Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.

Cụ thể: Nếu có thì k không là số chính phương.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI:

Dạng 1: Chứng minh một số, một biểu thức số không là số chính phương.

I. Phương pháp giải:

1. Để chứng tỏ một số không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Chứng tỏ

Bước 2: Chứng tỏ

Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra không là số chính phương

1. Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức số:

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng số không là số chính phương.

Lời giải:

Nhận thấy:

Suy ra

Vậy không là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng số không là số chính phương.

Lời giải:

Nhận thấy:

Suy ra

Vậy không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh số không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có

Suy ra

Chứng tỏ không là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh số không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có

Suy ra

Chứng tỏ không là số chính phương.

Bài 5: Chứng minh rằng:

1. không là số chính phương.
2. không là số chính phương

Lời giải:

1. Ta có 

Ta đi chứng minh

Thật vậy :

( 1000 số )

Mà

Từ

Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)

1. Ta có :

Lại có:

(1000 số )

Từ

Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)

Bài 6: Chứng minh rằng:

không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có :

Lại có:

(100 số )

Từ

Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)

Dạng 2: Chứng minh biểu thức không là số chính phương.

I. Phương pháp giải:

- Để chứng tỏ biểu thức không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Chứng tỏ

Bước 2: Chứng tỏ

Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra không là số chính phương.

- Sử dụng các hằng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức:

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương.

Lời giải:

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp khác 0 là

Tích 2 số là

Ta có

Mặt khác

Từ

thì là không là số chính phương.

Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương (ĐPCM)

Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.

Lời giải:

Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là

Đặt

Đặt

Nhận thấy

Suy ra không là số chính phương

Suy ra không là số chính phương

Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

Lời giải:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là

Đặt

Mặt khác ta có:

Từ không là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương

Lời giải:

1. Nhận thấy :

Mà

nên

Cũng có

Mà

nên

Từ , thì không là số chính phương

1. Nhận thấy ta có:

thì không là số chính phương

Bài 5 Chứng minh rằng với là số tự nhiên thì các số sau không phải số chính phương

Lời giải:

1. Ta có:

Mà

nên

không là số chính phương

1. Ta có:

Mà

nên

không là số chính phương

Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng trong đó không là số chính phương.

Lời giải:

Đặt

Với thì

Mặt khác với ta có

Từ ,suy ra không phải là một số chính phương.

Vậy số có dạng trong đó không là số chính phương (ĐPCM)

Bài 6: Cho là số nguyên dương và là ước nguyên dương của .

CMR: không là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử: là số chính phương.

Đặt: (1)

Theo bài ra ta có:

Thay vào (1) ta được:

Do là các số chính phương nên là số chính phương.

Mặt khác: không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)

Vậy không là số chính phương.

Dạng 3: Tìm giá trị của để biểu thức là một số chính phương.

I. Phương pháp giải:

Xét các trường hợp có thể xảy ra của . Dùng tính chất “Nếu thì k không là số chính phương” đề loại các giá trị không phù hợp của và từ đó chọn giá trị phù hợp của .

II. Bài toán:

Bài 1: Tìm số tự nhiênđể là số chính phương.

Lời giải:

Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+) là số chính phương

+)

Ta có

Mặt khác

Từ

thì là không là số chính phương.

Vậy thì là số chính phương

Bài 2: Tìm số tự nhiên để là số chính phương.

Lời giải:

Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+) là số chính phương

+)

Ta có

Đặt

Nhận thấy

Suy ra không là số chính phương

Suy ra không là số chính phương với

Vậy thì là số chính phương.

Bài 3: Tìm số tự nhiên để là số chính phương

Lời giải:

Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+) là số chính phương

+) là số chính phương

+)

Ta có

Cũng có

không là số chính phương

Vậy với thì là số chính phương.

Bài 4: Tìm số tự nhiên để là số chính phương

Lời giải:

Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+) không là số chính phương.

+) là số chính phương.

+) là số chính phương.

+)

Ta có

Mặt khác ta có:

Xét hiệu:

Từ ,

không là số chính phương.

Vậy với thì là số chính phương.

Bài 5: Tìm tất các các số nguyên để : là số chính phương

Lời giải:

Đặt

hoặc 

Khi hoặc không phải là số chính phương

Với và

Ta có :

Lúc đó :

Bài 6: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng và đều là các số chính phương

Lời giải:

Ta có số tự nhiên có 2 chữ số nên

Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được bằng

Tương ứng với số bằng
Tương ứng bằng 37; 73; 121; 181; 253. Trong đó chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là

Bài 7: Tìm số tự nhiên để là số chính phương

Lời giải:

Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+) không là số chính phương.

+) ta xét:

(1)

(2)

Từ (1) và (2)

Vậy thì là số chính phương

Dạng 4: Tìm một số chính phương thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B.

Lời giải:

Gọi , khi đó:

Ta có :

(1)

Nhận xét thấy tích với là hai số nguyên dương.

và (2)

Từ (1), (2)

Vậy hai số

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau một đơn vị.

Lời giải:

Gọi số chính phương có 4 chữ số là

Đặt

Mặt khác theo bài ra ta có :

Từ suy ra

hoặc

Mà nên

Do 

Vậy số chính phương có 4 chữ số cần tìm là

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

Lời giải:

Gọi số chính phương phải tìm là :

Ta có :

(1)

Mà là số nguyên tố (2)

Từ (1),(2) ta suy ra

Mà

Thay vào (1) ta được : là số chính phương

Bằng phép thử từ 1 đến 9 ta thấy có là thỏa mãn

Vậy số cần tìm là .

Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.

Lời giải:

Gọi số chính phương đó là:

Theo bài ra ta có

Vì cũng là một số chính phương.

Mặt khác ta có :

Mà y là số chính phương nên

Vậy số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương là

Bài 5: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là

Theo bài ra ta có:

Khi đó là một lập phương và là một số chính phương

Đặt

Vì

hoặc

hoặc

TH1 : là số chính phương

TH2 : không là số chính phương ( loại)

Vậy số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó là 27.

Bài 6: Tìm ba số chính phương lẻ liên tiếp mà tổng của chúng là một số có 4 chữ số giống nhau.

Lời giải:

Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là:

Ta xét:

Theo bài ra ta có ( lẻ và )

(*)

Vì

Mà lẻ nên

Vì lẻ nên

+ Thay vào (*) ta được

Mà là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có tận cùng là (loại)

+ Thay vào(*) ta được

Vậy ba số chính phương lẻ liên tiếp cần tìm là

Bài 7: Tìm số chính phương mà nó bằng bình phương của một số có hai chữ số và bằng lập phương của tổng hai chữ số của số có hai chữ số đó.

Lời giải:

Gọi số chính phương cần tìm là

Theo bài ra ta có nên là số chính phương.

Đặt

mà

Nếu (thỏa mãn)

Nếu (loại)

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 8: Tìm một số chính phương biết nó bằng tổng của một số có hai chữ số với số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại.

Lời giải:

Gọi số chính phương đó có dạng

Theo bài ra ta có :

Mà là số nguyên tố nên

Mà

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 9: Tìm một số chính phương biết nó bằng bình phương của một số có hai chữ số trừ đi bình phương của số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại.

Lời giải:

Gọi số chính phương đó có dạng

Theo bài ra ta có :

Mà là số nguyên tố nên

Vì

suy ra là số chính phương

Mà

Mặt khác vì cùng tính chẵn lẻ nên

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 10: Tìm số chính phương có dạng , biết :

Lời giải:

Đặt

Mà

nên

Vì là số nguyên tố

Ta có :

Bài 11: Tìm một số chính phương có 4 chữ số là số là một lập phương của một số tự nhiên.

Lời giải:

Gọi số chính phương đó là :

Vì cũng là một số chính phương.

Ta có :

Mà y là số chính phương nên

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 12: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố và số đó bằng bình phương của số có tổng các chữ số là một số chính phương.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là : với

Vì là số chính phương nên mà d là số nguyên tố nên

Đặt với k là 1 số có hai chữ số mà có tận cùng là 5

có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của là một số chính phương

Vậy