Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với và Nếu có số nguyên q sao cho thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.
2. Nhận xét
- Nếu thì ta nói a chia cho b được q và viết .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).
4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
5. Các tính chất
-
- Nếu
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))
- Nếu
Ví dụ
- Nếu
Ví dụ
-
PHẦN II. BÀI TẬP:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm
Phương pháp giải thường dùng: Giả sử
II.Bài toán
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng
a)
b)
Lời giải:
Vậy .
b) Gọi
Vậy .
Bài 2: Cho là số tự nhiên lẻ, . Chứng minh rằng .
Lời giải:
Đặt và lẻ và lẻ
Vậy
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu thì .
Lời giải:
+) Theo đầu bài ta có: chẵn lẻ
+) Vì
(nếu ).
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau và . Chứng tỏ rằng và hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.
Lời giải
Đặt đpcm
- Nếu
.
Bài 5: Chứng minh rằng: và a, b khác tính chẵn lẻ thì và .
Lời giải:
a) .
Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ
Giả sử có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là
vô lý
Vậy đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của và với .
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có :
Do đó là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy .
Bài 7: Tìm ƯCLN của và .
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Do mà không chia hết cho 3, nên (loại)
Do đó
- Để thì n phải chẵn
- Để thì n phải chia hết cho 4
- Để thì n là số lẻ
Vậy thì
thì
thì .
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và
Lời giải:
a) Gọi
Khi đó ta có:
Vậy
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Vậy
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Vậy .
Bài 11: Biết . Tìm .
Lời giải:
Gọi
hoặc
và hoặc hoặc
mà nên hoặc
Vậy hoặc .
Bài 12: Cho là hai số tự nhiên. Gọi là tập hợp các ước số chung của và , là tập hợp các ước số chung của và . Chứng minh rằng
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
(1)
Tương tự ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
và Vậy
Bài 13: Tìm ƯC của và với
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có :
Do đó là ước của , hay là ước của
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy
Bài 14: Cho hai số và là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm
Lời giải:
Gọi
Khi đó
Mà nên
Bài 15: Tìm với
Lời giải:
Gọi ,
Khi đó ta có :
Mà là các số dương nên ta có : hoặc
Vậy hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau:
Phương pháp giải: Giả sử
Cách 1: Chỉ ra
Cách 2:
+) Giả sử (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng (vô lý)
+) Kết luận
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi , nên ta có:
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau với .
Bài 2: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Mà ta lại có mà là số lẻ nên (loại), do đó
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Giả sử và () cùng chia hết cho số tự nhiên , khi đó ta có:
, do và m lẻ hoặc (loại)
Vậy
Khi đó và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 5: Cho . Chứng tỏ rằng và là nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
và
Vì nên hoặc .
Bài 6: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có :
Do , mà lại là số lẻ nên loại, do đó
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi Khi dó ta có :
Do đó
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi Khi đó ta có:
Vì , mà là số lẻ nên (loại)
Khi đó
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng
Ta có đặt
mà ad nên hay
Bài 10: CMR: với mọi số tự nhiên n
Lời giải:
Gọi , suy ra khi đó ta có :
Vì là một số không chia hết cho nên loại
Vậy , khi đó
Bài 11: Cho là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau :
a) và b) và
Lời giải:
a) Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố
Khi đó , do đó cùng chia hết cho số nguyên tố , trái với giả thiết
Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố
Suy ra tồn tại một trong hai số hoặc chia hết cho
Khi , hoặc
và cùng chia hết cho , trái với
Vậy và nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
Khi dó ta có:
Do đó
Vậy với mọi hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau
Lời giải :
Gọi
Khi đó ta có:
Vì , mà là một số lẻ nên (loại)
Khi đó
Vậy với mọi hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm để: và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
Do , mà không chia hết cho 3 nên hoặc
Để hai số và là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay
Vậy với k là số tự nhiên thì và là hai số nguyên tố.
Bài 3: Tìm với . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
Khi đó ta có:
hoặc.
Để thì hay
Hay ( là số tự nhiên)
Vậy để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì ( là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm để và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Nếu chẵn và, chẵn loại
Nếu Vô lý d=3(loại)
Nếu là số lẻ lẻ lẻ và lẻ lẻ
Vậy lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N*
Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì khác 3 hay
Vậy thì và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
b, Gọi ,
Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì khác 2 hay
chẵn
Vậy chẵn thì và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 7: Tìm số tự nhiên để các số và nguyên tố cùng nhau .
Lời giải:
Gọi
Nếu (Vô lý)
Nếu , để 2 số trên là nguyên tố thì
Vậy với thì hai số trên nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên để và là 2 số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi , do ,
Nên tồn tại sao cho thì , với
Vậy có vô số
🙢 HẾT
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới