Giáo án đại số 11 theo công văn 5512 học kì 1 rất hay

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

- Nội dung: Đặt vấn đề dẫn đến tình huống việc cần thiết phải nghiên cứu về hàm số lượng giác.

- Phương thức tổ chức: Hoạt động các nhân – tại lớp

Phát (hoặc trình chiếu) phiếu học tập số 1 cho học sinh, đưa ra hình ảnh kèm theo các câu hỏi đặt vấn đề.

- Dự kiến sản phẩm:

+ Trên các đoạn đó đồ thị có hình dạng giống nhau.

+ Qua phép tịnh tiến theo biến đồ thị đoạn thành đoạn và biến đoạn thành …

ĐVĐ: Chúng ta thấy các đồ thị đã học không có đồ thị nào có hình dạng như thế. Vậy chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp các hàm số đồ thị có tính chất trên.

- Đánh giá kết quả hoạt động: Học sinh tham gia sôi nổi, tìm hướng giải quyết vấn đề. Ban đầu tiếp cận khái niệm hàm số lượng giác.

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Hình thành định nghĩa hàm số lượng giác:

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân tại lớp. (Đưa ra cho học sinh phiếu học tập số 2 cùng 4 câu hỏi đặt vấn đề)

VD 1: Hoàn thành phiếu học tập số 3

Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, làm việc độc lập tại lớp.

- GV: chia lớp làm 04 nhóm , giao mỗi nhóm 01 bảng phụ và bút dạ. Yêu cầu HS hoàn thiện nội dung trong phiếu học tập số 3

- HS: Suy nghĩ và trình bày kết quả vào bảng phụ.

VD 2: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là.

A. B.

C. D. ..

VD 3: Hàm số nào là hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây ?

A. B. ..

C. D.

* Xây dựng được hàm số lượng giác và tập xác định của chúng.

* Kết quả phiếu học tập số 2

TL1:Theo thứ tự là trục Ox, Oy, At, Bs

TL2:

TL3: Cứ một giá trị ..xác định được duy nhất tương ứng

TL4:

xác định với mọi

xác định khi

xác định khi

* Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh, từ đó nêu định nghĩa hàm số LG và tập xác định của chúng.

* Học sinh xác định được tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác.

- Hàm số là hàm số chẵn .

- Các hàm số là hàm số lẻ.

* GV nhận xét bài làm của các nhóm và chốt lại tính chẵn lẻ của hàm số LG.

* Học sinh chọn được đáp án đúng cho các ví dụ

* GV nhận xét và cho kết quả đúng.

II. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC

Khái niệm: Hàm số xác định trên tập được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số sao cho với mọi ta có và .

Nếu có số dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Kết luận: Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Giáo viên trình chiếu câu hỏi-Phiếu học tập số 4. Học sinh suy nghĩ trả lời)

* Hiểu và nắm được tính tuần hoàn và chu kì của hàm số lượng giác

* Kết quả phiếu học tập số 4

TL1:

TL2:

TL3:

TL4:

TL5: T =

TL6: T =

* GV nhận xét câu trả lời của học sinh và nêu khái niệm tính tuần hoàn và chu kì của hàm số LG.

III. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx

- TXĐ: D = R và

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì

1.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số trên đoạn

Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

Bảng biến thiên

Phương thức tổ chức : Hoạt động các nhân - tại lớp

1.2. Đồ thị của hàm số trên đoạn

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học sinh lên bảng vẽ)

1.3. Đồ thị hàm số y = sinx trên R

Dựa vào tính tuần hoàn với chu kỳ . Do đó muốn vẽ đồ thị của hàm số trên tập xác định , ta tịnh tiến tiếp đồ thị hàm số trên đoạn .. theo các véc tơ và . Ta được đồ thị của hàm số trên tập xác định

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học sinh lên bảng vẽ)

1.4. Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số y= sinx là .

VD 4: Cho hàm số y = 2sinx - 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên R.

Ta có:

Vậy: GTLN của hàm số là -2 và GTNN của hàm số là -6

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải)

2. Hàm số y = cosx

- TXĐ: D = R và

- Là hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì

- ta luôn có

Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo véc tơ (tức là sang bên trái một đoạn có độ dài bằng ) thì ta được đồ thị hàm số y = cosx.

- Bảng biến thiên

- Tập giá trị của hàm số y = cosx là : [-1 ; 1].

Đồ thị của hàm số y = sinx và y = cosx được gọi chung là các đường hình sin

VD 5.Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên đoạn .

B. Hàm nghịch biến trên đoạn .

C. Hàm số đồng biến trên đoạn

D. Hàm số nghịch biến trên

VD 6: Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1

C. Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

D. Là hàm số chẵn

Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp

3. Hàm số y = tanx

- TXĐ:

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì

3.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx trên nửa khoảng

Từ hình vẽ, ta thấy với và thì . Điều đó chứng tỏ hàm số đồng biến trên nửa khoảng.

Bảng biến thiên

3.2. Đồ thị hàm số y = tanx trên

3.3. Đồ thị của hàm số y = tanx trên tập xác định D

- Tập giá trị của hàm số y = tanx là R

Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp

VD 7: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn để hàm số y = tanx:

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị -1

c) Nhận giá trị âm

d) Nhận giá trị dương.

Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp

4. Hàm số y = cotx

- TXĐ:

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì

4.1 Sự biến thiên của hàm số trong nửa khoảng

- Hàm số nghịch biến trong khoảng

- Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số trên khoảng

4.2. Đồ thị hàm số y = cotx trên D (SGK)

Tập giá trị của hàm số y = cotx là R

Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gọi học sinh lên bảng vẽ đồ thị)

VD 8: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn để hàm số

y = cotx:

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị -1

c) Nhận giá trị âm

d) Nhận giá trị dương.

Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp

*HS Quan sát hình vẽ kết hợp nghiên cứu SGK nhận xét và đưa ra được sự biến thiên của hàm số trên đoạn

* Lập được bảng biến thiên

* Gv nhận xét câu trả lời của học sinh và chốt kiến thức.

* Từ các tính chất của hàm số y = sin x học suy ra đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn

* Gv đặt một số câu hỏi gợi mở cho học sinh để học sinh hiểu rõ hơn về đồ thị của hàm y = sinx trên đoạn

* Học sinh biết vẽ đồ thị của hàm số

y = sinx trên R

* Gv nhận xét và chốt kiến thức

* Từ đồ thị hàm số y = sinx tìm ra được tập giá trị của hàm số.

* Tìm ra được GTLN và GTNN của hàm số đã cho

* Gv nhận xét lời giải của học sinh, chỉnh sửa và đưa ra lời giải đúng hoàn chỉnh.

* HS hiểu được đồ thị của hàm số

y = cosx có được qua sự tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx.

* Từ đồ thị lập được bảng biến thiên của hàm số y = cosx

* Từ đồ thị lấy được tập giá trị của hàm số y = cosx

* GV nhận xét bài làm của học sinh, phân tích nhấn mạnh và chốt nội dung kiến thức cơ bản.

* Học sinh chọn được đáp án đúng cho các ví dụ.

* Học sinh quan sát hình vẽ nêu được sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng và từ đó nhận biết được đồ thị của hàm số.

* Dựa vào định nghĩa và tính chất của hàm số y = tanx vẽ được đồ thị trên khoảng

* Biết dùng phép tịnh tiến để suy ra đồ thị hàm số y = tanx trên tập xác định D

( Gọi học sinh lên bảng vẽ)

* Dựa vào đồ thị hàm số y = tanx nêu được tập giá trị.

* GV nhận xét các câu trả lời và bài làm của học sinh, chốt nội dung kiến thức cơ bản.

* Học sinh quan sát đồ thị hàm số

y = tanx đưa ra lời giải. Đại diện nhóm lên trình bày.

KQ7

a)

b)

c)

d)

* GV nhận xét lời giải của các nhóm, các nhóm chỉnh sửa lời giải ( nếu sai)

* Nêu được SBT và lập được BBT của hàm số y = cotx trên khoảng

* Vẽ được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng . Dựa đồ thị suy ra được tập giá trị của hàm số.

* GV nhận xét các câu trả lời và bài làm của học sinh, chốt nội dung kiến thức cơ bản.

* Học sinh quan sát đồ thị hàm số

y = cotx đưa ra lời giải. Đại diện nhóm lên trình bày.

KQ8

a) x= b) x= c)

d) Không có giá trị x nào để cotx nhận giá trị dương.

* GV nhận xét lời giải của các nhóm, các nhóm chỉnh sửa lời giải ( nếu sai)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài tập 1: Tìm tập xác định các các hàm số sau:

Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm- tại lớp

* Học sinh biết cách tìm tập xác định của các hàm số LG

KQ1

a)

b)

c)

d)

* GV nhận xét bài làm của các nhóm, các nhóm chỉnh sửa bài.

Bài tập 2:Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số

*Kiến thức sử dụng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía trên trục Ox

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân- tại lớp

*Học sinh biết cách vẽ đồ thị của hàm số

* KQ2

sinx < 0

Nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các khoảng này, còn giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các đoạn còn lại, ta được đồ thị của hàm số

* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho điểm

Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

Phương thức hoạt động: Cá nhân

* Học sinh chứng minh và vẽ được đồ thị

* KQ3

y = sin2x tuần hoàn với chu kì , là hàm số lẻ Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x trên đoạn rồi lấy đối xứng qua O, được đồ thị trên đoạn tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài , ta được đồ thị của hàm số y = sin2x trên R.

* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho điểm.

Bài tập 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để .

KQ4

Cắt đồ thị hàm số y = cosx bởi đường thẳng , ta được các giao điểm có hoành độ tương ứng là:

Phương thức hoạt động: Cá nhân

* Biết sử dụng đồ thị hàm số y = cosx để tìm các giá trị của x thỏa mãn ĐK bài ra

* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho điểm.

Bài tập 5. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Phương thức hoạt động: Cá nhân

Bài tập 6. Tìm gái trị lớn nhất của các hàm số:

KQ6

a) Ta có:

Vậy

b) Ta có

Vậy Maxy = 5 khi

Phương thức hoạt động: Hoạt động nhóm (Các nhóm trình bày vào bảng phụ, đại diện nhóm trình bày lời giải)

* Biết sử dụng đồ thị hàm số y = sinx để tìm các giá trị của x thỏa mãn ĐK bài ra

KQ5

sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy:

* HS biết sử dụng tập giá trị của hàm số y = sinx và y = cosx để tìm GTLN và GTNN của hàm số LG.

* Gv nhận xét bài làm của các nhóm, các nhóm chỉnh sửa lời giải.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Tìm hiểu về hàm số lượng giác theo link

https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c

https://diendantoanhoc.net/topic/149554-l%C6%B0%E1%BB%A3ng-gi%C3%A1c-n%C3%B3i-v%E1%BB%81-c%C3%A1i-g%C3%AC/

- Hôm nay, có thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn nghe được ghi âm kỹ thuật số (một quá trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác) được nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng phân biệt âm thanh của tai của con người), phép nén này đòi hỏi các kiến thức về lượng giác.

- Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến những gì bạn có thể làm vào những thời điểm khác nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho ngư dân là những dự đoán về thủy triều năm trước. Những dự báo này được thực hiện bằng cách sử dụng lượng giác. Thủy triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này thường mag tính tương đối.Thủy triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này thường mang tính tương đối.

Hình ảnh thủy triều

ECG của một bệnh nhân 26 tuổi

Bài toán. Một guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m , trục của nó đặt cách mặt nước 2m ( như hình vẽ bên). Khi guồng quay đều , khoảng cách h ( mét)từ một chiêc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức , trong đó Với x là thời gain quay của guồng , tính bằng phút ; ta quy ước rằng khi gầu ở bên trên mặt nước và khi gầu ở dưới mặt nước .

a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất.

b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất.

c. Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào ?

KQ

a. Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi 

Ta có:

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

b. Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi  

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

c. Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi

nghĩa là tại các thời điểm (phút); do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được phút (ứng với  k=0). 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Phiếu học tập dành cho phần khởi động

Khi ta gõ trống, gảy đàn, thổi sáo hay mở miệng ra nói chuyện, tai ta sẽ nghe và cảm nhận được âm thanh phát ra. Vật tạo ra âm thanh được gọi là nguồn phát âm, hay nguồn âm. Âm thanh (sound) là dao động cơ lan truyền trong môi trường và tai ta cảm nhận được. Âm thanh nói riêng và các dao động cơ nói chung không lan truyền qua chân không vì không có gì để truyền sóng. Âm thanh là phương tiện trao đổi thông tin, liên lạc với nhau (communication media) phổ biến nhất của con người, bên cạnh phương tiện hình ảnh. Như vậy nghiên cứu âm thanh có hai mặt: Đặc trưng vật lý (lý tính) và đặc trưng sinh học. Vật lý khách quan: nguồn tạo ra âm thanh, tính chất lan truyền, đặc tính âm thanh...

Nếu ta biểu diễn tín hiệu của âm thanh trên gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ trên ( giả thiết là các tập đối xứng và ).

CH1:Ta có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên các đoạn ?

CH2:Liệu có xác định đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào mà chúng ta đã được học không?

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Phiếu học tập dành cho phần hình thành định nghĩa hàm số LG

Cho đường tròn lượng giác (Hình vẽ bên cạnh). Điểm M nằm trên đường tròn đó. Điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường tròn. Tia OM lần lượt cắt trục At và Bs tại T và S . Giả sử sđ.

CH1. Hãy chỉ ra đâu là trục sin, côsin, tang, côtang

CH2. Hãy tính

CH3. Cứ một giá trị của thì xác định được bao nhiêu giá trị của

CH4. Tìm các giá trị của để xác định.

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3

Phiếu học tập dành cho phần nhận biết tính chẵn lẻ của hàm số LG

Hàm số

Tập xác định

Tính

So sánh và

Kết luận về tính chẵn lẻ của hàm số

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4

Phiếu học tập dành cho phần nhận biết tính tuần hoàn và chu kì của hàm số LG

Cho hàm số và .

CH1: Hãy so sánh và .

CH 2 : Hãy so sánh và .

CH 3: Hày so sánh và với .

CH 4: Hày so sánh và vói .

CH 5: Tìm số dương nhỏ nhất thỏa mãn và .

CH 6: Tìm số dương nhỏ nhất thỏa mãn và

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

Định nghĩa

Nhận biết được các hàm số, tập xác định của các hàm số

Tính chẵn lẻ của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số

Xác định tính chẵn lẻ của một hàm số mở rộng. Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Nắm được khái niệm hàm số tuần hoàn

Chu kỳ của hàm số tuần hoàn

Chứng minh hàm số tuần hoàn và tính chu kỳ.

Liên quan đến các môn học (Vật lý,..), bài toán thực tế.

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số

Sự biến thiên và bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

Đồ thị của hàm số trên đoạn

Đồ thị của hàm số trên tập xác định

. Biết được tập giá trị của hàm số

Vẽ đồ thị một số hàm số khác thông qua đồ thị hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số . Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số

Sự biến thiên và bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

Đồ thị của hàm số trên đoạn

Đồ thị của hàm số trên tập xác định . Biết được tập giá trị của hàm số

Vẽ đồ thị một số hàm số khác thông qua đồ thị hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số . Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số

Sự biến thiên và bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng

Đồ thị của hàm số trên nửa khoảng .

Đồ thị của hàm số trên tập xác định

Tập giá trị của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số.Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số

Sự biến thiên và bảng biến thiên của hàm số trên khoảng

Đồ thị của hàm số trên khoảng

Đồ thị của hàm số trên tập xác định

Tập giá trị của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số. Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

+ Chuyển giao: Hôm trước các em đã được học các hàm số lượng giác và các tính chất của nó, ở lớp 10 các em đã được học các công thức lượng giác. Sau đây hãy trả lời các câu hỏi sau:

-Tình huống 1: Với mỗi điểm M trên đường tròn lượng giác ta xác định được bao nhiêu góc (cung) lượng giác có điểm đầu là điểm A, điểm cuối là điểm M.

-Tình huống 2:Với mỗi số thực m ta tìm được bao nhiêu điểm M(x,y) để: + +

-PTLG cơ bản có dạng:

sinx = a, cosx = a,

tanx = a, cotx = a

• Giải PTLG là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn pt đã cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc bằng độ.

Phương thức tổ chức: Chia lớp học thành 4 nhóm cho thảo luận báo cáo kết quả trên giấy.

+ Báo cáo, thảo luận: các nhóm trình bày kết quả vào giấy cử đại diện báo cáo, các nhóm khác thảo luận cho ý kiến

+Đánh giá: Giáo viên nhận xét đánh giá chung và dẫn dắt vào bài mới.

+ Cho ví dụ một vài PTLG cơ bản

Đ. sinx = 1; cosx = ; tanx = 0; …

1. Phương trình sinx = a

• > 1: PT vô nghiệm

• ≤ 1: PT có các nghiệm

x = arcsina + k2π, k ∈ Z; x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z

Chú ý:

a) sinf(x) = sing(x) ⇔⇔

b) sinx = sinβ⁰ ⇔ ⇔

c) Các trường hợp đặc biệt:

sinx = 1 ⇔ x = + k2π

sinx = –1 ⇔ x = – + k2π

sinx = 0 ⇔ x = kπ

VD1: Giải các phương trình:

a) sinx = b) sinx = – c) sinx =

d) sin3x = sinx

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình sinx = a.

- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham gia hoạt động nhóm sôi nổi để tìm ra phương pháp giải và công thức nghiệm.

Kết quả 1.

a)

b)

c)

d)

2. Phương trình cosx = a

• > 1: PT vô nghiệm

• ≤ 1: PT có các nghiệm

x = arccosa + k2π, k ∈ Z;

x = – arccosa + k2π, k ∈ Z

Chú ý:

a) cosf(x) = cosg(x) ⇔ f(x) = ± g(x) + k2π, k ∈ Z

b) cosx = cosβ⁰ ⇔ x = ± β⁰ + k360⁰, k ∈ Z

c) Các trường hợp đặc biệt:

cosx = 1 ⇔ x = k2π

cosx = –1 ⇔ x = π + k2π

cosx = 0 ⇔ x = + kπ

VD2: Giải các phương trình:

a) cosx = cos b) cosx =

c) cosx = – d) cosx =

VD3: Giải các phương trình:

a) cos2x = b) cos(x + 45⁰) =

c) cos3x = cos2x

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình sinx = a.

- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham gia hoạt động nhóm sôi nổi để tìm ra phương pháp giải và công thức nghiệm.

Kết quả 2.

a) x = ± + k2π

b) x = ± + k2π

c) x = ± + k2π

d) x = ± arccos + k2π

Kết quả 3.

a) 2x = ± + k2π

b) x + 45⁰ = ±45⁰ + k360⁰

c) 3x = ±2x + k2π

⇔

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

3. Phương trình tanx = a

• ĐK: x ≠ + kπ (k ∈ Z).

• PT có nghiệm x = arctana + kπ, k ∈ Z;

Chú ý:

a) tanf(x) = tang(x) ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z

b) tanx = tanβ⁰ ⇔ x = β⁰ + k180⁰, k ∈ Z

c) Các trường hợp đặc biệt:

tanx = 1 ⇔ x = + kπ

tanx = –1 ⇔ x = – + kπ

tanx = 0 ⇔ x = kπ

VD4. Giải các phương trình:

a) tanx = tan b) tanx =

c) tanx = – d) tanx = 5

VD5: Giải các phương trình:

a) tan2x = 1 b) tan(x + 45⁰) =

c) tan2x = tanx

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình sinx = a.

- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham gia hoạt động nhóm sôi nổi để tìm ra phương pháp giải và công thức nghiệm.

Kết quả 4.

a) x = + kπ

b) x = + kπ

c) x = – + kπ

d) x = arctan5 + kπ

Kết quả 5.

a) 2x = + kπ

b) x + 45⁰ = 30⁰ + k180⁰

c) ĐK:

2x = x + kπ ⇔ x = kπ

Đối chiếu với đk: x = kπ

4.Phương trình cotx = a

• ĐK: x ≠ kπ (k ∈ Z).

• PT có nghiệm. x = arccota + kπ, k ∈ Z;

Chú ý:

a) cotf(x) = cotg(x)⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z

b) cotx = cotβ⁰ ⇔ x = β⁰ + k180⁰, k ∈ Z

c) Các trường hợp đặc biệt:

cotx = 1 ⇔ x = + kπ

cotx = –1 ⇔ x = – + kπ

cotx = 0 ⇔ x = + kπ

VD6: Giải các phương trình:

a) cotx = cot b) cotx = c) cotx = –

d) cotx = 5

VD7: Giải các phương trình:

a) cot2x = 1 b) cot(x + 45⁰) = c) cot3x = cotx

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình sinx = a.

- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham gia hoạt động nhóm sôi nổi để tìm ra phương pháp giải và công thức nghiệm.

Kết quả 6.

a) x = + kπ b) x = + kπ

c) x = – + kπ d) x = arccot5 + kπ

Kết quả 7.

a) 2x = + kπ

b) x + 45⁰ = 60⁰ + k180⁰

c) ĐK: ⇔ x ≠ m

3x = x + kπ ⇔ x = k

Đối chiếu đk: x =

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

1. Giải các phương trình sau:

a) = 0 b)

c) d) cos(x – 1) =

e) f)

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Đ1.

a)

b)

c)

d) x – 1 = ± arccos + k2π

e)

f) 3x + 10⁰ = 60⁰ + k180⁰

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

2. Giải các phương trình sau:

a) sin(3x + 1) = sin(x – 2)

b) cos3x = sin2x

c) sin(x – 120⁰) + cos2x = 0

d) cos(x² + x) = 0

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Đ2.

a)

b) cos3x =

c) cos2x = cos(30⁰ – x)

d) x² + x = + kπ

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

3.Giải các phương trình sau:

a)

b) cos2x.tanx = 0

c) sin3x.cotx = 0

d) tan3x.tanx = 1

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Đ3.

a) sin2x ≠ 1 ⇔ x ≠

b) cosx ≠ 0 ⇔ x ≠

c) sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

d) cos3x.cosx ≠ 0

⇔ x ≠

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

GV nêu vấn đề bài toán và cho hsinh thảo luận và đưa ra pp giải.

Ta xét bài toán : Một vệ tinh nhân tạo bay quanh trái đất theo một quỹ đạo hình Elips . Độ cao h ( tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt trái đất được xác định bởi công thức Trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo . Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250km thì thời gian vệ tinh bay vào quỹ đạo?

GV nêu các câu hỏi trắc nghiệm và cho hsinh thảo luận và đưa ra pp giải để chọn đáp án.

Câu 1.

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

A.

B.

C.

D.

Câu 2.

Gọi là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 3. Hỏi trên đoạn , phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm. Tính tổng của các phần tử trong

A.

B.

C.

D.

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Bài toán này dãn đến việc giải phương trình hay .

Nếu đặt thì phương trình trên có dạng .

Đ1

Phương trình

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).

Hình 1

O

O

Hình 2

Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Chọn C.

Đ2

. Ta đưa về dạng số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là .

⏺ Xét có 2 vị trí biểu diễn.

⏺ Xét có 2 vị trí biểu diễn.

Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau.

Lời giải. Điều kiện:

Phương trình

Cho .

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với Chọn D.

Đ3. Dùng đường tròn lượng giác

O

Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ đến . Tiếp theo ta kẻ đường thẳng . Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điểm.

Đ4. Phương trình

Phương trình có nghiệm

Chọn D.

- Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và củng cố kiến thức.

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

Phương trình

Học sinh nắm được công thức nghiệm

Học sinh áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình đơn giản

Học sinh giải phương trình và tìm điều kiện phương trình có nghiệm ,..

Tìm nghiệm của phương trình trên tập K và giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Phương trình

Học sinh nắm được công thức nghiệm

Học sinh áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình đơn giản

Học sinh giải phương trình và tìm điều kiện phương trình có nghiệm ,..

Tìm nghiệm của phương trình trên tập K và giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Phương trình

Học sinh nắm được công thức nghiệm , điều kiện xác đinh của phương trình

Học sinh áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình đơn giản

Học sinh giải phương trình . Phương trình có loại nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình trên tập K .Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Phương trình

Học sinh nắm được công thức nghiệm , điều kiện xác đinh của phương trình

Học sinh áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình đơn giản

Học sinh giải phương trình . Phương trình có loại nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình trên tập K .Giải quyết một số bài toán thực tế (nếu có)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

- Nội dung:

Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A.

B.

C.

D.

Câu 2. Nối cột A và cột B để được đẳng thức đúng?

- Phương thức tổ chức hoạt: Cá nhân-tại lớp ( một học sinh lên bảng )

- Dự kiến sản phẩm

Chọn C

Câu 1

Câu 2.

1d

2c

3a

4b

- Hoàn thiện câu trả lời và đánh giá kết quả của học sinh

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HSLG

1. Định nghĩa:

Dạng: , là một trong các hàm số lượng giác.

- Phương thức hoạt động: Tập thể- tại lớp

- Dự kiến sản phẩm của học sinh:

+ Phát biểu được định nghĩa phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

+ Hoàn thiện định nghĩa của mình

+ Học sinh tự lấy ví dụ về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Nêu vài ví dụ khác, chẳng hạn

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

2. Cách giải

Xét phương trình trong đó, là các hệ số, khác và là một hàm số lượng giác. Ta có

Ví dụ1:

Giải các phương trình sau:

a.

b.

- Phương thức hoạt động: Cá nhân - tại lớp ( 2 học sinh lên bảng trình bày lời giải, mỗi hs một bài, các hs còn lại theo dõi bổ sung bài giải của bạn)

- Dự kiến sản phẩm:

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 2: Giải phương trình

a/

b/

- Phương thức hoạt động: Theo nhóm- tại lớp.

(Học sinh trình bày lời giải của từng nhóm lên bảng phụ, nhận xét, bổ sung lời giải của bạn, hoàn thiện lời giải của mình)

• Dự kiến sản phẩm:

a/

b/

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1.Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

trong đó, là các hệ số, khác và là một hàm số lượng giác.

- Phương thức hoạt động: Tập thể-tại lớp

- Dự kiến sản phẩm:

+ Nhắc lại được định nghĩa phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

+ Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

+ Hoàn thiện định nghĩa của mình

+ Nêu vài ví dụ khác về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

+ Nêu vài ví dụ khác, chẳng hạn

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá phát biểu của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

2. Cách giải.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

a)

b)

Cách giải:

Bước 1. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ t và đặt điều kiện cho t (nếu có )

Bước 2. Giải phương trình bậc hai theo t và đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm

Bước 3. Giải phương trình lượng giác theo mỗi nghiệm t nhận được

- Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân-tại lớp ( 2 học sinh trình bày lời giải lên bảng, HS cả lớp nhận xét, bổ sung lời giải của bạn)

- Dự kiến sản phẩm:

a)

Đặt:

PT thoả mãn điều kiện

b) Đặt , ta có PT

+ Rút ra cách giải :

Bước 1. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ t và đặt điều kiện cho t (nếu có )

Bước 2. Giải phương trình bậc hai theo t và đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm

Bước 3. Giải phương trình lượng giác theo mỗi nghiệm t nhận được

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm, phát biểu của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 4: Giải phương trình

a/

b/

Phương pháp chung : Sử các hằng đẳng thức, công thức lượng giác ,... để biến ổi đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Phương thức tổ chức hoạt động:

Theo nhóm – tại lớp

- Dự kiến sản phẩm:

+ Trình bày lời giải của từng nhóm lên bảng phụ

+ Nhận xét, bổ sung lời giải của bạn

+ Hoàn thiện lời giải của mình

a/

Đặt , ta có phương trình

b)

Điều kiện :

PT

Đặt , ta có

PT

b)

+ Rút ra phương pháp chung

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.

1- Công thức biến đổi biểu thức

Ví dụ 4: Chứng minh

a)

b)

Tổng quát:

Vì

nên tồn tại số để:

,

do đó:

- Phương thức tổ chức hoạt động:

Tập thể - tại lớp

• Dự kiến sản phẩm

+ Thực hiện hoạt động 5, trong SGK:

Chứng minh

a)

b)

+ Tổng quát cách làm ở hoạt động 5, biến đổi về dạng đơn giản hơn:

Vì nên tồn tại số để:

,do đó:

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

2- Phương trình dạng asinx+bcosx=c :

• Phương thức tổ chức hoạt động:

Cá nhân - tại lớp ( gọi 1 học sinh lên bảng biến đổi phương trình)

• Dự kiến sản phẩm:

+) Biến đổi được

+) Phương trình trở thành

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS và nhận xét, đánh giá kết quả

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài 1/ Giải phương trình

Phương thức tổ chức hoạt động:

Cá nhân – tại lớp (gọi một HS lên bảng trình bày )

- Dự kiến sản phẩm:

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

Bài 2/ Giải phương trình

Phương thức tổ chức hoạt động: Theo nhóm- tại lớp (chia lớp thành 4 nhóm, trình bày lời giải của từng nhóm lên bảng phụ)

- Dự kiến sản phẩm:

+ không là nghiệm của PT

chia hai vế cho

PT

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của HS, nhận xét và đánh giá kết quả

Bài 3/ Giải phương trình

Phương thức tổ chức hoạt động : Cá nhân – tại lớp (gọi một HS lên bảng trình bày )

• Dự kiến sản phẩm:

- Chính xác hoá lời giải của HS

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài toán: Một vật treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống theo vị trí cân bằng ( Như hình vẽ). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thòi điểm t giây được tính theo công thức , trong đó với d tính bằngcentimet, ta quy ước rằng d>0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d<0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi

a/ Ở vào thời điểm nào trong 1 giây dầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?

b/ Ở vào thời điểm nào trong 1 giấy đầu tiên vật ở xa vị trí cân bằng nhất? ( Tính chính xác đến giây).

Phương thức tổ chức hoạt động:

Theo nhóm- tại nhà (chia lớp thành 4 nhóm, trình bày lời giải của từng nhóm trên giấy A4)

• Dự kiến sản phẩm

Biến đổi: với ;

a/ Vật ở vị trí cân bằng khi d=0

Do đó,

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là giây và giây

b/ Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi nhận giá trị lớn nhất

Tìm k nguyên dương sao cho

Do đó,

Vậy treong khoảng 1 giây đầu tiên có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là

giây và giây

- Đánh giá kết quả hoạt động: Chính xác hoá bài làm của nhóm HS, nhận xét và đánh giá kết quả

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

- Nêu TXĐ của các hàm số , , ?

- Nêu công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản?

- Nêu cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, pt ?

Phương thức tô chức: Theo nhóm - tại lớp

- Nêu được TXĐ của các hàm số , , .

- Viết đúng các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

- Nêu được cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, pt .

1. Dạng 1: Ôn tập về dạng toán tìm TXĐ của hàm số lượng giác

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

a, b,

c, d,

e,

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Bài 1:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định

e) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

2. Dạng 2: Ôn tập về giải phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 2: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Bài 3: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Học sinh khắc sâu công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 2:

a) Nghiệm của phương trình là

b) Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình là

d) Nghiệm của phương trình là

Bài 3:

a)

b) Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình là

3. Dạng 3: Ôn tập về giải phương trình lượng giác thường gặp

Bài 4: Giải các phương trình sau

a,

b,

c,

d,

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Học sinh vận dụng được các kiến thức đã học vào việc giải các phương trình lượng giác thường gặp

Bài 4:

a) Nghiệm của phương trình

là

b, Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình

là

d) Nghiệm của phương trình

là

4. Dạng 4: Vận dụng các kiến thức đã học để tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa điều kiện cho trước

Bài 5: a, Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng .

b, Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn ?

c, Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình có nghiệm ?

d, Tính tổng các nghiệm của phương trình trên nửa khoảng

Phương thức tổ chức: Theo nhóm - tại lớp

Học sinh tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa điều kiện cho trước

Bài 4: a) Nghiệm của phương trình

là

.

Do nên ta có các nghiệm , ,, .

Tổng các nghiệm của phương trình

b) Nghiệm của phương trình là

Do .

Ta có , do nên chỉ có thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

c, Phương trình có nghiệm .

Vậy có 4 giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.

d) Nghiệm của phương trình là

Vì , suy ra

Suy ra các nghiệm của phương trình trên là

Suy ra

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài 6: Giải phương trình sau

a,

b,

c,

d,

e,

Phương thức tổ chức: Theo nhóm - tại lớp

Học sinh vận dụng được các công thức lượng giác để biến đổi một phương trình lượng giác về dạng quen thuộc đã biết cách giải

a, Nghiệm của phương trình là

b, Nghiệm của phương trình là

c, Nghiệm của phương trình là

, .

d, Nghiệm của phương trình là

e, Nghiệm của phương trình là .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

- Nêu TXĐ của các hàm số , , ?

- Nêu công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản?

- Nêu cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, pt ?

Phương thức tô chức: Theo nhóm - tại lớp

- Nêu được TXĐ của các hàm số , , .

- Viết đúng các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

- Nêu được cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, pt .

1. Dạng 1: Ôn tập về dạng toán tìm TXĐ của hàm số lượng giác

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

a, b,

c, d,

e,

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Bài 1:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định

e) Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

2. Dạng 2: Ôn tập về giải phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 2: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Bài 3: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Học sinh khắc sâu công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 2:

a) Nghiệm của phương trình là

b) Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình là

d) Nghiệm của phương trình là

Bài 3:

a)

b) Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình là

3. Dạng 3: Ôn tập về giải phương trình lượng giác thường gặp

Bài 4: Giải các phương trình sau

a,

b,

c,

d,

Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp

Học sinh vận dụng được các kiến thức đã học vào việc giải các phương trình lượng giác thường gặp

Bài 4:

a) Nghiệm của phương trình

là

b, Nghiệm của phương trình là

c) Nghiệm của phương trình

là

d) Nghiệm của phương trình

là

4. Dạng 4: Vận dụng các kiến thức đã học để tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa điều kiện cho trước

Bài 5: a, Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng .

b, Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn ?

c, Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình có nghiệm ?

d, Tính tổng các nghiệm của phương trình trên nửa khoảng

Phương thức tổ chức: Theo nhóm - tại lớp

Học sinh tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa điều kiện cho trước

Bài 4: a) Nghiệm của phương trình

là

.

Do nên ta có các nghiệm , ,, .

Tổng các nghiệm của phương trình

b) Nghiệm của phương trình là

Do .

Ta có , do nên chỉ có thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

c, Phương trình có nghiệm .

Vậy có 4 giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.

d) Nghiệm của phương trình là

Vì , suy ra

Suy ra các nghiệm của phương trình trên là

Suy ra

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài 6: Giải phương trình sau

a,

b,

c,

d,

e,

Phương thức tổ chức: Theo nhóm - tại lớp

Học sinh vận dụng được các công thức lượng giác để biến đổi một phương trình lượng giác về dạng quen thuộc đã biết cách giải

a, Nghiệm của phương trình là

b, Nghiệm của phương trình là

c, Nghiệm của phương trình là

, .

d, Nghiệm của phương trình là

e, Nghiệm của phương trình là .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Câu hỏi 1: Có bao nhiêu cách chọn 1 hình trong số các hình tròn và hình chữ nhật ở dưới đây?

1

3

2

1

3

4

2

Câu hỏi 2: Các thành phố X, Y, Z được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố X đến thành phố Z mà bắt buộc phải đi qua thành phố Y chỉ một lần?

Câu hỏi 3: Hãy chỉ ra sự khác nhau trong việc chọn 1 hình vẽ ở câu hỏi 1 và chọn 1 đường đi ở câu hỏi 2?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

Phiếu học tập 1.

Nhóm nào có kết quả đúng, nhanh nhất, nhóm đó sẽ thắng.

I. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng:

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

* Hoàn thành chính xác phiếu học tập số 1, từ đó rút ra khái niệm về quy tắc cộng.

* Dựa vào ví dụ 3 đưa ra nhận xét để mở rộng quy tắc cộng cho nhiều hành động.

Ví dụ 1: Đoàn trường triệu tập 1 cuộc họp về ATGT. Yêu cầu mỗi lớp cử 1 HS tham gia. Lớp 11B có 15 hs nam, 25 hs nữ. Hỏi lớp 11B có bao nhiêu cách chọn ra 1 hs tham gia cuộc họp nói trên.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd1:

Vẽ sơ đồ để hs quan sát

15 trường hợp

Nam

25 trường hợp

Nữ

Vậy có 15+ 25 =40 cách

Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình bên dưới?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd2:

Hình vuông có cạnh 1 cm: 10

Hình vuông có cạch 2 cm : 4

Tổng số: 10+4= 14

Ví dụ 3: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam ở một trường THPT, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 9 đề tài về lịch sử, 6 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 5 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh dự thi có quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách lựa chọn đề tài?

Từ ví dụ 3 rút ra được nội dung: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd3:

Tổng số các chọn đề tài của mỗi thí sinh là:

9 + 6 +10 + 5 = 30 (cách chọn)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

II. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân:

Ví dụ 1: Bạn Hoàng có 2 áo màu khác nhau và 3 quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

* Dựa vào nhận xét ở câu hỏi 3 (phiếu học tập 1) rút ra được khái niệm quy tắc nhân

Kq vd1:

Giải theo quy tắc cộng

TH1: chọn 1 màu áo+ 1 trong ba kiểu quần

Như vậy đề chọn ra 1 bộ ta có 3 cách chọn

TH2: chọn 1 màu áo còn lại, để chọn ra 1 bộ ta lại có 3 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn:

3 + 3 = 6 cách

Giải theo quy tắc nhân:

Chọn áo: có 2 cách, chọn quần: có 3 cách.

Chọn 1 bộ quần áo: 2.3=6 cách.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

• Về nhà: c)Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi đi ngược lại mà đường về không trùng đường khi đi?

KQ vd2:

a) A đến B: 5 con đường

B đến C: 4 con đường

C đến D: 3 con đường

Vậy có: 5.4.3=60 cách

b) 60.60=3600 cách

c)Gợi ý kq: 1440 cách

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

Dựa vào ví dụ 2 mở rộng quy tắc nhân cho một cv được thực hiện bởi nhiều công đoạn

BT1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số.

b) Hai chữ số.

c) Hai chữ số khác nhau

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

a) Có 4 cách.

b) HĐ1: 4 cách

HĐ2: 4 cách

c) HĐ1: 4 cách

HĐ2: 3 cách

BT2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

Số có 1 chữ số: 6 số

Số có hai chữ số: 6.6 =36 số

Vậy có: 6+36=42 số

BT3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

A → B: 4 cách

B → C: 2 cách

C → D: 3 cách

⇒ có 4.2.3 = 24 cách

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Câu hỏi 1: Có bao nhiêu cách chọn 1 hình trong số các hình tròn và hình chữ nhật ở dưới đây?

1

3

2

1

3

4

2

Câu hỏi 2: Các thành phố X, Y, Z được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố X đến thành phố Z mà bắt buộc phải đi qua thành phố Y chỉ một lần?

Câu hỏi 3: Hãy chỉ ra sự khác nhau trong việc chọn 1 hình vẽ ở câu hỏi 1 và chọn 1 đường đi ở câu hỏi 2?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

Phiếu học tập 1.

Nhóm nào có kết quả đúng, nhanh nhất, nhóm đó sẽ thắng.

I. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng:

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

* Hoàn thành chính xác phiếu học tập số 1, từ đó rút ra khái niệm về quy tắc cộng.

* Dựa vào ví dụ 3 đưa ra nhận xét để mở rộng quy tắc cộng cho nhiều hành động.

Ví dụ 1: Đoàn trường triệu tập 1 cuộc họp về ATGT. Yêu cầu mỗi lớp cử 1 HS tham gia. Lớp 11B có 15 hs nam, 25 hs nữ. Hỏi lớp 11B có bao nhiêu cách chọn ra 1 hs tham gia cuộc họp nói trên.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd1:

Vẽ sơ đồ để hs quan sát

15 trường hợp

Nam

25 trường hợp

Nữ

Vậy có cách

Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình bên dưới?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd2:

Hình vuông có cạnh 1 cm: 10

Hình vuông có cạch 2 cm : 4

Tổng số:

Ví dụ 3: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam ở một trường THPT, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 9 đề tài về lịch sử, 6 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 5 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh dự thi có quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách lựa chọn đề tài?

Từ ví dụ 3 rút ra được nội dung: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

KQ vd3:

Tổng số các chọn đề tài của mỗi thí sinh là:

(cách chọn)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

II. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân:

Ví dụ 1: Bạn Hoàng có 2 áo màu khác nhau và 3 quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

* Dựa vào nhận xét ở câu hỏi 3 (phiếu học tập 1) rút ra được khái niệm quy tắc nhân

Kq vd1:

Giải theo quy tắc cộng

TH1: chọn 1 màu áo+ 1 trong ba kiểu quần

Như vậy đề chọn ra 1 bộ ta có 3 cách chọn

TH2: chọn 1 màu áo còn lại, để chọn ra 1 bộ ta lại có 3 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn:

cách

Giải theo quy tắc nhân:

Chọn áo: có 2 cách, chọn quần: có 3 cách.

Chọn 1 bộ quần áo: cách.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

• Về nhà: c)Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi đi ngược lại mà đường về không trùng đường khi đi?

KQ vd2:

a) A đến B: 5 con đường

B đến C: 4 con đường

C đến D: 3 con đường

Vậy có: cách

b) cách

c)Gợi ý kq: 1440 cách

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.

Dựa vào ví dụ 2 mở rộng quy tắc nhân cho một cv được thực hiện bởi nhiều công đoạn

BT1: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số.

b) Hai chữ số.

c) Hai chữ số khác nhau

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

a) Có 4 cách.

b) HĐ1: 4 cách

HĐ2: 4 cách

c) HĐ1: 4 cách

HĐ2: 3 cách

BT2: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn ?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

Số có 1 chữ số: 6 số

Số có hai chữ số: số

Vậy có: số

BT3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

A → B: 4 cách

B → C: 2 cách

C → D: 3 cách

⇒ có cách

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Trò chơi “Ai nhanh hơn”

Hỏi: Ông là ai?

Trong cơ học, ông đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính). Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu.

Trong toán học, ông cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ông cũng là người đưa ra công thức quan trọng của bài học hôm nay đó là công thức nhị thức Newton.

Đội nào trả trước và đúng, đội đó thắng.

HĐ1: Tiếp cận

?1: Nêu các hằng đẳng thức , ?

?2: Nhận xét số mũ của trong khai triển ,

?3: Hãy nhắc lại định nghĩa và các tính chất của tổ hợp.

?4: Sử dụng MTCT để tính: bằng bao nhiêu?

Các tổ hợp trên có liên hệ gì với hệ số của khai triển .

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

HĐ2: Hình thành kiến thức:

Công thức nhị thức Niu-tơn:

Dạng tường minh:

Dạng thu gọn:

Số hạng gọi là số hạng tổng quát của khai triển.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

Câu hỏi: Trong công thức khai triển có bao nhiêu số hạng?

HĐ3: Củng cố

VD1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn

a)

b)

c)

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

VD2: (3 nhóm cùng làm) Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang của khai triển thành đa thức bậc 9 đối với

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

VD3:(3 nhóm cùng làm) Hệ số của trong khai triển thành đa thức bậc 12 đối với là:

A. 32440320. B. -32440320.

C. 1980. D. -1980.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

Bài tập (3 nhóm cùng làm)

- Áp dụng khai triển với

- Nhận xét ý nghĩa của các số hạng trong khai triển.

- Từ đó suy ra số tập con của tập hợp gồm có n phần tử.

- Áp dụng khai triển với và

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

Nhóm 1: Trả lời?1,?2

Nhóm 2: Trả lời?3,?4

Các nhóm phát hiện, trả lời câu hỏi về các hệ số.

Trong công thức khai triển có số hạng

VD2:

VD3: Chọn A.

: là số tập con gồm k phần tử của tập gồm có n phần tử.

HĐ1: Tiếp cận

a) Tính hệ số của khai triển .

b) Tính hệ số của khai triển .

c) Tính hệ số của khai triển .

GV yêu cầu: Viết vào giấy theo hàng như sau

GV giới thiệu: Tam giác vừa xây dựng là tam giác Pa-xcan

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

HĐ2: Hình thành kiến thức

Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho n=0,1,2,… và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan.

GV: Nêu cách xây dựng tam giác, suy ra quy luật các hàng.

Phương thức tổ chức: Cá nhân – Tại lớp

HĐ3: Củng cố

H1: Hãy điền tiếp vào tam giác Pa-xcan ở hàng thứ 7.

H2: Hãy điền tiếp vào tam giác Pa-xcan ở hàng thứ 8.

H3: Hãy điền tiếp vào tam giác Pa-xcan ở hàng thứ 9.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

Tam giác Pax-can đến

1. Viết khai triển nhị thức Niu-tơn của

2. Viết khai triển nhị thức Niu-tơn của

3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

Nhóm 1:

Nhóm 2:

Nhóm 3:

4. Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức

Phương thức tổ chức: Cá nhân – Tại lớp

Hệ số của trong khai triển của biểu thức bằng 12.

5. Biết hệ số của trong khai triển của là 90. Tìm

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

6. Tìm số hạng không chứa trong khai triển của

Số hạng không chứa trong khai triển của là

7. Từ khai triển biểu thức thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Phương thức tổ chức: Cá nhân – Tại lớp

Tổng các hệ số của đa thức nhận được:

1. Niu-tơn

Isaac Newton Jr. là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất. Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727.

Luận thuyết của ông về Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo. ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau; bằng cách chỉ ra sự thống nhất giữa Định luật Kepler về sự chuyển động của hành tinh và lý thuyết của ông về trọng lực, ông đã loại bỏ hoàn toàn Thuyết nhật tâm và theo đuổi cách mạng khoa học.

Trong cơ học, Newton đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính). Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu.

Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát.

Năm 2005, trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học, Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein.

2. Pa-xcan

Blaise Pascal (tiếng Pháp: [blɛz paskal]; 19 tháng 6 năm 1623 – 19 tháng 8 năm 1662) là nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Cơ Đốc người Pháp. Là cậu bé thần đồng, Pascal tiếp nhận nền giáo dục từ cha, một quan chức thuế vụ tại Rouen. Nghiên cứu đầu tay của Pascal là trong lĩnh vực tự nhiên và khoa học ứng dụng, là những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu về chất lưu, và làm sáng tỏ những khái niệm về áp suất và chân không bằng cách khái quát hóa công trình của Evangelista Torricelli. Pascal cũng viết để bảo vệ phương pháp khoa học.

Năm 1642, khi còn là một thiếu niên, Pascal bắt tay vào một số nghiên cứu tiên phong về máy tính. Sau ba năm nỗ lực với năm mươi bản mẫu, cậu đã phát minh máy tính cơ học, chế tạo 20 máy tính loại này (gọi là máy tính Pascal, về sau gọi là Pascaline) trong vòng mười năm. Pascal là một nhà toán học tài danh, giúp kiến tạo hai lĩnh vực nghiên cứu quan trọng: viết một chuyên luận xuất sắc về hình học xạ ảnh khi mới 16 tuổi, rồi trao đổi với Pierre de Fermat về lý thuyết xác suất, có ảnh hưởng sâu đậm trên tiến trình phát triển kinh tế học và khoa học xã hội đương đại. Tiếp bước Galileo và Torricelli, năm 1646, ông phản bác những người theo Aristotle chủ trương thiên nhiên không chấp nhận khoảng không. Kết quả nghiên cứu của Pascal đã gây ra nhiều tranh luận trước khi được chấp nhận.

Năm 1646, Pascal và em gái Jacqueline gia nhập một phong trào tôn giáo phát triển bên trong Công giáo mà những người gièm pha gọi là thuyết Jansen.Cha ông mất năm 1651. Tiếp sau một trải nghiệm tâm linh xảy ra cuối năm 1654, ông trải qua "sự qui đạo thứ nhì", từ bỏ nghiên cứu khoa học, và hiến mình cho triết học và thần học. Hai tác phẩm nổi tiếng nhất của Pascal đánh dấu giai đoạn này: Lettres provinciales (Những lá thư tỉnh lẻ) và Pensées (Suy tưởng), tác phẩm đầu được ấn hành trong bối cảnh tranh chấp giữa nhóm Jansen với Dòng Tên. Cũng trong năm này, ông viết một luận văn quan trọng về tam giác số học.

Pascal có thể chất yếu đuối, nhất là từ sau 18 tuổi đến khi qua đời, chỉ hai tháng trước khi tròn 39 tuổi.

Trong suốt cuộc đời mình, Pascal luôn có ảnh hưởng trên nền toán học. Năm 1653, ông viết Traité du triangle arithmétique ("Chuyên luận về Tam giác Số học") miêu tả một biểu mẫu nay gọi là Tam giác Pascal. Tam giác này có thể được trình bày như sau:

Tam giác Pascal. Mỗi con số là tổng của hai con số ngay bên trên.

Hàng đầu tiên là con số 1, hàng kế tiếp là hai con số 1.

Ở những hàng tiếp theo:

 Con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1;

 Mỗi con số bên trong sẽ bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng trên:

1+1=2, 1+2=3, 2+1=3, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, v.v

Phương thức tổ chức: Cá nhân – Tại nhà

Cuộc đời, sự nghiệp và các công trình của Niu-tơn và Pa-xcan.

1. Tính tổng:

2. Tính tổng:

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – Tại lớp

2. Dựa vào đồng nhất thức và khai triển nhị thức Niu-tơn ta suy ra

Nội dung, phương pháp tổ chức hoạt động học tập của HS

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: : Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu khái niệm phép thử và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.

Quan sát các hình ảnh sau:

Bắn một mũi tên, đánh gôn, gieo con súc sắc, gieo một đồng tiền, rút một quân bài. Khi thực hiện một hành động trên là ta được một phép thử.

HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC:

1. Phép thử và không gian mẫu

Mục tiêu: Hiểu được khái niệm phép thử và không gian mẫu. Biết cách xác định không gian mẫu.

1. Phép thử

HĐ: (Tiếp cận)

• Gieo một đồng tiền kim loại một lần.

+ Ta có đoán trước được nó xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa hay không?

+ Ta có thể biết trước được tất cả các kết quả có thể xảy ra không?

Kết luận: Khi gieo một đồng xu một lần ta không dự đoán trước được mặt sâp (S) hay mặt ngửa (N) xuất hiện, nhưng ta biết được có hai khả năng xuất hiện. Đó là phép thử ngẫu nhiên.

HĐ: (Hình thành kiến thức)

Hs nêu khái niệm

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu

HĐ: (Tiếp cận)

Vd1: Gieo một đồng tiền kim loại một lần.

Hãy mô tả các kết quả xảy ra của phép thử?

Vd2: Gieo một đồng tiền 2 lần. Hãy mô tả các kết quả có thể xảy ra của phép thử?

Vd3: Gieo một con súc sắc một lần. Hãy liệt kê các kết quả có thể có?

HĐ: (Hình thành kiến thức)

2. Không gian mẫu:

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω.

HĐ: (Củng cố)

Mô tả không gian mẫu của các phép thử sau:

a) Gieo một đồng tiền 1 lần;

b) Gieo một đồng tiền 2 lần;

c) Gieo một con súc sắc 2 lần.

Hs thảo luận nhóm, trả lời.

1. Biến cố.

Mục tiêu: Hiểu được khái niệm biến cố. Biết cách xác định các biến cố.

HĐ: (Tiếp cận)

Hãy gieo một đồng tiền hai lần, mô tả không gian mẫu.

Xét sự kiện A: "Kết quả của hai lần gieo là như nhau", hãy viết lại sự kiện A theo kiểu liệt kê các phần tử của tập hợp A là tập hợp các khả năng có thể xảy ra của sự kiện trên?

Vậy tập A có quan hệ thế nào với không gian mẫu?

- Ta gọi A là một biến cố.

=

A=

A là tập con của không gian mẫu.

HĐ: (Hình thành kiến thức)

Hs phát biểu khái niệm biến cố.

II Biến cố:

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

* Chú ý:

- Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C,... Khi nói: "cho các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử.

- Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác định tập con của không gian mẫu.

HĐ: (Củng cố) Hs hoạt động nhóm.

Ví dụ: Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" bằng mệnh đề mô tả tập con;

c) Xác định biến cố B = {(2, 4), (1, 3)} bằng mệnh đề.

Giải:

………………………………………………………….

…………………………………………………………….

…………………………………………………………

………………………………………………………..

Biến cố không – Biến cố chắc chắn

HĐ: (Tiếp cận)

Hãy nêu những đặc điểm khác nhau về sự tồn tại của hai biến cố A: "Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm" và B: "Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6" khi thực hiện phép thử gieo một con súc sắc 1 lần?

Biến cố A không thể xảy ra.

Biến cố B luôn luôn xảy ra.

HĐ: (Hình thành kiến thức)

Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.

HĐ: Củng cố

Yêu cầu HS lấy ví dụ về tập ∅ và Ω.

1. Phép toán trên các biến cố

Mục tiêu: nắm được khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán hợp, giao của các biến cố.

Gv nêu khái niệm biến cố đối.

Gv?: Biến cố A và có quan hệ gì?.

Gv giới thiệu tiếp các phép toán hợp, giao các biến cố và hai biến cố xung khắc.

a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là.

b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:

• Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A ∪ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

• Tập A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B); A ∩ B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

• Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc; A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.

HĐ: Củng cố

Cho Hs làm VD5 sgk

Hs giải.

HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP.

1. Bài tập cơ bản:

GV gọi một HS nêu đề bài tập 2 trong SGK trang 63 và cho HS thảo luận lên bảng trình bày lời giải.

GV gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần).

GV nhận xét và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải)

Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Bài 4: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn các biến cố A: "Không ai bắn trúng", B: "Cả hai đều bắn trúng", C: "Có đúng một người bắn trúng" và D: "Có ít nhất một người bắn trúng" qua các biến cố A1, A2

b) Chứng tỏ rằng A = ; B và C xung khắc.

Bài 6: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu;

b) Xác định các biến cố A: "Số lần gieo không vượt quá ba" và B: "Số lần gieo là bốn".

a) Không gian mẫu là kết quả của hai hành động (hai lần gieo). Do đó:

b) A là biến cố: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt 6 chấm”;

B là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8’;

C là biến cố: “kết quả của hai lần gieo là như nhau”.

HS lên bảng trình bày lời giải (có giải thích)

HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa và ghi chép.

HS lên bảng trình bày lời giải (có giải thích)

HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa và ghi chép.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

GV đưa ra một số tình huống

1: Có bao nhiêu cách bố trí trận đấu của 6 cầu thủ trên sân của một đội bóng chuyền ( giả sử tất cả các cầu thủ có thể thi đấu ở mọi vị trí )?

Cách 1:

Vị trí số 1: Cầu thủ có áo số 16

Vị trí số 2: Cầu thủ có áo số 2

Vị trí số 3: Cầu thủ có áo số 6

Vị trí số 4: Cầu thủ có áo số 3

Vị trí số 5: Cầu thủ có áo số 10

Vị trí số 6: Cầu thủ có áo số 11

Cách 2: ….

…..

2: Trong một trận bóng đá, mỗi đội đã chọn ra 5 cầu thủ để thực hiện đá 5 quả 11m. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn 5 cầu thủ tùy ý? Có bao nhiêu cách chọn 5 câu thủ và sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ sút phạt ?

GV Bài học này sẽ giúp chúng ta giải quyết các câu hỏi trên và một số vấn đề khác.

GV vấn đáp hs vài cách lựa chọn

Từ cách đặt vấn đề ở tình huống 1 phần khởi động, mỗi cách sắp xếp cầu thủ trên sân bóng chuyền là một hoán vị của 6 phần tử 🡪 Gv gọi hs nêu định nghĩa hoán vị.

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

Cho tập hợp gồm phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự phần tử của tập đgl một hoán vị của phần tử đó.

Ví dụ 1: Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, 3?

• Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp n phần tử.

Kết quả 1:

2. Số các hoán vị

Ví dụ 2: Có bao nhiêu các sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học 4 chổ ?

Định lí: Kí hiệu là số các hoán vị của phần tử, ta có

Qui ước:

Ví dụ 3: Một nhóm HS gồm người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

Gọi An: A; Bình: B; Chi: C; Dung: D

Cách 1: Liệt kê.

Cách 2: Dùng quy tắc nhân

Mỗi cách sắp xếp HS là hoán vị của phần tử.

Số cách sắp xếp là

Mỗi số tự nhiên lập được là một hoán vị của phần tử.

Có số.

II. Chỉnh hợp.

VD1: : Một nhóm có 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy nêu ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng, một bạn sắp bàn ghế?

Phương thức tổ chức: Học sinh hoạt động nhóm.

GV chia lớp thành nhóm, sau giây suy nghĩ, các nhóm cử đại diện lên điền vào bảng GV đã kẻ sẵn, nhóm nào nhiều nhất ( sau phút lên bảng, không bị trùng ) sẽ chiến thắng.

Các nhóm nêu ra một cách phân công.

BẢNG PHÂN CÔNG

1. Định nghĩa

Cho tập gồm phần tử . Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho.

Nhận xét: Hai chỉnh hợp chập của phần tử đã cho khác nhau ở chỗ:

– Hoặc có phần tử ở chỉnh hợp này không ở chỉnh hợp kia;

– Hoặc thứ tự sắp xếp của các phần tử trong chúng khác nhau

VD2: Trên mặt phẳng, cho điểm phân biệt . Liệt kê tất cả các vectơ khác mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho.

Kết quả

2. Số các chỉnh hợp

( Trở lại VD1, tìm hướng giải khác )

Định lí: Kí hiệu là số các chỉnh hợp chập của phần tử , ta có

VD3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các số ?

Chú ý: a) Với qui ước , ta có

, .

b) .

VD4: Tính

VD5: Một cuộc khiêu vũ có nam và nữ. Người ta chọn có thứ tự nam và nữ để ghép thành cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

* Gv phát phiếu học tập số cho nhóm hs, các nhóm cử đại diện trả lời, trình bày câu trả lời tự luận, các thành viên nhóm khác nhận xét và hoàn chỉnh bài giải.

Kết quả

Mỗi số là một chỉnh hợp chập của phần tử.

⇒ Có số.

;

– Chọn nam: có cách

– Chọn nữ: có cách

– Chọn cặp: có . = cách.

Kết quả 1.C ; 2. A ; 3. B

III. Tổ hợp

VD1: Trên mp, cho điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập điểm đã cho?

1. Định nghĩa

Giả sử tập có phần tử . Mỗi tập con gồm phần tử của đgl một tổ hợp chập của phần tử đã cho.

Qui ước: Gọi tổ hợp chập của phần tử là tập rỗng.

VD2: Cho tập . Hãy liệt kê các tổ hợp chập của phần tử của .

Phương thức tổ chức: Mỗi học sinh suy nghĩ tìm cách giải, sau đó xung phong lên bảng trình bày.

Nhận xét: Trong một tổ hợp không có thứ tự sắp xếp. Hai tổ hợp trùng nhau nếu hai tập con đó trùng nhau.

Các tam giác tạo được

2. Số các tổ hợp

Định lí: Kí hiệu là số các tổ hợp chập của phần tử, ta có ,

VD3: Một tổ có người gồm nam và nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm người. Hỏi có bao nhiêu cách lập:

a) Nếu đại biểu là tuỳ ý.

b) Nếu trong đó có nam và nữ.

a). Là tổ hợp chập của phần tử.

b). Chọn nam: cách

Chọn nữ: cách

⇒ Có . cách.

3. Tính chất các số

a) ,

b) ,

VD4: Chứng minh với ta có:

Tính =

=

* Gv phát phiếu học tập số cho nhóm hs, các nhóm cử đại diện trả lời, trình bày câu trả lời tự luận, các thành viên nhóm khác nhận xét và hoàn chỉnh bài giải.

Kết quả 1.C ; 2. A ; 3. B

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài tập 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000 ?

*Phương thức tổ chức: học sinh lên bảng thực hiện

Kết quả

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số cần tìm là

a) Là một hoán vị của 6 phần tử.

⇒ Có số

b) + Chữ số hàng đơn vị là số chẵn

Có 3 cách chọn.

+ Là một hoán vị của 5 phần tử.

Có số.

c)

Chia ra các trường hợp:

+

+

+

Bài tập 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế kê thành một dãy ?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên
bảng trình bày lời giải bài toán)

Kết quả

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 10 phần tử.

⇒ Có cách.

Bài tập 3. Giả sử có 7 bông hoa khác nhau và 3 lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?

*Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán)

* Lưu ý: Thứ tự các phần tử là quan trọng

Kết quả

Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

⇒ Có = (cách).

Bài tập 4. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?*Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán)

* Lưu ý: Thứ tự các phần tử là quan trọng.

Đ2. Mỗi cách mắc 4 bóng đèn là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

⇒ Có (cách)

Bài tập 5. Có bao nhiêu cách cắm bông hoa vào lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau ?

b) Các bông hoa như nhau ?

Kết quả

a) bông hoa khác nhau: Mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử

⇒ Có (cách)

b) 3 bông hoa như nhau: Mỗi cách cắm là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử

⇒ Có (cách)

Bài tập 6. Trong mặt phẳng, cho điểm phân biệt sao cho không có điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập điểm đã cho ?

*Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán)

* Lưu ý: Thứ tự các phần tử

Kết quả

Mỗi cách chọn điểm là một tổ hợp chập của phần tử.

⇒ Có (tam giác).

Bài tập 7. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đường thẳng song song với nhau và 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường thẳng đó ?

*Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán)

* Lưu ý: Thứ tự các phần tử

Kết quả

Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 2 đường thẳng song song và 2 đường thẳng vuông góc.

+ Có cách chọn 2 đt song song

+ Có cách chọn 2 đt vuông góc

⇒ Có .(hcn).

Nội dung, phương thức tổ chức

hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm,

đánh giá kết quả hoạt động

Phương án tổ chức: Giao công việc về nhà cho học sinh và nộp lại bằng bài làm trên giấy.

- Sau khi học xong cả bài học sinh tìm tòi mối liên hệ giữa 3 công thức: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

- Ta đã biết số cách sắp xếp 10 hs thành một hàng dọc (hoặc ngang) là , nếu xếp 10 bạn hs này thành vòng tròn thì số cách sắp xếp có giống như trên không ? Nếu khác thì khác chổ nào ?

- Tìm một số ứng dụng khác trong thực tế cuộc sống.

Kết quả:

Nộp sản phẩm bài làm trên giấy. Giáo viên chấm sản phẩm và trả sản phẩm sau.

VD:

- Hoán vị vòng quanh (vòng tròn)

Câu 1: Có 8 VĐV tham gia chạy thi, nếu không kể trường hợp có hai người về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba?

A. 40320. B. 24. C. 336. D. 6

Câu 2: Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ chính để đá luân lưu 5 quả đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ đá luân lưu ?

A. 55440. B. 11. C. 495. D. 55.

Câu 3: Có 7 nam và 3 nữ, cần lập một ban chỉ đạo gồm 1 Trưởng ban, 1 Phó ban kiểm tra, 1 Phó ban điều hành và 1 thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập ban chỉ đạo như vậy nếu chỉ cần toàn thành viên nam?

A. 5040. B. 840. C. 210. D. 24.

Câu 1: Có 6 thầy cô giáo tham gia hỏi thi vấn đáp, mối phòng thi cần có 2 giám khảo. Hỏi có bao nhiêu cách ghép các thầy cô giáo thành đôi để hỏi thi ?

A. 720. B. 12. C. 15. D. 6

Câu 2: Có 10 đội bóng trong một giải bóng đá. Mỗi đội gặp nhau chỉ một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

A. 45. B. 3628800. C. 20. D. 5.

Câu 3: Có 7 nam và 3 nữ, cần lập một ban chỉ đạo gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập ban chỉ đạo như vậy nếu cần có ít nhất một thành viên nữ?

A. 210. B. 231. C. 63. D. 35.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài toán 1

Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A1 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn:

• Trần Thị Hoa
• Cao Nói
• Hồ Tình
• Văn Thanh Diệu
• Đỗ Thị Lan.

Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11C1 học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không thì làm thế nào để có kết luận đúng?

Bài toán 2

Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt đỏ. Kết luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế hệ của quần thể này đều mắt đỏ”.
Kết luận như vậy có đúng không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng?

Kết quả 1:

Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài.
Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp( bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).

Kết quả 2:

Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có mắt đỏ không?
Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được.
Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau:
+ Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);
+ Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ. Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ thì đời con mắt đỏ. Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước sẽ di truyền lại cho thế hệ sau.

GV treo bảng phụ

GV phân nhóm: Nhóm 1, 2 thảo luận câu 1; Nhóm 3, 4 thảo luận câu 2.

HS quan sát bảng phụ và tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm

Câu 1. Cho mệnh đề

Với Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Với thì mệnh đề đúng hay sai? Vậy với là số nguyên dương thì mệnh đề đúng hay sai?

Câu 2. Cho mệnh đề

Với Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Với thì mệnh đề đúng hay sai? Vậy với là số nguyên dương thì mệnh đề đúng hay sai?

Kết quả 3: Với mọi thì sai vì sai.

Kết quả 4: Ta có đúng và với mọi thì cũng đúng.

I. Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề đúng với .

Đó là phương pháp quy nạp toán học.

Nắm được phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định.

II. Ví dụ áp dụng

VD1: Chứng minh rằng với mọi , ta có:

VD2: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 3.

Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì , chứng minh mệnh đề đúng với .

VD3: Cho hai số và ,

a) So sánh hai số đó với

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

* Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên .

Kết quả 1:

* Với thì VT = 1 = VP

Vậy hệ thức đúng với .

* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng

Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là

Ta có

Do đó (*) đúng với .

Vậy (*) đúng với mọi .

Kết quả 2:

* Với ta có

Vậy (*) đúng với .

* Giả sử (*) đúng với , tức là

Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là

Thật vậy, ta có

Theo giả thiết, và nên

Do đó (*) đúng với .

Vậy (*) đúng với mọi .

* Nắm được phương pháp quy nạp chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên .

Kết quả 3:

CM: với , (*)

* Với ta có 27 > 24

Vậy (*) đúng với .

* Giả sử (*) đúng với , tức là

Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là

Thật vậy, ta có

Do đó (*) đúng với .

Vậy (*) đúng với mọi , .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

1. Chứng minh với , ta có:

a)

b)

c)

Kết quả 1:

a)*Với thì VT = 2 = VP

Vậy hệ thức đúng với

* Giả sử (a) đúng khi , tức là đúng

Ta CM với thì (a) cũng đúng, nghĩa là

Ta có

Do đó (a) đúng với .

Vậy (a) đúng với mọi .

b) * Với thì VT = = VP

Vậy hệ thức đúng với

* Giả sử (b) đúng khi , tức là đúng

Ta CM với thì (b) cũng đúng, nghĩa là

Ta có

Do đó (b) đúng với .

Vậy (b) đúng với mọi .

* HS tự chứng minh c).

2. Cho tổng

với

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính và chứng minh bằng qui nạp.

Kết quả 2:

* HS tính S₁, S₂, S₃.

CM: với (*)

* Với thì VT = = VP

Vậy hệ thức đúng với

* Giả sử (*) đúng khi , tức là đúng

Ta CM với thì (*) cũng đúng, nghĩa là

Ta có

Do đó (*) đúng với .

Vậy (*) đúng với mọi .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Câu hỏi 1:

Em dự đoán xem, tâm đường tròn tiếp theo nằm ở vị trí nào, bán kính bằng bao nhiêu

Câu hỏi 2:

Chứng minh rằng số đường chéo trong một đa giác lồi bằng

Câu hỏi 3: Biết rằng số phức. Khi đó tính

Câu hỏi 4: Tìm quy luật

Kết quả 1:

Bán kính đường tròn là các số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci)

Kết quả 2:Khẳng định đúng với n =4 vì tứ giác có hai đường chéo.
Giả sử khẳng định đúng với , tức là
Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi, có nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy. Khi ta vẽ thêm đỉnh thì cạnh bây giờ trở thành đường chéo. Ngoài ra từ đỉnh ta kẻ được tới đỉnh còn lại để có thể tạo thành đường chéo. Nên số đường chéo mới tạo thành khi ta thêm đỉnh là .

Vậy ta có

Kết quả 3:

Kết quả 4:

Đáp án có chữ số đầu và chữ số cuối đều là 1, ở giữa là sự sắp xếp các con số tịnh tiến, mang tính đối xứng.

(1)

Phương pháp quy nạp toán học

Phát biểu được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈ N.

Hiểu được các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ N đơn giản.

Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ N phức tạp

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Giáo viên kể một mẩu chuyện về nhà toán học Gauss giúp cha làm nghề kế toán và một mẩu chuyện tính tổng

khi Gauss còn ở tiểu học.

Nhà toán học Gauss (1777 - 1855)

Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn :

.

Nhận xét về khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau của dãy.

1. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi.

Số được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu là cấp số cộng với công sai , ta có công thức truy hồi

Đặc biệt: Khi thì cấp số cộng là dãy số không đổi.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có ,. Viết 6 số hạng đều tiên của cấp số cộng.

Ví dụ 3: Chứng minh dãy số: là một cấp số cộng, tìm công sai.

Ví dụ 4: Chứng minh dãy số: với

là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai.

* Chú ý: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta xét hiệu .

+ Nếu kết quả là một hằng số thì ta kết luận dãy số đó là 1 cấp số cộng với công sai d chính là hàng số vừa tìm được.

+ Nếu kết quả không phải 1 hằng số ta kết luận dãy số không phải 1 cấp số cộng.

HS trả lời :

.

Hai số hạng liên tiếp cách nhau 5 đơn vị.

là cấp số cộng

HS viết được 6 số hạng đầu của cấp số cộng

.

* Xét hiệu . Do đó dãy số dã cho là một cấp số cộng có công sai.

* Xét hiệu

Do đó dãy số dã cho là một cấp số cộng có số hạng đầu , công sai.

2. Số hạng tổng quát

Ví dụ 5 : Bạn Hoa xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân như hình vẽ :

1 tầng 2 tầng 3 tầng

Hỏi nếu tháp có 5 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp?

Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp?

Định lý 1: Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: với .

Ví dụ 6: Cho CSC (u_n) với

a) Tìm u₁₅.

b) Số hạng 100 là số hạng thứ mấy ??

c) Biểu diễn các số hạng lên trục số. Nhận xét về vị trí của ba điểm liền kề.

Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp

Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp

Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp

Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp

Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp

Giả sử để xếp tầng thì cần que xếp tầng đế, khi đó ta có:

HS kết luận công thức tổng quát của cấp số cộng khi biết số hạng đầu và công sai.

a)

b) ⇒

Số 100 là số hạng thứ 13.

c)

u₁

u₂

u₃

u₅

u₄

-5

1

7

Nhận xét mỗi điểm u₂, u₃, u₄ so với hai điểm liền kề bên cạnh.

Ta có u₃ là trung điểm đoạn u₂u₄ hay .

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

Định lý 2: Cho cấp số cộng . Khi đó

.

Nhận xét : Điều kiện cần và đủ để 3 số tạo thành một CSC.

là CSC ⇔ .

HS viết thành tổng của số hạng lền trước và công sai.

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

HĐ 4 SGK trang 96

Viết các số hạng theo thứ tự ngược lại và nhận xét về tổng các số hạng ở mỗi cột.

Định lý 3: Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó

Ví dụ 6: Cho dãy số với.

a) Chứng minh dãy là một cấp số cộng. Tính và .

b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.

c) Biết. Tìm.

Giải quyết bái toán ban đầu : Tính tổng

.

HS điền vào bảng

HS tính tổng và so sánh với .

Rút ra kết luận .

HS tổng quát hóa cho : .

a) ⇒ là một cấp số cộng với .

b) = 3775.

c) .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài 1 : Cho cấp số cộng biết số hạng đầu , công sai .

a) Tìm số hạng thứ 17 của cấp số cộng.

b) Số 318 là số hạng thứ bao nhiêu?

a) Áp dụng công thức

với

suy ra:

b) Giả sử 318 là số hạng thứ n, khi đó:

.

Bài 2: Cho cấp số cộng có 7 số hạng biết tổng số hạng thứ 3 và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó?

Ta có : ;

Bài 3: Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức sau: Mức lương quý đầu tiên là 4,5 triệu đồng/ quý. Kể từ quý tiếp theo, mỗi quý được tăng thêm 0,3 triệu đồng. Hỏi tổng số tiền lương anh A nhận được sau 3 năm làm việc.

Gọi là mức lương ở quý thứ thì:

.

(triệu đồng).

Bài 4: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng chuông, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ ?

Số tiếng chuông từ 0 giờ đến 12 giờ là một cấp số cộng có và .

Tính tổng .

Bài 5 : Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau:

a) (I) b)

Sử dụng công thức .

a) (I)⇔

⇔.

b) Ta có hệ sau .

Giải hệ ta được nghiệm u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = - 17 và d = 2.

Bài 6 : Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó.

Giả sử A B C, ta có:

.

Bài 7: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng

a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ?

b) Lập bảng theo mẫu và điền số vào ô thích hợp. (Bảng xem sgk trang 97).

Hs thảo luận và trình bày.

Để xác định các yếu tố còn lại ta cần biết ít nhất ba trong năm yếu tố

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài toán 1:

Khi ký hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:

Phương án 1:

Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 3 triệu đồng mỗi năm.

Phương án 2:

Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý.

Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công ty liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào?

CÔNG TY LIÊN DOANH A

Gọi là số năm ký hợp đồng làm việc với công ty A ( )

Nếu ký hợp đồng theo phương án 1 thì tổng số tiền lương nhận được trong năm là:

(triệu đồng)

Nếu ký hợp đồng theo phương án 2 thì tổng số tiền lương nhận được trong năm là:

(triệu đồng)

Xét

Vậy nếu làm việc không quá 3 năm thì lựa chọn theo phương án 1, nếu làm việc trên 3 năm thì lựa chọn phương án 2.

Bài toán 2:

Dân số nước ta năm 2008 là 84 triệu người, (đứng thứ 13 trên thế giới), bình quân dân số tăng 1 triệu người/ năm (bằng dân số 1 tỉnh). Với tốc độ tăng dân số như thế, năm 2020 dân số nước ta là bao nhiêu? Dự đoán đến năm nào thì dân số nước ta đạt mốc 1 tỷ người?

Theo giả thiết thì tốc độ tăng dân luôn ổn định đều qua các năm. Do vậy số dân hằng năm lập thành một cấp số cộng với công sai triệu, triệu. Nên dân số năm 2020 là triệu.
Theo dự đoán dân số nước ta được 1 tỉ người khi
Như vậy dân số nước ta được 1 tỷ vào năm 2924.

Cấp số cộng

Nắm chắc định nghĩa cấp số cộng.

Tính chất cấp số cộng. Số hạng tổng quát của cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng.

- Chứng minh dãy số là cấp số cộng.

- Tính các số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Tính một số yếu tố của cấp số cộng khi đã biết một số yếu tố khác.