Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phép chia hết
Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho
2. Tính chất chung
1) a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c
2) a ⋮ a với mọi a khác 0
3) 0 ⋮ b với mọi b khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m.
- Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
- Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m.
4. Tính chất chia hết của 1 tích
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n.
- Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn
*) Chú ý:
chẵn
5. Dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
- Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
- Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
- Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
- Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
- Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
f) Dấu hiệu chia hết cho 11
- Một số chia hết cho 11 khi và chi khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN CHIA HẾT
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số
I. Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m.
- Viết biểu thức A thành một tổng (hiệu) các số trong đó mỗi số đều chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết biểu thức A thành một tích các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết m thành một tích các thừa số nguyên tố cùng nhau và chỉ ra biểu thức A chia hết cho các thừa số của m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết biểu thức A và m thành một tích các thừa số và chỉ ra mỗi thừa số của A chia hết cho một thừa số của m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết A thành một tổng hoặc hiệu các số mà có tổng hoặc hiệu các số dư chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m.
Cụ thể ta có thể vận dụng các PHƯƠNG PHÁP sau:
+ PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A là một số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; 11 ; ... để chứng minh.
+ PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hoặc hiệu các số, ta cần phân tích số A để đưa số A về hoặc hiệu hoặc tích của các số có dấu hiệu chia hết rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) hoặc tích để chứng minh.
+ PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A cho p.
+ PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tìm chữ số tận cùng của A để chứng minh A chia hết cho một số.
+ PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m và A ⋮ n, đồng thời m và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì A chia hết cho tích m.n
II. Bài toán
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số sao cho
a)
b)
c)
d)
Lời giải:
a) Ta có
Vậy các căp số
b) Ta có
c) Ta có
có 6 cặp số thỏa mãn bài toán
d) Ta có hay
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9, biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau
Lời giải:
Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5 nên tận cùng là 5
Mà tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4
Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng:
Mà
Tổng của hai số đó là:
Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho
Lời giải:
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1
để ⇔
Xét
Nếu ta có số
Nếu ta có số
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Bài 4: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9.
Lời giải:
Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư
Vậy
Bài 5: CMR số
Lời giải:
Ta thấy:
Có
Mà tổng có tổng các chữ số bằng 9 9
Vậy:
Bài 6: Tìm các chữ số x, y sao cho
a.
b.
Lời giải:
Nếu ta có số
Nếu ta có số
Vậy: x = 1 và y = 6 ta có số 34156
x = 4 và y = 2 ta có số 34452
b) = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 ⇔ x = 2
Bài 7: Cho số N = CMR
a.
b. với b chẵn
c.
Lời giải:
b.
với b chẵn
c.Ta có:
Bài 8: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Lời giải:
Gọi là số có 2 chữ số
Theo bài ra ta có:
Thay vào (1)
Bài 9: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số . Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Lời giải:
Có
Vì 2 chữ số tận cùng của a là và
⇒
Tổng các số hàng lẻ
Tổng các số hàng chẵn
Có
Bài 10: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Lời giải:
Có 46 số tự nhiên liên tiếp
⇒ có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ
⇒ tổng 23 cặp không chia hết cho 2.
Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.
Bài 11: Chứng tỏ rằng số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
Lời giải:
Có =
Mà = 3.
⇒ = (Đpcm)
Dạng 2: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một biểu thức.
I. Phương pháp giải:
- Biến đổi biểu thức bị chia thành tích của các biểu thức nhỏ trong đó có biểu thức chia hết cho biểu thức chia.
II. Bài toán
Bài 1: Cho Chứng minh rằnga)
b)
c)
Lời giải:
a) Ta có: có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9
b) Ta có (n-2 chữ số 0) có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 và là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy chia hết cho 18
c) Ta có có tận cùng là 0 suy ra chia hết cho 10.
Vì tận cùng là 9 do lẻ.
Bài 2: Cho . Chứng minh rằng:
b)
Lời giải:
Ta có
Bài 4: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng
a)
b) Nếu thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không?
Lời giải:
a) Đặt
b.
Ví dụ:
Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấp 3 lần số A. Chứng minh rằng
Lời giải:
Mà
Và đpcm.
Bài 6: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Số A có chia hết cho 99 không?
Lời giải:
Ta có 90 số thảo mãn bài toán:
Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
Tổng các chữ số hàng chục là:
Tổng các chữ số của A là:
Bài 7: Chứng minh với mọi n là STN lẻ thì số
Lời giải:
Vì n lẻ, ta đặt
- Ta có và là hai số TN liên tiếp có một số chẵn nên
Lại có chia 8 dư 2.
Dạng 3: Cho một biểu thức chia hết cho m chứng minh một biểu thức khác chia hết cho m.
I. Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất: từ đó tìm giá trị p và q thích hợp.
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh với mọi a , b là số tự nhiên.
Lời giải:
Vì nên với mọi a.
Vì nên với mọi b.
Nên:
Chứng minh tương tự ta có: với mọi a, b.
Mà với mọi a , b là số tự nhiên.
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu thì
Lời giải
a, Ta có:
hay
Khi đó vì có
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, CMR:
b, Cho cmr
Lời giải:
a, Ta có:
b, Ta có :
Nên
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, Nếu thì
b, Nếu thì
c, Nếu thì
Lời giải:
a, Ta có :
b, Ta có :
c, Ta có :
Lời giải
Ta có:
Do đó là tích của số nguyên liên tiếp
Lời giải
Ta có:
Vì chia hết cho 2010 (1)
Vì chia hết cho 2010 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
b) Tìm các số nguyên n để chia hết cho
Lời giải
Ta có:
Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.
Do vậy, chia hết cho 9
b) Ta có:
Hay
Xét hai trường hợp:
không có giá trị của n thỏa mãn
Lời giải
Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.
Ta có:
Vì chia hết cho nên chia hết cho 3
Do vậy chia hết cho 9
Lời giải
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6
, suy ra điều phải chứng minh
chia hết cho
Lời giải
Vậy
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Lời giải
a) Ta phải chứng minhvới
Nhận thấy và
Vậy
b)
Vì và
Vậy
a) chia hết cho 17
b) chia hết cho 44
Lời giải
a) Ta có:
chia hết cho 17
b) Ta có:
chia hết cho 44
Lời giải
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và
Suy ra và
Vậy
Lời giải
chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho (1)
chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra chia cho 5 dư 1.
Lời giải
HD: Xét hiệu:
Chứng minh: với mọi số nguyên .
Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm.
Lời giải
Chứng minh rằng: chia hết cho 45.
HD: Đặt
Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1)
Vậy để c/m ta cần c/m và
Thật vậy, (2)
(Vì và )
Mặt khác, và . Do đó, (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
* Chú ý:
Lời giải
Chứng minh rằng: chia hết cho 6
Ta có:
Vì và nên chia hết cho 6
(đpcm)
Câu 18: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: chia hết cho 6
Lời giải
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:
chia hết cho
Ta có: và . Ta cần c/m:
Ta có
Mà
Và ( vì là số chẵn ) hay Từ (1) và (2) suy ra .
Tương tự,
Mà
Và ( vì là số chẵn )
Từ (3) và (4) suy ra .
chia hết cho (đpcm)
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Lời giải
Nhận thấy và
Vậy
và
Vậy
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Lời giải
Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu:
Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3
Lời giải
Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng , số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng (
Ta có tổng bình phương hai số đó là:
Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5
Lời giải
Ta có:
Vì (1)
Từ (1) và (2) ta có dpcm.
chia hết cho 40
Lời giải
Vậy
Lời giải
Vì
Và có chữ số tận cùng bằng 0
Nên chia hết cho 10
Vậy chia hết cho 100.
Lời giải
Ta có:
Vì
chia hết cho 2010 (1)
Vì
chia hết cho
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Lời giải
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17
với mọi n lẻ
Ta có:
chia hết cho 44
Lời giải
Ta có:
Vì là số nguyên nên: là ba số nguyên liên tiếp. Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
hay với mọi số nguyên n
b)Tìm số nguyên n sao cho:
Lời giải
Để thì hay là Ư
Vậy thì
Lời giải
Ta có:
Ta chứng minh
Thật vậy , từ đẳng thức có chữ số tận cùng là
Đặt ta có:
Nếu thì tận cùng là
Suy ra
Từ và suy ra
Lời giải
Với n = 1 ta có:
Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có:
Ta chứng minh bài toán đúng với
Thật vậy:
Vậy chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương.
Lời giải
🙢 HẾT 🙠
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới