Luyện thi hsg toán 6 chủ đề: chứng minh một số không phải là chính phương

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG

CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH

MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho .
2. Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho
3. Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho
4. Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho .

• Tổng quát: Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho ( là số nguyên tố, )

* Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết:

Ta có: và là số nguyên tố mà không phải là số chính phương.

* Để chứng minh  không phải một số chính phương ta có thể:

• • Chứng minh  có tận cùng hoặc tận cùng là chữ số .  
  • Chứng minh chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
  • Xét số dư khi chia cho hoặc  hoặc hoặc ,... Chẳng hạn  chia dư hoặc chia dư ; hoặc chia dư thì không là số chính phương.
  • Chứng minh nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.

PHẦN II. CÁC BÀI TẬP

Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương

DẠNG 1: chia hết cho số nguyên tố nhưng không chia hết

Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là thì số đó không là số chính phương?

Lời giải

Số có tổng các chữ số là thì số đó chia hết cho nhưng không chia hết cho , do đó số có tỏng các chữ số là không thể là số chính phương.

Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là không?

Lời giải

Tổng các chữ số của một số là thì số đó chia hết cho nhưng không chia hết cho , nên không tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là .

Bài 3: Cho các số tự nhiên: . Lập được tất cả các số tự nhiên có chữ số bao gồm tất cả các chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không?

Lời giải

Tổng các chữ số của các số là chia hết cho nhưng không chia hết cho .

Bài 4: Cho một số tự nhiên gồm chữ số . Có cách nào viết thêm các chữ số vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không?

Lời giải

nhưng không chia hết cho .

Bài 5: Chứng minh rằng số không phải là số chính phương.

Lời giải

Cách 1: Ta thấy số chia hết cho (vì chữ số tân cùng là ) nhưng không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là ).

Do đó: số không là số chính phương.

Cách 2: Ta thấy số chia hết cho (vì chữ số tân cùng là ) nhưng không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là ).

Do đó: số không là số chính phương.

Cách 3: Số tận cùng có lẻ chữ số 0.

Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không?

a) b)

Lời giải

a, Ta có: chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho nên không là số chính phương.

b, Ta có: có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho mà không chia hết cho nên không là số chính phương.

Bài 7: Cho . Chứng minh S không phải là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Với mọi số tự nhiên thì

Suy ra:

Do đó: chia dư

Hay

Mặt khác

Vậy S không là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

Lời giải

Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp lần lượt là

Khi đó ta xét:

Ta có: (1)

(2)

Từ (1) và (2) S không là số chính phương

Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến thành một số . Chứng minh không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Ta có tổng các chữ số của A là:

Ta thấy:

Do đó không là số chính phương.

Bài 10: Số có phải là số chính phương không?

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Ta thấy: không là số chính phương

Bài 11: Viết liên tiếp từ đến được số . Số có thể có ước được không?

Lời giải

Giả sử số có ước.

Vì số lượng các ước của là (là số lẻ) nên là số chính phương

mặt khác, tổng của các chữ số của là: .Vì ; nên chia hết cho nhưng không chia hết cho , do đó không là số chính phương

mâu thuẫn với .

Vậy không thể có ước.

Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?

Lời giải

Gọi là số gồm một chữ số và sáu chữ số .

- Nếu có chữ số tận cùng là thì có hai chữ số tận cùng là .

chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho (vì )

không là số chính phương.

- Nếu có chữ số tận cùng là có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc

chia hết cho nhưng không chia hết cho .

không là số chính phương.

Vậy không phải là số chính phương.

DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

Bài 1: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có: chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ

Do đó: không là số chính phương

Bài 2: Chứng minh rằng số không là số chính phương.

Lời giải

Ta có nhưng không chia hết cho mà là số nguyên tố từ đó suy ra không là số chính phương.

DẠNG 3: và ( : nguyên tố) không là số chính phương

Bài 1: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

(Vô lý)

Do đó không là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Vì đồng thời mà là số nguyên tố.

Do đó không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Vì là số nguyên tố nên (Vô lý).

Do đó không là số chính phương.

DẠNG 4: Chứng minh chia dư , chia dư ; ; chia dư , ; chia dư ;; ;

Bài 1:

a. Chứng minh rằng với thì không là số chính phương

b. Chứng minh rằng với thì không là số chính phương

Lời giải

a. chia 4 dư 3 nên không là số chính phương

b. - không là số chính phương

- không là số chính phương

- không là số chính phương

Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là không phải là một số chính phương

Lời giải

Số chính phương khi chia cho chỉ có thể dư hoặc .

Số trên có tổng các chữ số là nên chia dư , vậy không phải là số chính phương.

Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng thì có thể là số chính phương được không? Tại sao?

Lời giải

Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng là .

Ta có: , nên số tự nhiên chia dư , do đó số có dạng với là số tự nhiên. Mặt khác số chính phương không có dạng suy ra số tự nhiên không là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh rằng không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương .

Lời giải

Ta có: ; ;

;

Do đó: .

Ta lại có:

Do

Do

Do đó nghĩa là chia cho dư .

Ta có là số nguyên tố. Vậy không là số chính phương.

Bài 5: Cho . Chứng minh rằng ; không là số chính phương.

Lời giải

+) Ta có:

Suy ra: chia cho dư

Do đó: không là số chính phương.

+) Ta có: và

Suy ra: nhưng

Do đó: không là số chính phương.

Bài 6: Gọi là tích của số nguyên tố đầu tiên . Chứng minh rằng các số ; ; không là số chính phương.

Lời giải

+) Ta thấy: nhưng

không là số chính phương.

+) Giả sử hay

Ta có: lẻ suy ra lẻ nên (mâu thuẫn)

Do đó điều giả sử là sai.

Vậy không là số chính phương.

+) Ta có:

Vậy không là số chính phương.

Bài 7: Giả sử . Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp ; ; không có số nào là số chính phương.

Lời giải

+) Ta có:

Ta thấy:

Do đó: không là số chính phương.

+) Ta có: chẵn

Do đó: lẻ và nhưng

Ta thấy chẵn nên không chia cho dư hoặc dư

Vậy không là số chính phương

+) Ta có:

Ta thấy lẻ nên

nên không chia cho dư

Do đó: không là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh số không là số chính phương.

Lời giải

Ta có: chia dư nên chia dư

chia dư

chia dư

Suy ra: chia dư

Vậy không là số chính phương.

Bài 9: Chứng minh không là số chính phương.

Lời giải

Ta có: chia hết cho nên chia hết cho

chia hết cho nên chia hết cho

chia hết cho nên chia hết cho

chia hết cho nên chia hết cho

Suy ra: chia hết cho

Mà: chia dư

Do đó: chia dư

Vậy C không là số chính phương.

Bài 10: Chứng minh không là số chính phương.

Lời giải

Ta thấy:

Tương tự ,

Mà chia dư nên

Mà ta biết số chính phương không có dạng

Do đó D không là số chính phương.

Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương.

Lời giải

Gọi và là số lẻ.

Giả sử: , với

Ta có: với

Không có số chính phương nào có dạng vì vậy không phải là một số chính phương.

Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến không phải là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

có dạng

Do đó không là số chính phương.

Bài 13: Cho là tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng không phải là số chính phương.

Lời giải

Xét tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp:

Chia thành nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp

Do đó không là số chính phương.

Bài 14: Cho là tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Xét tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp:

Chia thành nhóm, mỗi nhóm gồm số tự nhiên liên tiếp.

Suy ra:

Do đó không là số chính phương.

Bài 15: Chứng minh không phải là số chính phương với

Lời giải:

Xét lẻ. Đặt

Ta có:

không là số chính phương

Xét chẵn. Đặt

Vì nên ta đặt

Khi đó, ta có:

(trái với giả thiết đề bài)

Vậy: không phải là số chính phương với

Bài 16: Chứng minh không là số chính phương.

Lời giải:

Bổ đề:

Theo định lí Fermat, ta có:

Giả sử

Suy ra: (vô lý)

Do đó: không là số chính phương.

Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số thì số không là số chính phương.

Lời giải:

Bất kì số chính phương nào cũng có dạng hoặc , với

Ta có: có dạng

Do đó không là số chính phương.

DẠNG 5: Chứng minh có chữ số tận cùng là hoặc

Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không?

a) b)

Lời giải:

b) Tổng có chữ số tận cùng là nên không là số chính phương

c) Ta có: có chữ số tận cùng là .

Nên có chữ số tận cùng là

Vậy không là số chính phương.

Bài 2: Cho . Chứng minh rằng không phải là số chính phương.

Lời giải:

Ta có các số ; ; ; đều có chữ số tận cùng là .

Nên có chữ số tận cùng là .

Vậy không là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là .

Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.

Lời giải

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: trong đó và

Xét tổng bình phương: .

Vì không thể có tận cùng là hoặc , nên không thể có tận cùng là hoặc ,

không thể chia hết cho

không thể chia hết cho

Vậy không là số chính phương

DẠNG 6: Chứng minh kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp

Bài tập: Chứng minh rằng số không là số chính phương.

Nhận xét:

Số này có hai chữ số tận cùng là nên chia cho dư và chia cho cũng dư , nên không thể áp dụng bằng cách trên.

Lời giải:

Cách 1:

Ta thấy: ; . Nên . Chứng tỏ số không phải là số chính phương.

Cách 2:

Ta có:

Muốn là số chính phương thì phải là số chính phương

Ta lại có:

Mà:

không là số chính phương.

Do đó số không là số chính phương

PHẦN III. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thì số không là số chính phương.

Lời giải

Bất kì số chính phương nào cũng có dạng hoặc , .

Ta có: có dạng ,

Suy ra: A không là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

Lời giải

Gọi hai số lẻ bất kì là và .

Vì và lẻ nên ; ;

Suy ra:

Do đó: không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Ta thấy: A chia cho dư

Do đó: A không là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Vì:

Mà một số chính phương chia dư hoặc

Do đó: không là số chính phương.

Bài 5: Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Ta có số chính phương chia có thể dư hoặc

nên có 5 trường hợp xảy ra

* TH1: Nếu thì ; mà chia dư

chia dư

A chia dư

A không là số chính phương

* TH2: Nếu chia dư thì chia dư , chia dư mà chia dư

chia dư

A chia dư

A không là số chính phương

* TH3: Nếu chia dư thì chia dư ; chia dư chia dư ,

chia dư

chia dư

A chia dư

A không là số chính phương

* TH4: Nếu chia dư thì chia dư ; chia dư chia dư ,

chia dư ; chia dư chia dư

chia dư

A chia dư

A không là số chính phương

* TH5: Nếu chia dư thì chia dư ; chia dư chia dư ,

chia dư ; chia dư chia dư

chia dư

A chia dư

A không là số chính phương

Vậy A không là số chính phương với mọi .

Bài 6: Cho là tích của số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng và không là số nguyên tố. (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016)

Lời giải:

Vì là tích của số nguyên tố đầu tiên nên chia hết cho và không chia hết cho

Ta chứng minh là số chính phương

Giả sử là số chính phương.

Đặt . Vì chẵn nên lẻ

lẻ  lẻ

Đặt . Ta có:

chia hết cho

Ta chứng minh là số chính phương

Ta có: chia hết cho

Vì không có số chính phương nào có dạng nên không phải số chính phương

Vậy nếu là tích của số nguyên tố đầu tiên thì và không phải số chính phương.

Bài 7: Cho . Chứng minh B không là số chính phương. (Đề HSG Vĩnh Tường năm học 2019 - 2020)

Lời giải:

Ta có:

Ta thấy:

Suy ra:

Mà:

Do đó:

Hay:

Vậy B không là số chính phương.

Bài 8: Cho biểu thức . Chứng minh không phải là số chính phương.

(Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019)

Lời giải

Ta thấy:

Mặt khác: (vì tất cả các số đều chia hết cho )

(do )

Do đó chia hết cho nhưng không chia hết cho

Vậy không là số chính phương.