Luyện thi hsg toán 6 chủ đề: quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. TÍNH CHẤT CHUNG

1) và thì

2) với mọi khác 0

3) với mọi khác 0

4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU

- Nếu cùng chia hết cho m thì chia hết cho và chia hết cho

- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho .

- Nếu 1 trong 2 số chia hết cho số kia không chia hết cho thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho .

3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho thì tích chia hết cho

- Nếu chia hết cho thi bội của a cũng chia hết cho

- Nếu chia hết cho , chia hết cho n thì chia hết cho

- Nếu chia hết cho thì:

4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) (p là số nguyên tố) thì hoặc hoặc

5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.

- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.

- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.

- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.

2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.

3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.

Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP 1:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với .

PHƯƠNG PHÁP 2:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với có nghĩa là

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với có nghĩa là

Bước 3: Ta chứng minh .

II. Bài toán:

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 3 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 6 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 8 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 6 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 15 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 3 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 35 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , Xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Mà

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Ta có :

Vậy chia hết cho 225 với mọi .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 7 với mọi .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 133.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 32 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 169 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Vậy chia hết cho 8 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Đặt

Ta có và

Nên:

Vậy chia hết cho 27 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Mà chia hết cho 8 với mọi (bài 17)

Nên:

Vậy chia hết cho 64 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Đặt

Ta có và

Nên:

Vậy chia hết cho 64 với mọi .

Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với

Ta dùng một số Hằng đẳng thức sau:

1.

2.

3.

4.

II. Bài toán:

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với thì chia hết cho 3.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với thì chia hết cho 6.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với ta luôn có chia hết cho 3.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với ta luôn có chia hết cho 6.

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Mà

Vậy với mọi số thì chia .hết cho .

Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với có nghĩa là khi ta chứng minh vế trái bằng vế phải.

II. Bài toán:

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1 , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .