

6.1.2. Hàm số trùng phương

6.1.3. Hàm số nhất biến

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị

6.2.1. Dạng 1

Từ đồ thị suy ra đồ thị .

Ta có:

và là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

* Cách vẽ từ :

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị .
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

6.2.2. Dạng 2

Từ đồ thị suy ra đồ thị .

Ta có:

* Cách vẽ từ :

• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):.
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Chú ý với dạng: ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị và

6.2.3. Dạng 3

Từ đồ thị suy ra đồ thị .

Ta có:

* Cách vẽ từ :

• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền của đồ thị .
• Bỏ phần đồ thị trên miền của , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ

7. TIẾP TUYẾN

7.1. Tiếp tuyến

Cho hàm số , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có dạng: .

Trong đó:

Điểm được gọi là tiếp điểm. ( với ) và là hệ số góc của tiếp tuyến.

7.2. Điều kiện tiếp xúc

Cho hai hàm số và . Đồ thị và tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: có nghiệm.

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

Cho hàm số có đồ thị và có đồ thị .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là . Khi đó:

• Số giao điểm của và bằng với số nghiệm của phương trình .
• Nghiệm của phương trình chính là hoành độ của giao điểm.
• Để tính tung độ của giao điểm, ta thay hoành độ vào hoặc .
• Điểm là giao điểm của và .

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong có phương trình , trong đó là hàm đa thức theo biến với là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi thay đổi?

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình theo ẩn có dạng sau: hoặc .
• Bước 2: Cho các hệ số bằng , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: hoặc .
• Bước 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong không có điểm cố định.

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của .

9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên

Cho đường cong có phương trình (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
• Bước 2: Lập luận để giải bài toán.

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng

Cho đường cong có phương trình. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.

Bài toán 1: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm.

Phương pháp giải:

• Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua điểm .
• Ta có .

Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ M, N.

Bài toán 2: Cho đồ thị . Trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

• Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
• Ta có .
• Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ .

Bài toán 3: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng .

Phương pháp giải:

• Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua đường thẳng .
• Ta có: (với là trung điểm của và là vectơ chỉ phương của đường thẳng ).
• Giải hệ phương trình tìm được M, N.

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

9.4.1. Lý thuyết:

• Cho hai điểm
• Cho điểm và đường thẳng , thì khoảng cách từ đến là .
• Cho hàm phân thức: tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác không đổi: .

9.4.2. Các bài toán thường gặp

Bài toán 1: Cho hàm số có đồ thị . Hãy tìm trên hai điểm và thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách ngắn nhất.

Phương pháp giải:

• có tiệm cận đứng do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số là hai số dương.
• Nếu thuộc nhánh trái: ; .
• Nếu thuộc nhánh phải: ; .
• Sau đó tính:

.

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm thuộc để tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

• Gọi và tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ là thì
• Xét các khoảng cách từ đến hai trục tọa độ khi nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
• Sau đó xét tổng quát, những điểm có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
• Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của .

Bài toán 3: Cho đồ thị có phương trình. Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến Ox bằng lần khoảng cách từ đến trục.

Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có .

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm trên sao cho độ dài ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Phương pháp giải:

• Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
• Ta tìm được tọa độ giao điểm của hai tiệm cận.
• Gọi là điểm cần tìm, thì:
• Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số có phương trình và đường thẳng . Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến là ngắn nhất.

Phương pháp giải:

• Gọi thuộc .
• Khoảng cách từ đến là
• Khảo sát hàm số để tìm ra điểm thỏa mãn yêu cầu.

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1.1. Khái niệm lũy thừa

1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho là một số nguyên dương.

Với là số thực tùy ý, lũy thừa bậc của a là tích của thừa số .

( thừa số).

Với thì

Ta gọi là cơ số, là mũ số. Và chú ý và không có nghĩa.

1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

• Nếu thì ;
• Nếu thì .
• Với mọi , ta có:

Chú ý:

• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác .
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

1.2. Phương trình

Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình như sau:

• Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực , phương trình có nghiệm duy nhất.

• Trường hợp n chẵn:
• Với , phương trình vô nghiệm.
• Với , phương trình có một nghiệm
• Với , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là , còn giá trị âm là .

1.3. Một số tính chất của căn bậc

Với , ta có:

• , nguyên dương, nguyên
• , ,nguyên dương
• Nếu thì nguyên dương nguyên

Đặc biệt:

1.4. Hàm số lũy thừa

1.4.1. Khái niệm

Xét hàm số , với là số thực cho trước.

Hàm số , với , được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của . Cụ thể.

• Với nguyên dương, tập xác định là
• Với nguyên âm hoặc bằng , tập xác định là
• Với không nguyên, tập xác định

1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng với mọi Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm

1.5. Khảo sát hàm số mũ .

2. LOGARIT

2.1. Khái niệm Logarit

Cho hai số dương với . Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là logarit cơ số của và được kí hiệu là .

Không có logarit của số âm và số 0.

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng (hoặc ) với

Ta xét bất phương trình có dạng

• Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là , vì .
• Nếu thì bất phương trình tương đương với
• Với , nghiệm của bất phương trình là
• Với , nghiệm của bất phương trình là

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

• Với , ta có đồ thị sau.

• Với , ta có đồ thị sau.

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng (hoặc ) với

Xét bất phương trình

• Trường hợp , ta có:
• Trường hợp , ta có:

Ta minh họa bằng đồ thị như sau.

• Với , ta có đồ thị sau.

• Với , ta có đồ thị sau.

Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:

• Trường hợp : khi và chỉ khi
• Trường hợp : khi và chỉ khi .

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

4.1. Lãi đơn

4.1.1. Định nghĩa

Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

4.1.2. Công thức tính

Khách hàng gửi vào ngân hàng đồng với lãi đơn /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau kì hạn ( ) là:

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ là .

4.2. Lãi kép

4.2.1. Định nghĩa

Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

4.2.2. Công thức tính

Khách hàng gửi vào ngân hàng đồng với lãi kép /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau kì hạn ( ) là:

4.3. Tiền gửi hàng tháng

4.3.1. Định nghĩa

Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.

4.3.2. Công thức tính

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền đồng với lãi kép /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau tháng ( ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là .

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Công thức tính

Gửi ngân hàng số tiền là đồng với lãi suất /tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là đồng. Tính số tiền còn lại sau tháng là bao nhiêu?

4.5. Vay vốn trả góp

4.5.1. Định nghĩa

Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là đồng với lãi suất /tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là đồng và trả hết tiền nợ sau đúng tháng.

4.5.2. Công thức tính

Cách tính số tiền còn lại sau tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

Để sau đúng tháng trả hết nợ thì nên

4.6. Bài toán tăng lương

4.6.1. Định nghĩa

Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là đồng/tháng. Cứ sau tháng thì lương người đó được tăng thêm /tháng. Hỏi sau tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

4.6.2. Công thức tính

Tổng số tiền nhận được sau tháng là

4.7. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính tăng trưởng dân số

Trong đó:

% là tỉ lệ tăng dân số từ năm đến năm

dân số năm

dân số năm

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là

4.8. Lãi kép liên tục

Gửi vào ngân hàng đồng với lãi kép /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau năm là: . Giả sử ta chia mỗi năm thành kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là thì số tiền thu được sau năm là:

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

( công thức tăng trưởng mũ)

PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. NGUYÊN HÀM

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên ( là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi .

Kí hiệu: .

Định lí:

1) Nếu là một nguyên hàm của trên thì với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên .

2) Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng , với là một hằng số.

Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của trên .

1.2. Tính chất của nguyên hàm

• và ;
• Nếu F(x) có đạo hàm thì:
• với là hằng số khác .
• Công thức đổi biến số: Cho và

Nếu thì

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2.1. Phương pháp đổi biến

2.1.1. Đổi biến dạng 1

Nếu : và với là hàm số có đạo hàm thì :

2.1.1.1. Phương pháp chung

• Bước 1: Chọn , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế :
• Bước 3: Biến đổi :
• Bước 4: Khi đó tính : .

2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

2.1.2. Đổi biến dạng 2

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt . Trong đó cùng với đạo hàm của nó ( là những hàm số liên tục) thì ta được :

.

2.1.2.1. Phương pháp chung

• Bước 1: Chọn t=. Trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế : .
• Bước 3: Biểu thị : .
• Bước 4: Khi đó :

2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

Hay ( với )

2.2.1. Phương pháp chung

• Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :
• Bước 2: Đặt :
• Bước 3: Khi đó :

2.2.2. Các dạng thường gặp

2.2.2.1. Dạng 1

. Đặt

Vậy: -

2.2.2.2. Dạng 2

. Đặt

Vậy

2.2.2.3. Dạng 3

. Đặt

Vậy I = -

Bằng phương pháp tương tự ta tính được sau đó thay vào

3. TÍCH PHÂN

3.1. Công thức tính tích phân

.

* Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

3.2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên là ba số bất kỳ thuộc. Khi đó ta có :

2. .
4. .
5. .
6. Nếu f(x) thì :

7. Nếu .

8. Nếu Nếu thì .

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4.1. Phương pháp đổi biến

4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

4.1.1.1. Định lí

Nếu 1) Hàm có đạo hàm liên tục trên

2) Hàm hợp được xác định trên ,

3)

Khi đó: .

4.1.1.2. Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt
• Bước 2: Tính vi phân hai vế :

Đổi cận:

• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t

Vậy:

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

4.1.2.1. Định lí

Nếu hàm số đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho thì: .

4.1.2.2. Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt
• Bước 2: Đổi cận :
• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo

Vậy:

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

4.2.1. Định lí

Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:

Hay

4.2.2. Phương pháp chung

• Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của làm và phần còn lại
• Bước 2: Tính và
• Bước 3: Tính và

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ

5.1.1. Dạng 1

I = . (với a≠0)

Chú ý: Nếu I =

5.1.2. Dạng 2

( với mọi )

Xét .

• Nếu thì

thì :

• Nếu thì

thì I =

• Nếu thì

Đặt

5.1.3. Dạng 3

.

(trong đó liên tục trên đoạn )

• Bằng ph­ương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho:

• Ta có I=

Tích phân =

Tích phân thuộc dạng 2.

5.1.4. Dạng 4

với và là đa thức của .

• Nếu bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của thì dùng phép chia đa thức.
• Nếu bậc của nhỏ hơn bậc của thì có thể xét các trường hợp:
• Khi chỉ có nghiệm đơn thì đặt

.

• Khi có nghiệm đơn và vô nghiệm

thì đặt

• Khi có nghiệm bội

với α ≠ β thì đặt

.

với α ≠ β thì đặt

5.2. Tích phân hàm vô tỉ

Trong đó có dạng:

• Đặt
• Đặt hoặc
• Đặt
• Với

Đặt , hoặc Đặt

• Đặt ,
• Đặt ,
• Gọi . Đặt

5.2.1. Dạng 1

Từ :

Khi đó ta có :

• Nếu (1)
• Nếu : (2)
• Nếu : .
• Với : (3)
• Với : (4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

• Phương pháp :

* Trường hợp :

Khi đó đặt :

* Trường hợp :

Khi đó :

* Trường hợp : . Đặt :

* Trường hợp : . Đặt :

5.2.2. Dạng 2

• Phương pháp :
• Bước 1:

Phân tích

• Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số

• Bước 3:

Giải hệ tìm thay vào (1)

• Bước 4 :

Tính (2)

Trong đó đã biết cách tính ở trên

5.2.3. Dạng 3

• Phương pháp :
• Bước 1:

Phân tích : . (1)

• Bước 2:

Đặt :

• Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : . Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4

( Trong đó : là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và là các hằng số đã biết )

• Phương pháp :
• Bước 1:

Đặt : (1)

• Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng

• Bước 3:

Tính vi phân hai vế : và đổi cận

• Bước 4:

Tính :

5.3. Tích phân hàm lượng giác

5.3.1. Một số công thức lượng giác

5.3.1.1. Công thức cộng

5.3.1.2. Công thức nhân đôi

; ;

5.3.1.3. Công thức hạ bậc

; ;

;

5.3.1.4. Công thức tính theo

Với Thì ; ;

5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức thường dùng:

Hệ quả:

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

• Nếu gặp ta đặt .

• Nếu gặp dạng ta đặt .

• Nếu gặp dạng ta đặt .

• Nếu gặp dạng ta đặt .

5.3.2.1. Dạng 1

* Phương pháp

• Nếu chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
• Nếu thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
• Nếu lẻ thì thực hiện biến đổi:

5.3.2.2. Dạng 2

* Phương pháp

• • Trường hợp 1: là các số nguyên

a. Nếu chẵn, chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu chẵn, lẻ thì biến đổi:

c. Nếu lẻ , chẳn thì biến đổi:

d. Nếu lẻ, lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

• • Nếu là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt

(*)

Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số là số nguyên

5.3.2.3. Dạng 3

6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

6.1. Diện tích hình phẳng

6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng , được xác định:

6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được xác định:

- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và hai đường thẳng , được xác định:

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

6.2.1. Thể tích vật thể

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .

6.2.2. Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường , và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

PHẦN IV. SỐ PHỨC

1. SỐ PHỨC

1.1. Khái niệm số phức

• • Số phức (dạng đại số) : . Trong đó : là phần thực, là phần ảo, là đơn vị ảo,

• • Tập hợp số phức kí hiệu: .

• • là số thực phần ảo của bằng .

• • là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) phần thực bằng .

• • Số vừa là số thực vừa là số ảo.

1.2. Hai số phức bằng nhau

• • Hai số phức và bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau.

• • Khi đó ta viết

1.3. Biểu diễn hình học số phức

Số phức được biểu diễn bởi điểm hay bởi trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ .

1.4. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của là .

• • là số thực ; là số ảo .

1.5. Môđun của số phức

Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức và kí hiệu là . Vậy hay .

Một số tính chất:

• •  ;

• • .

• • ; ;

• • .

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC

2.1. Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức và . Khi đó:

• • Số đối của số phức là .

• • Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực đó: .

2.2. Phép nhân số phức

• • Cho hai số phức và .

Khi đó: .

• • Với mọi số thực và mọi số phức , ta có

Đặc biệt: với mọi số phức .

• • Lũy thừa của :

.

2.3. Chia hai số phức

Số phức nghịch đảo của khác là số .

Phép chia hai số phức và là .

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:

• • tập hợp điểm là đường thẳng

• • tập hợp điểm là trục tung Oy

• • tập hợp điểm là trục hoành Ox

• • tập hợp điểm là hình tròn tâm bán kính

• • tập hợp điểm là đường tròn có tâm bán kính

• • tập hơp điểm là miền bên phải trục tung

• • tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành

• • tập hợp điểm là miền bên trái trục tung

• • tập hợp điểm là phía trên trục hoành

• • tập hợp điểm là đường Parabol

• • tập hợp điểm là đường Elip

• • tập hợp điểm là đường Hyperbol

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

4.1. Căn bậc hai của số thực âm

• • Cho số , nếu có số phức sao cho thì ta nói là một căn bậc hai của .

• • Mọi số phức đều có hai căn bậc hai.

• • Căn bậc hai của số thực âm là .

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là .

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai . Xét biệt số của phương trình. Ta thấy:

• • Khi , phương trình có một nghiệm thực .

• • Khi , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

• • Khi , phương trình có hai nghiệm phức .

5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC

• • Cho số phức thỏa mãn

• • Cho số phức thỏa mãn .

và

• • Cho số phức thỏa mãn .

và

MỤC LỤC

PHẦN I. HÀM SỐ 4

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 4

1.1. Định nghĩa 4

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm 4

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm 5

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 5

1.5. Đạo hàm cấp 2 5

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 7

2.1. Định nghĩa 7

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 8

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 8

2.4. Quy tắc tìm cực trị 8

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 9

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba 9

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương 12

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14

4.1. Định nghĩa. 14

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15

5.1. Đường tiệm cận ngang 15

5.2. Đường tiệm cận đứng 15

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 16

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 16

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị 17

7. TIẾP TUYẾN 20

7.1. Tiếp tuyến 20

7.2. Điều kiện tiếp xúc 20

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 20

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 20

9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong 20

9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên 21

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng 21

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 22

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT 24

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 24

1.1. Khái niệm lũy thừa 24

1.2. Phương trình 24

1.3. Một số tính chất của căn bậc 25

1.4. Hàm số lũy thừa 25

1.5. Khảo sát hàm số mũ . 26

2. LOGARIT 27

2.1. Khái niệm Logarit 27

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp 27

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 28

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản 28

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản 28

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 29

4.1. Lãi đơn 29

4.2. Lãi kép 29

4.3. Tiền gửi hàng tháng 30

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng 30

4.5. Vay vốn trả góp 30

4.6. Bài toán tăng lương 31

4.7. Bài toán tăng trưởng dân số 31

4.8. Lãi kép liên tục 31

PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 32

1. NGUYÊN HÀM 32

1.1. Định nghĩa 32

1.2. Tính chất của nguyên hàm 32

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm 32

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 32

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng 33

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 34

2.1. Phương pháp đổi biến 34

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần 35

3. TÍCH PHÂN 36

3.1. Công thức tính tích phân 36

3.2. Tính chất của tích phân 36

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 37

4.1. Phương pháp đổi biến 37

4.2. Phương pháp tích phân từng phần 38

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 38

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ 38

5.2. Tích phân hàm vô tỉ 40

5.3. Tích phân hàm lượng giác 43

6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 46

6.1. Diện tích hình phẳng 46

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 46

PHẦN IV. SỐ PHỨC 48

1. SỐ PHỨC 48

1.1. Khái niệm số phức 48

1.2. Hai số phức bằng nhau 48

1.3. Biểu diễn hình học số phức 48

1.4. Số phức liên hợp 48

1.5. Môđun của số phức 48

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 49

2.1. Phép cộng và phép trừ số phức 49

2.2. Phép nhân số phức 49

2.3. Chia hai số phức 49

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 49

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 50

4.1. Căn bậc hai của số thực âm 50

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực 50

5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC 50