Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
Cho hai số phức ta cần nhớ các định nghĩa và phép tính cơ bản sau:
Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.
Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với , thì
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Cho số phức: . Tính các số phức sau:
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
a) b)
c) ; d)
Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) ; b) ; c)
d) ; e)
Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng
a)
b) c)
d) ; e)
Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau:
Ví dụ 6. Cho . Tìm các số để
a) là số thực b) là số ảo.
Ví dụ 7. Tìm để:
a) Số phức là số thuần ảo.
b) Số phức là số thực.
Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho , với từng trường hợp
c)
d)
Ví dụ 9. Chứng minh rằng :
Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết .
b) Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức.
Ví dụ 11. Xét số phức: . Tìm m để
Ví dụ 12. Tính
Ví dụ 13. Số phức thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: .
Ví dụ 14. Cho số phức , với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của .
Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i. B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2.
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.
Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức và . Tính môđun của số phức
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức Tìm số phức
A. B. C. D.
Ví dụ 17. (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tìm số phức liên hợp của số phức
A. B. C. D.
Ví dụ 18: (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tính môđun của số phức thoả mãn
A. B. C. D.
Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục). Xét số phức thoả mãn Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho Tính:
1.1. Tính
A. | B. | C. | D. |
1.2. Tính
A. | B. | C. | D. |
1.3. Tính
A. | B. | C. | D. |
Câu 2. Tính lũy thừa bằng
A. | B. | C. | D. |
Câu 3. Tính lũy thừa bằng
A. | B. | C. | D. |
Câu 4. Tính lũy thừa bằng
A. | B. | C. | D. |
Câu 5. Tính lũy thừa bằng
A. | B. | C. | D. |
Câu 6. Tính lũy thừa bằng
A. | B. | C. | D. |
Câu 7. Viết các số phức dưới dạng ,
A. | B. | C. | D. |
Câu 8. Viết các số phức dưới dạng ,
A. | B. | C. | D. |
Câu 9. Tính
A. | B. | C. | D. |
Câu 10. Tính
A. | B. | C. | D. |
Câu 11. Tính
Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. | C. | D. |
Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. | C. | D. |
Câu 14. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. | C. | D. |
Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. | C. | D. |
Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. |
C. | D. |
Câu 17. Các cặp số thực x, y thỏa mãn là:
A. | B. |
C. | D. |
Câu 18. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để là số thực
A. | B. | C. | D. |
Câu 19. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để là số ảo
A. | B. | C. | D. |
Câu 20. Tìm số thực m để bình phương của số phức là số thực.
A. | B. | C. | D. |
Câu 21. Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Câu 22. Cho Hãy viết dưới dạng đại số của .
A. | B. | C. | D. |
Câu 23. Tính tổng
A. | B. | C. | D. |
Câu 24. Cho hai số phức liên hiệp thỏa mãn và Tính
A. | B. | C. | D. |
Câu 25. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:
A. | B. | C. | D. |
Câu 26. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn Tìm n.
A. | B. | C. | D. |
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn .Tìm mô đun của số phức
A. | B. | C. | D. |
Câu 28. Tìm số thực m biết: và ( trong đó i là đơn vị ảo)
A. | B. | C. | D. |
Câu 29. Tìm phần thực của số phức: thỏa mãn phương trình: .
A. | B. | C. | D. |
Câu 30. Cho số phức . Tìm m, biết số phức có môđun bằng 9.
A. | B. | C. | D. |
Câu 31. Cho số phức . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để
A. | B. | C. | D. |
CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC
Phương pháp
và đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
và đối xứng với nhau qua trục Ox.
Gọi M, lần lượt biểu diễn số phức biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:
và biểu diễn số phức ;
và biểu diễn số phức ;
biểu diễn số phức kz.
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.
a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.
b) Nếu thêm giả thiết chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức
a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);
b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :
z, và
Chứng minh rằng:
a) tam giác OMA vuông tại M;
b) tam giác MAB là tam giác vuông;
c) tứ giác OMAB là hình chữ nhật.
Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức
Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông tại A’.
Ví dụ 5. Cho số phức
a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai
b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.
Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức và B’ biểu diễn số phức Chứng minh rằng: Tam giác và tam giác đồng dạng.
Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số:
a) Tìm các số theo thứ tự biểu diễn các vectơ
b) Tính và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn biểu diễn số phức nào?
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và . Lúc đó, tam giác OAB là tam giác gì
A. Tam giác cân | B. Tam giác đều |
C. Tam giác vuông | D. Tam giác vuông cân |
Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức và ( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
A. | B. |
C. | D. |
Câu 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số . Chọn khẳng định đúng
A. ABCD là hình bình hành | B. |
C. D là trọng tâm của tam giác ABC | D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn |
Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức và
Câu 4.1. Xác định sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
A. | B. | C. | D. |
Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác cân | B. Tam giác đều |
C. Tam giác vuông | D. Tam giác vuông cân |
Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật
A. | B. | C. | D. |
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
A. | B. |
C. | D. |
Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt thỏa mãn . Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
A. | B. |
C. | D. |
Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức khác 0 thỏa mãn đẳng thức . Tam giác OMN là tam giác gì?
A. Tam giác cân | B. Tam giác đều |
C. Tam giác vuông | D. Tam giác vuông cân |
Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức và
Tìm x sao cho
Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B
A. | B. | C. | D. |
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C
A. | B. | C. | D. |
Câu 9. Cho là biểu diễn của hai số phức và . Gọi là biểu diễn của số phức . Hãy phân tích qua
A. | B. | C. | D. |
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức lập thành
Câu 10.1.Tam giác vuông tại A
A. Quỷ tích của z là đường thẳng | B. Quỷ tích của z là đường tròn |
C. Quỷ tích của z là đường elip | D. Quỷ tích của z là Parabol |
Câu 10.2.Tam giác vuông tại B
A. Quỷ tích của z là đường thẳng |
B. Quỷ tích của z là đường thẳng |
C. Quỷ tích của z là đường thẳng trừ gốc tọa độ |
D. Quỷ tích của z là đường thẳng trừ gốc tọa độ |
Câu 10.3 Tam giác vuông tại C
A. Quỷ tích của z là đường thẳng | ||||||
B. Quỷ tích của z là đường thẳng | ||||||
C. Quỷ tích của z là đường tròn | ||||||
D. Quỷ tích của z là hai đường thẳng | ||||||
Câu 11. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức thỏa mãn Hỏi điểm biểu diễn củalà điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?
| ||||||
Câu 12. (Đề thử nghiệm lần 1 của bộ). Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. |
CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp
thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
Đặt và
Hệ thức tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường thẳng }
a) b) c) với
Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường tròn }
a) ; b)
c) ; d) .
Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}:
Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo thực}
a) là số ảo; b) là số thực.
Ví dụ 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức , với
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn .Tìm tập hợp biểu diễn số phức .
Ví dụ 7. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: . {Hình vành khăn}
Ví dụ 8. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) là số thực dương với ; b)
c) ; d)
Ví dụ 11. Gọi và là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z và z’ Đặt và
a) Tính theo và tính x,y theo .
b) Cho M di động trên đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính Tìm tập hợp các điểm M’.
c) Cho M di động trên đường thẳng , tìm tập hợp các điểm M’.
Ví dụ 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều là
A. Đường thẳng | B. Đường thẳng |
A. Đường thẳng | D. Đường thẳng |
Câu 2. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đường thẳng | B. Đường thẳng |
A. Đường thẳng | D. Đường thẳng |
Câu 3. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đường thẳng | B. Đường tròn |
A. Đường elip | D. Đường Parabol |
Câu 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Hai đuờng thẳng , | B. Hai đuờng thẳng , |
A. Hai đuờng thẳng , | D. Hai đuờng thẳng , |
Câu 5. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Hai đuờng thẳng | B. Hai đuờng thẳng |
A. Hai đuờng thẳng | D. Hai đuờng thẳng |
Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Hai đuờng thẳng , . | B. Hai đuờng thẳng , . |
C. Hai đuờng thẳng , . | D. Hai đuờng thẳng , . |
Câu 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng thẳng | B. Đường tròn |
C. Đường thẳng | D. Đường tròn tâm và bán kính |
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng tròn | B. Đường tròn |
C. Đường tròn | D. Đường tròn tâm và bán kính |
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng tròn | B. Đường tròn |
C. Đường tròn | D. |
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng tròn | B. Đường tròn |
C. Đường tròn | D. |
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng elip | B. Đuờng elip |
C. Đuờng elip | D. Đuờng elip |
Câu 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Đuờng tròn | B. Đuờng elip |
C. Đuờng parabol | D. Đuờng thẳng |
Câu 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung |
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung |
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành |
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành |
Câu 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là
A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm , bán kính 2 |
B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là |
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm , bán kính 1 |
D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là |
Câu 13. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho là số thực.
A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ |
B. Tập hợp điểm là trục hoành |
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm |
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi |
Câu 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho là một số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm bán kính |
B. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm . |
C. Đường tròn tâm bán kính |
D. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm . |
Câu 15. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện là
A. Ba cạnh của tam giác |
B. Bốn cạnh của hình vuông |
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật |
D. Bốn cạnh của hình thoi |
Câu 16. Gọi M và P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức và . Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây:
Câu 16. 1. M thuộc đường thẳng d:
A. Đường thẳng |
B. Tia |
C. Đường thẳng |
D. Tia |
Câu 16.2. M thuộc đường thẳng d:
A. Đường thẳng |
B. Parabol |
C. Đường tròn |
D. Elip |
Câu 16.3. M thuộc đường tròn
A. Đường thẳng |
B. Parabol |
C. Đường tròn |
D. Elip |
Câu 16.4. M thuộc hypebol
A. Đường thẳng |
B. Đường thẳng |
C. Đường thẳng |
D. Đường thẳng |
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm bán kính |
B. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm . |
C. Đường tròn tâm bán kính |
D. Đường tròn tâm bán kính trừ đi hai điểm . |
Câu 19. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức , biết z là số phức thỏa mãn: . A. Đường tròn |
B. Đường tròn |
C. Đường tròn |
D. Đường tròn |
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn: , biết z là số phức thỏa .
A. Đường tròn tâm bán kính |
B. Đường tròn tâm bán kính |
C. Đường tròn tâm bán kính |
D. Đường tròn tâm , bán kính . |
Câu 21. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức biết z là số phức thỏa mãn: .
A. Đường tròn tâm bán kính |
B. Đường tròn tâm bán kính |
C. Đường tròn tâm bán kính . |
D. Đường tròn tâm , bán kính . |
Câu 22. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức với .
A. Hình tròn tâm , . |
B. Đường tròn tâm , . |
C. Hình tròn tâm bán kính . |
D. Đường tròn tâm , bán kính . |
Câu 23. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức biết rằng số phức z thỏa mãn
A. Hình tròn tâm , . |
B. Đường tròn tâm bán kính |
C. Đường tròn tâm bán kính . |
D. Hình tròn tâm bán kính |
Câu 24. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức với .
A. Hình tròn tâm , . |
B. Đường tròn tâm bán kính |
C. Đường tròn tâm bán kính . |
D. Hình tròn tâm , |
Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức thỏa mãn. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r = 4. B. r = 5. C. r = 20. D. r = 22.
Phương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:
Cho số phức . Lúc đó
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
Áp dụng: Cho ba số phức đều có môđun bằng 1. Chứng minh
Giải
Giả sử:
a) Ta có:
và nên
Mà
Vậy .
b) Ta có:
Mặt khác:
Vậy .
c) Ta cần chứng minh bổ đề sau:
Vì nên ta có
Áp dụng bổ đề trên, ta có:
(ĐPCM)
Áp dụng: Vì nên
Lưu ý: Ta có công thức tổng quát sau: Cho n số phức bất kỳ.
Ta luôn có:
Trước hết ta chứng minh:
Giả sử: và
Trong đó:
Ta có:
Hay
Bây giờ ta chứng minh bằng quy nạp
Với Giả sử
Ta có:
Suy ra:
Mặt khác:
Vậy với đẳng thức đúng.
Giả sử (**) đúng với ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với
Thật vậy:
Đặt , ta có:
Với hai số phức và ta có:
Hệ thức cuối được chứng minh với
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a) ; b)
Áp dụng: Tìm mô đun các số phức sau:
Hướng dẫn giải
a) Cách 1. Đặt
Ta có: và
Từ đó:
Mặt khác:
Do đó:
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Cách 2. Vì nên
Suy ra:
b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Thật vậy: hay
Áp dụng bổ đề trên ta có:
Cách 2.
Vì nên
Lưu ý: Không có công thức: Với mọi số phức : . Tuy nhiên ta có bất đẳng thức sau:
Thật vậy, gọi biểu diễn , biểu diễn thì biểu diễn
Ta có:
* TH 1: Khi thì :
Do đó:
* TH 2: Khi thì rõ ràng
Vậy
Áp dụng: Ta sẽ áp dụng
Ta có:
Tương tự:
Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi
Vận dụng: Cho hai số phức đều có mođun bằng 1, . Chứng minh là số thực.
b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
Vận dụng: Chứng minh hai số phức phân biệt thỏa khi và chỉ khi là số ảo.
Giải
Đặt
a) Ta có: z là số thực.
Vậy, z là số thực khi và chỉ khi
Vận dụng: Ta có:
, tương tự ta có
Xét
b) Ta có:
Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi
Vận dụng: Ta có
là số ảo
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn là số thực. Chứng minh rằng z là số thực.
Giải
Ta biết rằng số phức w là số thực Do đó
là số thực
là số thực.
Ví dụ 5. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
Giải
a) Ta có
Suy ra:
Vậy z là số thực.
b) Ta có
Vậy z là số thực.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng
c) Với mọi số phức Chứng minh rằng:
Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Mặt khác:
Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh.
c) Ta có
Tương tự
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu số phức thì
Giải
Ta có:
, mặt khác ta có: .
Do đó:
Đặt lúc đó ta được
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu thì .
Giải
Giả sử theo giả thiết ta có
Khi đó:
Do đó:
Ví dụ 9. Cho và là hai số phức thỏa Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta có:
Giải
Giả sử với . Khi đó
Ta có:
(2) đúng, dẫn đến điều phải chứng minh.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mỗi số phức , có ít nhất 1 trong hai bất đẳng thức sau xảy ra hoặc
Hướng dẫn giải
Giả sử ta có đồng thời .
Đặt . Lúc đó
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được:
(vô lý). Từ đó ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 10*. Cho là ba số thực phân biệt sao cho . Chứng minh rằng: Nếu là các số thực thì và
Hướng dẫn giải
Vì là ba số thực phân biệt và nên
đều khác không
và .
Nếu là các số thực thì ta có
Do đó:
Tương tự:.
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức
Ta có:
Tương tự:
Suy ra:
Câu 1. Cho số phức .
1.1. Phần thực của số phức z bằng:
A. | B. | C. | D. |
1.2. Phần ảo của số phức z:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Vậy chọn đáp án 1.1.D và 1.2 B
Câu 2. Cho số phức. Khẳng định nào sau đây đúng
A. và . | B. và . |
C. và . | D. và . |
Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy và .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 3. Cho z là số phức thỏa mãn là số ảo. Tìm khẳng định đúng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
là số ảo
Vậy Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Cho . Khẳng định nào sau đây sai
A. là số thực | B. là số thực |
C. là số ảo | D. là số thực |
Hướng dẫn giải
Định hướng: Ta sử dụng kết quả sau: và z là số ảo khi và chỉ khi
Ta có:
Vậy là số thực
B) Vậy là số thực
C) . Vậy là số ảo
D) Vậy là số ảo. Vậy đáp án D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn là số thực. Khẳng định nào sau đây sai
A. | B. là số ảo | C. | D. |
Hướng dẫn giải
là số thực
Vậy là số thực.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 6. Đẳng thức bằng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Suy ra:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 7. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. |
B. |
C. |
D. |
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án A.
Câu 8. Cho số phức thỏa điều kiện . Tìm khẳng định đúng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 9. Gọi z là số phức khác 0 sao cho Tìm khẳng định đúng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
, mặt khác ta có:
.
Do đó:
Đặt lúc đó ta được:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Cho thỏa . Tìm khẳng định đúng
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử: với
Theo đề:
Từ (1)
Từ (2)
Vậy .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 11*. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm khẳng định đúng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Hay: (*)
Đặt với Từ (*) suy ra:
Xét các trường hợp:
Do đó (mâu thuẫn).
Suy ra (mâu thuẫn).
Vậy . Vậy chọn đáp án B.
Cách 2. Casio nhanh chống bằng cách thử trực tiếp.
Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn
d) ; e)
Giải
a) Đặt . Phương trình trở thành :
Vậy số phức cần tìm là .
b) Đặt
Phương trình trở thành:
Với thay vào (*) ta được:
Với thay vào (*) ta được:
Vậy các số phức cần tìm là
c) Đặt Phương trình trở thành
Với , (1)
với , (1)
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Giả sử . Khi đó:
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là:
e) Giả sử
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm
Cách 2:
hoặc
Khi thì , do đó là một nghiệm của phương trình
Khi nên phương trình hay
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm .
f) Gọi số phức . Điều kiện:
Ta có:
Giải hệ ta được: hoặc (loại)
Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán. Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình
a) ; b) ;
Giải
a) Đặt . Ta có phương trình
Gọi
Ta có
Vậy
b) Đặt
Khi đó:
Do đó
Nếu thì (vô lý). Do đó . Dẫn đến
Vậy số phức z cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
thay vào (*)
, thay vào (*) .
Vậy
Ví dụ 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức thỏa mãn:
a) ; b) .
c) ; d) .
Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là .
b) Đặt .
Lúc đó:
Vậy phần thực của là , phần ảo là .
c) Đặt , ta có:
Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17.
Phần thực của số phức cần tìm là , phần ảo là 1.
d) Đặt . Từ giả thiết ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng .
Ví dụ 3. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết rằng .
Giải
a) Giả sử . Từ giả thiết suy ra
.
Do đó .
b) Gọi .
Ta có
Do đó .
Vậy phần thực là -4, phần ảo là 3.
Ví dụ 4. a) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thuẩn ảo.
b) Tìm số phức z thỏa mãn và z là số ảo.
c) Tìm số phức z thỏa mãn và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo.
d) Cho số phức z thỏa mãn là số thực và
e) Tìm số phức z biết và là số thuần ảo.
Giải
a) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số thuần ảo nên
Ta có hệ:
Vậy các số phức cần tìm là:
b) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số ảo nên .
Thay vào (*) ta được
Vậy các số phức cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Gọi
Ta có
là số thực
ta có
(thỏa mãn)
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
e) Đặt và , khi đó ta có:
Số phức này là số ảo, do đó ta có:
.
Thay vào (*) ta có .
Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn và
b) Tìm số phức z thỏa mãn: và .
c) Tìm số phức z biết: và
d) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: và
e) Tìm số phức z thỏa mãn và .
f) Tìm số phức z thỏa mãn và .
Giải
a) Gọi z = a + bi ,
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
và
Giải hệ (1) và (2) ta được
Vậy các số phức cần tìm là: hoặc
b) Gọi , ta có:
Từ (1) và (2) tìm được .
Vậy các số phức cần tìm là và .
c) Ta có:
Đặt
Dẫn đến:
Kết hợp với giả thiết ban đầu:
Nên kết hợp lại ta được số phức:
d) Gọi . Từ bài toán suy ra:
.
Vậy
e) Đặt , ta có:
Mặt khác
Thay (2) vào (1) được . Kết hợp với (1) có
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là và .
f) Gọi
Ta có
Từ (1) và (2) ta có hệ
Vậy .
Ví dụ 6. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình . Tính mô-đun của z.
b) Tìm mô-đun của số phức z biết .
c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của số phức z.
d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng
e) Cho hai số phức thỏa các điều kiện sau: và Hãy tính
Giải
a) Ta có:
Gọi
b) Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có:
c) Đặt
Vậy .
d) Gọi . Ta có:
Vậy
Cách 1.
Ta có:
Vậy
Cách 2. Đặt
Ta có
Lúc đó:
Do đó:
Ví dụ 7. a) Tìm số phức z thỏa mãn: .
b) Tìm số phức z thỏa mãn .
c) Tìm số phức z thỏa mãn
d) Tìm số phức z thỏa mãn .
e) Tìm số phức z thỏa mãn .
Giải
a) Ta có:
Với thay vào (*) ta được: (vô nghiệm)
Với thay vào (*) ta được:
Vậy
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
b) Điều kiện: .
Giả sử . Khi đó trở thành:
Nếu thì , thỏa mãn điều kiện.
Nếu thì , khi đó không thỏa mãn điều kiện.
Vậy số phức cần tìm là .
c) Đặt với ). Ta có
+) Với tac có thỏa mãn (1). Suy ra
+) Với tac có không thỏa mãn (1), loại
d) Đặt với . Khi đó
Vậy hoặc
e) Ta có
(1).
+) Gỉa sử .
Lúc đó: (1)
Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 8. a) Tính môđun của số phức z biết và z có phần thực dương.
b) Tìm số phức z có phần ảo bằng 164 và thỏa : .
c) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.
d) Tìm số phức z thỏa mãn: là số thực và .
Giải
a) Giả sử
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Suy ra môđun của số phức z là:
b) Gọi
Theo giả thiết, ta có
c) Giả sử . Theo bài ra ta có:
Số phức .
w là một số ảo
Vậy
d) Giả sử
Khi đó:
Từ (1) và (2) ta được hoặc
Vậy
Ví dụ 9. a) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.
b) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất.
d) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất.
Giải
a) Đặt . Khi đó
Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(2;-3) và bán kính
Ta có: khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn và gần O nhất.
Đó là điểm (Bạn đọc tự vẽ hình).
Ta có: Kẻ
Theo định lý talet ta có:
Vậy
b) Giả sử . Khi đó:
Để là số thực thì hay . Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là số thực là đường thẳng có phương trình .
Để nhỏ nhất thì M phải là hình chiếu của lên .
Từ đó tìm được nên .
c) Áp dụng công thức:
Ta có:
. Giải bất phương trình ta có
Vậy đạt được khi
d) Giả sử . Khi đó:
và
Vậy thỏa mãn đề bài.
Câu 1. Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Giả sử
Ta có
. Vậy . Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. 1 | B. 2 | C. 3 | D. 4 |
Hướng dẫn giải
Đặt , suy ra
.
Thay vào phương trình đã cho ta có
Vậy .Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Số số phức z thỏa mãn .
A. 1 | B. 2 | C. 3 | D. 4 |
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có
Vậy hoặc . Vậy chọn đáp án C
Câu 4. Biết là hai số phức thỏa điều kiện: . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Có hai số phức cần tìm
Suy ra: . Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm số phức z thỏa mãn
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:
Với , ta có , thỏa mãn (1). Suy ra .
Với , ta có , không thỏa mãn (1).
Vậy .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Biết là số phức thỏa mãn: . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi , ta được:
Vậy . Suy ra .
Câu 7. Biết là số phức thỏa mãn: thỏa mãn phương trình . Tính .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Điều kiện . Gọi . Phương trình đã cho tương đương với:
Vậy hoặc . Suy ra:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Tìm mô đun số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử
Vậy số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án B.
Câu 9. Tìm số phức z thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 10. Tìm môđun số phức z thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Tìm Số số phức thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi ta có:
Kết luận . Vậy chọn đáp án B.
Câu 11. Biết là số phức thỏa điều kiện: Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi , khi đó (*) trở thành:
Vậy . Vậy chọn đáp án C.
Câu 12 . Tìm số phức z thỏa điều kiện
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Vậy Vậy chọn đáp án C.
Câu 13. Biết là các số phưc thỏa mãn điều kiện . Tìm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy Suy ra: . Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Tìm số số phức thỏa mãn điều kiện .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Từ (2) hoặc
Suy ra hoặc hoặc
Suy ra
Vậy phương trình hoặc hoặc
Vậy chọn đáp án B.
Cách khác: Ta giải phương trình hệ quả rồi thử lại.
Phương trình (1)
hoặc
Thử lại: Ta thế các giá trị của z vừa tìm được vào phương trình (1).
Với ta có phương trình (1) được nghiệm đúng.
Với ta có và
Vậy phương trình được nghiệm đúng.
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 14. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành:
Vậy số phức z cần tìm là: . Suy ra .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 15. Biết là các số phức thỏa điều kiện. Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành
Vậy số phức z cần tìm là: .
Suy ra .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 17. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tìm số phức có phần ảo âm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt Phương trình
Từ
Vậy chọn đáp án C.
Câu 18. Biết là số phức thỏa điều kiện Tìm số phức có phần thực dương
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Suy ra
(vô nghiệm)
Vậy số phức z cần tìm là:
và
Vậy chọn đáp án C.
Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt .
Ta có :
Như vậy phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có 1 nghiệm
Vậy chọn đáp án D.
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Suy ra:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 21*. Số số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Xét là nghiệm của phương trình
Xét . Đặt , từ giả thiết ta có:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có
Thế (3) vào(1), ta được: (do )
Vậy ta có hai số phức cần tìm là
Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử với và a, b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
Khi đó phương trình
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có , thế vào (1) ta có
Với (loại)
Với . Ta có số phức . Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Tìm số phức z biết .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi
Theo đề cho ta suy ra:
Số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án C.
Câu 24. Tính mô- đun của số phức biết (i là đơn vị ảo).
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
a) Đặt , ta có
. Vậy mô-đun của số phức bằng .
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử . Ta có:
Vậy . Vậy chọn đáp án B.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
cĐặt . Khi đó:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 27. Số số phức z thỏa và là số thực là:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 28. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết thỏa mãn và là số thuần ảo.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử thì
Với hoặc , ta có:
Vì là số thuần ảo nên
Kết hợp ta có . Vậy số phức đó là .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 29. Tìm mo đun số phức z thỏa mãn và là số thực.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Suy ra .
Từ giả thiết là số thực nên ta có .
Khi đó
Vậy số phức cần tìm là và . Từ đây suy ra .
Vậy chọn đáp án
Câu 30. Tính mô-đun của số phức z, biết và z có phần thực dương.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử
Do . Thế vào (2) ta được:
Giải phương trình (3) ta được . Do nên .
Vậy . Vậy chọn đáp án D.
Câu 31. Tìm z thỏa mãn điều kiện :
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Vậy nghiệm của phương trình là: Vậy chọn đáp án A.
Câu 32. Tìm số số phức z thỏa mãn: .
A. 5 | B. 3 | C. 4 | D. 2 |
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Nếu làm bằng cách gọi , thay vào và tính toán vế trái, rồi đồng nhất phần thực và phần ảo của 2 vế sẽ rất dài và dẫn tới hệ đẳng cấp bậc 4 rất cồng kềnh. Áp dụng cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay , ta có cách giải ngắn gọn:
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Lần lượt tay vừa tìm được vào công thức (*), ta tìm được:
. Vậy chọn đáp án C.
Câu 33. Biết là các số phức thỏa mãn và là số thuần ảo. Tính .
A. 51 | B. 30 | C. 41 | D. 22 |
Hướng dẫn giải
Đặt
Do đó
Như thế
Để là số thuần ảo thì
Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu đề toán là và
Vậy chọn đáp án D.
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo.
A. , | B. , |
B. , | D. ,, , |
Hướng dẫn giải
Gọi
Với hoặc
Với hoặc
Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm số phức z có phần ảo âm, biết và số phức có phần ảo bằng 1.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Vì ;
có phần ảo bằng 1 nên
Thay (2) vào (1) ta được:
Với
Với
Vậy có hai số phức là và .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và là số thực.
A. 5 | B. 3 | C. 4 | D. 2 |
Hướng dẫn giải
Gọi
Có
w là số thực
Từ (2) có , thay vào (1) được phương trình:
Thay vào (*) tìm được y tương ứng từ đó tìm được các số phức: ; ; .
Câu 37. Tìm môđun số phức z biết là một số thuần ảo và
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó:
u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
Ta có:
Từ (1) và (2) ta có: . Vậy chọn đáp án B.
Câu 39. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi ; Gọi là điểm biểu diễn số phức .
Ta có :
Đường tròn có tâm I(1;2). Đường thẳng OI có phương trình
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
hoặc
Chọn nên số phức
Vậy chọn đáp án C.
Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử . Từ giả thiết:
Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm bán kính .
Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Từ giả thiết:
Ta có
Tập hợp biểu diễn của z là đường thẳng . Gọi M là điểm biểu diễn của z.
Tìm được . Suy ra: . Vậy chọn đáp án B.
Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn
d) ; e)
Giải
a) Đặt . Phương trình trở thành :
Vậy số phức cần tìm là .
b) Đặt
Phương trình trở thành:
Với thay vào (*) ta được:
Với thay vào (*) ta được:
Vậy các số phức cần tìm là
c) Đặt Phương trình trở thành
Với , (1)
với , (1)
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Giả sử . Khi đó:
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là:
e) Giả sử
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm
Cách 2:
hoặc
Khi thì , do đó là một nghiệm của phương trình
Khi nên phương trình hay
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm .
f) Gọi số phức . Điều kiện:
Ta có:
Giải hệ ta được: hoặc (loại)
Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán. Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình
a) ; b) ;
Giải
a) Đặt . Ta có phương trình
Gọi
Ta có
Vậy
b) Đặt
Khi đó:
Do đó
Nếu thì (vô lý). Do đó . Dẫn đến
Vậy số phức z cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
thay vào (*)
, thay vào (*) .
Vậy
Ví dụ 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức thỏa mãn:
a) ; b) .
c) ; d) .
Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là .
b) Đặt .
Lúc đó:
Vậy phần thực của là , phần ảo là .
c) Đặt , ta có:
Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17.
Phần thực của số phức cần tìm là , phần ảo là 1.
d) Đặt . Từ giả thiết ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng .
Ví dụ 3. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết rằng .
Giải
a) Giả sử . Từ giả thiết suy ra
.
Do đó .
b) Gọi .
Ta có
Do đó .
Vậy phần thực là -4, phần ảo là 3.
Ví dụ 4. a) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thuẩn ảo.
b) Tìm số phức z thỏa mãn và z là số ảo.
c) Tìm số phức z thỏa mãn và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo.
d) Cho số phức z thỏa mãn là số thực và
e) Tìm số phức z biết và là số thuần ảo.
Giải
a) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số thuần ảo nên
Ta có hệ:
Vậy các số phức cần tìm là:
b) Đặt .
Ta có:
Mặt khác: là số ảo nên .
Thay vào (*) ta được
Vậy các số phức cần tìm là:
c) Đặt . Ta có:
Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Gọi
Ta có
là số thực
ta có
(thỏa mãn)
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
e) Đặt và , khi đó ta có:
Số phức này là số ảo, do đó ta có:
.
Thay vào (*) ta có .
Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn và
b) Tìm số phức z thỏa mãn: và .
c) Tìm số phức z biết: và
d) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: và
e) Tìm số phức z thỏa mãn và .
f) Tìm số phức z thỏa mãn và .
Giải
a) Gọi z = a + bi ,
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
và
Giải hệ (1) và (2) ta được
Vậy các số phức cần tìm là: hoặc
b) Gọi , ta có:
Từ (1) và (2) tìm được .
Vậy các số phức cần tìm là và .
c) Ta có:
Đặt
Dẫn đến:
Kết hợp với giả thiết ban đầu:
Nên kết hợp lại ta được số phức:
d) Gọi . Từ bài toán suy ra:
.
Vậy
e) Đặt , ta có:
Mặt khác
Thay (2) vào (1) được . Kết hợp với (1) có
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là và .
f) Gọi
Ta có
Từ (1) và (2) ta có hệ
Vậy .
Ví dụ 6. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình . Tính mô-đun của z.
b) Tìm mô-đun của số phức z biết .
c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của số phức z.
d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng
e) Cho hai số phức thỏa các điều kiện sau: và Hãy tính
Giải
a) Ta có:
Gọi
b) Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có:
c) Đặt
Vậy .
d) Gọi . Ta có:
Vậy
Cách 1.
Ta có:
Vậy
Cách 2. Đặt
Ta có
Lúc đó:
Do đó:
Ví dụ 7. a) Tìm số phức z thỏa mãn: .
b) Tìm số phức z thỏa mãn .
c) Tìm số phức z thỏa mãn
d) Tìm số phức z thỏa mãn .
e) Tìm số phức z thỏa mãn .
Giải
a) Ta có:
Với thay vào (*) ta được: (vô nghiệm)
Với thay vào (*) ta được:
Vậy
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
Với thay vào (**) ta được:
Vậy ta được
b) Điều kiện: .
Giả sử . Khi đó trở thành:
Nếu thì , thỏa mãn điều kiện.
Nếu thì , khi đó không thỏa mãn điều kiện.
Vậy số phức cần tìm là .
c) Đặt với ). Ta có
+) Với tac có thỏa mãn (1). Suy ra
+) Với tac có không thỏa mãn (1), loại
d) Đặt với . Khi đó
Vậy hoặc
e) Ta có
(1).
+) Gỉa sử .
Lúc đó: (1)
Vậy số phức cần tìm là .
Ví dụ 8. a) Tính môđun của số phức z biết và z có phần thực dương.
b) Tìm số phức z có phần ảo bằng 164 và thỏa : .
c) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.
d) Tìm số phức z thỏa mãn: là số thực và .
Giải
a) Giả sử
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Suy ra môđun của số phức z là:
b) Gọi
Theo giả thiết, ta có
c) Giả sử . Theo bài ra ta có:
Số phức .
w là một số ảo
Vậy
d) Giả sử
Khi đó:
Từ (1) và (2) ta được hoặc
Vậy
Ví dụ 9. a) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mođun nhỏ nhất.
b) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất.
d) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất.
Giải
a) Đặt . Khi đó
Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(2;-3) và bán kính
Ta có: khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn và gần O nhất.
Đó là điểm (Bạn đọc tự vẽ hình).
Ta có: Kẻ
Theo định lý talet ta có:
Vậy
b) Giả sử . Khi đó:
Để là số thực thì hay . Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là số thực là đường thẳng có phương trình .
Để nhỏ nhất thì M phải là hình chiếu của lên .
Từ đó tìm được nên .
c) Áp dụng công thức:
Ta có:
. Giải bất phương trình ta có
Vậy đạt được khi
d) Giả sử . Khi đó:
và
Vậy thỏa mãn đề bài.
Câu 1. Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Giả sử
Ta có
. Vậy . Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: .
A. 1 | B. 2 | C. 3 | D. 4 |
Hướng dẫn giải
Đặt , suy ra
.
Thay vào phương trình đã cho ta có
Vậy .Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Số số phức z thỏa mãn .
A. 1 | B. 2 | C. 3 | D. 4 |
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có
Vậy hoặc . Vậy chọn đáp án C
Câu 4. Biết là hai số phức thỏa điều kiện: . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Có hai số phức cần tìm
Suy ra: . Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm số phức z thỏa mãn
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:
Với , ta có , thỏa mãn (1). Suy ra .
Với , ta có , không thỏa mãn (1).
Vậy .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Biết là số phức thỏa mãn: . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi , ta được:
Vậy . Suy ra .
Câu 7. Biết là số phức thỏa mãn: thỏa mãn phương trình . Tính .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Điều kiện . Gọi . Phương trình đã cho tương đương với:
Vậy hoặc . Suy ra:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Tìm mô đun số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử
Vậy số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án B.
Câu 9. Tìm số phức z thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là: Vậy chọn đáp án D.
Câu 10. Tìm môđun số phức z thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình trở thành :
Vậy z cần tìm là Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Tìm Số số phức thỏa điều kiện:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi ta có:
Kết luận . Vậy chọn đáp án B.
Câu 11. Biết là số phức thỏa điều kiện: Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi , khi đó (*) trở thành:
Vậy . Vậy chọn đáp án C.
Câu 12 . Tìm số phức z thỏa điều kiện
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Vậy Vậy chọn đáp án C.
Câu 13. Biết là các số phưc thỏa mãn điều kiện . Tìm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Với thay vào phương trình (*) ta được:
Vậy Suy ra: . Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Tìm số số phức thỏa mãn điều kiện .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Từ (2) hoặc
Suy ra hoặc hoặc
Suy ra
Vậy phương trình hoặc hoặc
Vậy chọn đáp án B.
Cách khác: Ta giải phương trình hệ quả rồi thử lại.
Phương trình (1)
hoặc
Thử lại: Ta thế các giá trị của z vừa tìm được vào phương trình (1).
Với ta có phương trình (1) được nghiệm đúng.
Với ta có và
Vậy phương trình được nghiệm đúng.
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 14. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành:
Vậy số phức z cần tìm là: . Suy ra .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 15. Biết là các số phức thỏa điều kiện. Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình trở thành
Vậy số phức z cần tìm là: .
Suy ra .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 17. Biết là số phức thỏa điều kiện . Tìm số phức có phần ảo âm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt Phương trình
Từ
Vậy chọn đáp án C.
Câu 18. Biết là số phức thỏa điều kiện Tìm số phức có phần thực dương
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Phương trình
Suy ra
(vô nghiệm)
Vậy số phức z cần tìm là:
và
Vậy chọn đáp án C.
Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt .
Ta có :
Như vậy phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có 1 nghiệm
Vậy chọn đáp án D.
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Suy ra:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 21*. Số số phức z thỏa mãn .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Xét là nghiệm của phương trình
Xét . Đặt , từ giả thiết ta có:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có
Thế (3) vào(1), ta được: (do )
Vậy ta có hai số phức cần tìm là
Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử với và a, b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
Khi đó phương trình
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có , thế vào (1) ta có
Với (loại)
Với . Ta có số phức . Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Tìm số phức z biết .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi
Theo đề cho ta suy ra:
Số phức cần tìm là . Vậy chọn đáp án C.
Câu 24. Tính mô- đun của số phức biết (i là đơn vị ảo).
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
a) Đặt , ta có
. Vậy mô-đun của số phức bằng .
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử . Ta có:
Vậy . Vậy chọn đáp án B.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
cĐặt . Khi đó:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 27. Số số phức z thỏa và là số thực là:
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 28. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết thỏa mãn và là số thuần ảo.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử thì
Với hoặc , ta có:
Vì là số thuần ảo nên
Kết hợp ta có . Vậy số phức đó là .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 29. Tìm mo đun số phức z thỏa mãn và là số thực.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Suy ra .
Từ giả thiết là số thực nên ta có .
Khi đó
Vậy số phức cần tìm là và . Từ đây suy ra .
Vậy chọn đáp án
Câu 30. Tính mô-đun của số phức z, biết và z có phần thực dương.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử
Do . Thế vào (2) ta được:
Giải phương trình (3) ta được . Do nên .
Vậy . Vậy chọn đáp án D.
Câu 31. Tìm z thỏa mãn điều kiện :
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Vậy nghiệm của phương trình là: Vậy chọn đáp án A.
Câu 32. Tìm số số phức z thỏa mãn: .
A. 5 | B. 3 | C. 4 | D. 2 |
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Nếu làm bằng cách gọi , thay vào và tính toán vế trái, rồi đồng nhất phần thực và phần ảo của 2 vế sẽ rất dài và dẫn tới hệ đẳng cấp bậc 4 rất cồng kềnh. Áp dụng cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay , ta có cách giải ngắn gọn:
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Lần lượt tay vừa tìm được vào công thức (*), ta tìm được:
. Vậy chọn đáp án C.
Câu 33. Biết là các số phức thỏa mãn và là số thuần ảo. Tính .
A. 51 | B. 30 | C. 41 | D. 22 |
Hướng dẫn giải
Đặt
Do đó
Như thế
Để là số thuần ảo thì
Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu đề toán là và
Vậy chọn đáp án D.
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo.
A. , | B. , |
B. , | D. ,, , |
Hướng dẫn giải
Gọi
Với hoặc
Với hoặc
Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm số phức z có phần ảo âm, biết và số phức có phần ảo bằng 1.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Vì ;
có phần ảo bằng 1 nên
Thay (2) vào (1) ta được:
Với
Với
Vậy có hai số phức là và .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và là số thực.
A. 5 | B. 3 | C. 4 | D. 2 |
Hướng dẫn giải
Gọi
Có
w là số thực
Từ (2) có , thay vào (1) được phương trình:
Thay vào (*) tìm được y tương ứng từ đó tìm được các số phức: ; ; .
Câu 37. Tìm môđun số phức z biết là một số thuần ảo và
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Khi đó:
u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
Ta có:
Từ (1) và (2) ta có: . Vậy chọn đáp án B.
Câu 39. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi ; Gọi là điểm biểu diễn số phức .
Ta có :
Đường tròn có tâm I(1;2). Đường thẳng OI có phương trình
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
hoặc
Chọn nên số phức
Vậy chọn đáp án C.
Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử . Từ giả thiết:
Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm bán kính .
Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử .
Từ giả thiết:
Ta có
Tập hợp biểu diễn của z là đường thẳng . Gọi M là điểm biểu diễn của z.
Tìm được . Suy ra: . Vậy chọn đáp án B.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
a) b)
Giải
a) Ta có:
Vậy số phức z cần tìm là:
b) Ta có:
Vậy số phức z cần tìm là:
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
a) b)
Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau đây với ẩn z:
Giải
a) Ta có
b) Ta có
Ví dụ 4. Giải phương trình sau:
Giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 5. a) Cho số phức z thỏa mãn . Tính mô-đun của số phức .
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm mô-đun của số phức .
Giải
a) Đặt . Theo đề ra ta có: nên .
Khi đó .
Vậy .
b) Ta có:
.
Khi đó:
b) Ta có:
.
Từ đó . Suy ra .
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tính mô-đun của z.
Giải
Cách 1. Đặt , khi đó . Theo bài ra ta có:
Cách 2. Ta có:
Suy ra:
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Giải phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Giải phương trình .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy Vậy chọn đáp án B.
Câu 2. Giải phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành:
Vậy z cần tìm là: .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Giải (1):
Giải (2):
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Điều kiện: Ta có: .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của số phức .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Nên .. Vậy .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính mô-đun của z.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án C.
Phương pháp
1. Ta nhắc lại căn bậc hai của số phức
Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn được gọi là một căn bậc hai của w. Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình
a) Trường hợp w là số thực
Khi , ta có
Phương trình hoặc
Vậy số thực a dương có hai căc bậc hai là và
Khi , ta có
Phương trình hoặc
Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là và
Ví dụ: -1 có hai căn bậc hai là i và –i.
có hai căn bậc hai là ai và –ai.
b) Trường hợp
Đặt ,
z là căn bậc hai của w
Giải hệ phương trình này, ta luôn tính được hai nghiệm
Mỗi nghiệm (x;y) của hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai của số phức
Kĩ thuật MTCT tìm căn bậc hai của số phức
Giả sử ta cần tìm căn bậc hai số phức
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức
Hướng dẫn thực hành
| |
| |
| |
|
2. Phương trình bậc hai
Xét phương trình: (A,B,C là số phức ) (1)
Ta có
Chú ý:
Chẳng hạn:
;
KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC
Ví dụ: Giải phương trình
Dùng MTCT
Vậy hai nghiệm của phương trình là:
I. MỘT SỐ VÍ SỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức
Giải
a) Gọi z là căn bậc hai của , ta có:
hoặc
Vây -9 có hai căn bậc hai là 3i và -3i.
b) Gọi là căn bậc hai của 3+4i, ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được:
Với
Vậy có hai căn bậc hai là và
Dùng MTCT
Vậy có hai căn bậc hai là và
c) Gọi , là căn bậc hai của
Lúc đó:
Từ (2) và thay vào phương trình (1) ta được
Với
Với
Vậy có hai căn bậc hai của là và
Dùng MTCT
Vậy có hai căn bậc hai của là và
d) Gọi là căn bậc hai của
Ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là và
Dùng MTCT
Vậy có hai căn bậc hai là và
Nhận xét: Mọi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
Ví dụ 2. a) Tìm số phức thỏa mãn:
b) Tìm số phức thỏa mãn:
Giải
a) Đặt , ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là
b) Ta có và
Suy ra:
Theo kết quả trên ta có hoặc
Đặt
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với
Với
Vậy
Kết luận: Có 4 số phức w thỏa mãn là:
,
Ví dụ 3. a) Tìm số phức z thỏa mãn
b) Tìm số phức z thỏa mãn
Giải
a) Ta có:
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Vậy
Kết luận:
b) Theo kết quả câu a ta có:
Xét 4 trường hợp:
Kết luận:
hoặc hoặc
hoặc .
