Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với và Nếu có số nguyên q sao cho thì ta nói chia hết cho. Ta còn nói là bội của và là ước của .
2. Nhận xét
- Nếu thì ta nói chia cho được và viết
- Sốlà bội của mọi số nguyên khác. Số không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số và là ước của mọi số nguyên.
3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.
Nếu số tự nhiên chia cho số tự nhiên được số dư là thì số
4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số được kí hiệu là
5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số được kí hiệu là:
6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó.
7. Các tính chất
-
- Nếu
- Nếu nguyên tố cùng nhau
- và
- Nếu
- Nếu
-
8. Phương pháp giải
- Nếu số tự nhiên chia cho số tự nhiên được số dư là
- Nếu và mà
chia hết cho tích với
- Nếu và mà a là số nhỏ nhất
- Nếu và mà b lớn nhất
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Bài toán đưa về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số
I. Phương pháp giải.
* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm ƯCLN
- Nếu , lớn nhất thì
- Tìm ƯCLN theo ba bước
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
- Kết luận bài toán
* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm BCNN
- Nếu , nhỏ nhất thì
- Tìm BCNN theo ba bước
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
- Kết luận bài toán
II.Bài toán.
Bài 1.Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng
Lời giải
Vì và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy
Bài 2.Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng
Lời giải
Vì vàlớn nhất nên
Ta có:
Vậy
Bài 3. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước cm và cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông?
Lời giải
Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là (cm)
Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là .
Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm vở, bút chì, nhãn vở. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở?
Lời giải
Gọi số phần thưởng được chia là (phần thưởng),
Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy có thể chia được nhiều nhất phần thưởng
Mỗi phần thưởng có số vở là ( vở)
Mỗi phần thưởng có số bút chì là ( bút chì)
Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là ( nhãn vở)
Bài 5. Hùng có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước cm và cm, Hùng muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông?
Lời giải
Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là (cm)
Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là
Bài 6. Một đội y tế có bác sĩ và y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ ?
Lời giải
Gọi số tổ được chia là (tổ),
Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy có thể chia được nhiều nhất tổ.
Bài 7. Khối lớp có học sinh, khối lớp có học sinh, khối lớp có học sinh. Trong một buổi chào cờ học sinh cả ba khối xếp thành các hàng dọc như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành bao nhiêu hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ?
Lời giải
Gọi số hàng dọc được xếp là ( hàng ),
Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên
Ta có:
Vậy có thể xếp được nhiều nhất hàng dọc.
Bài 8.Tìm số tự nhiênnhỏ nhất khác biết rằng
Lời giải
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy
Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác biết rằng chia hết chovà chia hết cho .
Lời giải
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy
Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác biết rằng chia hết cho và
Lời giải
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy
Bài 11. Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ ngày đến thư viện một lần, Hải ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng đến thư viện là ( ngày ),
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy sau ngày hai bạn lại cùng đến thư viện.
Bài 12. Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ ngày lại trực nhật còn Bách ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là ( ngày ),
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy sau ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 13. Hai bạn Minh và Nhâm cùng trực nhật, Minh cứ ngày lại trực nhật còn Nhâm ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là ( ngày ),
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ ngày cập bến một lần, tàu II cứ ngày cập bến một lần, tàu III cứ ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là ( ngày ),
Vì và nhỏ nhất khác 0 nên
Ta có:
Vậy sau ngày ba tàu lại cùng cập bến.
Bài 15. : Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc sáng từ bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ nhất quay về bến sau phút và sau phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau phút và lại đi sau phút, xe thứ ba quay về bến sau phút và sau phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ?
Lời giải.
Đổi phút = phút
Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ trong ngày là ( phút ),
Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ là ( phút)
Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ là ( phút)
Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ là ( phút)
Vì và nhỏ nhất khác nên
Ta có:
( phút) (giờ)
Vậy sau giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ . Lúc đó là trưa.
Dạng 2. Bài toán đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I. Phương pháp giải.
– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước.
Nếu
Nếu chia cho dư , chia cho dư
– Tìm BCNN của các số đó.
– Tìm BC của các số là các bội của BCNN này .
– Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên biết rằng và
Lời giải
Vì nên
Ta có:
Vì nên
Vậy
Bài 2. Tìm số tự nhiênbiết rằng và
Lời giải
Vì nên
Ta có:
Vì nên
Vậy
Bài 3. Một số sách khi xếp thành từng bó cuốn, cuốn, cuốn đều vừa đủ. Tính số sách đó biết số sách trong khoảng đến .
Lời giải
Gọi số sách cần tìm là( cuốn) , ,
Vì số sách khi xếp thành từng bó cuốn, cuốn, cuốn đều vừa đủ nên
Ta có:
Vì nên
Vậy số sách cần tìm là cuốn.
Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng đến học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp hoặc học sinh lên xe thì vừa đủ.
Lời giải
Gọi số học sinh cần tìm là ( học sinh) ,,
Vì xếp hoặc học sinh lên xe thì vừa đủ nên
Ta có:
Vì nên
Vậy trường đó có học sinh.
Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng đến học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp người hoặc người lên xe ô tô thì vừa đủ.
Lời giải
Gọi số học sinh của trường là:
Theo bài ta có:
Vì
Ta có:
Vậy số học sinh của trường đó là
Bài 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho có số dư lần lượt .
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,,
Vì chia cho có số dư lần lượt nên
Ta có:
Vì nên và x nhỏ nhất
Vậy số cần tìm là 170
Bài 7. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho có số dư lần lượt và.
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,,
Vì chia cho có số dư lần lượt vànên
Vì nên
Vậy số cần tìm là hoặc .
Bài 8. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia cho thì dư , chia cho thì dư .
Lời giải
Vì chia cho thì dư , chia cho thì dư nên
với
Vì là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên
Vậy
Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn , sao cho chia nó cho; chocó số dư lần lượt và
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,,
Vì chia cho ; có số dư lần lượt và nên
với
Ta có:
Vì nên
Vậy
Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ()
Theo bài ta có:
Vì a nhỏ nhất
Vậy số tự nhiên cần tìm là
Bài 11. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là nên
với
mà nhỏ nhất
Vậy
Bài 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia chodư , chia cho dư chia cho dư và chia hết cho .
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia chodư , chia cho dư chia chodư
nên
Ta có:
Vì nhỏ nhất, chia hết cho nên = 598.
Vậy = 598
Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng đều thừa người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong khoảng đến ?
Lời giải
Gọi số đội viên cần tìm là ( đội viên) , ,
Đội thiếu niên khi xếp hàng đều thừa người nên chia cho đều dư
Vì nên
Vậy số đội viên là đội viên
Bài 14. Số học sinh khối của một trường THCS trong khoảng từ đến , khi xếp hàng và đều thừa học sinh. Tính số học sinh của trường đó.
Lời giải
Gọi số học sinh của trường đó là ( học sinh), ,
Khi xếp hàng đều thừa học sinh nên chia cho đều dư
Ta có:
Vì nên
Vậy số học sinh của trường đó là học sinh.
Bài 15. Một trường học có số lượng học sinh không quá Khi xếp hàng thì đều dư . Nhưng khi xếp hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.
Lời giải
Gọi số học sinh của trường đó là: n ()
Theo bài ra ta có:
Lại có:
Mà
Vậy số học sinh của trường là học sinh.
Bài 16. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ đến người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho xếp hàng thì thấy lẻ người, Khi cho đoàn xếp hàng thì vừa vặn không thừa người nào. Hỏi số người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ?
Lời giải
Gọi số người tham gia tập đồng diễn là ( người), ,
Khi tổng chỉ huy cho xếp hàng thì thấy lẻ người
Ta có:
Vì và chia hết cho nên
Vậy số người tham gia đồng diễn là người
Bài 17. Một khối học sinh khi xếp hàng đều thiếu người nhưng xếp hàng thì vừa đủ, biết số học sinh chưa đến . Tính số học sinh của khối đó ?
Lời giải
Gọi số học sinh cần tìm là( học sinh), ,
Một khối học sinh khi xếp hàng đều thiếu người nên
Khối học sinh xếp hàng thì vừa đủ nên chia hết cho và nên
Vậy số học sinh của khối đó là
Bài 18. Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn Nếu xếp hàng thì dư em, nếu xếp hàng thì thiếu em và xếp hàng thì thiếu em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia?
Lời giải
Gọi số học sinh tham gia nghi thức đội là ( học sinh), ,
Nếu xếp hàng thì dư em, nếu xếp hàng thì thiếu em và xếp hàng thì thiếu em nên
với
Ta có:
Vì nên
Vậy số học sinh tham gia nghi thức đội là em
Bài 19. Người ta đếm số trứng trong một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng quả thì lần nào cũng dư quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn và nhỏ hơn quả.
Lời giải
Gọi số trứng trong rổ là n ()
Ta có:
Theo (1)
Vậy số trứng trong rổ là quả
Bài 20. Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: kg; kg; kg; kg; kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài ?
Lời giải
Tổng số xoài và cam lúc đầu:
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho , mà chia cho dư nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho dư .
Trong các số chỉ có chia cho dư .
Vậy giỏ cam bán đi là giỏ kg.
Số xoài và cam còn lại:
Số cam còn lại:
Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng kg ; kg .
Các giỏ xoài là giỏ đựng kg; kg; kg.
Bài 21. Một số tự nhiên chia cho dư , chia cho dư . Nếu đem số đó chia cho thì dư bao nhiêu?
Lời giải
Gọi số đó là a
Vì a chia cho dư , chia cho dư
mà ƯCLN(7, 13) = 1 nên
Vậy a chia cho dư .
Bài 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho cho cho cho đều dư là còn chia cho thì dư .
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Khi chia cho cho cho cho đều dư là
Nên nhận các giá trị
Mặt khác là số nhỏ nhất chia cho thì dư tức là là số nhỏ nhất chia hết cho 7
(vì thì không chia hết cho ).
Vậy số cần tìm là
Bài 23. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có bạn thu được kg còn lại mỗi bạn thu được kg. Lớp 6B có bạn thu được kg còn lại mỗi bạn thu được kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng kg đến kg.
Lời giải
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là và
Do đó và
Số học sinh lớp 6A là: (học sinh)
Số học sinh lớp 6B là: (học sinh)
Vậy lớp 6A có học sinh
Lớp 6B cóhọc sinh.
Bài 24. Số học sinh khối của một trường chưa đến bạn, biết khi xếp hàng đều dư nhưng nếu xếp hàng thì không dư. Tính số học sinh khối của trường đó.
Lời giải
Gọi số học sinh là
Vì số học sinh khi xếp hàng đều dư
Mà
Ta có bảng sau:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
63 | 123 | 183 | 243 | 303 | 363 | 423 |
Vì số học sinh chưa đến bạn và khi xếp hàng thì không dư nên và
Trong các giá trị trên, chỉ có thỏa mãn bài toán
Vậy số học sinh cần tìm là học sinh.
Dạng 3. Bài toán đưa về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I. Phương pháp giải.
– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ước chung của hai hay nhiều số cho trước.
Nếu
Nếu chia cho dư , chia chodư
– Tìm ƯCLN của các số đó.
– Tìm ƯC của các số là các ước của ƯCLN này .
– Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
II. Bài toán.
Bài 1.Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia cho thì dư và khi chia cho cũng dư
Lời giải
Vì chia cho thì dư và khi chia cho cũng dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 2. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư và chia dư
Lời giải
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 3. Tìm số tự nhiên biết chia dư và chia dư
Lời giải
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng chia cho thì dư còn chia cho thì dư
Lời giải
Vì chia cho thì dư còn chia cho thì dư nên
và
và
Ta có :
Vì , lớn nhất nên
Vậy
Bài 5. Tìm số tự nhiênbiết rằng chia dư chia dư
Lời giải
Vì chia dư chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 6. Tìm số tự nhiênbiết rằng chiadư và chia dư
Lời giải
Vì chiadư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 7. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư và chia dư
Lời giải
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 8. Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia cho thì dư còn khi chia cho thì dư
Lời giải
Vì chia cho thì dư còn khi chia cho thì dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 9. Nếu ta chia số và cho cùng một số thì sẽ được số dư tương ứng là và Hỏi số chia là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi số chia cần tìm là
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Vì nên
Vậy
Bài 10. Tìm số tự nhiên biết rằng chia thì dư còn chia cho thì dư
Lời giải
Vì chiadư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 11. Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia và cho thì có số dư lần lượt là và
Lời giải
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 12. Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho dư còn chia cho dư
Lời giải
Vì chia dư và chia dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 13. Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho thì dư còn chia cho thì dư
Lời giải
Vì chia cho thì dư còn chia cho thì dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 14. Tìm số tự nhiên lớn nhất sao cho khi chia cho ta được số dư bằng nhau
Lời giải
Vì ba số chia có cùng số dư nên hiệu số chia hết cho
mà lớn nhất
Ta có :
Vậy
Bài 15. Tìm số tự nhiên a biết chia a có cùng số dư là
Lời giải
Vì chiadư và chia a dư nên
và
và
Ta có :
Vì nên
Vậy
Bài 16. Một số chia chodư chia cho dư chia cho dư . Hỏi số đó chia cho dư bao nhiêu?
Lời giải
Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có:
Mặt khác:
Như vậy đồng thời chia hết cho , và .
Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) = 1
Do nên là số dư của phép chia số cho
Bài 17. Cho là các số tự nhiên khác sao cho là số tự nhiên. Gọi là ƯCLN của
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có :
với
đpcm
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho dư , chia cho dư và chia cho dư ( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Theo đề bài số cần tìm là, theo đề ra ta có:
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
Suy ra chia hết cho các số mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên
Vậy
Bài 2: Tìm số tự nhiênnhỏ nhất sao cho khi chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư
( HSG CƯM’GAR – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Theo đề bài số cần tìm là, theo đề ra ta có:
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
Suy ra cùng chia hết cho mà là số nhỏ nhất nên
Mà đôi một nguyên tố cùng nhau
Do vậy:
Vậy
Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi số đó chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư . ( HSG Quảng Trạch – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là, theo đề ra ta có:
dư
dư
dư
dư
Suy ra cùng chia hết cho mà là số nhỏ nhất nên
Vậy
Bài 4: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho khi chia số đó cho, chocho cho cho ta được các số dư lần lượt là . ( HSG Nho Quan – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là (, )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
Suy ra cùng chia hết cho
Ta có:
Vì a là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên
Vậy
Bài 5: Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng học sinh thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì vừa đủ . Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả , biết số học sinh của trường đó lớn hơn và nhỏ hơn . ( OLYMPIC Toán 6 – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số học sinh của trường THCS A là (
Theo đề ra ta có:
Xếp mỗi hànghọc sinh thì vừa đủ nên , suy ra đặt khi đó vì:
Xếp mỗi hànghọc sinh thừahọc sinh nên dư , suy radư hay (vì )
Xếp mỗi hànghọc sinh thì thừahọc sinh nên dư , suy ra dư hay (vì )
xếp mỗi hànghọc sinh thì thừahọc sinh nên dư , suy ra dư 8 hay (vì)
Do đó
Vì nên
Lập bảng:
|
| 900 |
|
k | (loại) | 47 (Thỏa mãn) | (loại) |
(học sinh)
Vậy số học sinh của trường THCS A là học sinh.
Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết chia cho dư , chia cho dư .
( HSG Kim Sơn – Năm 2020 – 2021).
Lời giải
Gọi số cần tìm là, theo đề ra ta có:
(Vì )
(Vì )
Vìlà số tự nhiên nhỏ nhất nên:
Vậy
Bài 7: Tìm số tự nhiên , biết rằng chia chothì dư , còn chia cho thì dư
( Năng khiếu toán 6 lần 1 – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là, theo đề ra ta có:
Vì nên
Vậy
Bài 8: Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho dư ; chia cho dư , chia hết cho và nằm trong khoảng từ đến .
( HSG Nam Đàn – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là, theo đề ra ta có:
dư nên chia hết cho (Do )
dư nên chia hết cho (Do )
(Do )
Suy ra cùng chia hết cho
Nên
Vì do đó
Vậy
Bài 9: Tìm số tự nhiên , biết chia cho dư , còn chia cho dư .
( OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là, theo đề ra ta có:
Vì nên
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết khi chia số đó cho lần lượt được các số dư là (OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là, , theo đề ra ta có:
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
dư chia hết cho (Do )
Vìlà số tự nhiên nhỏ nhất nên:
Vậy
Bài 11: Tìm số tự nhiên lớn nhất có chữ số, sao cho khi chia số đó cho dư và chia số đó cho dư .
( HSG Lục Nam – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia cho dư , chia chodư nên
với
Vì là số tự nhiên lớn nhất có chữ số nên
Vậy số cần tìm là
Bài 12: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số và thì được các số dư lần lượt là
( HSG Bá Thước – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia cho các số và thì được các số dư lần lượt là nên
Ta có:
Vì là số tự nhiên có chữ số nên
Vậy số cần tìm là
Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho các số được số dư lần lượt là
(HSG Gia Bình – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia cho cho các số được số dư lần lượt là nên
( Với )
mà nhỏ nhất
Vậy số cần tìm là
Bài 14: Số học sinh khối của một trường khi xếp hàng , hàng hàng đều thừa học sinh. Biết số học sinh khối chưa đến em. Hỏi khối của trường đó có bao nhiêu học sinh ?
( HSG Lục Ngạn – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số học sinh khối của trường đó là ( học sinh), ,
Nếu xếp hàng , hàng hàng đều thừa học sinh nên
Ta có:
Vì nên
Vậy số học sinh khối của trường đó là em
Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia cho , cho cho được số dư theo thứ tự là .
( HSG Thái Thụy – Năm 2019 – 2020)
Lời giải
Vì chia cho , cho cho được số dư theo thứ tự là nên
( Với )
mà nhỏ nhất
Vậy
Bài 16: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết nó chia cho thì dư và chia cho thì dư .
( HSG Tiền Hải – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,,
Vì chia cho thì dư và chia cho thì dư nên
Vì nên
Vậy số cần tìm là
Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó chodư , chia chodư và chia chodư .
( HSG Nhơn Trạch – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,, nhỏ nhất.
Vì chia chodư , chia chodư và chia chodư nên
( Với )
mà nhỏ nhất
Vậy số cần tìm là
Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất sau:
Số đó chia cho dư chia cho thì dư chia cho thì dư , chia cho thì dư và chia hết cho
( HSG Sơn Tịnh – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là , nhỏ nhất.
Vì chia cho dư chia cho thì dư chia cho thì dư , chia cho thì dư nên
Mà , x nhỏ nhất nên
Vậy số cần tìm là
Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho dư , chia cho dư chia cho dư
( HSG Kiến Xương – Năm 2012 – 2013)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,, nhỏ nhất.
Vì chia cho dư , chia cho dư chia cho dư nên
( Với )
mà nhỏ nhất
Vậy số cần tìm là
Bài 20: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số thì được số dư lần lượt là
( HSG Kiến Xương – Năm 2011 – 2012)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,
Vì chia cho các số thì được số dư lần lượt là nên
Mà nên
Vậy số cần tìm là
Bài 21: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho dư chia cho dư và chia cho dư .
( HSG Phú Lương – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ,, nhỏ nhất.
Vì chia cho dư chia cho dư và chia cho dư nên
( Với )
mà nhỏ nhất
Vậy số cần tìm là
Bài 22: Có quyển vở và cái bút được chia thành các phần thưởng đều nhau. Hỏi có thể chia được thành bao nhiêu phần thưởng để số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất.
( HSG Anh Sơn – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số phần thưởng được chia là (phần thưởng),
Theo bài ra ta có: nên
Ta có:
Vì số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất nên
Vậy có thể chia được phần thưởng
Mỗi phần thưởng có số vở là ( vở)
Mỗi phần thưởng có số bút là ( bút )
Bài 23: Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh gồm ba môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, số học sinh tham gia như sau: Ngữ văn có học sinh; Toán có học sinh và Tiếng Anh có học sinh. Trong buổi lễ tổng kết, các bạn tham gia thi được phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng nhau. Hỏi có thể phân công học sinh đứng thành bao nhiêu hàng để số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất.
( HSG Bắc Ninh – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số hàng được phân công là (hàng),
Theo bài ra ta có: nên
Ta có:
Vì số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất nên
Vậy có thể phân công được hàng
******************** **********************
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới