Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA:
Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.
Ví dụ : và là hai số chính phương vì
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:
Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là
Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:
Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ.
Nghĩa là: nếu thì không là số chính phương.
Chứng minh:
Giả sử: với
Ta có từ đến có = số hạng
(đpcm)
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Bài 1: Cho các số . Hãy tìm các số chính phương .
Lời giải:
Ta có:
Tổng quát:
Bài 2: Các biểu thức số sau có phải số chính phương hay không?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Lời giải
Suy ra chia cho dư .
Vì chia hết cho nhưng không chia hết cho nên không phải là số chính phương.
có chữ số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương.
không tận cùng là chẵn lần chữ số
không là số chính phương.
là số chính phương, ta xét số :
Vì có tổng các chữ số là nên số chia hết cho mà không chia hết cho .
số không là số chính phương.
Vậy không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc .
b) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
c) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc .
d) Một số chính phương lẻ khi chia cho chỉ có số dư là .
Lời giải:
a) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :
+ Nếu
+ Nếu chia dư
+ Nếu chia dư
Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc .
b) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :
+ Nếu chia dư
+ Nếu chia dư
Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc .
c) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :
+ Nếu chia dư
+ Nếu chia dư
+ Nếu chia dư
d) Ta có:
Vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho .
chia hết cho .
chia dư .
Vậy một số chính phương lẻ khi chia cho chỉ có số dư là .
Bài 4: a) Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương.
b) Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương.
Lời giải:
a) Ta có:
Lấy trừ ta được:
Mà trong tích ta có số không là số chính phương
không là số chính phương
b) Ta có:
Lấy trừ ta được:
Ta có không là số chính phương do không là số chính phương.
Vậy không là số chính phương.
Bài 5: Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho . Chứng minh rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho .
Lời giải
Gọi hai số chính phương là: . Theo đầu bài ta có:
Ta xét các trường hợp:
+ Giả sử chia dư (theo tính chất )
mâu thuẫn giả thiết
+ Giả sử hoặc hoặc không chia hết cho 3, số còn lại chia hết cho 3 (mâu thuẫn giả thiết)
, mà là số nguyên tố.
(đpcm)
Bài 6: Cho là số chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số một đơn vị thì ta được số chính phương . Tìm và .
Lời giải
Đặt
Vì thêm vào mỗi chữ số của số một đơn vị thì ta được số nên dễ thấy:
Mà: và
Vậy hai số cần tìm là .
Bài 7: Tìm số nguyên tố , sao cho là số chính phương.
Lời giải
Ta có: là số chính phương;
Mà là số chính phương.
là số chính phương
+) Với
+) Với
Vậy các số nguyên tố thỏa yêu cầu đề bài là:
Bài 8: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
Lời giải
Gọi số chính phương cần tìm là :
Ta có :
Lại có :
mà
Mà :
Thay vào , ta được :
phải là số chính phương (do là số chính phương)
Ta có bảng sau:
Ta có :
Vậy số cần tìm là : .
Cách 2:
Gọi số chính phương cần tìm là :
Ta có: =
Do đó:
Ta có:
Ta có bảng:
Mà
chọn
Bài 9: Tìm số tự nhiên để là số chính phương.
Lời giải
Đặt
+) Với vô lí
+) Với
Bài 10: Viết liên tiếp từ đến được số .
Hỏi: số có thể có 81 ước được không?
Lời giải
Giả sử có ước.
Vì số lượng các ước của là (là số lẻ) nên là số chính phương (1)
Mặt khác, tổng của các chữ số của là
Vì nên chia hết cho nhưng không chia hết cho , do đó không là số chính phương mâu thuẫn với (1).
Vậy không thể có ước.
Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với thì ta được một số chính phương.
Lời giải
Gọi số phải tìm là
Ta có: hay
Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên
+) Với (không thỏa mãn)
+) Với
+) Với
+) Với
+) Với (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)
Vậy số cần tìm là
Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số thì không phải số chính phương.
Lời giải
Gọi là số tự nhiên được ghi bởi chữ số ()
Ta có:
là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
không là số chính phương.
Bài 13: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng thì có thể là số chính phương được không? Vì sao?
Lời giải
Gọi là số tự nhiên có tổng các chữ số bằng
Ta có:
Vì tổng các chữ số của chia dư nên số khi chia cho cũng có số dư là
có dạng
Mà một số chính phương không có dạng nên số tự nhiên n không là số chính phương.
Vậy một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng thì không là số chính phương.
Bài 14: Cho . Hỏi có là số chính phương không? Vì sao?
Lời giải
Ta có:
có chữ số tận cùng là 3
không là số chính phương.
PHẦN III. CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI
Bài 1: Chứng minh rằng không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương .
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016)
Lời giải
Ta có
chia cho dư
chia cho dư
Do đó chia cho dư
Ta có nhưng không chia hết cho , mà là số nguyên tố nên không là số chính phương.
Vậy không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng không phải là số chính phương.
(Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018)
Lời giải
Ta có
Ta thấy
Nên chia dư , mà không có số chính phương nào chia dư .
Vậy không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005)
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là
Ta xét
Vì và nên
Mặt khác và không chia hết cho 4 nên không chia hết cho 4.
Vậy chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương.
Bài 4: Cho với . Chứng minh rằng không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019)
Lời giải
Ta có
Ta có:
Suy ra
Vậy không là số chính phương.
Bài 5: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương không là số chính phương.
(Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012)
Lời giải
Ta có:
Để là số chính phương thì
Điều này vô lí vì
Vậy không là số chính phương.
Bài 6: Cho
a) Chứng minh chia hết cho 6.
b) Chứng minh không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 Đa Phúc 2010-2011)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Mặt khác:
không chia hết cho
không chia hết cho 25.
Ta có nhưng không chia hết cho nên không là số chính phương.
Bài 7: Cho Chứng minh là một số chính phương.
(Trích đề thi Olympic lớp 6 Nghĩa Đô 2010-2011)
Lời giải
Ta có:
Nên
Nên là số chính phương.
Bài 8: Cho
a) Chứng minh chia hết cho .
b) Chứng minh không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Anh Sơn 2011-2012)
Lời giải
a) Ta có:
Ta lại có có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chia cho 3 đều dư .
Ta có chia dư .
Vậy chia có số dư là dư của phép chia
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, , nên
b) Ta có có chữ số tận cùng là 0 nên:
có chữ số tận cùng là
Vậy không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là
Bài 9: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số:
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012)
Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là
- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3; 8 do đó phải có tận cùng là 6.
- Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương.
có tận cùng là 36.
Vậy số chính phương đó là 8836 (với ).
Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với thì ta được một số chính phương?
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2013-2014)
Lời giải
Gọi số phải tìm là ()
Ta có: hay
Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên
+) Với
+) Với
+) Với (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)
Vậy số cần tìm là .
Bài 11: Cho tổng . Chứng tỏ là một số chính phương.
(Trích đề HSG toán 6 THCS Hồng Hà năm 2013 – 2014)
Lời giải
Ta có:
Vậy là một số chính phương.
Bài 12: Cho tổng (với )
Chứng tỏ là một số chính phương.
(Trích đề thi HSG huyện Lương Tài năm học 2015 – 2016)
Lời giải
Xét dãy số trong tổng , từ đến có (số số hạng).
Vì nên là một số chính phương.
Bài 13: Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên khác và có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự nhiên đó là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Vũ Thư, năm học 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên đó là
Nếu là số chính phương.
Nếu . Phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: (với là các số nguyên tố).
Khi đó số lượng các ước của là .
Theo đề ta có: là số lẻ
đề là các số lẻ
đều là các số chẵn
Đặt
Ta được
Vậy là số chính phương.
Bài 14: Tìm để là một số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Sơn Tây, năm học 2015 – 2016)
Lời giải
Giả sử là số chính phương
Đặt
+) Nếu khác tính chẵn lẻ thì vế trái của là số lẻ nên không thỏa mãn
+) Nếu cùng tính chẵn lẻ
Mà vế phải của là không chia hết cho 4
vô lý
Vậy không tồn tại để là một số chính phương.
Bài 15: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng số gồm 2 số đầu lớn hơn số gồm 2 số sau 1 đơn vị.
(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Liên Hòa năm học 2008 – 2009)
Lời giải
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là
Theo đề bài ta có:
,,
Ta có:
hoặc
Mà nên
Mà
Vậy số cần tìm là .
🙢 HẾT 🙠
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới