Chuyên đề chia hết của đa thức bồi dưỡng hsg toán 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT TÌM SỐ DƯ
Định lý Be zout: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không?
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: . Vậy
Tương tự:
Số dư của khi chia cho x+2 có giá trị là:
Vậy
Bài 2: Tìm số a để
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là:
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để:
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị là:
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
Bài 4: Tìm hế số a để:
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là:
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế số a để:
HD:
Hạ phép chia ta có:
Để
Bài 6: Tìm hế số a để: dư 4
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của , khi chia cho x-3 là
Để có số dư là 4 thì
Bài 7: Tìm hế số a để:
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của , khi chia cho x - 1 là
Để có phép chia hết thì
Bài 8: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để
Bài 9: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế số a, b để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế số a để:
HD :
Để thì
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
Và:
Giải hệ ta được a=0 và b=-16
Bài 13: Tìm hế số a để:
HD :
Để thì
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
Và:
Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a
Bài 14: Tìm hế số a để:
Hạ phép HD :
chia ta có :
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
Bài 16: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để là phép chia hết thì :
8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
Bài 18: Tìm hế số a để:
HD :
Tách:
Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2
Bài 19: Tìm hế số m để:
HD :
Ta có:
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
Bài 20: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12
Bài 21: Tìm hế số a để:
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của khi chia cho x+4 là:
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
Bài 22: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1
Bài 23: Tìm hế số a để:
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của khi chia cho x+2a là:
Để là phép chia hết thì
Bài 24: Tìm số dư của khi chia cho x-1
HD :
Ta có : nên số dư là 5
Bài 25: Tìm số dư của : khi chia cho
HD :
Ta có : => Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của: khi chia cho
HD :
=
Vậy số dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 28: Tìm n nguyên để
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để :
Bài 29: Tìm các số x nguyên để
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 30: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Theo định Bơ zụ thì dư của , khi chia cho x-3 là :
Để
Bài 31: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 32: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 33: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 34: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
Để
Bài 35: Tìm phần dư của phép chia cho đa thức :
a,
b,
Bài 36: Cho đa thức:
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 37: Tìm số nguyên n sao cho: chia hết cho
DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC
Bài 1: Tìm a,b sao cho , chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5
HD :
Theo bài ra ta có: , Cho x=-1, x=3=>
Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho: chia hết cho x+2, chia cho dư 5
HD :
Theo bài ra ta có:
Khi dó ta có :
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5
Khi đó ta có hệ:
Bài 3: Xác định a, b biết: chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21
HD :
Theo bài ra ta có :
và
Cho
Cho
Khi đó ta có hệ :
Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho: chia cho được dư là 2x-3
HD :
Theo bài ra ta có :
Nên ta có :
Cho
Cho
Khi đó ta có hệ
Bài 5: Cho , Xác định a,b để
HD :
Đặt phép chia ta có :
Để
Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho: chia hết cho x-2,
chia cho dư 2x
HD :
Theo bài ra ta có :
Và
Cho
Cho
Cho . Khi đó ta có hệ :
Bài 7: Xác định a,b sao cho:
HD :
Đặt phép chia:
Để
Bài 8: Xác định a,b sao cho:
HD :
Đặt phép chia
Để là phép chia hết thì
Bài 9: Tìm tổng các hệ số của đa thứ sau khi khai triển:
HD :
Tổng các hệ số cảu đa thức sau khi triển khai là giá trị cảu đa thức tại x=1
Thay x=1 vào ta được:
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và có thương là và còn dư
HD :
Cho . Khi đó ta có hệ :
Bài 11: Xác định đa thức , biết: A(x) chia hết cho x-2 và dư là 3x+2
HD :
Ta có :
Khi đó ta có :
Và
Cho , Cho , Cho
Khi đó ta có hệ :
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và được thương là và còn dư
HD :
Do f(x) chia cho được thương là còn dư nên ta có :
Cho
Cho
Khi đó ta có hệ:
Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và P(-1)= - 18
HD :
Ta có: chia hết cho
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng ,
m là hằng số
Lại có :
Vậy
Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết:
HD :
Cho x=0=> mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
Đặt
Chọn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2
Vậy đa thức cần tìm là:
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8,
chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư
HD :
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
Và
Và
Cho
Cho
Khi đó ta có hệ:
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995
HD :
Đặt:
Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002
Vậy đa thức cần tìm là:
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
HD :
Đặt
Cho
Cho
Cho
Cho
Vậy đa thức cần tìm là:
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985
HD :
Đặt
Cho
Cho
Cho
Vậy đa thức bậc hai cần tìm là:
Bài 19: Cho đa thức: và , xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung
HD :
Giả sử nghiệm chung là c
=>
vì x = c là nghiệm
Nên,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Bài 20: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho được thương là và còn dư
Bài 21: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho chia hết cho
Bài 22: Cho đa thức bậc hai : biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 23: Cho đa thức: , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 24: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: với mọi x
Bài 25: Cho đa thức: , Xác định các hệ số ,
Bài 26: Cho đa thức: , CMR luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 27: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 28: Cho đa thức: . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 29: Xác định các hệ số của a, b để chia hết cho
Bài 30: Cho đa thức: và đa thức: , Tìm m để đa thức A chia cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0
DẠNG 3: TỔNG HỢP
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n ta có :
HD :
Ta có: =
Vì nên ta có đpcm
Bài 2: CMR: chia hết cho 24 với mọi n
HD :
Ta có:
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: chia hết cho 48
ta có: ,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
với n
Nên
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
Bài 4:
a, Tìm giá trị của a để
b, Xác định các hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức
HD :
a, Thực hiện phép chia ta được thương là và dư là a+30
b, khi , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có:
Bài 5: Cho đa thức , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD :
Ta có: vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng với m là hằng số:
lại có: vậy
Bài 6: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
HD :
Biểu thức <=>
Bài 7: Tìm a để đa thức chia hết cho đa thức
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 8: Tìm các số a và b sao cho chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có :
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được :
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 10: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu thì
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia cho đa thức :
a,
b,
Bài 12: Tìm giá trị của a để
HD:
Thực hiện phép chia ta được thương là và dư là a+30
Bài 13: Cho đa thức , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD:
Ta có: vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng với m là hằng số:
lại có: vậy
Bài 14: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
HD:
Biểu thức <=>
Bài 15: Tìm a để đa thức chia hết cho đa thức
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 16: Cho đa thức:
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho được thương là và còn dư
Bài 18: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho chia hết cho
Bài 19: Cho đa thức , Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho
3x-1, CMR :
Bài 20: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn :
Bài 21: Tìm các số a và b sao cho chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có :
Thay x = -1 và x=3 vào biểu thức trên ta được :
Bài 22: CMR : , không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
Bài 23: CMR với mọi số nguyên n thì chia hết cho 23
Bài 24: CMR với mọi n thì với n là số nguyên
Bài 25: Xác định các hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức
HD:
khi , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có:
Bài 26: Cho đa thức , Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho 3x-1, CMR :
Bài 27: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn :
Bài 28: CMR với mọi số nguyên n thì chia hết cho 23
a, CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 29: CMR với mọi n thì với n là số nguyên
Bài 30: Cho đa thức: , CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 31: Cho đa thức: thỏa mãn: f(1)=f(-1)
a, Tìm b
b, CMR: f(m)=f(-m) với m bất kỳ
Bài 32: Tính giá trị của đa thức sau biết: :
HD:
Biến đổi đa thức theo hướng làm xuất hiện
Ta có: =
Bài 33: Số a gồm 31 chữ số 1, só b gồm 38 chữ số 1, CMR: ab-2 chia hết cho 3
Bài 34: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a, chia hết cho 5
b, chia hết cho 6
c, chia hết cho 12
Bài 35: Tìm giá trị của m để cho phương trình , có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình:
HD:
Ta có:
Để phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình
hay
Thay vào ta có:
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới