Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

TOÁN 7 CÓ LỜI GIẢI

Chương I

SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC

Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với .
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.

2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.

• Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

3. So sánh hai số hữu tỉ

• Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
• Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
• Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu a = 0.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):

; ; ;

Giải

• Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
• .
• Trình bày lời giải.
• Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng , nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót.

Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:

a) x là số dương;

b) x là số âm;

c) x không là số dương cũng không là số âm.

Giải

• Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng , ta có lời giải sau:
• Trình bày lời giải.

a) và 2020 cùng dấu.

Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ dương.

b) và 2020 khác dấu.

Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm tức là hay suy ra .

Vậy với thì x không là số dương cũng không là số âm.

Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:

a) hay ; b) và ;

c) và .

Giải

• Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:
• Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;
• Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;
• Sau đó so sánh hai phân số.
• Trình bày lời giải.

Rút gọn ta có:

a) nên

b) nên

c) và nên

Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.

a) ; b)

Giải

• Tìm cách giải. Số hữu tỉ (với ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b hay Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.
• Trình bày lời giải.

a) Ư(7); mà Ư(7) suy ra bảng giá trị sau:

Vậy với thì có giá trị là số nguyên.

b) (với ) .

Vậy với () thì có giá trị là số nguyên.

Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ có giá trị là số nguyên.

Giải

• Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
• Trình bày lời giải.

Ư(31) mà Ư(31).

Suy ra ta có bảng giá trị sau:

Với thì số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi .

Giải

• Tìm cách giải. Để chứng minh là phân số tối giản chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1
• Trình bày lời giải.

Đặt ƯCLN (với ) suy ra:

Suy ra: ƯCLN

Vậy là phân số tối giản, với mọi .

Ví dụ 7. Tìm các số hữu tỉ.

a) Có mẫu là 15, lớn hơn và nhỏ hơn ;

b) Có tử là 4, lớn hơn và nhỏ hơn .

Giải

a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với .

Theo đề bài, ta có:

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: .

b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với

Theo đề bài ta có:

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là .

C. Bài tập vận dụng

1.1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?

.

1.2. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số với mẫu số dương.

1.3. Cho ba số hữu tỉ

a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.

b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau.

1.4. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì:

a) x là số dương. b) x là số âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm.

1.5. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì:

a) x là số dương. b) x là số âm.

1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên.

a) ; b)

1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ là một số nguyên.

1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.

1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi .

1.10.

a) Cho hai số hữu tỉ và . Chứng minh rằng khi và chỉ khi .

b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau: và và .

1.11.

a) Cho hai số hữu tỉ và . Chứng minh rằng nếu thì

b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ và .

1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0.

a) So sánh và . b) So sánh và .

c) So sánh và và .

1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn và . Chứng minh rằng .

1.14. Tìm các số hữu tỉ:

a) Có mẫu số là 20, lớn hơn và nhỏ hơn ;

b) Có tử là 2, lớn hơn và nhỏ hơn

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

1.1. Những phân số biểu diễn số hữu tỉ là .

1.2.

1.3.

a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.

b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là các số dương bằng nhau.

1.4.

a)

Vậy với thì số hữu tỉ x là số dương.

b)

Vậy với thì số hữu tỉ x là số âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm

Vậy với thì số hữu tỉ x không là số dương cũng không là số âm.

1.5.

a)

Vậy với thì số hữu tỉ x là số dương.

b)

Vậy với thì số hữu tỉ x là số âm.

1.6.

a) Ta có Ư(5) mà Ư(5)

Suy ra bảng giá trị sau:

Vậy với thì

b) Ta có:

Vậy với thì

1.7. Ư(-2019)

Mà Ư(-2019)

Suy ra bảng giá trị sau:

Vậy với thì là một số nguyên.

1.8.

Ư(7) mà Ư(7)

Suy ra bảng giá trị sau:

Vậy với thì

1.9. Đặt ƯCLN

Suy ra: ƯCLN. Vậy là phân số tối giản với mọi .

1.10.

a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: . Vì nên , do đó:

• Nếu thì suy ra
• Nếu thì suy ra .

b) Ta có: vì

Ta có: . Vì , suy ra:

1.11.

a) Theo bài , ta có: , suy ra (1).

Từ (1) ta có: hay (2)

Mặt khác, từ (1) ta lại có: hay (3)

Từ (2) và (3) suy ra: .

b) Theo câu a) ta có:

suy ra ;

suy ra ;

suy ra ;

Vậy ta có: .

1.12.

a) Trường hợp 1. Xét

Trường hợp 2. Xét

Vậy: Nếu thì

Nếu thì

b) Trường hợp 1. Xét

Trường hợp 2. Xét

c) Áp dụng câu a), ta có nên

Áp dụng câu b), hay suy ra

1.13. Ta có và

Vì nên .

1.14.

a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với .

Theo đầu bài, ta có:

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là:

b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là: với .

Theo đầu bài, ta có:

Vậy số hữu tỉ cần tìm là:

Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA

SỐ HỮU TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Với ta có:

.

2. Với ta có:

(với ).

3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:

a) ; b) ;

Giải

• Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.
• Trình bày lời giải.

a)

b)

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính

a) ; b)

Giải

• Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể vận dụng tính chất phân phối:

• Trình bày lời giải

a)

b)

Ví dụ 3. Tìm x.

a) ; b) ;

c) ;

d) .

Giải

• Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:
• nên
• thì hoặc
• Trình bày lời giải.

a)

b) hoặc suy ra

hoặc hoặc .

Vậy

c)

Vì nên

d)

Mà . Suy ra .

Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết:

Giải

• Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý thì Ư(k), Ư(k).

Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.

• Trình bày lời giải.

Vì là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:

Từ đó suy ra

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

a) ;

b)

Giải

• Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối

để rút gọn.

• Trình bày lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:

Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương thỏa mãn:

. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.

Giải

• Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào, mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng toán này thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:
• Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.
• Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.
• Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.
• Trình bày lời giải.

Giả sử trong 2021 số nguyên dương thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau.

Khi đó

mâu thuẫn với đề bài.

Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau

• Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.

Ví dụ 7. Cho và

Tính giá trị:

Giải

• Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và . Quan sát kỹ chúng ta thấy phần kết luận , mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng . Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:
• Trình bày lời giải.

Ta có

Ví dụ 8. Tìm x, biết:

a) ; b)

Giải

• Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:
• và B cùng dấu.
• và B khác dấu.
• Trình bày lời giải

a) và cùng dấu.

mà nên suy ra: hoặc hoặc .

Vậy với hoặc thì

b) và cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:

• Trường hợp 1: ;
• Trường hợp 2: loại.

Vậy với thì

• Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:

và khác dấu.

Mà nên suy ra: và và .

Vậy với thì

Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng:

Giải

Xét vế trái, ta có:

.

Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.

• Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:

. Từ đó bạn có thể giải được bài toán sau: Chứng tỏ rằng:

C. Bài tập vận dụng

2.1. Viết số hữu tỉ thành:

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.

b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.

2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2.3. Thực hiện các phép tính sau:

a) ;

b) .

2.4. Rút gọn: .

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)

2.5. Tìm x, biết:

a) ; b) ;

c) ; d) .

2.6. Tính:

2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và , sao cho:

2.8. Tìm số nguyên biết:

a) ; b) ; c) .

2.9. Tính tổng , biết:

2.10. Tìm các số hữu tỉ thỏa mãn:

2.11. Cho biểu thức . Chứng minh rằng:

a) ; b)

2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:

a) Tích của 100 số đó là một số dương.

b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.

2.13. Cho 20 số nguyên khác 0: có các tính chất sau:

+ là số dương.

+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.

+ Tổng của 20 số đó là số âm.

Chứng minh rằng:

2.14. Đặt và

So sánh A và B.

2.15. Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn .

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau.

(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)

2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: và . Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

2.1.

a)

b)

c)

d)

2.2.

a)

b)

c)

d)

e)

2.3.

a)

b)

2.4.

2.5.

a)

b)

c) hoặc

suy ra hoặc

hoặc

Vậy

d)

Mà nên hay

2.6. Theo công thức:

Suy ra:

2.7. Vì và có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát, giả sử

Mặt khác

+ Với

+ Với loại.

+ Với loại.

+ Với loại.

+ Với

Vậy cặp là

2.8.

a)

vì là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị

Từ đó suy ra

b)

và y là ước của 6, mà Ư(6)

Từ đó ta có bảng sau:

Từ đó suy ra

c)

và y là ước của 4, mà Ư(4) nên ta có bảng giá trị:

Từ đó suy ra

2.9. Từ đề bài suy ra:

Từ đề bài, ta có:

hay

2.10. Ta có:

Suy ra: mà:

Vậy .

2.11. a) Xét biểu thức ta có:

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh.

b) Ta có:

Hay (1)

Hay (2)

Từ (1) và (2), suy ra: . Điều phải chứng minh.

2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đó là

a) Theo đề bài ta có: trong ba số tồn tại ít nhất một số âm.

Giả sử

Xét

Ta có: theo đề bài:

(có 33 nhóm) nên

b) Theo đề bài ta có trong ba số tồn tại ít nhất một số âm.

Giả sử . Xét mà nên

Xét với mà

Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.

2.13. Ta có:

Mà

Cũng như vậy:

Mặt khác.

Từ các điều kiện (điều phải chứng minh).

2.14. Đặt ;

Ta có

(1)

Mặt khác

(2)

Từ (1) và (2) hay

2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau.

Khi đó

mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.

2.16. Vì nên

(vì ) hay

Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: khi đó

Chuyên đề 3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.

CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN

A. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số.

• Ta có:
• Với mọi , ta luôn có: .

2. Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1.Tìm x, biết:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Giải

• Tìm cách giải. Khi tìm x chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta lưu ý:
• thì hoặc .
• thì A = 0.
• thì không tồn tại.
• Trình bày lời giải

a)

suy ra hoặc

do đó .

b) hoặc .

Vậy

c) suy ra không tồn tại x.

d) hoặc

hoặc .

- Trường hợp 1. hoặc

hoặc

- Trường hợp 2. hoặc

Vậy .

Ví dụ 2. Tìm x; y; z thỏa mãn:

a) ; b)

Giải

• Tìm cách giải. Khi tìm mà tổng các giá trị tuyệt đối bằng 0 ta lưu ý:

thì và .

• Trình bày lời giải

a) Ta có nên từ

suy ra và và

suy ra .

b) Ta có ;

nên từ

suy ra

do đó: .

Ví dụ 3. Tìm , biết:

Giải

• Tìm cách giải. Đối với dạng toán (1), chúng ta nhận thấy rằng vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối. Do vậy có điều kiện: từ đó chúng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Khi đó (1) trở thành: . Và lời giải trở nên đơn giản.
• Trình bày lời giải.

Điều kiện suy ra:

Ví dụ 4. Tìm , biết:

a) ; b)

Giải

• Tìm cách giải. Chúng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau và ngược lại. Do vậy giải dạng toán này, chúng ta lưu ý: hoặc .
• Trình bày lời giải.

a) hoặc

- Trường hợp 1. Giải

- Trường hợp 2. Giải:

Vậy

b)

hoặc

- Trường hợp 1. Giải

- Trường hợp 2. Giải:

Vậy

Ví dụ 5. Tìm biết:

a) ; b) ;

Giải

• Tìm cách giải. Để giải dạng toán tổng giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể:
• Hướng 1. Xét dấu, bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Hướng 2. Vận dụng bất đẳng thức , dấu bằng xảy ra khi .
• Hướng 3. Vận dụng bất đẳng thức , dấu bằng xảy ra khi .
• Trình bày lời giải.

a) Ta có: nên

Do vậy dấu bằng chỉ xảy ra khi .

Vậy .

b) Ta có: . Dấu bằng chỉ xảy ra khi hoặc .

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải

Ta có:

Suy ra

Mặt khác, ta có:

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi

Ví dụ 7. Thực hiện phép tính một cách hợp lí.

;

Giải

• Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính có biểu thức chứa các số thập phân và phân số, ta nên viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện các phép tính. Quan sát kĩ sau khi viết dưới dạng phân số, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối để rút gọn.
• Trình bày lời giải

Ví dụ 8. Tính bằng cách hợp lí:

a) ; b) ;

Giải

• Tìm cách giải. Tính tổng các số thập phân ta có thể vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp để tính hợp lí hơn.
• Trình bày lời giải

a) ;

b)

C. Bài tập vận dụng

3.1. Tìm , biết:

a) ; b) ;

c) ; d) .

3.2. Tìm , biết:

a) ; b) .

3.3. Tìm , biết:

a) ; c) ;

b) ; d) .

3.4. Tìm thỏa mãn:

a) ; b)

c) d)

3.5. Tìm , biết:

a) ;

b) ;

c) .

3.6. Tìm cặp số nguyên thỏa mãn:

a) ; b) .

c) ; d) .

3.7. Tìm , biết:

a) ; b) ;

c) ; d) .

3.8. Tìm cặp thỏa mãn: .

3.9. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

a) ; b) ;

c) .

3.10. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

a) ; b) ;

c) ; d) .

3.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e)

3.12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3.13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x là số nguyên.

3.14. Thực hiện phép tính: .

3.15. Thực hiện phép tính

a) ;

b) .

3.16. Tìm , biết:

a) ;

b) .

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

3.1. a)

Vậy

b)

Vậy

c)

Vậy

d)

Vậy

3.2.

a) (vì )

Vậy

b) , nên suy ra:

Vậy

3.3.

a)

• Trường hợp 1.

• Trường hợp 2.

. Vậy

b)

Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Vậy

c)

Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Vậy

d)

Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Vậy

3.4.

a) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

Vậy

b)

Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

. Vậy

c) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

Vậy

d) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

Vậy

3.5.

a) Điều kiện , suy ra:

(thỏa mãn điều kiện).

b) Điều kiện , suy ra:

(thỏa mãn điều kiện).

c) Ta có:

Từ đó suy ra:

Suy ra: .

3.6.

a) suy ra bảng giá trị sau:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:

b)

Mặt khác là số lẻ nên chúng ta có bảng sau:

suy ra bảng giá trị sau:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:

c)

Mặt khác chia hết cho 3, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:

d)

Mặt khác chia hết cho 5, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:

3.7.

a) Ta có: và nên

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và hay

Vậy

b) Ta có và

Suy ra

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và hay

Vậy

c) Ta có nên

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và

Vậy

d)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi

3.8.

Ta có:

Mặt khác: suy ra

Dấu bằng chỉ xảy ra khi

3.9.

a) Xét , suy ra và cùng dấu.

+ Trường hợp 1. Xét và

và không xảy ra.

+ Trường hợp 2. Xét và

và

+) Với suy ra:

+) Với suy ra

+ Trường hợp 3.

Từ đó ta có cặp số nguyên sau thỏa mãn:

b) Xét suy ra và cùng dấu.

+ Trường hợp 1.

+) Xét và

+) Xét suy ra

+) Xét suy ra

+) Xét suy ra

+ Trường hợp 2. và và vô lý (loại)

Xét

Từ đó, ta có cặp số nguyên sau thỏa mãn:

c) suy ra và cùng dấu.

+ Trường hợp 1.

+) Xét và

+) Xét vô lý vì (loại).

+) Xét

vô lý vì .

+ Trường hợp 2. và và vô lý (loại).

Vậy không tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn.

3.10.

a) Áp dụng dấu bằng chỉ xảy ra khi

Mặt khác: suy ra

Đẳng thức chỉ xảy ra khi và với .

Vậy ta có cặp số nguyên thỏa mãn:

b) và

Đẳng thức xảy ra khi và suy ra

c) Ta có

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi và . Vì suy ra

. Từ đó suy ra các cặp .

d) Ta có

Mặt khác:

Dấu bằng xảy ra khi và vì nên ta có cặp số nguyên thỏa mãn là:

3.11.

a) Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi

b) Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi

c) Ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của C là khi .

d) Ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi .

e) Ta có

Dấu bằng xảy ra khi và hay

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là khi .

3.12. Ta có:

Và suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi .

3.13. Ta có:

Dấu bằng khi và

Với suy ra

Vậy với thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3020.

3.14. Ta có:

3.15.

a)

b)

3.16.

a)

b)

Chuyên đề 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Quy ước :

2. Các phép tính về lũy thừa

3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm

với

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :

Giải

• Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng.
• Trình bày lời giải.

1. Ta có :

1. Ta có :

Ví dụ 2: Tìm x

a) b) c)

Giải

• Tìm cách giải. Khi tìm x có chứa lũy thừa ở phần cơ số ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý:

(với n lẻ) thì

(với n chẵn) thì hoặc

Để tìm x ở phần số mũ ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :

(với ) thì

• Trình bày lời giải

a) hoặc

Suy ra

b)

c)

Ví dụ 3:

a) Chứng minh rằng chia hết cho 66

b) Chứng minh rằng với số nguyên dương n thì chia hết cho 30

Giải

• Tìm cách giải. Để chứng minh ta có thể vận dụng tính chất :

thì

mà thì thì

• Trình bày lời giải

a) Ta có :

b) Ta có :

Ví dụ 4: Thu gọn các biểu thức sau:

a)

b)

c)

Giải

• Tìm cách giải. Những bài toán tính tổng đại số về lũy thừa có cùng cơ số theo quy luật , chúng ta cần nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu từ hạng tử đối nhau thì cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu
• Trình bày lời giải

a) Xét

b) Xét

c) Xét

Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng:

Giải

• Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S. Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng phát hiện ra nhân hai vế của tổng S với . Sau đó cộng với biểu thức S. Cuối cùng đánh giá
• Trình bày lời giải

Xét

hay

Ví dụ 6: Đặt. Chứng minh rằng A chia hết cho 120

Giải

Biểu thức A có 100 số hạng. Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm

. Điều phải chứng minh

C. Bài tập vận dụng

4.1. Tính:

a) b)

4.2. Thực hiện phép tính:

4.3. Cho .Tính

4.4. Tìm x, biết :

a) b)

4.5. Tìm số tự nhiên x, biết :

4.6. Tìm x , biết :

a)

b)

4.7. Chứng minh rằng :

4.8. Chứng minh rằng :

4.9. Chứng minh rằng :

4.10. Chứng minh rằng :

4.11. Xét tổng . Hãy so sánh T với 3

4.12. Cho và .Tính

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)

4.13. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho :

4.14. Chứng tỏ rằng:

a) chia hết cho 10

b) chia hết cho 7

c) chia hết cho 41

4.15. Thu gọn biểu thức sau :

a)

b)

c)

4.16. Đố. Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào

các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho

tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và

mỗi đường chéo bằng nhau được không ?

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

4.1

a)

b)

4.2.

4.3. Xét

do đó :

4.4.

a)

b) Ta có

4.5.

4.6.

a) Ta có

b)

4.7. Đặt vế trái của bất đẳng thức là A

Xét :

Suy ra : hay:

Điều phải chứng minh.

4.8. Xét

4.9. Đặt

Ta có

Ta có :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

4.10. Ta có :

Điều phải chứng minh

4.11. Xét :

mà

Suy ra :

4.12. Ta có :

Do đó

4.13. Xét là số chẵn

Xét là số chẵn

là số chẵn là số lẻ

Theo nhận xét trên thì do đó

Vậy .

4.14.

a)

Ta có tận cùng là 1 nên tận cùng là 1 , mà tận cùng là 7

Suy ra tận cùng là tận cùng là 7

Ta có:

Ta có tận cùng là 1 nên tận cùng là 1

Suy ra tận cùng là 7

Do vậy tận cùng là 0. Vậy chia hết cho 10

b) chia hết cho 7

c) chia hết cho 41

4.15.

a) Xét

suy ra

b) Xét

suy ra

c) Xét

suy ra

Xét

Suy ra :

4.16. Bạn có thể điền như sau :

Chuyên đề 5. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

• Dạng tổng quát : hoặc

Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ.

2. Tính chất của tỉ lệ thức

• Tính chất cơ bản :
• Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:
• Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;
• Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;
• Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ.

3. Từ dãy tỉ số ta suy ra :

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

4. Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.

Ta cũng viết

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và

Giải

• Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:
• Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
• Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
• Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
• Trình bày lời giải

+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)

Đặt suy ra :

Theo giả thiết :

Do đó :

Kết luận

+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Do đó :

Kết luận :

+ Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết

Mà

Do đó :

Kết luận

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : và

Giải

• Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.
• Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
• Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
• Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.
• Trình bày lời giải

+ Cách 1. Từ giả thiết :

Từ (1) và (2) , suy ra :

Ta đặt suy ra

Theo giả thiết :

Do đó: .

+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Do đó:

Kết luận : .

+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết :

Mà

Suy ra :

Kết luận :

Ví dụ 3: Tìm hai số x và y biết và

Giải

Đặt suy ra :

Theo giả thiết :

+ Với thì

+ Với thì

Kết luận. Vậy là .

• Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :

+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp

+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ

Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết

Chứng minh rằng :

Giải

• Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : hay cần chứng minh . Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh. Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số và ta thấy bz và ; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.
• Trình bày lời giải

Từ đề bài ta có :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Suy ra

Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng . Tính chu vi hình chữ nhật đó.

Giải

• Trình bày lời giải

Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)

Theo đề bài , ta có : và

Đặt (điều kiện k > 0 ) , suy ra :

Theo giả thiết : (vì )

Từ đó ta tìm được :

Suy ra chu vi hình chữ nhật là :

Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :

Tính

Giải

Từ giả thiết suy ra :

+ Trường hợp 1: Xét

Suy ra

+ Trường hợp 2 :Xét

Suy ra

Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức

Chứng minh rằng

Giải

Từ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

Từ

Từ

Từ (1) và (2) , suy ra : hay

Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.

Giải

Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là . Theo đề bài ta có : và

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Mặt khác

Từ (2),(3) suy ra :

Đặt

Kết hợp với (1), ta có :

Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.

C. Bài tập vận dụng

5.1. Tìm x, y biết :

a) b)

5.2. Cho x, y thỏa mãn . Tìm x, y

5.3. Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) và

b) và

c) và

5.4. Tìm x, y, z biết rằng:

a) và

b)

c)

d)

e) và

5.5. Cho . Chứng minh rằng:

a)

b)

5.6. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn và

Chứng minh

5.7. Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số

5.8. Chứng minh rằng : Nếu thì

5.9. Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn . Chứng minh rằng:

a) b) .

5.10. Chứng minh nếu trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có

5.11. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng :

5.12. Cho và . Chứng minh rằng :

5.13. Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên

5.14. Cho dãy tỉ số bằng nhau :

Tính giá trị biểu thức

5.15. Cho và . Tính

5.16. Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện :

Hãy tính giá trị của biểu thức .

5.17. Cho a, b, c thỏa mãn và .Chứng minh rằng :

5.18. Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn . Chứng minh rằng

5.19. Cho và .Tính giá trị biểu thức (giả thiết A có nghĩa)

5.20. Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

5.1.

a) Vì

. Thay vào đề bài ta có :

b) Ta có :

Thay vào đề bài ,ta được :

Vậy và

5.2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Kết hợp với đề bài suy ra:

• Trường hợp 1: Xét

suy ra:

• Trường hợp 2: Xét suy ra

Thay vào đề bài ta có :

Vậy

Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1

5.3.

a) Đặt

Mà

+ Với suy ra

+ Với suy ra

b) suy ra

Đặt

Mà

Vậy

c) Ta có :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

suy ra :

5.4.

a) Từ

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

Từ đó suy ra :

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Kết hợp với đề bài, suy ra :

Suy ra :

b) Giải tương tự câu c, ta được :

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra :

Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế :

+ Trường hợp

Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có :

+ Trường hợp

Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có:

5.5. Đặt

a) Xét

Xét

Từ (1) và (2), suy ra :

b) Đặt

Xét

Xét

Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh

5.6. Đặt

Xét

Xét

Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh

5.7. Từ suy ra :

5.8. Từ suy ra :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh.

5.9. Từ .

Đặt

a) Xét

Xét

Từ (1) và (2), suy ra : điều phải chứng minh.

b) Xét

Xét

Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh

5.10. Từ suy ra

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Từ (1), (2), (3) , suy ra , điều phải chứng minh

5.11. Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có :

Do đó

5.12. Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có :

(Vì )

Suy ra :

( vì )

Vậy

5.13. Từ

• Trường hợp 1: Xét

Suy ra

• Trường hợp 2: Xét

Suy ra

Suy ra

Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên

5.14. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Suy ra :

Do đó

5.15. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

.Do đó

5.16. Từ đề bài suy ra :

Mà nên , suy ra

Từ đó , ta có :

5.17. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

5.18. Từ suy ra

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

Từ (1) và (2) , suy ra :

5.19. Từ suy ra

Đặt

Do đó

5.20. Với ta có :

Chuyên đề 6. SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN. SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN. LÀM TRÒN SỐ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Xét phép chia:

• Số 0,15 là số thập phân hữu hạn.
• Số được viết gọn thành 0,14(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 6.

2. Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

3. Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.

4. Quy ước làm tròn số

• Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0.
• Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.

Giải

Ví dụ 2: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Giải

Ví dụ 3: Biểu diễn số thập phân sau dưới dạng phân số :

Giải

• Tìm cách giải. Khi biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số thì ta nhớ :
• Nếu 0, (a) có chu kì là a thì .
• Nếu có chu kì là thì
• Nếu có chu kì là thì

Dựa vào kiến thức đó,ta có lời giải sau:

• Trình bày lời giải

Ví dụ 4: Tính :

Giải

• Tìm cách giải. Trước khi thực hiện ta nên đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra dạng phân số
• Trình bày lời giải

Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên x biết :

Giải

Ta có :

Tương tự:

Ví dụ 6: Tìm x, biết : .

Giải

Ví dụ 7: Theo thống kê dân số thế giới tính đến ngày 28/02/2016, dân số Việt Nam có 94 104 871 người

Hãy làm tròn đến:

a) Hàng nghìn; b) Hàng vạn; c) Hàng triệu

Giải

a) 94 105 000 b) 94 100 000 c) 94 000 000

C. Bài tập vận dụng

6.1.Viết các số thập phân sau dưới dạng phấn số tối giản.

6.2. Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

6.3. Biểu diễn số thập phân sau dưới dạng phân số:

6.4. Tính:

.

6.5. Rút gọn biểu thức :

6.6. Tìm x,biết:

.

6.7. Trong phép chia sau đây .Tổng của 2020 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là bao nhiêu ?

6.8. Một số tự nhiên sau khi làm tròn đến hàng nghìn thì cho kết quả 73 000. Số lớn nhất và số nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

6.9. Thực hiện phép tính :

6.10. Tính

6.11. Tìm tập hợp các số nguyên x , biết rằng :

6.12. Tìm x biết :

6.13. Tính :

6.14. a) Chứng tỏ rằng (với )

b) Tính giá trị biểu thức :

6.15. Cho với . Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên.

6.16. Tìm số tự nhiên x , biết :

6.17. So sánh:

với 0,12; với -0,123

6.18. Cho với a và b là các số nguyên

Tính a + b

6.19. Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp

biết

6.20. Đố .Đặt phép tính (*) được xác định bởi

Tính giá trị biểu thức :

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

.

6.5.

6.6.

a)

b)

c)

6.7.

Ta có :

Ta có : dư 4

Vậy tổng của 2020 chữ số đầu tiên sau dấy phẩy là :

6.8. Kết quả :

+ Số lớn nhất là : 73499

+ Số nhỏ nhất là : 72500

6.9. Ta có :

6.10.

6.11.

6.12. Ta có:

6.13. Xét

Ta có :

6.14. Vì nên :

Do đó M > 1 (1)

Mà :

Vì (tương tự (1) )

Suy ra : (2)

Từ (1) và (2) , suy ra : nên M không phải là số nguyên.

6.15.

a)

Tương tự :

b)

Tương tự :

6.16.

a) Ta có : nên

b) Ta có: nên

6.17.

Do b nguyên và khác 0 nên

Hay là . Do a nguyên nên hoặc

Nếu thì

thử lại có đúng

Vậy và suy ra

Nếu thì . Do

Nếu thử lại có vô lí

Vậy

6.18.

a) là ước của (vì )

. Do đó

Vậy

b)

Kết hợp với , ta có và đẳng thức :

6.19. Ta có : suy ra :

.

Chuyên đề 7.

SỐ VÔ TỈ

KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC

A. Kiến thức cần nhớ

1. Số vô tỉ. Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I.

2. Khái niệm về căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho

* Số dương a có đứng hai căn bậc hai, một số dương kí hiệu là và một số âm kí hiệu là

* Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0, cũng biết

3. Số thực

* Số vô tỉ và số hữu tỉ gọi chung là số thực.

* Tập hợp các số thực kí hiệu là R.

* Cách so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.

* Trong tập hợp các số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tính và so sánh:

a) và b) và

c) và d) và

Giải

• Tìm cách giải. Để tính ta thực hiện phép nhân a.b trước, sau đó mới khai căn kết quả. Để tính ta tính và sau đó nhân kết quả với nhau.
• Trình bày lời giải

a) Ta có: và

Suy ra

b) Kết quả

c) Kết quả

d) Kết quả

Từ đó ta có thể dự đoán một công thức: với .

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:

a) b) c)

Giải

• Tìm cách giải. Thực hiện phép tính chứa căn bậc hai và phép tính cộng, trừ, nhân, chia, chúng ta thực hiện theo thứ tự phép tính: khai căn bậc hai trước, sau đó nhân, chia cuối cùng là cộng trừ.
• Trình bày lời giải

a)

b)

c)

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: biết

Giải

- Nếu thì

- Nếu thì

Ví dụ 4: Tìm x, biết:

a) b)

c) d)

Giải

• Tìm cách giải. Những bài tìm x chứa căn bậc hai, chúng ta lưu ý kiến thức sau:
• thì
• thì
• Trình bày lời giải.

a)

b)

+ Trường hợp 1: Xét:

+ Trường hợp 2: Xét:

Vậy

c)

+ Trường hợp 1: Xét:

+ Trường hợp 2: Xét: Không tồn tại x.

Vậy

d) hoặc hoặc

Xét

Xét

Xét

Vậy

Ví dụ 5: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:

a) với 9. b) với 1.

c) với

Giải

• Tìm cách giải: Khi so sánh các biểu thức chứa căn bậc hai, mà không dùng máy tính, chúng ta vận dụng tính chất:
• Trình bày lời giải.

a) Ta có:

b) hay

c) Ta có:

Ví dụ 6:Cho Hãy tìm:

a) Giá trị nhỏ nhất của A. b) Giá trị lớn nhất của B.

Giải

• Tìm lời giải. Chúng ta lưu ý: với mọi Đẳng thức xảy ra khi
• Trình bày lời giải.

a) Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi

b) Ta có: Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 khi

Ví dụ 7: Tính tổng các chữ số của a biết rằng: .

Giải

Ta có:

Vậy tổng các chữ số a là:

Ví dụ 8: Chứng minh rằng là một số vô tỉ

Giải

• Tìm lời giải. Một số thực chỉ có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỉ. Do vậy để chứng minh là số vô tỉ, chúng ta nên dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng:
• Bước 1: Phủ định kết luận. Giả sử là số hữu tỷ.
• Bước 2: Lập luận logic, suy ra mâu thuẫn với một điều đã biết, một tính chất hiển nhiên.
• Bước 3: Vậy giả sử là sai. Suy ra kết luận là đúng.
• Trình bày lời giải.

Giả sử là một số hữu tỉ, như vậy có thể viết Với và ƯCLN

Khi đó Do đó

Đặt . Thay vào, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 2 trái với ƯCLN

Vì vậy không thể là số hữu tỉ, do đó là số vô tỉ.

C. Bài tập vận dụng

7.1 Thực hiện phép tính:

a) b)

7.2 Thực hiện phép tính:

a)

b)

c)

7.3 Thực hiện phép tính:

7.4 Thực hiện phép tính:

7.5 So sánh:

a) và

b) và

7.6 So sánh:

a) và 4. b) và 8. c) và

7.7 Tính giá trị biểu thức: với

7.8 Tìm x biết:

a) b)

c) d)

e)

7.9 Hãy so sánh A với B biết:

7.10 Cho Hãy tìm:

a) Giá trị nhỏ nhất của P. b) Giá trị lớn nhất của Q.

7.11 Cho Tìm và để cho M có giá trị nguyên.

7.12 Cho . Tìm để N có giá trị nguyên.

7.13 Chứng minh rằng:

7.14 Chứng tỏ rằng: là một số vô tỉ.

7.15 Tìm x, biết;

a) b) c) (với .

d) (với e) f)

g) h)

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

7.1 a) b)

7.2 a)

b)

c)

7.3

7.4

7.5 a) Ta có:

Suy ra

b) Ta có

Suy ra

7.6 a) b)

c)

Suy ra:

7.7 Thay vào biểu thức ta được;

7.8 a)

b)

c)

d)

e)

7.9 Ta có:

mà

7.10 a) Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi

b) Ta có: Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của Q là 7 khi

7.11 M có giá trị nguyên hay là số chính phương chẵn. Mà nên suy ra

Vậy với thì M có giá trị là số nguyên.

7.12 Ư (9) mà Ư (9)

Suy ra bảng giá trị:

Vậy với thì N có giá trị nguyên.

7.13 Ta có:

Từ đó suy ra:

Mà Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

7.14 Giả sử là số hữu tỷ, suy ra với và ƯCLN

Suy ra: . Đặt

Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 3 trái với ƯCLN .

Vì vậy không thể là số hữu tỷ, do đó là số vô tỉ.

7.15 Đáp số:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

Chuyên đề 8

PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ

A. Kiến thức cần nhớ

1.Định nghĩa:

Ta biết rằng mọi số thực x đều có thể viết được dưới dạng trong đó và

Chẳng hạn .

Hơn nữa cách viết trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên n là phần của x và kí hiệu là ; còn y được gọi là phần lẻ của x và kí hiệu là .

Từ phân tích trên, ta rút ra định nghĩa.

• Định nghĩa. Phần nguyên của x, kí hiệu là là số nguyên lớn nhất không vượt quá x; phần lẻ của x là được kí hiệu là

2. Tính chất:

• Nếu thì và

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm phần nguyên, phần lẻ của các số hữu tỉ x, biết:

a) v) c) d)

Giải

a)

b)

c)

d)

Ví dụ 2: Tìm biết:

Giải

• Tìm cách giải: Nếu số hữu tỉ x bị “kẹp giữa” hai số nguyên liền nhau thì đúng bằng số nhỏ trong hai số nguyên đó tức là với thì
• Trình bày lời giải

Vì mà nên

Ví dụ 3: Tìm phần nguyên của số hữu tỉ x biết:

a) b)

c) d)

Giải

• Tìm cách giải. Tương tự như ví dụ 2. Chúng ta tìm số nguyên n sao cho với thì
• Trình bày lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có: mà x > 8

d) Ta có: mà

Ví dụ 4: Đặt Tìm

Giải

• Tìm cách giải. Với ý tưởng như ví dụ trên. Chúng ta tìm số nguyên n sao cho với thì Nhận thấy mẫu số của biểu thức A có 10 phân số, do vậy việc đánh giá nên dùng phương pháp so sánh cùng tử và nhóm thích hợp các phân số.
• Trình bày lời giải

Ta có:

Mà:

Ví dụ 5: Tích có bao nhiêu thừa số 3 khi phân tích ra thừa số nguyên tố?

Giải

• Tìm cách giải. Việc tìm có bao nhiêu thừa số 3 khi phân tích T ra thừa số nguyên tố theo cách đếm là hết sức khó khăn. Khi phân tích đề bài, chúng ta chỉ cần tìm các số chia hết cho các lũy thừa cả 3, sau đó cộng lại.
• Trình bày lời giải.

Ta có nhận xét rằng bắt đầu kê từ số 1, cứ 3 số lại có một bội của 3, cứ 9 số lại có một bội của 9, cứ 27 số lại có một bội của 27;… Do đó số thừa số 3 khi phân tích T ra thừa số nguyên tố bằng:

(Vì số có phần nguyên bằng 0 nên ta không tiếp tục tìm phần nguyên của số tiếp theo).

• Tổng quát. Số thừa số nguyên tố p khi phân tích , ra thừa số nguyên tố là:

với k là số mũ lớn nhất sao cho

Ví dụ 6: Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:

a) b) c)

Giải

• Tìm cách giải. Tìm số hữu tỉ x có chứa phần nguyên như đề bài, chúng ta có định hướng sau: thì B là số nguyên.
• Nếu A là số nguyên thì A = B.
• Nếu không rõ A là số nguyên thì
• Trình bày lời giải.

a) Vì

Ta có

Mà nên

b) Đặt

Thay vào (*) ta được:

mà suy ra

c)

Đặt thay vào (**) ta được:

mà từ đó suy ra

Ví dụ 7: Với x là số thực. Chứng minh rằng

Giải

• Tìm cách giải. Nhận thấy x và hơn kém nhau đơn vị. Do vậy chúng ta nên so sánh với Bởi vì nếu thì , còn nếu thì . Từ đó bài toán cần xét hai trường hợp.
• Trình bày lời giải
• Trường hợp 1

Xét

Do đó

Còn

Từ đó suy ra

• Trường hợp 2. Xét tương tự với

Ví dụ 8: Tìm x, biết:

a) b)

Giải

a) Đặt Thay vào đề bài, ta có:

do nên

Với

Với

Suy ra

b) Đặt thay vào đề bài, ta có:

Áp dụng ví dụ 7, suy ra

Đặt Thay vào (*), ta có:

Vì nên suy ra

C. Bài tập vận dụng

8.1 Tìm phần nguyên và phần lẻ của x, biết rằng:

a) b) c) d)

8.2 So sánh phần nguyên của các số hữu tỉ sau:

a) b)

8.3 Tìm phần nguyên của số hữu tỉ x, biết rằng:

a) b)

c) d)

8.4 Tìm biết: , với n là số nguyên dương.

8.5 Tìm phần nguyên của:

8.6 Với mỗi số nguyên dương n, đặt , trong đó kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Tính

8.7 Tính tổng:

8.8 Giả sử Chứng minh rằng:

a) Nếu thì

b) Nếu n không chia hết cho a và thì

8.9 Chứng minh rằng với mọi số thực thì bằng hoặc

8.10 Cho n là số nguyên dương, chứng minh:

8.11 Nếu . Chứng minh rằng

8.12 Tìm số nguyên x biết:

a) b)

8.13 Tìm x, biết:

8.14 a) Cho Với giá trị nào của thì A chia hết cho 2?

b) Cho Với giá trị nào của thì B chia hết cho 3?

8.15 Số 2020! Có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0.

8.16 Đặt với n là số nguyên dương. Hỏi trong 2020 số: có bao nhiêu số khác 0?

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

8.1 a) b)

c) d)

8.2 a) nên

b) nên

8.3 a) Ta có:

b)

c)

d)

8.4 Ta có:

8.5 Ta có:

Vậy phần nguyên của S là 201.

8.6

8.7 Ta chú ý rằng: với nên

Làm tương tự như vậy,….,

Vậy tổng

8.8 a) Nếu đặt Ta có:

Từ (1) và (2), suy ra điều phải chứng minh.

b) Nếu n không chia hết cho a, đặt (với

Và

Vì

8.9 Nếu

Ta có

Mặt khác, hiển nhiên tức là

- Nếu

Ta có:

Mặt khác, ta có:

Tức là: suy ra

8.10

- Xét n là số chẵn thì:

- Xét n là số lẻ thì:

Vậy ta luôn có:

8.11 Vì nên tồn tại sao cho

Đặt suy ra

Vì và nên do vậy

8.12 a)

Vì nên

b)

vì nên

8.13 Áp dụng công thức: . Ta có:

Vô lý. Vậy không có x thỏa mãn.

8.14

a) Xét

Xét

không chia hết cho 2.

Vậy với thì A chia hết cho 2.

b) Xét

Xét

không chia hết cho 3.

Vậy với thì B chia hết cho 3.

8.15 Ta có: có tận cùng bằng một chữ số 0. Như vậy muốn biết 2020!=1.2.3…2020 có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 thì ta chỉ cần số thừa số 2 và số thừa số 5 khi phân tích số 2020! ra thừa số nguyên tố. Mặt khác dễ thấy số thừa số 5 ít hơn thừa số 2 nên ta chỉ cần tính số thừa số nguyên tố 5. Kể từ 1 cứ 5 số lại có một bội của 5; cứ số lại có một bội của ; cứ 125 lại có một bội của ; cứ 625 lại có một số là bội của

Ta có số thừa số 5 khi phân tích số 2020! ra thừa số nguyên tố là:

Vậy số 2020! Có tận cùng bằng 503 chữ số 0.

8.16 Vì chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 nên ta có:

Vậy có tất cả 1010 số khác 0.

Chuyên đề 9.

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN SUY LUẬN LOGIC

A. Kiến thức cần nhớ

Bài toán suy luận logic thường phát biểu dưới dạng toán đố (có lời văn). Để làm được dạng toán này không nhất thiết cần nhiều kiến thức phức tạp mà thường đòi hỏi suy tư sáng tạo, nhận xét tinh tế.

Ta thường gặp bài toán cho trạng thái ban đầu cùng các thao tác thay đổi liên tục trạng thái đó và yêu cầu cần phải chỉ ra một điều gì đó về trạng thái cuối cùng của nó. Việc khảo sát toàn bộ sau tất cả các lần thay đổi như vậy rất phức tạp. Khi đó ta có thể trả lời câu hỏi mà bài toán yêu cầu nhờ tính toán một đại lượng nào đó đặc trưng cho trạng thái của bài và được đảm bảo qua tất cả các lần thay đổi. Đại lượng không đổi đó được gọi là bất biến của bài toán đã cho. Như vậy trong trạng thái cuối cùng của bài toán, giá trị của bất biến vẫn giữ nguyên như trạng thái ban đầu, tức là hệ thống không thể ở trong trạng thái với một giá trị khác với bất biến. Để tìm lời giải cho bài toán:

• Ta xác định đại lượng ở hai trạng thái: trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng.
• Khảo sát sự thay đổi của nó qua một số lần thay đổi liên tiếp để phát hiện sự bất biến.

Các tính chất bất biến thường gặp là: xét tính chẵn lẻ, xét tính chia hết của một số nguyên, xét màu sắc của vật cần xét.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Trên bảng, người ta viết 2020 dấu (+) và 2021 dấu (-). Giả sử mỗi lần ta thực hiện thao tác: Hai dấu bất kì trên bảng bị xóa đi và thay bằng dấu (+) nếu chúng giống nhau, thay bằng dấu (-) nếu chúng khác nhau. Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng còn lại một dấu. Hỏi trên bảng còn lại dấu (+) hay dấu (-)?

Giải

• Tìm cách giải. Đọc xong đề bài, chúng ta nhận thấy:

- Lúc đầu có tất cả 4041 dấu cả dấu (+) và dấu (-).

- Mỗi lần thực hiện thao tác, xóa hai dấu và viết lại một dấu nên sau mỗi thao tác số dấu trên bảng giảm đi 1.

- Do vậy sau 4040 lần thực hiện thao tác, trên bảng chỉ còn 1 dấu.

- Bài toán không thể thực hiện hết được tất cả các thao tác trong mọi trường hợp, do vậy chúng ta thử một vài khả năng xảy ra để tìm yếu tố bất biến (không đổi) trong mọi thao tác. Thật vậy:

+ Trường hợp 1. Nếu xóa hai dấu (+) thì viết lại một dấu (+).

+ Trường hợp 2. Nếu xóa hai dấu (-) thì viết lại một dấu (+).

+ Trường hợp 3. Nếu xóa một dấu (+) và một dấu (-) thì viết lại một dấu (-).

- Ta nhận thấy trong ba trường hợp thì số dấu (+) có thể giữ nguyên, có thể tăng 1, có thể giảm 1. Còn số dấu (-) chỉ giữ nguyên hoặc giảm 2. Như vậy số dấu (-) trong mọi thao tác luôn luôn là số lẻ.

• Trình bày lời giải

Mỗi lần thực hiện thao tác: Hai dấu bất kì trên bảng bị xóa đi và thay bằng dấu (+) nên chúng giống nhau, thay bằng dấu (-) nếu chúng khác nhau thì số dấu (-) giữ nguyên hoặc giảm đi hai. Vì vậy tính chẵn lẻ của dấu (-) không thay đổi qua các thao tác. Ban đầu có 2021 dấu (-), tức là số dấu trừ là một số lẻ. Vì vậy ở cuối cùng còn lại một dấu (số lẻ dấu) thì phải là dấu (-).

• Nhận xét: Ở ví dụ 1, tính bất biến là số các dấu (-) còn lại sau mỗi lần xóa luôn là một số lẻ.

Ví dụ 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8,…,200 (gồm 100 số nguyên dương chẵn đầu tiên). Sau khi thêm các dấu (+) hoặc dấu (-) vào giữa các số trên một cách tùy ý rồi thực hiện phép toán. Bạn Toán tính được kết quả là 34, bạn Học tính được là – 10. Hỏi bạn nào tính sai?

Giải

• Tìm cách giải. Nhận thấy dãy số gồm toàn số chẵn nên kết quả cũng là số chẵn, mà 34 và – 10 cũng là số chẵn nên không thể vận dụng tính chẵn lẻ được.

Chúng ta thử cách khác, viết toàn bộ dấu (+) thì kết quả là 10100. Để kết quả nhỏ hơn (34 hoặc – 10) thì chúng ta đổi dấu một vài dấu (+) thành dấu (-). Chúng ta thử đổi dấu (+) trước số 6 thì thấy kết quả giảm đi 12, tức là giảm đi 2.6. Quan sát tiếp một vài số nữa chúng ta thấy giảm đi 2 lần số bị đổi dấu. Tức là kết quả còn lại luôn luôn chia hết cho 4. Còn số 34 và – 10 đều không chia hết cho 4.

• Trình bày lời giải

Tổng

Khi thay số a bởi số - a thì tổng S giảm đi 2a, mà a là số chẵn nên S giảm đi bội của 4. Tổng S ban đầu là số chia hết cho 4, nên kết quả cuối cùng sau khi thay dấu (+) hoặc dấu (-) thì phải là một bội số của 4.

Hai số 34 và – 10 đều không phải là bội số của 4, nên cả hai bạn đều tính sai.

• Nhận xét. Ở ví dụ 2, tính bất biến là kết quả của tổng các số luôn là bội số của 4.

Ví dụ 3: Trong dãy số 13576193923… bắt đầu từ chữ số thứ năm, mỗi chứ số bằng chữ số hàng đơn vị của tổng bốn chữ số đứng ngay trước nó. Hỏi trong dãy này có chứa cụm chữ số 1234 và 6789 không?

Giải

• Tìm cách giải. Các chữ số trong dãy chỉ tồn tại hai trạng thái chẵn hoặc lẻ. Quan sát những lần xuất hiện chữ số chẵn hoặc chữ số lẻ trong dãy, chúng ta có lời giải sau:
• Trình bày lời giải.

Nhận thấy tổng của 4 chữ số lẻ là một số chẵn, tổng của 3 chữ số lẻ và một chữ số chẵn là một số lẻ.

Ta cần tìm quy luật chẵn lẻ (bất biến) của các chữ số trong dãy đã cho bằng cách:

Ta thay mỗi chữ số của dãy đã cho bằng số 0 nếu nó là số chẵn và bằng số 1 nếu nó là một số lẻ. Khi đó ta nhận được dãy số 111101111011110…, trong dãy này cứ sau bốn chữ số 1 có một chữ số 0 và cứ sau một chữ số 0 là bốn chữ số 1 (tính bất biến). Nhận thấy các dãy 1234 và 6789 ứng với các dãy bốn chữ số 1010 và 0101 nên không thể có mặt trong dãy số trên.

Ví dụ 4: Cho bàn cờ kích thước 10x10 ô vuông. Hỏi có thể dùng 49 hình chữ nhật kích thước 1x2 để ghép sao cho chỉ còn 2 ô ở hai góc đối diện của bảng được hay không?

Giải

• Tìm cách giải. Nhận xét, mỗi mảnh hình chữ nhật chỉ ghép được 2 ô liền nhau, nên chúng ta nghĩ tới việc tô màu hoặc đánh số chẵn lẻ.
• Trình bày lời giải.

Ta ghi các số 1 và 2 vào bảng sao cho hai ô liền nhau được ghi hai số khác nhau (chẳng hạn như hình vẽ), sẽ có 50 ô số 1 và 50 ô số 2, hai số ghi ở hai góc đối diện sẽ cùng là số 1 hoặc cùng là số 2.

Mỗi lần ghép một hình chữ nhật thì chiếm hai ô cùng hàng hoặc cùng cột liền nhau, tức là tô màu một ô ghi số 1; một ô ghi số 2. Như vậy sau mỗi lần ghép một hình chữ nhật thì số ô ghép t hình chữ nhật ghi số 1 bằng số ô chưa tô màu ghi số 2. Sau 49 lần ghép hình chữ nhật sẽ còn 2 ô: 1 ô ghi số 1, 1 ô ghi số 1. Hai ô này không thể ở hai góc đối của bảng được.

Ví dụ 5: Cho bảng ô vuông kích thước 2009 x 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi). Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không?

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên TP Hải Phòng, năm học 2009 – 2010)

Giải

• Tìm cách giải. Tương tự như ví dụ trên, chúng ta nhận thấy mỗi thao tác chỉ dịch chuyển hai viên sỏi ở hai ô sang ô bên cạnh. Do vậy chúng ta nghĩ tới việc tô màu như bàn cờ vua. Mỗi thao tác, một viên sỏi chuyển từ ô đen sang ô trắng hoặc ngược lại. Nếu tất cả các viên sỏi vào một ô đen (hoặc ô trắng) thì số sỏi ở ô đen là số chẵn và số sỏi ở ô trắng cũng là số chẵn. Vậy ta có lời giải sau:
• Trình bày lời giải.

Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua. Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 x 2009 là một số lẻ.

Sau mỗi phép thực hiện thao tác T, xảy ra những trường hợp sau:

• Trường hợp 1. Nếu lấy hai viên sỏi ở hai ô đen thì chuyển sang hai ô trắng số sỏi ở ô đen giảm 2.
• Trường hợp 2. Nếu lấy hai viên sỏi ở hai ô trắng thì chuyển sang hai ô đen số sỏi ở ô đen tăng 2.
• Trường hợp 3. Nếu lấy một viên sỏi ở ô đen và một viên sỏi ở ô trắng thì chuyển sang một ô trắng và một ô đen số sỏi ở ô đen không đổi.

Như vậy mọi trường hợp số sỏi ở ô đen chỉ tăng (hoặc giảm) 2 viên hoặc không đổi suy ra tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ. Vậy không thể chuyển tất cả các viên sỏi trên bằng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thực hiện thao tác T.

Ví dụ 6: Một bảng ô vuông gồm 2019 hàng và 2020 cột. Ký hiệu ô ở hàng thứ m và cột thứ n là (m,n). Người ta tô màu các ô của bảng theo cách sau: Lần thứ nhất tô màu 3 ô (r, s), (r+1, s+1), (r+2, s+2) với Từ lần thứ hai, mỗi lần tô đúng 3 ô chưa được tô màu liền nhau cùng hàng hoặc cùng cột. Hỏi bằng cách này có thể tô màu được tất cả các ô vuông của bảng đã cho không?

Giải

Ta ghi vào bảng các số tự nhiên theo cách sau: Từ trái sang phải, mỗi hàng ghi lần lượt các số tự nhiên từ 1 đến 2020. Như vậy, 3 ô liền nhau trong cùng một hàng ghi 3 số tự nhiên liên tiếp, 3 ô liền nhau trong cùng một cột sẽ ghi 3 số tự nhiên giống nhau.

Ở lần tô màu thứ nhất, tổng 3 số ghi ở 3 ô được tô màu là s + s + 1+ s + 1 = 3s + 2 là một số chia cho 3 dư 2.

Từ lần tô màu thứ hai trở đi, mỗi lần tô tổng 3 ô ghi ở 3 ô được tô màu là một số chia hết cho 3 (vì 3 số tự nhiên liên tiếp hoặc 3 số tự nhiên giống nhau).

Do đó, sau mỗi lần tô màu theo quy luật trên thì các ô đã được tô có tổng các số ghi trên đó là số chia cho 3 dư 2.

Tổng số các số ghi trên bảng ban đầu là chia hết cho 3. Vì vậy sau mỗi lần tô màu thì các ô còn lại (chưa tô) có tổng các số ghi trên đó là một số chia cho 3 dư 1 (tính bất biến). Vì vậy bằng mọi cách đều không thể tô màu được tất cả các ô vuông của hàng.

Ví dụ 7: Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thước như nhau, mỗi đồng xu có hai mặt: một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ, tất cả các đồng xu đều ngửa mặt xanh lên trên. Thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi phải đổi mặt 4 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2006 lượt chơi, có thể nhận được tất cả 2005 đồng xu trên bàn đều ngửa mặt đỏ lên được không? Vì sao?

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội, năm học 2005 – 2006)

Giải

• Tìm cách giải. Đọc xong đề bài, chúng ta nhận thấy:

- Bài toán không thể thực hiện hết được tất cả các thao tác trong mọi trường hợp, do vậy chúng ta thử một vài khả năng xảy ra để tìm yếu tố bất biến (không đổi) trong mọi thao tác. Thật vậy:

• Trường hợp 1. Nếu đổi 4 đồng xu mặt xanh thành 4 đồng xu mặt đỏ ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên giảm 4.
• Trường hợp 2. Nếu đổi 3 đồng xu mặt xanh, 1 đồng xu mặt đỏ thành 3 đồng xu mặt đỏ, 1 đồng xu mặt xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên giảm 2.
• Trường hợp 3. Nếu đổi 2 đồng xu mặt xanh, 2 đồng xu mặt đỏ thành 2 đồng xu mặt đỏ, 2 đồng xu mặt xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên không đổi.
• Trường hợp 4. Nếu đổi 1 đồng xu mặt xanh, 3 đồng xu mặt đỏ thành 1 đồng xu mặt đỏ, 3 đồng xu mặt xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng 2.
• Trường hợp 5. Nếu đổi 4 đồng xu mặt đỏ thành 4 đồng xu mặt xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng 4.

- Ta nhận thấy trong năm trường hợp thì đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng hoặc giảm đi số chẵn lần. Như vậy số đồng xu mặt xanh ngửa lên trong mọi thao tác luôn luôn là số lẻ và số đồng xu mặt đỏ ngửa lên luôn là số chẵn.

• Trình bày lời giải.

Không thể nhận được tất cả 2005 đồng xu trên bàn đều ngửa mặt đỏ lên trên.Vì thế mỗi lần thay đổi 4 đồng xu: có x đồng xu ngửa mặt xanh lên trên và có 4 – x đồng xu ngửa mặt đỏ lên. Do đó số đồng xu ngửa mặt đỏ lên đã thay đổi là một số chẵn đồng xu. Nghĩa là số các đồng xu ngửa mặt xanh thành mặt đỏ không thay đổi tính chẵn lẻ. Ban đầu có 0 đồng xu ngửa mặt đỏ lên là một số chẵn thì không thể biến đổi thành số lẻ là 2005 đồng xu ngửa mặt đỏ lên.

• Nhận xét. Vì tính chất bất biến là tính chẵn lẻ nên ta thay số 2005 thành một số lẻ bất kỳ và số 4 thành một số chẵn bất kỳ thì bài toán không thay đổi kết quả.

Ví dụ 8: Có thể phủ kín bảng 20 x 13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên nhau không?

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên TP Hải Phòng, năm học 2013 – 2014)

Giải

Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1 đen, dòng 2 trắng, dòng 3 đen, dòng 4 trắng,…

Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen.

Trong bảng, số ô đen bằng số o trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng bằng số miếng lát phủ 3 ô trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát.

Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể được phủ được bảng thỏa mãn.

C. Bài tập vận dụng

9.1. Trên bảng ghi một dãy số gồm 2019 số 1 và 2020 số 2. Ta thực hiện xóa hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng. Quá trình cứ tiếp tục như vậy. Hỏi trên bảng có khi nào gồm toàn số 0 hay không?

9.2. Một tờ giấy được xé thành 4 mảnh, mỗi tờ giấy trong số tờ giấy nhỏ này lại được xe nhỏ thành 4 mảnh nhỏ nữa, …, tiếp tục như vậy có khi nào được 2019 mảnh giấy hay không? Vì sao?

9.3. Có 2019 tách uống trà đặt trên bàn. Lúc đầu tất cả các tách trà đều được lật ngửa lên. Giả sử mỗi lần người ta làm cho 210 tách trong chúng được lật ngược lại. Hỏi sau một số lần như vậy có thể làm cho tất cả các tách đều úp xuống được không?

(Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội, năm học 1996 – 1997)

9.5. Ở sáu đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Ta thay đổi các số như sau: mỗi lần chọn một cạnh bất kì rồi cộng mỗi số ở hai đỉnh cạnh đó với cùng một số nguyên. Hỏi sau các lần thay đổi như thế thì sáu số mới ở đỉnh lục giác có bằng nhau không? Vì sao?

9.6. Trên hòn đảo có một loài thằn lằn sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ, tím. Để lẩn trốn và săn mồi thì loài thằn lằn này biến đổi màu như sau: nếu hai con thằn lằn khác màu gặp nhau thì chúng đồng thời đổi màu sang màu thứ ba. Nếu hai còn thằn lằn cùng màu gặp nhau thì giữ nguyên màu. Có khi nào tất cả các con thằn lằn trở thành cùng màu không? Vì sao?

9.7. Trên bảng ghi các số từ 1 đến 2020. Thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần thay đồng thời tất cả các số có ở trên bảng bởi tổng các chữ số của nó. Hỏi nếu sau một số lần ta nhận được 2020 số mà mỗi số chỉ gồm một chữ số thì có bao nhiêu số 1.

9.8. Có một bao đựng 150 hòn bi đen và 75 hòn bi trắng. Một người bốc từ bao ra mỗi lần hai hòn bi một cách ngẫu nhiên. Nếu anh ta bốc được một hòn đen và một hòn trắng, anh ta lại bỏ viên trắng vào bao, cất đi viên đen. Nếu anh ta bốc được 2 viên cùng màu, anh ta cất đi cả hai rồi bỏ lại vào bao một hòn đen (giả sử anh ta có nhiều hòn đen ở ngoài đủ để làm chuyện đó nếu cần). Quá trình lặp lại. Sau cùng còn đúng một viên bi trong bao, lý do tại sao? Viên bi đó màu gì?

9.9. Có thể lát kín một cái sân hình vuông cạnh 3,5m bằng những viên gạch hình chữ nhật kích thước 25cm x 100cm được hay không?

(Thi tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, tỉnh Hòa Bình, năm học 2013-2014)

9.10. Trong bảng ô vuông 10 x 10 . Có thể sắp đặt 25 miếng bìa hình chữ nhật kích thước 1x4 phủ kín toàn bộ bảng ô vuông hay không?

9.11. Có 1999 tách uống trà đặt trên bàn. Lúc đầu tất cả các tách trà đều được lật ngửa lên. Mỗi một nước đi, ta làm cho đúng 100 tách trong chúng được lật ngược lại. Sau một số nước đi, có thể làm cho tất cả chúng đều úp xuống được không? Tại sao? Trả lời câu hỏi này trong trường hợp chỉ có 1998 tách.

(Thi chọn đội tuyển Hồng Koong tham gia IMO, năm học 2000, vòng 1)

9.12. Nam cắt một tờ giấy ra làm 4 miếng hoặc 8 miếng, rồi lấy một số miếng nhỏ đó cắt ra làm 4 hoặc 8 miếng nhỏ hơn và Nam cứ tiếp tục thực hiện việc cắt như thế nhiều lần. Hỏi với việc cắt như vậy, Nam có thể cắt được 2016 miếng lớn nhỏ hay không? Vì sao?

(Thi tuyển sinh lớn 10, THPT chuyên TP. Hồ Chí Minh,năm học 2016-2017)

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

9.1 Ban đầu có 2019 số 1 (số 1 là số lẻ)

- Nếu xóa hai số giống nhau, thay bằng hiệu của chúng thì số 1 giữ nguyên hoặc giảm đi 2 số nên số số 1 sau lần xóa vẫn là số lẻ.

- Nếu xóa hai số khác nhau (1 và 0) thay bằng hiệu của 2 số thì số 1 không đổi.

Như vậy sau mỗi lần xóa hai số bất kì thay bằng hiệu của chúng thì số số 1 vẫn là số lẻ nên không thể trên bảng còn toàn số 0 được.

9.2 Số mảnh giấy sau mỗi lần xé tăng thêm 3. Vậy ở lần xé thứ n thì số mảnh giấy là 3n + 1. Mà 2019 : 3 dư 0. Suy ra không được.

9.3 Mỗi lần lật ngửa 210 tách: giả sử x tách ngửa và 210 – x tách úp. Do đó mỗi lần thực hiện lật ngửa thì số tách ngửa thay đổi đi , mọt số chẵn. Ban đầu có 0 tách úp xuống là một số chẵn thì không thể biến đổi thành số lẻ 2019 tách úp xuống được.

- Nếu lấy hai viên ở hai hình quạt khác màu, thì vẫn chuyển vào hai hình quạt khác màu. Do vậy số viên bi ở mỗi màu hình quạt là không đổi.

- Nếu lấy hai viên ở hai hình quạt màu trắng thì chuyển sang 2 hình quạt màu đen, suy ra số bi ở hình quạt màu đen tăng 2.

- Nếu lấy hai viên ở hình quạt màu đen thì chuyển sang 2 hình quạt màu trắng, suy ra số bi ở hình quạt màu đen giảm 2.

Do vậy sau mỗi lần thực hiện thì tổng số bi ở hình quạt màu đen vẫn là số lẻ nên không thể thực hiện được.

9.5 Kí hiệu các đỉnh theo chiều kim đồng hồ bởi các chữ cái A, B, C, D, E, F (như hình vẽ). Giả sử các số chẵn liên tiếp được ghi tương ứng với đỉnh này là a, b, c, d, e, f.

có thực hiện bao nhiêu lần công việc cộng với cùng một số nguyên thì S vẫn bằng 6, tức là S khác 0, chứng tỏ không thể làm cho 6 số ở 6 đỉnh bằng nhau được.

9.6 Ta chứng minh rằng sau mỗi lần gặp nhau thì số dư cho 3 có đầy đủ 3 số dư là 0, 1, 2.

Nếu hai con khác màu gặp nhau thì đổi sang màu thứ 3 nên số dư chia cho 3 của các màu giảm 1, giảm 2 và tăng 2 nên có ba số dư là 1, 2, 0 vẫn đầy đủ.

Mặt khác, nếu tất cả đều về 1 màu thì số dư sẽ là 0, 0, 0. Điều này vô lý nên không thể có trường hợp tất cả các tắc kè có cùng màu.

9.7 Định hướng: Xét số dư chia cho 9 dư 1.

Ta biết rằng một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9. Do đó nếu thay đồng thời các số có ở trên bảng bởi các chữ số của nó thì số các số chia cho 9 dư 1 vẫn không đổi.

Muốn biết sau một số lần ta nhận được 2020 số mà mỗi số chỉ có một chữ số có bao nhiêu số 1, chúng ta chỉ cần tìm xe từ 1 đến 2020 có bao nhiêu số chia cho 9 dư 1.

Các số chia cho 9 dư 1 là: 1; 10; 19; 28; 37; …; 2017.

Số các số là: (số)

Vậy trên bảng có 225 số 1.

9.8 Cứ mỗi lần rút ra hai viên là một lần bỏ lại một viên, do đó sau mỗi lần rút thì số bi trong bao giảm đi 1. Lúc đầu có 225 hòn bi, nên sau 224 lần bốc sẽ giảm đi 224 hòn bi và cuối cùng phải còn lại một viên trong bao.

Để ý rằng sau mỗi lượt bốc ra rồi bỏ lại, thì hoặc là số bi trắng trong bao không đổi (nếu anh ta bốc được ít nhất một hòn đen) hoặc là số bi trắng trong bao giảm đi trong tất cả các lần là một số chẵn. Vì có 75 viên trắng (số lẻ) nên viên còn lại là màu trắng.

9.9 Chia sân hình vuông cạnh 3,5m thành 14 x 14 = 196 hình vuông nhỏ cạnh 25cm. Tô màu đen vào các hình vuông nhỏ của hình vuông như hình vẽ, có 50 ô đen và 146 ô trắng. Mỗi viên gạch 25cm x 100cm được lát lên 1 ô đen và 3 ô trắng.

Giả sử lát kín được sân thì số ô trắng phải gấp 3 lần số ô đen. Nhưng 50 x 3 nên không thể lát kín được.

9.10 Ta tô bảng vuông bằng màu đen và trắng sau cho như hình vẽ. Ta nhận được 25 o đen và 75 ô trắng.

Ta chú ý đặt những hình chữ nhật trùng với các ô vuông thì mỗi hình chữ nhật sẽ phủ lên 2 ô vuông đen hoặc 0 ô vuông đen nào. Từ đó suy ra 25 hình chữ nhật trên bảng vuông, chúng sẽ phủ kín số chẵn ô vuông đen. Mà trên bảng có 25 ô đen không phải là số chẵn, nên không phủ kín được.

9.11 Nếu có 1999 chiếc tách (số tách là số lẻ), tất cả đều được đặt ngửa (trạng thái ngửa) thì ta không thể quay úp xuống tất cả (trạng thái úp) được.

Thật vậy, theo quy tắc chơi, tại mỗi thời điểm, giả sử có k tách đặt ngửa được làm úp xuống thì có 100-k chiếc, vậy số tách úp bị thay đổi đi một số chẵn (100-k) – k = 100 – 2k (nếu k>50 thì số tách úp giảm đi, nếu k<50 thì số tách úp tăng lên, nếu k = 50 thì số tách úp không thay đổi). Nghĩa là tính chẵn lẻ của số tách úp không thay đổi (bất biến!). Nhưng lúc đầu số tách úp ở trạng thái chẵn (bằng 0). Vì vậy không thể làm cho số tách úp bằng 1999 (trở về trạng thái lẻ) được.

Nếu số tách là 1998 thì có thể úp tất cả các tách. Một thuật toán như sau: Đánh số các tách theo thứ tự: 1, 2, 3,…, 1998. Lần lượt úp 100 tách đầu tiên, sau 18 lần úp được 1800 tách chuyển từ trạng thái ngửa sang úp. Tiếp theo úp 100 tách số 1801, 1803, 1804, …, 1901 (để nguyên tách số 1802 đang ngửa). Lần thứ hai, đảo ngược tách 1802, 1803, 1804,…, 1901 (giữ nguyên tách số 1801 đang úp). Sang lần này, thực chất chỉ tách 1801, 1802 bị úp, các tách khác không thay đổi (vẫn đặt ngửa sau khi lật úp rồi lại lật ngửa). Tiếp tục như vậy, sau 18 + 198 = 216 lần, tất cả các tách đều bị lật úp.

9.12 Gọi x là số miếng giấy Nam có được sau k lần cắt . Vì lúc đầu Nam có 1 miếng giấy và mỗi lần cắt ra làm 4 miếng hoặc 8 miếng nhỏ hơn nên sau mỗi lần cắt, số giấy đó tăng thêm 3 miếng hoặc 7 miếng. Do đó x chia cho 3 dư 1, hoặc x chia cho 7 dư 1. Vì 2016 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên Vậy sau một số lần cắt, số miếng giấy Nam có được không thể bằng 2016.

Chuyên đề 10.

CÂU ĐỐ VÀ TRÒ CHƠI

A. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, và đội thua được 0 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao?

(Tuyển sinh lớp 10, trường PTNK, ĐHQC TP. Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007)

Giải

Do có 4 đội tham dự nên mỗi đội đấu 3 trận. Theo đề bài đội 6 điểm thắng 2 trận và thua 1 trận, đội 5 điểm thắng 1 trận và hòa 2 trận, đội 1 điểm hòa 1 trận và thua 2 trận. Do đó đội còn lại phải có 1 trận hòa.

Vì tổng số trận thắng bằng tổng số trận thua nên đội còn lại phải thua 1 trận và thắng 1 trận. Tổng số điểm của đội còn lại là: 1 + 0 +3 = 4 (điểm)

Có thể diễn giải như sau: Giả sử 4 đội bóng đá là A, B, C, D

+ A thắng C và D, thua B nên được 6 điểm.

+ B thắng A, hòa C và D nên được 5 điểm.

+ C thắng D, hòa B thua A nên được 4 điểm.

+ D hòa B, thua A và C nên được 1 điểm.

Ví dụ 2: Một tháng đặc biệt có tới năm ngày thứ 3, trong đó ngày đầu tiên và ngày cuối cùng của tháng không phải là thứ 3. Hỏi ngày cuối cùng của tháng đó là ngày nào?

Giải

• Tìm cách giải. Nhận thấy một tháng nhiều nhất có 31 ngày, nên nhiều nhất chỉ có 5 ngày thứ ba, khoảng cách giữa hai thứ ba liên tiếp là 7 ngày. Do đó chúng ta có thể tìm được ngày thứ ba đầu tiên trong tháng đó.
• Trình bày lời giải.

Ngày 2 của tháng là thứ 3, suy ra năm ngày thứ ba là 2, 9, 16, 23, 30. Mà ngày cuối cùng của tháng không phải ngày thứ ba nên suy ra ngày cuối cùng của tháng là 31 ngày và là thứ tư.

Ví dụ 3: Có 2020 đồng xu được đánh số thứ tự từ 1 đến 2020, tất cả đều ngửa.

Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 1.

Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2.

Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 3.

………………………………………………………

Lần 2020: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2020.

Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ 2020?

Giải

Tại lần lật thứ k, những đồng xu có số thứ tự là bội của k sẽ được lật. Để một đồng xu lúc đầu là ngửa, sau 2020 vòng lật nó vẫn ngửa thì số lần đồng xu đó được lật phải là một số chẵn, tức là số thứ tự của nó phải có số các ước số là chẵn.

Ta biết rằng những số chính phương mới có số các ước số là lẻ. Từ 1 đến 2020 có 44 số chính phương là: 1, 4, 9, …, 1936.

Do đó cuối cùng sau 2020 vòng lật, số đồng xu ngửa là: 2020 – 44 = 1976 (đồng xu).

Ví dụ 4:Thiện và Ác chia nhau một đống gồm 2000 đô-la bằng bạc (mỗi đồng trị giá một đô-la), dưới sự giám sát của lão Tà. Đầu tiên, lão Tà bảo Thiện chia thành hai đống, mỗi đống có ít nhất hai đồng. Sau đó Ác chia mỗi đống thành hai đống (mỗi đống có ít nhất 1 đồng), rồi lão ta chọn đống ít nhất và đống nhiều nhất trong bốn đống tạo thành, hai đống còn lại phần của Thiện. Vậy thì, bất chấp lão Ác khôn khéo và tham lam như thế nào, số tiền ớn nhất mà lão Thiện có thể kiếm được là bao nhiêu?

Giải

Nếu đồng X gồm 2000 đồng đô-la được chia thành hai đống M đồng và N đồng (X = M + N = 2000) sao cho M > N rồi tiếp tục chia mỗi đống thành M; N thành hai đống: M = a + b sao cho a > b và N = c + d sao cho c > d thì trong mọi trường hợp, tổng của đống lớn nhất và đống nhỏ nhất trong bốn đống a, b, c, d (Kí hiệu là T) cũng không vượt quá M.

Nếu b nhỏ nhất thì hiển nhiên a lớn nhất. T = a + b = M

Nếu d nhỏ nhất thì: hoặc c lớn nhất T = c + d = N < M hoặc a lớn nhất: T = a + d < M.

Vậy để nhận được số tiến lớn nhất thì đầu tiên lão Thiện phải chia 2000 đồng đô-la thành hai đống bằng nhau ( M = N). Khi đó dù lão Ác chia thế nào thì cũng luôn nhận được 1000 đô-la, khi đó lão Thiện cũng nhận được 1000 đô-la.

Ví dụ 5: Trong một giải đấu vật có 100 người tham dự, tất cả có sức mạnh khác nhau. Người nào khỏe hơn luôn chiến thắng đối thủ yếu hơn. Mỗi đo vật đấu hai lần và người thắng cả hai trận sẽ được tặng thưởng. Hỏi số người ít nhất được tặng thưởng là bao nhiêu?

(Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố ITOT, Mùa thu 2013, THCS mở rộng)

Giải

Sắp xếp 100 đô vật theo sức mạnh tăng dần với a₁ (người yếu nhất), a₂, a₃,…, a₁₀₀ (người khỏe nhất) hiển nhiên a₁₀₀ luôn là người chiến thắng.

Ở lượt thứ nhất ta xếp các đồ vật thi đấu theo cặp như sau: a₁₀₀ với a₉₉, a₉₈ với a₉₇;…;a₂ với a₁. Khi đó a_1; a₃;…;a₉₉ là những người thua cuộc.

Ở lượt thứ hai, ta xếp các cặp a₁₀₀ với a₁; a₉₉ với a₉₈;….;a₃ với a₂. Khi đó a₁; a₂; a₄; a₆;…; a₉₈ là những người thua cuộc. Do đó chỉ có duy nhất a₁₀₀ là người thắng cả hai vòng đấu.

Ví dụ 6: Nhà trường tổ chức một ngày hội chợ cho học sinh. Trong đó, có trò chơi đoán xem có bao nhiêu viên cẩm thạch đựng trong một lọ kín. Giải thưởng sẽ trao cho ai đoán gần chính xác nhất vào cuối ngày hội chợ. Kết quả là:

• Giải nhất: Đức Trọng, dự đoán 125 viên.
• Giải nhì: Minh Hạnh, dự đón 140 viên.
• Giải ba: Trọng Nhân, dự đón 142 viên.
• Giải tư: Đức Minh, dự đoán 121 viên.

Hỏi chính xác trong lọ có bao nhiêu viên cẩm thạch.

Giải

Nếu gọi số viên cẩm thạch trong lọ là x thì

Vì người dự đoán số 125 đạt giải nhất và người dự đón 140 đạt giải nhì nên suy ra

Vì người dự đoán số 142 đạt giải ba và người dự đoán số 121 đạt giải tư nên

Vậy trong lọ có chính xác 132 viên cẩm thạch.

B. Bài tập vận dụng

10.1 Bốn đội bóng A, B, C, D được xếp cùng một hàng. Mỗi đội chơi 1 trận, lần lượt với các đội còn lại. Mỗi trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua 0 điểm. Sau tất cả các trận đấu, kết quả như sau:

(1). Tổng số điểm 3 trận của mỗi đội là các số lẻ liên tiếp.

(2). Đội D cao điểm nhất.

(3). Đội A hòa đúng 2 trận, trong đó hòa một trận với C. Tính điểm của mỗi đội.

10.2 Cho hình vuông 5 x 5 gồm 25 ô vuông nhỏ. Hỏi phải tô ít nhất bao nhiêu ô sao cho trong mỗi hình vuông 3x3 bất kì có đúng 4 ô được tô.

10.3 Sửu chỉ nói thật vào thứ 2, thứ 4, thứ 6 và chủ nhật. Dần chỉ nói thật vào ngày thứ 2, thứ 3, thứ 4 và thứ 5. Hãy tìm ngày mà cả hai đều nói: “Hôm qua, Tôi đã nói dối”.

10.4 Trên một bàn cờ 15 x 15 ô vuông gồm các ô trắng đen xen kẽ như cờ vua, có 15 quân xe đứng ở vị trí không đối đầu nhau (không ăn được nhau). Giả sử sau đó, mỗi quân xe này bị xê dịch theo một bước đi của quân mã. Chứng minh rằng khi đó phải có một cặp quân xe rơi vào thế đối đầu nhau.

10.5 Ai đã lấy thanh kẹo?

Ở trường nội trú, trong giờ ăn trưa, từ phòng cô Hằng ra, năm cậu bé ghé đến một quầy ăn trưa bên cạnh đó. Một trong năm cậu đã lấy một thanh kẹo mà không trả tiền. Khi bị thấy hiệu trưởng chất vấn, năm cậu bé trả lời như sau:

1) An : “Không phải Cường lấy, cũng không phải em”

2) Bình : “Theo em, An hoặc Chi đã lấy”

3) Chi : “Cả An và Bình đều nói dối”

4) Dũng : “Chi nói không đúng, một trong hai người kia nói dối, người còn lại nói sự thật”

5) Cường: “Tất cả những gì Dũng nói đều sai cả”

Khi thấy hiệu trưởng hỏi ý kiến cô Hằng, cô trả lời: “Trong năm cậu ấy, có 3 cậu luôn luôn trung thực, hai cậu còn lại thì luôn dối trá”.

Giả sử có Hằng nói đúng, bạn hãy xác định xem ai là người đã lấy thanh kẹo?

10.6 Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội được xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo các chỉ số phụ. Kết thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau.

a) Chứng minh rằng

b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.

10.7 Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kì thủ nhận được các số điểm khác nhau và kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kì thủ xếp hạng cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào?

10.8 Một đảo nằm xa tít ngoài biển khơi có tên là đảo “Thiên mã”. Trên hòn đảo này có hai bộ tộc đang sinh sống. Một bộ tộc có tên là Kị sĩ và bộ tộc kia làm nghề Ăn trộm. Tất nhiên bộ tộc Kị sĩ thì luôn nói thật và bộ tộc Ăn trộm thì luôn nói dối.

Dưới bóng cây có hai thổ dân đang ngồi nghỉ. Một du khách đi đến và hỏi một trong hai người

a) Ngài là Kị sĩ hay Ăn trộm ngựa?

A:……..

Không thể hiểu người đó nói gì, vì thế du khách quay sang hỏi người kia, xem người lúc trước nói gì?

B: Ông ta nói rằng ông ta là người Ăn trộm ngựa.

Vậy A và B là gì nhỉ?

10.9 Có 10 đồng tiền xu thật có khối lượng giống nhau, cùng một đồng tiền xu giả có khối lượng nặng hơn khối lượng đồng tiền xu thật và một đồng xu giả khác có khối lượng bé hơn khối lượng đồng xu thật. Hãy giải thích tại sao chỉ bốn lần cân đĩa bằng cân thăng bằng bạn có thể xác định được tổng khối lượng của hai đồng tiền xu giả lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn tổng khối lượng của hai đồng xu thật.

(Thi Toán quốc tế IMC 2014. THCS Đồng Đội Canada đề nghị)

10.11 Cho ba đống đá gồm 51, 49 và 5 hòn. Có hai thao tác được thực hiện là: dồn hai đống tùy ý thành một đống; chọn đống tùy ý có số chẵn hòn đá để phân làm hai đống có số lượng hòn đá bằng nhau. Có thể nào cuối cùng sẽ nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một hòn, sau một dãy các thao tác luân phiên nhau?

(Cuộc thi Toán học Quốc tế của các tỉnh thành, THCS, mùa xuân 2001)

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

10.1 Điểm của 4 đội có thể là (1, 3, 5, 7) hoặc (3, 5, 7, 9). Do không thể có hai đội có 7 điểm và 9 điểm nên bộ điểm là (1, 3, 5, 7). Đội D có điểm cao nhất nên điểm của D là 7 nên đội D thắng 2 trận, hòa 1 trận.

Đội A không thua trận 3, bời nếu thua thì số điểm là số chẵn, suy ra D hòa với A và thắng đội B và đội C.

Đội A có 2 trận hòa với D và C, thắng B nên điểm của A là 5 điểm.

Đội B thắng C thua A và D nên được 3 điểm.

Đội C hòa với A, thua B và D được 1 điểm.

Vậy Đội A: 5 điểm; Đội B: 3 điểm; Đội C: 1 điểm; Đội D: 7 điểm.

10.3 Nếu hôm nay Dần nói thật thì hôm qua Dần nói dối, vậy hôm nay là thứ Hai. Sửa nói thật vào thứ Hai và cả Chủ nhật do đó vào thứ Hai, Sửu sẽ phải nói “Hôm qua tôi đã nói thật”. Như vậy hôm nay Dần nói dối, và hôm qua Dần nói thật. Suy ra hôm nay là thứ Sáu. Thứ Sáu là ngày Sửu nói thật và thứ Năm là ngày Sửa nói dối, vậy vào thứ Sáu, Sửu cũng sẽ nói “Hôm qua tôi đã nói dối”.

10.4 Đánh số các hàng và cột của bàn cờ từ 1 đến 15, khi đó, mỗi quân xe được xác định ở vị trí hàng i, cột j bởi cặp (i, j) với . Vì ban đầu các quân xe đứng ở vị trí không đối đầu nhau nên không thể có hai quân xe nằm cùng một hàng hoặc một cột. Nói cách khác, chỉ số hàng (cột) của các quân xe phải khác nhau. Từ 1 đến 15 có 8 số lẻ và 7 số chẵn. Mỗi khi một quân xe di chuyển theo một bước đi của quân mã, nó làm tăng (hoặc giảm) chỉ số hàng là một đơn vị và chỉ số cột là hai đơn vị (hoặc ngược lại). Như thế, 15 số trong 30 số đó bảo toàn tính chẵn lẻ. Từ đó, sau khi mỗi quân xe đều di chuyển theo một bước đi của quân mã thì không thể có 16 số lẻ và 14 số chẵn nữa. Điều này có nghĩa rằng, khi đó phải có một cặp quân xe rơi vào thế đối nhau.

10.5 Vì có 3 cậu luôn luôn trung thực nên câu trả lời của 3 cậu đó sẽ không mâu thuẫn với nhau, nói cách khác, với người nói thật thà câu trả lời sẽ không mâu thuẫn với ít nhất hai câu trả lời của người khác. Từ nhận xét trên, chúng ta suy luận ngay được An, Bình và Cường là những người luôn nói thật còn Chi và Dũng là những người luôn nói dối.

Dựa vào các câu trả lời của An và Bình, suy ra Chi là người lấy kẹo.

10.6

a) Đội xếp nhất 15 điểm nên thi đấu ít nhất với 5 đội khác nhau

Nếu N = 6 thì đội xếp thứ nhất thắng 5 đội còn lại, đội xếp nhì 12 điểm nên thắng 4 đội trừ đội xếp nhất. Đội xếp ba thua đội xếp nhất và nhìn nên số điểm tối đa là 3.3 = 9.

Theo đầu bài đội ba 12 điểm: vô lí

Do vậy

b) Các đội còn lại có số điểm không lớn hơn 12. Vì không có hòa nên số điểm các đội còn lại là bội của 3. Số điểm của các đội còn lại có thể là: 0, 3, 6, 9, 12.

Do đó vì (câu a)

Nên N = 7 hoặc N = 8

• Xét N = 8.

Có 8 đội nên số trận đấu có trận. Tổng số điểm 8 đội đạt là 28.3 là số chẵn.

Còn 0+3+6+9+12+12+12+15 là số lẻ: vô lí. Vậy nên

• Xét N = 7.

Có 7 đội nên số trận đấu có trận.

Tổng số điểm 7 đội đạt 21.3 = 63 điểm. Tổng số điêm các đội còn lại đạt được là: điểm.

Số 24 biểu diễn thành tổng 4 số là bội của 3 và khác nhau chỉ duy nhất theo cách biểu diễn trên.

Tổng số điểm mỗi đội còn lại đạt được lần lượt là 0, 3, 9, 12.

10.7 Sau khi giải kết thúc, số ván cờ đã thi đấu giữa 4 kỳ thủ xếp cuối cùng là:

Sau mỗi ván tổng số điểm của hai kỳ thủ nhận được là 1. Vì thế tổng số điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng không ít hơn 6 điểm. Nếu thì tổng số điểm của kỳ thủ xếp thứ hai là

Do 8 kỳ thủ được các số điểm khác nhau nên dễ thấy kỳ thủ xếp thứ nhất có điểm số không ít hơn

Do kỳ thủ xếp thứ nhất đấu 8 trận nên điều này chỉ xảy ra khi và kỳ thủ xếp thứ nhất thắng cả 7 ván. Suy ra kỳ thủ xếp thứ hai thắng không quá 6 ván và số điểm vô lí.

Vậy ta phải có s = 6. Điều này có nghĩa là các kỳ thủ xếp từ năm đến tám chỉ giành điểm khi thi đấu với nhau thôi, ngoài ra thua tất cả các kỳ thủ khác. Do vậy, kỳ thủ xếp thứ tư đã thắng kỳ thủ xếp thứ năm trong trận đấu trực tiếp.

10.8 A chỉ có thể trả lời một cách rằng anh ta là Kị sĩ, bất kể anh ta là gì. Vì thế B đã nói dối. Suy ra B là Ăn trộm ngựa. Chúng ta không có thông tin chính xác về A.

10.9 Ta chia các đồng xu đã cho thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 3 đồng xu và đem cân từng nhóm đồng xu như sau: Cho A và B lên hai đĩa cân (lần cân thứ nhất); C và D lên hai đĩa cân (lần cân thứ hai). Ta xét 3 trường hợp.

+ Trường hợp 1. Cả hai lần cân đều thăng bằng. Khi đó, đồng xu giả ở cùng một nhóm và tổng khối lượng hai đồng xu bằng tổng khối lượng hai đồng xu giả.

+ Trường hợp 2. Một trong hai lần cân thăng bằng. Chỉ có hai nhóm đồng xu có khối lượng bằng nhau. Giả sử hai nhóm A và B có tổng khối lượng bằng nhau, tổng khối lượng các đồng xu trong nhóm C lớn hơn tổng khối lượng các đồng xu trong nhóm D. Khi đó cả hai đồng xu giả đều thuộc nhóm A và B với tổng khối lượng các đồng xu trong hai nhóm C và D. Từ đó ta sẽ có câu trả lời.

+ Trường hợp 3. Cả hai lần cân thứ nhất và thứ hai đều không thăng bẳng.

Do đối xứng, ta có thể giả sử nhóm A có trọng lượng nặng hơn nhóm B và nhóm C có trọng lượng nặng hơn nhóm D. Khi đó đồng xu giả nặng hơn ở nhóm A và đồng xu giả nhẹ hơn ở nhóm D; hoặc đồng xu giả nặng hơn ở nhóm C và đồng xu giả nhẹ hơn ở nhóm B. Nếu nhóm A toàn đồng xu thật thì B chứa đồng xu giả nhẹ hơn, khi đó C chứa đồng xu giả nặng hơn. Nếu nhóm A chứa đồng xu giả nặng hơn thì B phải chứa hoàn toàn đồng xu thật (vì nếu B chứa đồng xu giả nhẹ hơn thì nhóm C có trọng lượng bằng nhóm D là vô lí). Khi đó D chứa đồng xu giả nhẹ hơn. Do đó nhóm A và D cùng chứa đồng xu giả hoặc cùng không chứa đồng xu giả. Nếu nhóm A có trọng lượng nhẹ hơn nhóm C thì đồng xu giả nặng hơn ở C và đồng xu giả nhẹ hơn ở B. Cuối cùng ta chỉ cần cân nhóm A và D với nhóm B và C thì được kết quả.

Suy ra:

Mặt khác, cộng ba hàng ở giữa của hình vuông, ta được:

Vì vậy:

Kết luận: Không thể có hình vuông kì diệu thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

10.11 Do cả ba đống 51, 49 và 5 hòn đều có số lẻ các hòn đá nên thao tác đầu tiên phải là: dồn hai đống thành một.

Nếu ban đầu dồn hai đống 5 và 49 hòn thành một, ta sẽ có hai đóng 51 và 54 hòn đều có số hòn là bội của 3. Từ lúc này trở đi, khi luân phiên thực hiện các thao tác, dễ thấy mỗi đống luôn là bội của 3.

Tương tự: Nếu ban đầu dồn hai đống 49 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác thì mỗi đống luôn là bội của 5;

Nếu ban đầu dòn hai đống 5 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác thì mỗi đống luôn là bội của 7.

Vậy ta không thể thực hiện được yêu cầu của đề bài.

CHƯƠNG II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

CHUYÊN ĐỀ 11. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa: Nếu đại lương y liên hệ với đại lượng x theo công thức (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

2. Chú ý:

* Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ thuận với nhau.

* Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số .

* Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ , y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ thì z tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ .

3. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

* Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi:

* Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thời gian t (giờ) và quãng đường s (km) trong một chuyển động:

a) Hai đại lượng quãng đường s (km) và thời gian t (giờ) có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?

b) Tính quãng đường đi ứng với thời gian 6 giờ 30 phút?

c) Nếu quãng đường là 90 km thì thời gian đi là bao nhiêu ?

🗸 Tìm cách giải: Dựa vào tính chất để kết luận: ta nhận thấy:

Nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi. Từ đó tìm ra công thức và tính s với t = 6 giờ 30 phút = 6,5 giờ và tính t với s = 90 km.

Giải

a) Ta có:

Ta thấy tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi nên đại lượng s tỉ lệ thuận với đại lượng t.

b) Với t = 6,5 (giờ) thì .

c) Với thì (giờ) = 3 giờ 36 phút.

🗸 Chú ý: Đây chính là bài toán thể hiện quan hệ giữa ba đại lượng quãng đường (s), thời gian (t) và vận tốc (v) của một động tử mà quan hệ là . Trong bài toán chuyển động đều cùng vận tốc v thì s và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận (nếu cùng thời gian t thì s và v cũng là hai đại lượng tỉ lệ thuận).

Ví dụ 2: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau:

Bảng I

Bảng II

a) Trong bảng nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau?

b) Trong trường hợp hai đại lượng tỉ lệ thuận, hãy tìm x biết ; tìm y biết .

🗸 Tìm cách giải:

a) Ta tìm tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y nếu chúng luôn không đổi thì y tỷ lệ thuận với x. Còn nếu xét hai tỷ số giữa hai cặp giá trị tương ứng nào đó của hai đại lượng mà khác nhau ta kết luận luôn hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau.

b) Ta tìm hệ số tỷ lệ k, tìm công thức rồi tính ra số cần tìm.

Giải

a) Trong bảng I ta có ; nên y và x không tỉ lệ thuận với nhau.

b) Trong bảng II ta có nên y và x tỉ lệ thuận với nhau. Suy ra và .

+ Với thì

+ Với thì .

Ví dụ 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

a) Biết hiệu hai giá trị nào đó của x là 2 và hiệu hai giá trị tương ứng của y là 12. Hỏi hai đại lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức nào?

b) Từ đó điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

🗸 Tìm cách giải:

a) Biết hiệu hai giá trị của x giả sử và hiệu hai giá trị tương ứng của y là ta nghĩ đến sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm hệ số tỉ lệ .

b) Từ công thức rồi tính ra số cần điền vào ô trống.

Giải

a) Gọi hai giá trị của x là và với và hai giá trị tương ứng của y là và . Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Vậy công thức liên hệ là .

b) Từ công thức

Kết quả các số điền vào bảng như sau:

Ví dụ 4: 15 lít dầu hỏa có khối lượng 12kg. Hỏi 1 thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng bao nhiêu kg? (không kể khối lượng vỏ thùng)

* Tìm cách giải: Đại lượng dung tích dầu hỏa (x) tỉ lệ thuận với khối lượng dầu hỏa (y). Đại lượng x có hai giá trị (lít); (lít). Đại lượng y có hai giá trị tương ứng là (kg) và là giá trị cần tìm. Dựa vào tính chất để tính khối lượng dầu cần tìm.

Giải

Gọi khối lượng dầu cần tìm là kg; . Do khối lượng dầu hỏa tỉ lệ thuận với dung tích của nó nên ta có:

.

Vậy thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng 44 kg.

Ví dụ 5: Cho y tỉ lệ thuận với x. Biết hiệu hai lập phương của hai giá trị và là 1216 và hiệu hai lập phương của hai giá trị tương ứng và là 19.

a) Hãy viết công thức liên hệ giữa y và x.

b) Tính biết và

🗸 Tìm cách giải: Ta biết nếu thì . Hiệu hai lập phương của hai giá trị và là và hiệu hai lập phương của hai giá trị tương ứng và là . Sử dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có cách giải sau:

Giải

a) Theo đầu bài vì y tỉ lệ thuận với x nên . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

. Do đó ta có công thức .

b) Với thì ; với thì

Do đó .

Ví dụ 6: Một ô tô chạy từ A lúc 5 giờ sáng đến B lúc 9 giờ. Một xe máy chạy từ B cũng vào lúc 5 giờ sáng và đến A lúc 13 giờ. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

🗸 Tìm cách giải: Ta có thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 9 giờ - 5 giờ = 4 giờ thì 1 giờ xe ô tô đi được quãng đường AB. Xe máy đi quãng đường BA hết 13 giờ - 5 giờ = 8 giờ thì 1 giờ xe máy đi được quãng đường AB. Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Nên nếu gọi t là thời gian hai xe gặp nhau; là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; là vận tốc ô tô; là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô; là vận tốc xe máy. Ta có và chính là quãng đường AB. Từ đó có cách giải sau:

Giải

Coi quãng đường AB là đơn vị quy ước . Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 9 – 5 = 4 (giờ) thì vận tốc xe ô tô là (quãng đường AB/giờ). Xe máy đi quãng đường BA hết 13 – 5 = 8 (giờ) thì vận tốc xe máy là (quãng đường AB/giờ). Gọi t là thời gian hai xe phải đi để gặp nhau; là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô ta có .

Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó:

(giờ) = 2 giờ 40 phút.

Vậy hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 40 phút.

🗸 Chú ý: Ta có cách giải khác: Nếu gọi độ dài quãng đường AB là a (km) thì vận tốc của vận tốc xe ô tô là (km/giờ); vận tốc xe máy là (km/giờ). Gọi t là thời gian hai xe phải đi để gặp nhau; là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô, ta có: .

Ta có: (giờ) = 2 giờ 40 phút.

Ví dụ 7: Cho có số đo các góc lần lượt tỉ lệ với . Tính số đo các góc của .

🗸 Tìm cách giải: Ta có: và do số đo các góc lần lượt tỉ lệ với nghĩa là . Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải sau:

Giải

Ta có:

Suy ra

🗸 Chú ý: Bài toán trên thuộc dạng chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước.

Phương pháp chung để giải các bài toán dạng đó là: Giả sử phải chia một số t thành n phần tỉ lệ thuận với các số (khác 0) với ta làm như sau:

Từ đó có .

Ví dụ 8: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ lần lượt với 5; 4; 3; 2. Biết rằng 5 lần số cây của lớp 7A trồng cộng với 4 lần số cây lớp 7B trồng nhiều hơn ba lần tổng số cây của 7C và 7D trồng là 520 cây. Tìm số cây mỗi lớp đã trồng.

🗸 Tìm cách giải: Nếu số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là ta có

Mặt khác

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta tìm được hệ số tỉ lệ. Từ đó tìm được .

Giải

Gọi số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là: thì

.

Theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:

Suy ra

Vậy số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là: 100 cây; 80 cây; 60 cây; 40 cây.

Ví dụ 9:

a) Một số A được chia làm 4 phần a, b, c, d biết rằng a và b tỉ lệ với 5 và 6; b và c tỉ lệ với 8 và 9; c và d tỉ lệ với 3 và 2 và c hơn d là 27. Tìm A?

b) Một số B được chia làm năm phần biết rằng và . Tìm B?

🗸 Tìm cách giải:

a) a và b tỉ lệ với 5 và 6 nghĩa là hay

b và c tỉ lệ với 8 và 9 nghĩa là hay .

Để có thể lập được thành dãy tỉ số bằng nhau, ta nhận thấy BCNN do đó ta biến đổi

Tương tự từ đó suy ra

Tiếp tục với c và d ta lập được dãy tỉ số bằng nhau.

b) Từ

và . Ta áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Giải

a) Theo bài ra, ta có:

và

Từ (1); (2); (3) suy ra:

Do đó

b) .

Ta có

Do đó

.

Vậy

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

11.1. Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thể tích V với khối lượng m (g) của sắt:

a) Chứng tỏ hai đại lượng khối lượng m (g) và thể tích V là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Viết công thức?

b) Tính khối lượng của sắt.

c) Một khối lượng 125,6 g sắt có thể tích bao nhiêu?

11.2. Cùng năng suất lao động thì số lượng sản phẩm K (chiếc áo) và thời gian t (ngày) của một xưởng may là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hãy điền vào ô trống các số thích hợp trong bảng sau:

11.3. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau:

a) Trong bảng nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau?

b) Trong trường hợp có tương quan tỉ lệ thuận, hãy tìm x biết ; tìm y biết .

11.4. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

a) Biết tổng hai giá trị nào đó của x là 673 và tổng hai giá trị tương ứng của y là 2019. Hỏi hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào?

b) Từ đó điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (với ):

11.5. Cho x tỉ lệ thuận với y theo hệ số ; y tỷ lệ thuận với z theo hệ số ; z tỉ lệ thuận với t theo hệ số . Chứng minh x tỉ lệ thuận với t. Tìm hệ số tỉ lệ của t với x.

11.6. Một đoạn dây đồng dài 2,5 m có khối lượng 8,4 kg. Hỏi 80 m dây đồng như thế nặng bao nhiêu kg?

11.7. Một thửa ruộng hình chữ nhật có 2 cạnh tỉ lệ với 5 và 8. Biết chiều dài hơn chiều rộng là 18m.

a) Tìm diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó.

b) Người ta trồng lúa trên thửa ruộng đó, biết rằng cứ thu hoạch được 20kg thóc. Hỏi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu kg thóc?

11.8. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận; và là hai giá trị khác nhau của x và và là các giá trị tương ứng của y.

a) Tìm biết và ;

b) Tính và biết

11.9^*. Cho tỉ lệ thuận với . Tính giá trị biểu thức:

11.10^*. Cho tỉ lệ thuận với . Biết . Tìm .

11.11. Cho y tỉ lệ thuận với x. Biết hiệu hai bình phương của hai giá trị và là 128 và hiệu hai bình phương của hai giá trị tương ứng và là 8.

a) Hãy viết công thức liên hệ giữa y và x;

b) Tính biết và .

11.12^*. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ M và N cách nhau 55 km và đến P cùng một lúc (ba địa điểm M, N, P nằm trên một đường thẳng). Vận tốc của ô tô đi từ M là 50km/h, vận tốc ô tô đi từ N là 60km/h. Tính quãng đường mà hai ô tô đã đi.

11.13^*. Cùng lúc 7 giờ sáng một ô tô chạy từ A và đến B lúc 8 giờ 30 phút, một xe đạp điện chạy từ B đến A lúc 10 giờ. Một xe đạp khởi hành từ A lúc 6 giờ và đến B lúc 12 giờ. Hỏi:

a) Xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau lúc mấy giờ?

b) Xe ô tô gặp xe đạp lúc mấy giờ?

11.14. Lúc 6 giờ sáng trên quãng đường AB dài 93km, người đi xe máy thứ nhất đi từ A đến B có vận tốc bằng vận tốc người đi xe máy thứ hai đi từ B đến A. Đến lúc gặp nhau thời gian người đi xe máy thứ nhất bằng thời gian người đi xe máy thứ hai.

Tính quãng đường mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau.

11.15. Một ca nô khi nước yên lặng có vận tốc là 30km/h. Với cùng thời gian ca nô xuôi dòng 99km thì ca nô ngược dòng được bao nhiêu km biết một cụm bèo trôi trên dòng sô ng 9km trong 3 giờ.

11.16. Một ô tô khách và một ô tô tải cùng khởi hành lúc 8 giờ sáng từ hai đầu quãng đường AB dài 100km. Ô tô khách đi từ A đến B với vận tốc 750m/phút. Ô tô tải đi từ B đến A sau 2 giờ đi được 70km. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hỏi đến mấy giờ thì ô tô tải cách M một khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M?

b) Nếu đi tiếp với vận tốc ấy thì sau mấy giờ nữa thì ô tô khách đến B?

11.17. Ba tổ sản xuất của một xí nghiệp cùng sản xuất một loại sản phẩm với năng suất lao động của mỗi công nhân đều như sau. Tổ một có 12 người trong 9 ngày sản xuất được 540 sản phẩm. Tổ hai có 18 người trong 8 ngày; tổ ba có 10 người làm trong 4 ngày. Hỏi tổ hai và ba mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

11.18. Một số dương A được chia làm bốn phần đều dương tỉ lệ với và tổng các bình phương của bốn phần ấy là 23716. Tìm số A.

11.19^*. Bốn túi đường có tổng cộng 375 kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở túi thứ nhất; 2kg ở túi thứ hai; 3kg ở túi thứ ba; 4kg ở túi thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy tiếp đi số kg đường còn lại của túi thứ nhất, số kg đường còn lại của túi thứ hai; số kg đường còn lại của túi thứ ba, số kg đường còn lại của túi thứ tư thì số kg đường còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn túi bằng nhau.Tìm số kg đường mỗi túi lúc đầu.

11.20. Cho ba số tỉ lệ thuận lần lượt với

a) Chứng minh rằng

b) Cho biết . Tính .

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

11.1. a) Ta nhận thấy:

nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi nên hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Từ đó

b) Với thì

c) Với thì .

11.2. Ta có (chiếc áo/ngày) và . Ta sẽ có

11.3.

a) Trong bảng I hai giá trị tương ứng của hai đại lượng là ta kết luận luôn hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau.

Trong bảng II tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y và x luôn không đổi

nên ta có y tỷ lệ thuận với x.

b) Trong bảng II ta suy ra và .

Với thì

Với thì

11.4.

a) Biết tổng hai giá trị của x giả sử và tổng hai giá trị tương ứng của y là . Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Vậy công thức liên hệ là

b) Từ công thức .

Kết quả điền số:

11.5. Ta có

Nghĩa là x tỉ lệ thuận với t theo hệ số .

Do đó t tỉ lệ thuận với x theo hệ số .

11.6. Gọi khối lượng dây đồng cần tìm là . Do khối lượng dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của nó nên ta có:

Vậy 80m dây đồng nặng 268,8 kg.

11.7.

a) Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), chiều rộng là y (m) thì . Ta có

Diện tích thửa ruộng là .

b) Số thóc thu hoạch và số ruộng là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó nếu gọi số thóc thu hoạch là x kg .

Ta có: .

11.8.

a) .

b) .

Vậy:

11.9^*. Do tỉ lệ thuận với nên ta đặt

. Ta có:

11.10^*. tỉ lệ thuận với nên:

Do đó hay

hay

Từ (1) và (2) suy ra:

Vậy

11.11.

a) Ta biết nếu thì . Ta có: và . Theo đầu bài vì y tỉ lệ thuận với x nên .

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

hoặc . Do đó ta có công thức hoặc .

b) Với thì

Với thì

Do đó

11.12^*. Gọi quãng đường đi được của hai xe là và .

Có hai trường hợp xảy ra:

1) Địa điểm P nằm giữa M và N.

Do thời gian đi của hai xe bằng nhau nên quãng đường đi và vận tốc của hai xe là tỉ lệ thuận. Ta có: .

Vậy .

2) Địa điểm P không nằm giữa M và N.

* Trường hợp N nằm giữa M và P không xảy ra vì nếu như vậy người đi từ N sẽ đến trước người đi từ M.

* Trường hợp M nằm giữa N và P. Tương tự 1) ta có:

Do đó .

11.13^*.

a) Gọi quãng đường AB dài a km .

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB 1 giờ 30 phút = giờ thì vận tốc xe ô tô là (km/giờ).

Xe đạp điện đi quãng đường BA hết 3 giờ thì vận tốc xe đạp điện là: (km/giờ).

Gọi là thời gian hai xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau; là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp điện; là quãng đường xe đạp điện đi từ B đến chỗ gặp ô tô ta có:

Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó:

Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ.

b) Gọi là thời gian xe ô tô khởi hành từ A đến lúc gặp xe đạp; là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp, vận tốc của ô tô ; là quãng đường xe đạp đi từ A lúc 7 giờ đến chỗ gặp ô tô .

Vận tốc xe đạp là km/giờ. Lúc 7 giờ xe đạp cách xe ô tô quãng đường là km. Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Do đó (giờ) = 20 phút.

Ô tô và xe đạp gặp nhau lúc 7 giờ 20 phút.

🗸 Chú ý: Bài toán có thể giải theo cách coi đoạn đường AB là đơn vị quy ước

Thì (giờ) và

(giờ) , Bạn đọc tự giải.

11.14. Gọi là vận tốc; là thời gian đi; là quãng đường đi được của xe máy thứ nhất và xe máy thứ hai từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau.

Ta có: nên hay

Ta có

và .

11.15. Vận tốc trôi của bèo chính là vận tốc dòng nước bằng (km/giờ). Gọi x km là quãng đường ca nô ngược dòng . Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là 30 + 3 = 33 (km/h); Vận tốc ca nô khi ngược dòng là 30 – 3 = 27 (km/h). Cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó ta có .

11.16. Nửa quãng đường AB dài 50km; Vận tốc ô tô khách 750m/phút = 45km/giờ. Vận tốc ô tô tải là 70 : 2 = 35 (km/giờ).

a) Gọi quãng đường ô tô khách và ô tô tải đã đi là và và t là thời gian mỗi xe đã đi. Trong cùng một thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó: .

Ta có: .

Vậy thời điểm mà ô tô tải cách M một khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M là 8 giờ + 1 giờ = 9 giờ (sáng).

b) Thời gian ô tô khách đi tiếp đến B là: (giờ)

11.17. Gọi x là số sản phẩm tổ hai làm; y là số sản phẩm tổ ba làm . Tổ một có 12 người làm 9 ngày được 12.9 = 108 ngày công. Tổ hai có 18 người làm 8 ngày được 18.8 = 144 ngày công. Tổ ba có 10 người làm 4 ngày được 10.4 = 40 ngày công. Cùng năng suất lao động thì số sản phẩm làm được tỷ lệ thuận với số ngày công.

Do đó: (sản phẩm).

(sản phẩm).

11.18. Gọi bốn phần của A là

thì và

Vậy

và

11.19^*. Gọi số kg đường bốn túi lúc đầu lần lượt là:.

Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là và tổng số kg đường còn lại của 4 túi là

Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là: .

Ta có:

Suy ra

Số kg đường mỗi túi lúc đầu là:

+ Túi thứ nhất:

+ Túi thứ hai:

+ Túi thứ ba:

+ Túi thứ tư:

11.20.

a) Ta có:

Với ba tỉ số bằng nhau, lập phương tỉ số thứ nhất sẽ bằng bình phương tỉ số thứ hai nhân với tỷ số thứ ba nên:

b)

Từ (1) và (2)

Ta suy ra

------------------------////------------------------

Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Chuyên đề 12. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức hay (với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

2. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

* Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số:

* Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

3. Chú ý:

* Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ nghịch với nhau.

* Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ a.

* Nếu y tỉ lệ nghịch với x thì y tỉ lệ thuận với .

* Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ và y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ thì z tỉ lệ thuận với x theo tỉ lệ .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong hai bảng:

Bảng I

Bảng II

a) Xác định xem hai đại lượng y và x trong bảng nào tỉ lệ thuận? tỉ lệ nghịch? Tìm các hệ số tỉ lệ (biết các giá trị tương ứng còn lại cùng có quan hệ tỉ lệ như các giá trị đã cho trong bảng).

b) Điền tiếp các giá trị vào ô trống.

🗸 Tìm cách giải:

- Ta tìm quan hệ tất cả các giá trị tương ứng đã cho của y và x. Nếu có thì y và x tỉ lệ thuận. Nếu có thì y tỉ lệ nghịch với x.

- Dựa vào các mối tương quan điền tiếp các số vào ô trống.

Giải

Tại bảng I: Ta có .

Nên y tỉ lệ nghịch với x. Hệ số tỉ lệ -45. Công thức .

Bảng I

Tại bảng II:

Nên y tỉ lệ thuận với x. Hệ số tỉ lệ 5. Công thức

Bảng II

Ví dụ 2: Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y; và là hai giá trị của x và và là hai giá trị tương ứng của y.

Biết ; và

Tính và hệ số tỉ lệ a của hai đại lượng tỉ lệ nghịch này.

🗸 Tìm cách giải: Ta sử dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch: Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia , để xuất hiện ta biến đổi và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó tìm và và hệ số tỉ lệ a.

Giải

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Do dó

Và

Hệ số tỉ lệ của hai đại lượng là:

🗸 Chú ý: Ta có thể dùng định nghĩa của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải:

Từ

Ta có

Thay và vào ta có:

Hay

Ví dụ 3: Năm máy cày cùng loại, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong 12 ngày cày xong một cánh đồng.

a) Nếu có 10 máy cày cùng loại trên, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong mấy ngày cày xong cánh đồng trên.

b) Cần bao nhiêu máy cày, mỗi máy làm 6 giờ mỗi ngày để 5 ngày cày xong cánh đồng ấy ?

🗸 Tìm cách giải:

a) Cùng một công việc và số giờ làm việc mỗi ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch; hoặc cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

b) Cùng một khối lượng công việc (cày xong cánh đồng) số máy cày và số giờ làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta cần tìm số giờ làm của số máy cày trong mỗi trường hợp.

Giải

a) Gọi số ngày cần tìm là z ngày . Cùng một công việc và số giờ làm việc một ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có: (ngày).

* Có thể lý luận cách khác :

Một ngày 5 máy cày với tổng số giờ là 5.8 = 40 (giờ)

Một ngày 10 máy cày với tổng số giờ là 10.8 = 80 (giờ)

Cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó (ngày).

b) Gọi số máy cày cần tìm là t (cái).

Số giờ năm máy cày xong cánh đồng là 8.12 = 96 (giờ).

Số giờ x máy cày xong cánh đồng là 6.5 = 30 (giờ).

Trên cùng một cánh đồng số máy cày và số giờ làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó ta có :

Vậy số máy cày cần tìm là 16 cái.

Ví dụ 4: Ba cạnh của có . Ba đường cao tương ứng là tỉ lệ thuận với . Tính chu vi của tam giác.

🗸 Tìm cách giải: Cùng diện tích 1 tam giác thì độ dài cạnh và đường cao tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài các cạnh của tam giác.

Giải

Gọi diện tích của là S. Ta biết rằng nên trong một tam giác cạnh và đường cao tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau.

Biết nên

Tức là

Vậy chu vi tam giác là .

Ví dụ 5: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì đến B muộn hơn so với dự định là 30 phút. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì đến B sớm hơn so với dự định là 45 phút. Tính thời gian dự định đi và quãng đường AB.

🗸 Tìm cách giải: Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau.

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài quãng đường và thời gian dự định.

Giải

Ta có 45 phút = 0,75 giờ; 30 phút = 0,5 giờ.

Gọi thời gian dự định là t (giờ);  ; Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 40km/h là (giờ). Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 60km/h là . Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó theo tính chất của tương quan tỉ lệ nghịch, ta có:

(giờ).

Thời gian dự định là: 3,75 – 0,5 = 3,25 (giờ) = 3 giờ 15 phút.

Quãng đường AB dài là: 3,75.40 = 150(km).

Ví dụ 6: Bốn người mua cùng một số mét vuông vải để may quần áo lần luợt theo bốn loại khổ rộng 1,5m; 1,2m; 1,0m; 0,8m. Tổng số vải bốn người đã mua là 22,5m. Tính số mét vải và diện tích vải mỗi người đã mua.

🗸 Tìm cách giải: Cùng một diện tích, số mét vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Từ định nghĩa và sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải:

Giải

Cùng một diện tích, số m vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Gọi số mét vải mỗi người mua lần lượt là ta có:

hay

Vậy:

.

Diện tích vải mỗi người mua là: .

Ví dụ 7^*: Tại một bến xe có 610 xe ô tô chở khách gồm 4 loại: Xe chở 50 khách; xe chở 45 khách; xe chở 30 khách và xe chở 25 khách. Biết rằng số xe chở khách 50 khách bằng xe chở 45 khách, bằng số xe chở 30 khách và bằng xe chở 25 khách. Hỏi bến xe có bao nhiêu xe mỗi loại

🗸 Tìm cách giải: Đây là bài toán chia số 610 thành bốn phần tỉ lệ nghịch với tức là tỉ lệ thuận với .

Giải

Gọi số xe các loại chở 50 khách; chở 45 khách; chở 30 khách và chở 25 khách lần lượt là ta có:

và

.

Hay .

Suy ra

Ví dụ 8^*: Một bộ máy truyền chuyển động có ba bánh xe răng được khớp vào nhau: bánh xe thứ nhất khớp với bánh xe thứ hai; bánh xe thứ hai khớp với bánh xe thứ ba.

a) Nếu bánh xe thứ nhất có 90 răng và quay 36 vòng/phút thì bánh xe thứ hai có 72 răng sẽ quay được bao nhiêu vòng/phút?

b) Muốn bánh xe thứ ba quay 180 vòng/phút thì bánh xe thứ ba cần thiết kế có bao nhiêu răng?

🗸 Tìm cách giải: Do hai bánh xe khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Giải

Ta có hai bánh xe khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Vì thế:

a) Gọi số vòng quay của bánh xe thứ hai là x thì

Suy ra (vòng).

b) Gọi số răng của bánh xe thứ ba là y thì

Suy ra (răng).

Ví dụ 9^*: Để làm xong một công việc 48 công nhân cần làm trong 30 ngày (năng suất lao động mỗi người như nhau). Nếu số công nhân tăng thêm 25% và năng suất lao động mỗi người đều tăng thêm 20% thì cần làm bao lâu để xong công việc đó?

🗸 Tìm cách giải: Thực chất bài toán trên được chia thành hai bài toán nhỏ:

Bài toán 1: Trước hết giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Ta tìm được số ngày làm của số công nhân mới theo năng suất cũ.

Bài toán 2: Giữ nguyên số công nhân mới. Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Ta tìm được số ngày cần tìm.

Giải

Số công nhân sau khi tăng có 48 + 48.25% = 48 + 12 = 60 (người)

Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 60 công nhân theo năng suất cũ là x ta có:

(ngày).

Năng suất lao động mới là: 100% + 20% = 120%.

Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi số ngày 60 công nhân làm theo năng suất mới là y thì ta có (ngày).

C. Bài tập vận dụng

12.1. Cho biết hai đại lượng x và y tỷ lệ nghịch với nhau. Tìm công thức liên hệ giữa y và x. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau;

12.2. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch z và t; và là hai giá trị của z, và là hai giá trị tương ứng của t.

Biết và . Tính .

12.3. Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 và 25.

12.4. Một số dương M được chia làm bốn phần đều là các số dương tỷ lệ nghịch với . Biết hiệu giữa tổng các bình phương của phần thứ nhất và phần thứ hai với tổng các bình phương của phần thứ ba và thứ tư là 3724. Tìm số M.

12.5.

a) Tìm ba số tỷ lệ nghịch với . Biết ;

b) Cho ba số tỷ lệ nghịch với

Tính giá trị biểu thức .

12.6.

Một tam giác ABC có chu vi 105cm. Các đường cao trong tam giác ABC ứng với cạnh là là ứng với cạnh là . Biết với .

Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác nói trên.

12.7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành một lúc từ A đến B. Vận tốc của ô tô là 60km/h. Vận tốc của xe máy là 45km/h. Ô tô đến B trước xe máy là 30 phút. Tính quãng đường AB.

12.8. Một ô tô chạy trên đoạn đường AB gồm bốn chặng đường dài bằng nhau với tốc độ lần lượt là 50km/h; 40km/h; 60km/h và 30km/h. Biết tổng thời gian đi cả bốn chặng là 19 giờ. Tính quãng đường AB.

12.9. Hai ô tô cùng khởi hành từ A đến B. Biết tỷ số vận tốc ô tô thứ hai và ô tô thứ nhất là 3: 5. Ô tô thứ nhất đến B sớm hơn 1 giờ 30 phút so với ô tô thứ hai. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B.

12.10^*. Trên đoạn đường AB lúc 7 giờ sáng một xe tải đi từ A với vận tốc 45km/h đến B lúc 11 giờ. Cùng lúc 7 giờ một ô tô khởi hành từ A đi đến B và một xe máy khởi hành từ B đi đến A. Ô tô và xe máy gặp nhau tại C trên AB. Tính độ dài đoạn AC. Biết rằng thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB và thời gian xe máy đi hết đoạn đường BA tỉ lệ thuận với 3 và 5.

12.11. Một động tử (vật chuyển động) chạy trên 3 cạnh của một tam giác đều (có ba cạnh bằng nhau) với vận tốc lần lượt là 6m/s; 5m/s; 4m/s. Tính chu vi tam giác biết tổng số thời gian động tử chuyển động trên ba cạnh là 111 giây.

12.12. Để làm xong một công việc 42 công nhân dự định làm trong 14 ngày (năng suất lao động mỗi người như nhau). Khi tiến hành công việc số công nhân được điều đi làm việc khác. Số công nhân còn lại năng suất lao động mỗi người đều tăng thêm 50%. Hỏi đội công nhân có hoàn thành đúng thời gian dự định?

12.13. Ba đội công nhân đào ba con mương như nhau với năng suất lao động mỗi người như nhau. Đội I hoàn thành trong 5 ngày; đội II hoàn thành trong 6 ngày; đội III hoàn thành trong 8 ngày. Số người của đội I nhiều hơn số người của đội III là 18 người. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người?

12.14. Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong 3 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày, đội thứ ba trong 6 ngày; Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba 1 máy. (Năng suất các máy như nhau).

12.15. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một dụng cụ người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi người tiện được?

(Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 7 huyện Thường Tín Hà Nội,

năm học 2009 – 2010)

12.16. Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành trong mấy ngày, biết rằng tổng số máy của đội một và đội hai gấp 10 lần số máy đội ba (giả thiết năng suất của các máy như nhau)?

(Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 7 huyện Thường Tín Hà Nội,

năm học 2011 – 2012)

12.17.

a) Tìm ba số biết rằng và

b) Tìm ba số có tổng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai bằng số thứ ba.

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh,

năm học 2014 - 2015)

12.18. Tìm biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2; y và z tỉ lệ nghịch với 4 và 5 và .

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh,

năm học 2015 – 2016)

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

12.1. Công thức hay

12.2. .

Và từ

12.3. Gọi hai số phải tìm là . Tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 và 25 nghĩa là tỉ lệ thuận với

Hay

Từ

Và

Ta có

Suy ra và

12.4. Gọi bốn phần của M là

Ta có:

Hay

Do các phần đều dương nên

và .

12.5.

a)

Hay

Vậy

b) Ta có

Do đó

12.6. Do đó

và .

Cùng một diện tích, thì cạnh đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao tương ứng

Do đó ta có:

Vậy

12.7. Ta có 30 phút = 0,5 giờ. Cùng một quãng đường AB thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Gọi là thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB, là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB,

Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

Ta có: (giờ).

Quãng đường AB dài là: 2.45 = 90(km).

12.8. Với quãng đường như nhau thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Gọi thời gian đi trên bốn đoạn đường lần lượt là (giờ) .

Ta có:

(giờ). Mỗi chặng dài .

Quãng đường AB dài .

12.9. Gọi là vận tốc ô tô thứ nhất, là vận tốc ô tô thứ hai ta có . Cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi là thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB; là thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB ta có:

Vậy: (giờ) = 3 giờ 45 phút;

(giờ) = 2 giờ 15 phút.

12.10^*. Quãng đường AB dài: . Gọi ; và km/h là vận tốc của xe ô tô; km/h là vận tốc của xe máy .

Cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB và thời gian xe máy đi hết đoạn đường BA tỉ lệ thuận với 3 và 5 nên . Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau hai xe đi trong cùng một thời gian nên quãng đường đi được và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Do đó . Từ

.

12.11. Ba cạnh tam giác bằng nhau. Cùng đoạn đường vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi thời gian động tử trên 3 cạnh lần lượt là (giây); .

Ta có:

Hay .

Ta có giây và cạnh tam giác dài là .

Chu vi tam giác là: .

12.12. Số người còn lại làm công việc là (công nhân). Năng suất lao động mới là:

Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 28 công nhân theo năng suất cũ là x ta có:

(ngày)

Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi số ngày 28 công nhân làm theo năng suất mới là y

Thì ta có: (ngày).

Đáp số: Đúng dự định 14 ngày.

12.13. Cùng khối lượng công việc (ba con mương như nhau), năng suất lao động mỗi người như nhau thì số người làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi là số công nhân của mỗi đội . Ta có:

Vậy (người); (người); (người).

12.14. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là . Vì cùng diện tích cày, số máy và số ngày cày xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

(máy); (máy); (máy).

12.15. Gọi số dụng cụ của ba công nhân tiện được theo thứ tự là .

Vì cùng thời gian số dụng cụ tiện được của mỗi người và thời gian tiện xong một dụng cụ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

(dụng cụ); (dụng cụ); (dụng cụ).

12.16. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là và t là số ngày đội thứ ba cần dùng để hoàn thành công việc .

Vì cùng công việc số máy và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

(ngày).

12.17.

a) Đặt

Từ đó tìm được

b) Gọi là ba số cần tìm thì

Ta có

12.18. Ta có: và và

. Thay vào

vậy

+ Với

+ Với

Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Chuyên đề 13. HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.

2. Khi y là hàm số của x ta có thể viết

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số.

Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức, bằng sơ đồ mũi tên, bằng đồ thị.

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.

3. Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau: trục hoành Ox và trục tung Oy; giao điểm hai trục O là gốc tọa độ.

Trên mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm M xác định một cặp số ; ngược lại mỗi cặp số xác định một điểm M. Cặp số gọi là tọa độ của điểm M; là hoành độ, là tung độ của điểm M. Ta viết .

4. Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

5. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị hàm số là hai nhánh (hai đường cong), một nhánh nằm ở góc phần tư thứ I và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ III khi và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ II và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ IV khi .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho các cặp số sau:

.

a) Lập bảng giá trị các cặp số.

b) Vẽ sơ đồ mũi tên.

c) Giải thích tại sao bảng vừa lập xác định y là một hàm số của x?

d) Hàm số đó có thể được cho bởi công thức nào?

🗸 Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem mỗi giá trị của đại lượng x có được tương ứng với một và chỉ một giá trị của đại lương y. Từ quan hệ của x và y viết công thức của hàm số.

Giải

a) Bảng giá trị các cặp số:

b) Sơ đồ mũi tên:

c) Trong bảng trên ta thấy mỗi giá trị của x đều được tương ứng với một và chỉ một giá trị của y là hàm số của x (việc lập bảng và sơ đồ mũi tên cũng đã chứng tỏ điều ấy).

d) Hàm số có thể được cho bởi công thức với

Ví dụ 2: Cho hàm số được xác định bởi công thức

a) Tính

b) Tìm x để

c) Chứng tỏ với thì .

🗸 Tìm cách giải: Để tính ta thay vào công thức, từ đó tìm được giá trị. Để tìm x biết ta thay và từ đó tìm được x. Ta thay vai trò của x là và so sánh kết quả để kết luận.

Giải

a)

b) nghĩa là

nghĩa là

c) Với thì .

Ví dụ 3: Một hàm số được xác định như sau:

a) Đặt . Tính

b) Hãy viết gọn công thức trên.

🗸 Tìm cách giải:

a) Thay và vào để ý rằng .

b) Lưu ý định nghĩa về giá trị tuyệt đối .

Giải

a) (vì )

(vì )

.

b) Công thức trên được viết gọn là vì theo định nghĩa .

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) b)

c) d)

e) f) .

🗸 Tìm cách giải: Để tìm tập xác định của các hàm số được cho bằng công thức, ta chỉ cần tìm tất cả các giá trị của biến làm cho công thức có nghĩa.

Giải

a) Tập xác định của hàm số là R;

b) không có nghĩa khi và tức là và . Vậy tập xác định của hàm số là tập hợp số thực khác và khác

c) không có nghĩa khi . Vậy tập xác định của hàm số là tập hợp số thực khác và khác

d) không có nghĩa khi . Vậy tập xác định của hàm số là tập hợp số thực khác 9 và khác

e) không có nghĩa khi và . Vậy tập xác định của hàm số là tập hợp số thực khác 4 và khác

f) với mọi x nên tập xác định của hàm số là R.

Ví dụ 5: Cho hàm số . Tìm m nếu .

🗸 Tìm cách giải: Thay vào được

. Giải ra tìm được m.

Giải

Ta có

Ví dụ 6: Cho các điểm . Tìm diện tích hình tam giác AMN và hình tứ giác ABCD.

🗸 Tìm cách giải: Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ nối lại được và tứ giác ABCD.

Mỗi đơn vị trên trục tọa độ là một đơn vị độ dài. Tam giác AMN có độ dài đáy AN là 8 (đvđd), chiều cao MO là 4 (đvđd).

Ta có ABCO là hình chữ nhật. Để tính được diện tích tứ giác ABCD từ D ta hạ các đường vuông góc DK và DH xuống hai trục tọa độ Ox và Oy tạo thành hình vuông OHDK và các tam giác vuông AHD và DKC.

Giải

Ta có tam giác AMN có độ dài đáy AN là 8 (đvđd), chiều cao MO là 4 (đvđd). Nên:

(đvdt)

Từ D ta hạ các đường vuông góc DK và DH xuống hai trục tọa độ Ox và Oy.

Ta có: (đvđd)

(đvđd); (đvđd); (đvđd)

(đvđd).

Ta có:

(đvdt).

🗸 Chú ý: Ta có thể tìm bằng cách khác: Nối O với D ta có: .

Bạn đọc tự giải.

Ví dụ 7: Cho hàm số

a) Viết 5 cặp số với .

b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa độ.

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm và gốc tọa độ O. Kiểm tra bằng thước xem các điểm còn lại có nằm trên đường thẳng đó không.

🗸 Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị của x vào công thức, sau đó tính giá trị của y. Khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ thì từ điểm -2 trên trục hoành ta vẽ một đường thẳng vuông góc với trục hoành; từ điểm 4 trên trục tung ta vẽ một đường thẳng vuông góc với trục tung; giao điểm của hai đường vuông góc trên là điểm cần biểu diễn.

Giải

a) Năm cặp số cần xác định là

.

b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa độ

như hình bên.

c) Các điểm còn lại đều thuộc đường thẳng d đi qua

hai điểm và gốc tọa độ O.

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số đi qua điểm

a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;

b) Cho và . Không cần biểu diễn B, C trên mặt phẳng tọa độ hãy cho biết trong các bộ ba điểm sau, ba điểm nào thẳng hàng:

c) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số .

🗸 Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào ta sẽ tìm được a. Đồ thị hàm số là một đường thẳng qua gốc tọa độ nên chỉ cần xác định 2 điểm của đường thẳng.

Thông thường để vẽ đồ thị hàm số chỉ cần xác định 1 điểm rồi vẽ đường thẳng qua điểm đó và gốc tọa độ.

Một điểm thuộc đồ thị hàm số khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hàm số đã cho.

Giải

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm nên cặp số phải thỏa mãn hàm số, tức là suy ra .

Hàm số đã cho là .

Để vẽ đồ thị hàm số, ta cho thì vẽ điểm Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số .

b) Thay tọa độ của vào ta thấy không thỏa mãn vì

Vậy điểm B không thuộc đồ thị của hàm số .

Thay tọa độ của vào ta thấy thỏa mãn vì .

Vậy điểm C thuộc đồ thị của hàm số .

Do đó chỉ có bộ ba điểm thẳng hàng.

c) Cho thì . Vẽ điểm .

Đường thẳng DO là đồ thị hàm số (hình vẽ trên).

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị của hàm số

🗸 Tìm cách giải:

Vẽ hai đồ thị khi và khi .

Hai đồ thị kết hợp thành đồ thị cần vẽ.

Giải

Đồ thị của hàm số khi là tia OM với

Đồ thị của hàm số khi là tia ON với .

và kết hợp thành đồ thị hàm số .

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số

🗸 Tìm cách giải: Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số thực x:

Xét hàm số trên với hai trường hợp và .

Giải

Do nên hàm số trên trở thành

Đồ thị của hàm số khi là tia OQ gốc O đi qua điểm .

Đồ thị của hàm số khi là tia OP gốc O đi qua .

và kết hợp thành đồ thị hàm số

C. Bài tập vận dụng

13.1. Cho các cặp số sau đây:

a) Hãy lập các cặp số .

b) Vẽ sơ đồ mũi tên.

c) Các cặp số này xác định một hàm số. Tại sao?

d) Hàm số đó có thể được cho bởi công thức nào?

13.2. Trong các sơ đồ sau, sơ đồ nào xác định một hàm số? Tại sao. Hàm số nào được biểu thị bằng công thức?

13.3. Cho hàm số được xác định bởi công thức

a) Chứng tỏ với thì .

b) Tính

c) Tìm x để

13.4. Hàm số được xác định như sau:

a) Tính

b) Hãy viết gọn công thức trên;

c) Tính nhanh tích

d) Đại lượng x có là hàm số của đại lượng y không?

13.5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) b)

c) d)

13.6. Cho hàm số

a) Tìm khi ;

b) Tìm m nếu .

13.7.

a) Cho hàm số .

Chứng minh với mọi thì .

b) Cho hàm số .

Chứng minh với mọi thì .

13.8. Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm và chiều dài 28cm. Người ta tăng mỗi chiều cm.

a) Tính chu vi y của hình chữ nhật mới theo x. Chứng minh đại lượng y là hàm số của đại lượng x;

b) Tập xác định của hàm số y.

13.9. Đồ thị hàm số đi qua điểm .

a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;

b) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số .

13.10. Vẽ đồ thị của 2 hàm số và đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định giao điểm hai đồ thị. Kiểm tra lại kết quả bằng tính toán.

13.11. Cho hàm số .

a) Vẽ đồ thị hàm số khi

b) Vẽ đồ thị hàm số khi (cùng trên hệ trục tọa độ của câu a).

13.12. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm .

a) Xác định hệ số a, và vẽ đồ thị (H) của hàm số với a vừa tìm;

b) là một điểm trên (H) biết , xác định tọa độ của P;

c) Tìm giao điểm đồ thị hàm số trên với đồ thị (D) của hàm số .

13.13. Gọi f là hàm xác định trên tập hợp các số nguyên và thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1)

2)

3) , với mọi .

Tính .

(Cuộc thi Olimpic Toán học thành phố Leningrat, LB Nga năm 1987)

13.14. Cho là hàm số thỏa mãn , với mọi số thực. Hãy xác định giá trị của .

(Cuộc thi Toán Canada mở rộng 2006)

13.15. Cho hàm số thỏa mãn . Tính

(Đề thi Olimpic Toán tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014)

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

13.1. a); b) Bạn đọc tự lập các cặp số và vẽ sơ đồ.

c) Trong các cặp số trên ta thấy mỗi giá trị của x đều được tương ứng với một và chỉ một giá trị của y nên y là hàm số của x (Việc lập cặp số và sơ đồ mũi tên cũng sẽ chứng tỏ điều ấy).

d) Hàm số có thể được cho bởi công thức với .

13.2. Theo khái niệm hàm số:

- Quy tắc trong sơ đồ (a) biểu thị một hàm số. Công thức

- Quy tắc trong sơ đồ (b) không biểu thị một hàm số vì với có hai giá trị tương ứng thuộc Y.

- Quy tắc trong sơ đồ (c) không biểu thị một hàm số vì có phần tử chẳng hạn 3 của tập X không có giá trị tương ứng thuộc tập Y.

- Quy tắc trong sơ đồ (d) biểu thị một hàm số. Công thức

13.3.

a) Với thì .

Từ .

Vậy với thì

b)

c) nghĩa là

nghĩa là

13.4.

a)

b) Công thức được viết gọn là vì theo định nghĩa

nên .

c) vì .

d) Đại lượng x không là hàm số của đại lượng y vì ứng với một giá trị của y ta có hai giá trị tương ứng của x (chẳng hạn thì và ) nên theo định nghĩa hàm số đại lượng x không là hàm số của đại lượng y.

13.5.

a) b)

c) d) .

13.6. a) Khi thì nên

b)

13.7.

a) Ta có:

.

b)

.

13.8.

a) Chiều rộng mới là ; chiều dài mới là . Chu vi hình chữ nhật mới là .

là hàm số vì ứng với mỗi giá trị của x ta có một giá trị tương ứng duy nhất của y.

b) Tập xác định của hàm số là .

13.9.

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm nên cặp số phải thỏa mãn hàm số, tức là suy ra . Hàm số đã cho là . Vẽ điểm . Đường thẳng OC là đồ thị của hàm số .

b)

* Đồ thị của hàm số khi là tia OA với .

* Đồ thị của hàm số khi là tia OB với .

Hợp của và là đồ thị hàm số .

13.10.

Đồ thị của hàm số khi là tia OA với

Đồ thị của hàm số khi là tia OB với ,

và kết hợp thành đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số là phần đường thẳng với kết hợp với phần đường thẳng với.

Giao điểm của hai đồ thị là .

Kiểm tra với thì nên .

13.11. Do nên

a) Khi hàm số trên trở thành

Đồ thị khi là tia gốc O đi qua .

Đồ thị khi là tia gốc O đi qua .

và hợp thành đồ thị hàm số .

b) Khi hàm số trên trở thành

Đồ thị khi là tia Ox.

Đồ thị khi là tia gốc O đi qua .

Tia Ox và hợp thành đồ thị hàm số .

13.12.

a) Đồ thị (H) của hàm số đi qua điểm nên ta có .

Hàm số đã cho là.

Vẽ đồ thị:

Vẽ các điểm và nối lại được: Đồ thị hàm số là hai nhánh đường cong nằm ở góc phần tư thứ II và nằm ở góc phần tư thứ IV.

b) P nằm trên đồ thị hàm số nên và thỏa mãn biểu thức trên nghĩa là . Do nên

Với thì thì

Ta có hai điểm và .

c) Đồ thị (D) của hàm số gồm 2 tia OM và ON với . Hai đồ thị (D) và (H) cắt nhau tại .

13.13. Áp dụng lần lượt các tính chất đã cho ta có:

Vậy

13.14. Ta có: . Vậy

13.15. Ta có: . Vậy .

CHUYÊN ĐỀ 14. THỐNG KÊ

§1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

§2. TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1.Khái niệm về thống kê

Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu.

2. Mẫu số liệu

Dấu hiệu là một vấn đề hay hiện tượng nào đó mà người điều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi đối tượng điều tra gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị điều tra đó.

Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu).

Nếu thực hiện điều tra trên trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên một mẫu thì đó là điều tra mẫu.

3. Bảng phân bố tần số - tần suất. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

Tần số của giá trị x_i là số lần lặp lại của giá trị x_i trong mẫu số liệu.

Tần suất f_i của giá trị x_i là tỷ số giữa tần số n_i và kích thước mẫu N hay

Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm.

Bảng phân bố tần số (gọi tắt là bảng tần số) được trình bày ngang như sau:

Trên hàng tần số, người ta dành một ô để ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số (tức N =).

Bổ sung thêm một hàng tần suất vào bảng trên, ta được bảng phân bố tần số - tần suất (gọi tắt là bảng tần số - tần suất).

Chú ý: Người ta cũng thể hiện bảng phân bố tần số - tần suất dưới dạng bảng dọc.

Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng hay (thường có độ dài các lớp bằng nhau). Khi đó tần số của lớp là số giá trị (hay ) xuất hiện trong lớp đó. Tần suất của lớp là trong đó là tần số của lớp và là kích thước mẫu.

- Bảng phân bố tần suất ghép lớp được xác định tương tự như trên.

- Giá trị đại diện của lớp là

4. Biểu đồ:

Các loại biểu đồ thường dùng là: biểu đồ hình cột, biểu đồ đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. Số liệu vẽ biểu đồ được lấy từ các bảng tần số - tần suất.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng Toán 1: Xác Định Mẫu Số Liệu.

1. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT được thống kê lại như sau.

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

Lời giải

a) Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT

Kích thước mẫu là

b) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là

Ví dụ 2: Để may đồng phục cho khối học sinh lớp năm của trường tiểu học. Người ta chọn ra một lớp , thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp (tính bằng cm) được ghi lại như sau :

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

Lời giải

a) Dấu hiệu là chiều cao của mỗi học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp

Kích thước mẫu là

b) Các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên là

2. Bài tập luyện tập

Bài 0: Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:

Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?

Bài 1: Số con của 40 gia đình ở huyện A được thống kê lại như sau

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

Bài 2: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người điều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình . Kết quả thu được ghi lại trong bảng sau (đơn vị là kg):

Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu ?

Dạng Toán 2: Trình Bày Mấu Số Liệu Dưới Dạng Bảng Và Biểu Đồ.

1. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau:

Lập bảng phân bố tần số - tần suất

Lời giải

a) Bảng phân bố tần số - tần suất

Ví dụ 2: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C. ( đơn vị : giây )

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp :

[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]

b) Vẽ đường gấp khúc tần suất

Lời giải

a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghéo lớp là

b) Ta có

Đường gấp khúc tần suất ghép lớp là

Ví dụ 3: Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như sau :

a) Hãy trình bày số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp: .

b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).

c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).

Lời giải

a) Ta có bảng phân bố là

Bảng phân bố tân số ghép lớp

Bảng phân bố tần suất ghép lớp

b) Biểu đồ đồ tần suất hình cột là

c) Biểu đồ hình quạt là

Nhận xét: Để vẽ đồ biểu đồ hình quạt ta xác định góc ở tâm hình quạt dựa vào công thức Đ_O.

Ví dụ 4: Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực nghiệm bằng cách ra đề kiểm tra một tiết cho hai lớp(gần tương đương về trình độ kiến thức). Trong đó lớp đã được dạy áp dụng đề tài(lớp thực nghiệm), lớp (lớp đối chứng). Kết quả điểm của học sinh hai lớp như sau:

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của hai lớp trên

b) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp(trong cùng một biểu đồ)

c) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp (trong cùng một biểu đồ)

Lời giải

a) Bảng phân bố tần suất

b) Biểu đồ phân bố tần suất của hai lớp

c) Đường gấp khúc tần suất của hai lớp

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP.

Bài 3: Điểm kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau:

Nhóm 1: (9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9

Nhóm 2: (11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10

a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm.

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.

Bài 4: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao (đơn vị là milimét) của các cây hoa được trồng:

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên.

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột .

c) Vẽ đường gấp khúc tần suất

Bài 5: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau:

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?

b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).

c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).

Bài 6: Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán của 926 em học sinh Trường THPT A cho ta kết quả sau đây:

a) Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống.

b) Vẽ biểu đồ hình cột tần số.

c) Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất.

Bài 7: Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp hai lớp gồm lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau đây:

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên(trong một bảng)

b) Vẽ biểu đồ tần suất (trong một biểu đồ)

§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Số trung bình

• Với mẫu số liệu kích thước N là :

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số:

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp:

(c_i là giá trị đại diện của lớp thứ i)

2. Số trung vị

Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi đó số trung vị M_e là:

– Số đứng giữa nếu N lẻ;

– Trung bình cộng của hai số đứng giữa (số thứ và ) nếu N chẵn.

3. Mốt

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là .

Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu.

– Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu của mẫu.

– Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt.

4. Phương sai và độ lệch chuẩn

Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương sai và độ lệch chuẩn .

• Với mẫu số liệu kích thước N là :

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất:

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

(c_i, n_i, f_i là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I;

N là số các số liệu thống kê N = )

Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng lớn.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng Toán : Xác Định Các Số Đặc Trưng Của Mẫu Số Liệu .

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia đình

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt

Lời giải

Bảng phân bố tần số - tần suất:

b) * Số trung bình:

* Số trung vị: Do kích thước mẫu N = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ và đó là 114 và 114.

Vậy

*Mốt: Do giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có: .

Ví dụ 2: Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.

a) Tìm mốt, số trung vị.

b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất

Kích thước mẫu là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai số đứng giữa

Vậy

b) Ta có số trung bình cộng là

Ta có

Suy ra phương sai là

Do đó độ lệch chuẩn là .

Ví dụ 3: Tiền lãi (nghìn đồng) trong 30 ngày được khảo sát ở một quầy bán báo.

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau:

[29.5; 40.5), [40.5; 51.5), [51.5; 62.5), [62.5; 73.5), [73.5; 84.5), [84.5; 95.5]

b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ?

Lời giải

a) Bảng phân bố tần số và tần suất là

b) Ta có nên

Ta có

Suy ra phương sai là

Do đó độ lệch chuẩn là .

Ví dụ 4: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là 5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là với ,

Ta có

Mà

Ta có hay mà

Nếu thì , mà

Khi đó các giá trị của mẫu số liệu là 1;2;8;13

Nếu thì c = 7, mà

Khi đó có hai mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;3;7;13 và 2;3;7;12

Nếu thì , mà

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;4;6;13, 2;4;6;12 và 3;4;6;11

Suy ra với mẫu số liệu có các giá trị là 3;4;6;11 thì hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 8: Đo chiều cao (cm) của 40 học sinh nam ở một trường THPT, người ta thu được mẫu số liệu sau:

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp theo chiều cao của học sinh với các lớp: [141;146], [147;152] , … , [171;176] .

b) Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính chiều cao trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho.

Bài 9: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho trong bảng sau: (thang điểm là 20)

a) Tính số trung bình và số trung vị.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 10: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau:

Tổ I 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12

Tổ II 2 3 4 4 4 5 5 7 7 8

Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?

Bài 11: Thống kê điểm kiểm tra toán của lớp 10C , giáo viên bộ môn thu được số liệu :

Tính : Số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần chục)

Bài 12: Để được cấp chứng chỉ A- Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ , học viên phải trải qua 6 lần kiểm tra trắc nghiệm , thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100, và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên.Qua 5 lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm . Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít nhất là bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ?

Bài 13: Cho hai bảng phân bố tần số mô tả kết quả điểm thi môn Toán của hai lớp 10A và 10B của một trường(Hai lớp làm cùng một đề) như sau:

Bảng 1:Điểm thi của lớp 10A