Ví dụ 4. Giải các phương trình bậc hai sau đây:
a) b)
c) d)
Giải
a) Phương trình: có các hệ số nên phương trình có hai nghiệm là
b) Phương trình
(chú ý là )
c) Phương trình
d) Phương trình có:
Phương trình có hai nghiệm là
MTCT
Ví dụ 5. Giải các phương trình bậc hai hệ số phức sau đây:
a) b)
c) ; d)
Giải
a) Phương trình có:
Đặt
Ta có
Từ (2) và thay vào (1) ta được
Với ; Với Vậy
Phương trình có hai nghiệm là
Lời bình: Việc tìm căn bậc hai của số phức ta dùng MTCT cho nhanh
b) Phương trình có:
Phương trình có hai nghiệm là:
c) Phương trình có:
Đặt
Từ (2) và thay vào (1) ta được:
Với ; Với Vậy
Phương trình có nhiệm là:
d) Phương trình có các hệ số thỏa mãn
Suy ra phương trình có hai nghiệm là
Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức :
b)
Giải
a) Điều kiện
Phương trình cho tương đương với: hay
Cách 1: Phương trình này có biệt số
hoặc
Cách 2: Gọi là căn bậc hai của , khi đó hay suy ra
hoặc
b) Ta có:
Phương trình có hai nghiệm là: và
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
Giải
a) Phương trình đã cho trở thành
Với
Với
Vậy nghiệm của phương trình là:
b) Cách 1. Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cách 2. Đặt . Phương trình đã cho trở thành
.
Ta có:
Phương trình (*) có hai nghiệm:
Với
Với
Ví dụ 8. a) Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức .
b) Giải phương trình:
Giải
a) Viết lại phương trình về dạng:
Khai triển, rút gọn, nhân tử hóa
Giải các phương trình, thu được và rồi kết luận.
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
Vậy phương trình có các nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm hoặc
Ví dụ 9. a) Gọi là hai nghiệm của của phương trình bậc hai hệ số phức
Chứng minh rằng: và
Áp dụng 1: Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm là Tính B vá C.
b) Cho hai số phức có tổng và tích Chứng minh rằng và là hai nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng 2: Tìm hai số phức có tổng bằng 4 và tích bằng
Giải
a) Phương trình có Gọi là một căn bậc hai của Phương trình có hai nghiệm là:
Ta có :
và
Áp dụng 1: có hai nghiệm là
Áp dụng kết quả trên ta có:
Từ (1)
Từ (2)
Vậy và
b) Hiển nhiên là hai nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng 2: Gọi hai số phức phải tìm là và Theo giả thiết ta có
và
Do đó và là hai nghiệm của phương trình bậc hai hay
Phương trình trên tương đương với:
Vậy phương trình có hai nghiệm là
Ví dụ 10. Cho phương trình bậc hai hệ số thực (1), với
a) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm thực thì nghiệm còn lại cũng là số thực.
b) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm thực không là số thực thì cũng là một nghiệm.
Áp dụng: Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết phương trình có 1 nghiệm là .
Giải
a) Ta biết rằng phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm là và Theo công thức Vi-et ta có
Vì nên và ta cũng có Vậy
b) Ta có là nghiệm của phương trình nên:
( Vì liên hiệp của số thực là chính số thực đó suy ra
Vậy cũng là nghiệm của phương trình .
Áp dụng: Theo chứng minh trên, phương trình bậc hai hệ số thực có 1 nghiệm là thì nghiệm kia là
Ta có và
Vậy là hai nghiệm của phương trình bâc hai: hay
Ví dụ 11. Biết là hai nghiệm của phương trình .
Hãy tính:
Giải
Theo định lý Vi-et ta có:
Do đó:
Ví dụ 12. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình ; M, N lần lượt là các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Giải
Phương trình đã cho có nên có hai nghiệm .
Từ đó .
Đáp số: .
Ví dụ 13. a) Giải phương trình:
b) Tìm số phức B để phương trình bậc có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Giải
a) Ta có
Giải (1): Ta có
Giải (2):
Vậy nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 14. a) Tìm để phương trình nhận số phức làm nghiệm.
b) Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức là nghiệm của phương trình .
Giải
a) Theo đề, ta có:
b) Tính .
Suy ra
Từ đó, có hệ
Ví dụ 15. Tính mô-đun của số phức , biết số phức là nghiệm của phương trình .
Giải
Ta có:
Vì là nghiệm của phương trình nên:
Ta có
Ví dụ 16. Cho phương trình , với a là tham số. Tìm để (1) có hai nghiệm thỏa mãn là số ảo, trong đó là số phức có phần ảo dương.
Giải
Từ giả thiết suy ra không phải là số thực. Do đó , hay
Suy ra
Ta có là số ảo là số ảo
Đối chiếu với điều kiện (*) ta có giá trị của a là .
Ví dụ 17. a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
b) Gọi là hai nghiệm phức phân biệt của phương trình Tìm số phức m sao cho .
c) Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: có tổng bình phương hai nghiệm bằng .
Giải
a) là nghiệm của phương trình: nên nếu gọi
với
Giả thiết cho:
Mặt khác theo Viet ta có :
hoặc
b) Xét phương trình . Ta có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Vi-ét, ta có
Mặt khác
c) Giả sử là nghiệm của phương trình đã cho và với .
Theo bài toán ta có: Suy ra dẫn tới hệ:
hoặc
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có: Phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có: . Phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có: . Ta tìm căn bậc hai của
Ta có:
Từ đó, phương trình có hai nghiệm phức là:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình.
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Suy ra
Vậy chọn đáp án A.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có là một căn bậc hai của
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 8. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 9. Tìm nghiệm của phương trình.
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình: .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình:.
A. | B. |
C. | D. , |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Ta có
Suy ra
và
vậy phương trình có hai nghiệm là và .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 12. Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z): nhận làm một nghiệm.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Theo đề, làm một nghiệm của phương trình:
Nên
Vậy,
Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình : Tính giá trị của biểu thức .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Xét phương trình:
Lúc đó: .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 14. Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của biểu thức
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình có hai nghiệm là: và
và .
Vậy
Vậy chọn đáp án C.
Câu 15. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có .
Do đó phương trình có hai nghiệm là .
.
Vậy chọn đáp án D.
Câu 16. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm là và .
Nếu thì
Nếu thì
Vậy chọn đáp án D.
Câu 17. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giải phương trình ta được
Vậy chọn đáp án B.
Câu 18. Tìm nghiệm của phương trình :
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Giải (1):
Giải (2): có
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:
Câu 19. Biết là nghiệm của phương trình
19.1. Tính
A. | B. | C. | D. |
19.2. Tính
A. | B. | C. | D. |
19.3. Tính
A. | B. | C. | D. |
19.4. Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-et ta có:
Do đó:
Câu 20. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình . Tính độ dài đoạn thẳng .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: có .
Phương trình có hai nghiệm .
.
Vậy .
Câu 21. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy chọn đáp án A
Câu 22. Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình và thỏa mãn . Tìm giá trị của biểu thức
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Do nên ta có và
Ta có
Câu 23. Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Định hướng: Ta sẽ tiến hành giải phương trình đầu tiên để tìm ra sau đó tiến hành lắp vào biểu thức cần tính ta có: . Đến đây vì mũ 10 lơn nên ta sẽ tiến hành làm từng lớp một, tức là:
Từ đó ta có lời giải như sau:
Phương trình đã cho tương đương với:
Do Q là biểu thức đối xứng với nên không mất tính tổng quát, giả sử
Lúc đó:
Vậy chọn đáp án C.
Lưu ý: Cũng có thể dùng dạng lượng giác của số phức để giải quyết bài toán này.
Câu 24. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn . Tính .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có hoặc
Với ta có
Vậy chọn đáp án B.
Câu 25. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình đã cho có hai nghiệm
Vậy chọn đáp án A.
Câu 26. Tìm nghiệm của phương trình
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm
Vậy chọn đáp án B.
Câu 31. Biết phương trình không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Nếu phương trình có một nghiệm thực r thì:
Từ phương trình (2) ta có:
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thực khi và chỉ khi
Vậy chọn đáp án C.
Câu 32. Cho và là các số phức thỏa mãn Giả sử là các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện với m là số phức.
32.1. Tìm giá trị lớn nhất của
A. | B. | C. | D. |
32.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Sử dụng định lý Viet ta có
Do đó:
Từ suy ra Do đó điểm M biểu diễn số phức m trên mặt phẳng phức thuộc đường tròn tâm I(4;5) và bán kính R=7. Ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của OM. Đường thẳng OI cắt đường tròn tại hai điểm A,B với Onằm giữa Avà I. Vì nên:
32.1. Giá trị lớn nhất của khi khi đó: Vậy chọn đáp án A.
32.2. Giá trị nhỏ nhất của khi khi đó:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 33. Tìm mô-đun của số phức biết số phức là nghiệm của phương trình .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Do đó
Theo giả thiết ta có
Vậy chọn đáp án C.
Câu 34. Cho a,b,c là 3 số phức phân biệt khác 0 và . Nếu một nghiệm của phương trình có môđun bằng 1 thì khẳng định nào sau đây đúng
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Giả sử là nghiệm của phương trình với . Theo định lý Viet ta có Suy ra
Bởi vì
Vậy chọn đáp án D.
Câu 35. Tìm nghiệm của phương trình:.
A. | B. |
C. , | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình đã cho trở thành
Với
Với
Vậy chọn đáp án C.
Câu 36. Tìm nghiệm của phương trình:
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Đặt . Phương trình đã cho trở thành
Với
Với
Vậy chọn đáp án D.
Câu 37. Tính giá trị của biết là nghiệm phức của phương trình .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình cho
Giải : ta có
Suy ra
Do đó:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 38. Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập số phức, tính tổng: .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của phương trình là:
Thay vào biểu thức
Vậy chọn đáp án C.
Câu 39. Cho là các nghiệm của phương trình: . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Vậy chọn đáp án C.
Phương Pháp
Theo định lý cơ bản của đại số, phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Muốn xác định ta có thể dùng một trong hai cách:
Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức cho thương sẽ là
Cách 2: Dùng sơ đồ Horner sau đây để xác định hệ số A,b,c của đa thức thương là .
Nếu thì phương trình có 1 nghiệm là=1.
Nếu thì phương trình có 1 nghiệm là .
Chia cho sẽ tìm được thừa số
Như vậy phương trình có 3 nghiệm là
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) biết 1 nghiệm là .
b) biết 1 nghiệm là .
c) biết 1 nghiệm là
Giải
a) Chia đa thức cho ta được thương là . Do đó, phương trình đã cho viết thành:
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
b) Chia đa thức cho ta được thương là . Do đó, hương trình đã cho viết thành:
Giải (1):
Giải (2): Ta có:
Ta đi tìm căn bậc hai của
Đặt
Từ (ii) suy ra:
Từ (1) suy ra:
(loại) hoặc
Với
Với
Như vậy:
Phương trình có 2 nghiệm là:
Vậy nghiệm của phương trình là:
c) Chia đa thức cho ta được thương là: . Do đó, phương trình đã cho viết thành:
Giải (1):
Giải (2): Ta có
Đặt
Tư (ii) suy ra:
Từ (i) suy ra:
hoặc (loại)
Với
Với
Như vậy:
Phương trình (2) có 2 nghiệm là
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là:
Ví dụ 2.Giải các phương trình:
a) và biết phương trình có 1 nghiệm là
b) và biết phương trình có 1 nghiệm là
c) Tìm các số a, b, c để phương trình nhận và làm nghiệm.
Giải
a) Theo đề: là nghiệm cuả phương trình nên
Với phương trình đã cho trở thành:
Vì phương trình có 1 nghiệm là ta chia đa thức
cho ta được thương là . Do đó, phương trình tương đương với
Vậy phương trình có 3 nghiệm
b) Ta có: là nghiệm của phương trình nên
Với phương trình đã cho trở thành:
Biết là 1 nghiệm, chia đa thức cho ta được thương là: . Do đó, phương trình: tương đương với:
Giải (1):
Giải (2):
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:.
c) Vì và là nghiệm của phương trình nên
Ví dụ 3. a) Cho phương trình: , gọi lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: .
b) Giải phương trình sau trong tập hợp số phức:
c) Giải phương trình sau trên tập số phức .
Giải
a) Ta có:
có 3 nghiệm là:
Lúc đó:
b) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
c) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuần ảo .
Giải
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo.
Đặt (a là số thực khác 0), thay vào phương trình ta được:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuần ảo là .
Ví dụ 5. Giải phương trình: , trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thuần ảo.
Giải
Giả sử là một nghiệm của phương trình. Khi đó, ta có:
là một nghiệm của phương trình nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm nghiệm củaphương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Các hệ số của phương trình thỏa mãn:
Vậy phương trình nhận là nghiệm.
Phương trình
Giải (1):
Giải (2): Ta có
Phương trình (2) có 2 nghiệm là
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 2. Tìm nghiệm củaphương trình .
A. |
B. |
C. |
D. |
Hướng dẫn giải
Các hệ số của phương trình thỏa mãn:
nên phương trình nhận là 1 nghiệm.
Phương trình
Giải (1):
Giải (2):
Phương trình (2) có hai nghiệm là:
,
Kết luận: phương trình có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 3. Biết là nghiệm của phương trình
Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Biết là nghiệm của phương trình . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Vậy chọn đáp án B.
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta thấy phương trình nhận là nghiệm.
Chia đa thức cho ta được thương là . Do đó, phương trình tương đương với:
Giải (1): .
Giải (2): . Ta có:
Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm là:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta thấy phương trình: có 1 nghiệm là z=3.
Chia đa thức cho z-3 ta được thương là . Do đó, phương trình tương đương với:
Giải (1):
Giải (2): Ta có:
Do đó phương trình (2) có hai nghiệm:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 7. Cho phương trình biết phương trình có 1 nghiệm là Tìm tổng mô đun hai số phức còn lại
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Phương trình: hệ số thực có 1 nghiệm là
Suy ra cũng là nghiệm.
Do đó phương trình phải có dạng:
Chia đa thức cho ta được thương là
Phương trình tương đương với
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 8. Cho phương trình và biết phương trình có nghiệm thuần ảo. Tìm b
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi nghiệm thuần ảo của phương trình là ai ai thỏa mãn phương trình:
Ta có:
Với (loại)
Với
Vậy chọn đáp án C.
Câu 9. Cho phương trình và biết phương trình có ngiệm thực. Tìm các nghiệm của phương trình
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi x là nghiệm thực của phương trình: ta có:
Suy ra phương trình có dạng:
với z=2 là nghiệm thực của phương trình.
Chia đa thức cho z-2 ta được thương là . Do đó, phương trình tương đương với:
Giải (1):
Giải (2): Ta có: . Phương trình (2) có hai nghiệm là:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình:
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình thành: .
Đặt thì phương trình trở thành:
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
Vậy chọn đáp án C.
Phương Pháp
Như vậy ta nên viết các hệ số của phương trình để xem phương trình có rơi vào hai trường hợp đặc biệt này không.
Khi khai triển phương trình này và đồng nhất với phương trình đã cho sẽ tìm được hệ số b và c.
Giải phương trình: ta được nghiệm
Như vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
Giải
a) Phương trình: ta coi là phương trình bậc hai theo , phương trình có 2 nghiệm là hoặc
b) Đặt phương trình (1) trở thành
Phương trình (2)
Với
Với
Vậy phương trình (1) có 4 nhiệm là:
c) (1)
Đặt phương trình trở thành
(2)
Phương trình (2) có 2 nghiệm là:
Với
Với
Vậy phương trình có 4 nghiệm là:
Ví dụ 2. Cho phương trình bậc bốn hệ số thực
Biết phương trình có 1 nghiệm .Tính m và nghiệm còn lại.
Giải
Ta có là nghiệm của phương trình:
Phương trình trở thành (1)
Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực nhận là 1 nghiệm phức, không thực, thì cũng là nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình nhận 2 nghiệm là Do đó phương trình (1) phải có dạng:
Đồng nhất hệ số của hai phương trình (1) và (2) ta được
Vậy phương trình
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình: có hai nghiệm là số thuần ảo.
Giải
Đặt
là nghiệm của phương trình nên
Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4. Phương trình có 4 nghệm không thực với các giá trị thực a, b, c, d. Biết tích hai trong bốn nghiệm đó là và tổng của hai nghiệm còn lại là . Tìm giá trị của b
Giải
Gọi 4 nghiệm của phương trình là Khi đó nên ta suy ra (*).
Theo bài ra ta có .
Vì nên cũng như phải là các số phức liên hợp, do đó .
Theo (*) thì
Vậy giá trị cần tìm của b là 51.
Ví dụ 5. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
Giải
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức:
Giải
Nhận xét không là nghiệm của phương trình (1) vậy
Chia hai vế PT (1) cho ta được : (2)
Đặt . Khi đó
Phương trình (2) có dạng : (3)
PT (3) có 2 nghiệm
Với ta có
Có
PT(4) có 2 nghiệm:
Với ta có:
Có
PT(5) có 2 nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Vậy phương trình có các nghiệm
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm tổng mô đun các nghiệm của phương trình biết phương trình có nghiệm thực
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi là nghiệm thực của phương trình, ta có:
(1)
Như vậy phương trình được biến đổi thành phương trình tích có dạng:
Đồng nhất phương trình (1) và (2) ta được:
Vậy phương trình (1) tương đương với:
Giải (i):
Giải (ii): Ta có: . Phương trình (ii) có hai nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Biết phương trình có có nghiệm thuần ảo. Tìm tổng mô đun của các nghiệm phức có phần ảo dương.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi nghiệm thuần ảo của phương trình là ta có:
Vậy 2 nghiệm thuần ảo của phương trình là và phương trình có dạng phương trình tích:
Đồng nhất phương trình này với phương trình đã cho ta được:
Phương trình trở thành:
Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Suy ra: Vậy chọn đáp án C.
Câu 3. Cho phương trình: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Các hệ số của phương trình là:
Ta có Suy ra phương trình có 1 nghiệm: .
Chia đa thức cho , ta biến đổi:
Phương trình (2) lại có các hệ số thỏa mãn:
Do đó phương trình (2) có 1 nghiệm z= -1.
Suy ra (3) có 2 nghiệm là
Kết luận: Phương trình (1) có 4 nghiệm là:
Câu 4. Cho là nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức: .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có:
Giảita có
Suy ra
Do đó
Vậy chọn đáp án B.
Câu 5. Biết là nghiệm của phương trình
Tìm .
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình nên
Giải (*) {Kĩ thuật MTCT}
Ghi vào màn hình:
Ta được nghiệm của phương trình:
Chỉ cần thay đổi các hệ số của phương trình ta tìm được nghiệm của phương trình (2)
Suy ra:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 6. Giải phương trình:
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Dễ thấy là nghiệm của phương trình nên
Phương pháp
; ;
Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu và hoặc thì hệ vô nghiệm
Nếu thì hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
Giải
a) Ta có các định thức
Vậy hệ phương trình có nghiệm với
b) Ta có các định thức
Vậy hệ phương trình có nghiệm với
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau với hai ẩn và :
a) b)
Giải
a) Ta có:
b) Hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau với hai ẩn và :
a) b)
Giải
a) Ta có:
Đặt hệ phương trình trở thàn
Vậy phương trình có 1 nghiệm là :
b) Ta có:
Đặt và thì hệ phương trình trở thành
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là :
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình trên tập số phức: .
Giải
Ta có:
Khử x ta có hệ:
Lúc đó: Vậy hệ có nghiệm là:
Ví dụ 5. Tìm số phức thỏa mãn
Giải
Ta có:
Ta có
Nên là nghiện phương trình:
Ta được nghiệm:
Nên là nghiện phương trình:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình hai ẩn:
Giải
Từ (2) suy ra: Từ (1) suy ra:
Do đó: nên tức là
Suy ra: tức là Từ và suy ra nên bằng 1 hoặc bằng -1.
Từ và (2) suy ra tức hoặc .
Mà (1): nên và
Vậy hệ có hai nghiệm .
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương: ,(dễ thấy không thỏa mãn).
Thế vào phương trình thứ hai cảu hệ ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Nhận xét: Việc biến đổi phương trình bậc 4 có nghiệm thực thì không quá khó khăn, có thể dùng máy tính để nhẩm nghiệm và đoán nhân tử chung. Thế nhưng với phương trình bậc 4 nghiệm phức (và không có nghiệm thực) thì việc dùng máy tính để nhẩm nghiệm rồi đoán nhân tử chung là không thể. Vậy nên ta phải dùng kĩ thuật giải phương trình bậc 4 để phân tích nhân tử chung một cách nhanh chóng:
.
Bây giờ ta thêm vào 2 vế một lượng là (để vế trái được một bình phương đúng):
(*)
Muốn vế phải là một bình phương đúng (hoặc có thể là lượng âm của bình phương đúng: ) thì:
Vì lí do “thẩm mỹ” nên chúng ta chọn. Thay vào (*):
Ví dụ 8. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :
Giải
Gọi là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (1) là hình tròn tâm , bán kính ( kể cả biên ).
Ta có
Tập hợp các điểm M có tọa độ z thỏa mãn (2) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm, bán kính( kể cả biên ).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ.
Ví dụ 9. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z:
Giải
Gọi là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( kể cả đường trung trực ), với và . Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (2) là hình tròn tâm, bán kính ( kể cả biên ).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho làgiao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ
Ví dụ 11. Cho ba số phức thỏa mãn hệ
Tính giá trị biểu thức
Giải
Vì , do đó có thể đặt:
Suy ra
Mà nên
Ta có
Suy ra hoặc hoặc hoặc , do đó hai trong ba số bằng nhau.
Giả sử thì hay ta có .
Do đó
Vậy hoặc hoặc .
Câu 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình: .
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ (2) ta có: thay vào phương trình thứ nhất ta được:
Lúc đó: .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 3. Tìm số nghiệm của hệ phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ nhất ta được: thế vào phương trình thứ (2) ta được:
Ta có
Do đó
Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Số nghiệm của hệ phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình
A. |
B. |
C. |
D. |
Hướng dẫn giải
Ta có hệ tương đương:
Do đó ta có hệ mới: nên u, v là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Cho hệ phương trình . Tính
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-et thì là nghiệm của phương trình
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm là
Vậy chọn đáp án D.
Câu 7. Giải hệ phương trình hai ẩn:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Theo định lí Vi-et là nghiệm của phương trình:
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm là
Câu 8. Cho ba số phức thỏa mãn hệ
Tính giá trị của biểu thức với n là số nguyên dương.
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Vì nên . Do đó
Vậy là ba nghiệm của phương trình:
Chứng tỏ trong ba số phức phải có một số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó :
Vậy ta có tổng S=1
Chú ý: Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn hình học số phức hoặc dùng dạng lượng giác ( ví dụ dưới đây)
Câu 9. Giải hệ phương trình:
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
Nhân (2) với 3 rồi cộng với (3) ta được
Lúc đó hệ phương trình trở thành:
Giải hệ trên ta được:
Vậy chọn đáp án C.
Câu 10. Tìm số nghiệm của hệ phương trình
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Ta có lưu ý sau: Chứng minh rằng nếu 3 số phức thõa mãn: thì một trong 3 số đó phải bằng 1.
Thật vậy
Ta có:
Vậy hoặc hoặc
Áp dụng: giải hệ phương trình trên thì có một ẩn bằng 1 và tổng hai ẩn còn lại bằng 0.
Xét thì có nên
Từ giả thiết nên hay thì có hoặc
Vậy hệ có 6 nghiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba
Vậy chọn đáp án D.
Câu 11. Cho hệ phương trình Tìm khẳng định đúng
A. Hệ có nghiệm duy nhất |
B. Hệ đã cho vô nghiệm |
C. Nghiệm của hệ là những số thực |
D. Thành phần nghiệm của hệ có một số thực và một số phức |
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
Ta có (*)
Từ (*) ta có , vì thế . Do đó nên hệ có dạng
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy hệ đã cho có nghiệm
Vậy chọn đáp án D.
Câu 12. Tìm số phức z thỏa mãn :
A. | B. | C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi số phức
Hệ
Vậy số phức cần tìm là : . Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Tìm tham số m để hệ phương trình phức có nghiệm duy nhất:
, (ẩn z là số phức)
A. , | B. , |
C. , | D. , |
Hướng dẫn giải
Gọi
Theo giả thiết, ta có
là hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường tròn (C):
Và đường thẳng :
Đường tròn (C) có tâm và bán kính .
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất tiếp xúc với (C).
Đặt , ta có
Vậy giá trị cần tìm là hay
Vậy chọn đáp án A.
Câu 14. Tìm nghiệm của hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và là tham số thực khác 0.
A. | B. |
C. | D. |
Hướng dẫn giải
Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số phức là , . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức và bán kính nên có phương trình là
Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi qua trung điểm của đoạn thẳng CD và nhận làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là . Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm thỏa mãn (*) và (**), tức là nghiệm của hệ phương trình sau:
hoặc .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Vậy chọn đáp án A.
Câu 15. Số nghiệm của hệ phương trình sau với z là ẩn số :
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 4 |
Hướng dẫn giải
Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn tâm E, bán kính . Phương trình đường tròn này là: (*). Gọi A, B theo thứ tự là các điểm biểu diễn số phức . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số . Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa độ và có bán kính
Phương trình đường tròn Appollonius là : (**)
Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai đường tròn (*) và (**), tức là các điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:
hoặc .
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là và .
Vậy chọn đáp án C.
Phương pháp
Trước hết ta biến đổi:
Như vậy: . Đặt và
Từ đó suy ra là 1 acgumen của .
*
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) 5; b) -3 b)7i; d) .
Giải
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b) c) d)
Giải
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b)
c)
Giải
a)
b)
c)
Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) ; b) c)
Giải
a) Ta có:
b)
c)
Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b)
Giải
a) Ta có:
b)
Cách khác:
Mà
Do đó:
II. Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) b)
c) d)
Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có
Bài tập 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) ; b) ;
c) d)
Giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c)
d)
Bài tập 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài tập 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Bài tập 5. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có
Phương pháp
*
*
*
*
*
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng
b) ;
Giải
a) Ta có:
b) Ta có
c) Ta có
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để là số thực.
(Trích đề thi thử số 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế)
Giải
Ta có:
Do đó
Số đó là số thực khi và chỉ khi
Số nguyên dương bé nhất cần tìm là .
Ví dụ 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
; b)
c) d)
Giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
d) Ta có
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau
a)
b) ; c) .
Giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Ví dụ 5. a) Chứng minh số phức là số thực.
(Trích Trường THPT Kon Tum, lần 3 – 2012)
b) Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn là số thực.
(Trích Trường THPT Quế Võ số 1, lần 4 – 2013)
Giải
a) Ta có:
b) Ta có
Ví dụ 6. Giả sử z là số phức thỏa mãn . Tìm số phức
(Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012)
Giải
Từ giả thiết ta có
Với ta có:
Với ta có:
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .
(Trích Trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An lần 2 – 2013)
Giải
Đặt
Do đó
Phần thực của z là 16, phần ảo của z là 16.
Ví dụ 8. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho .
(Trích Trường THPT Nguyễn Văn Cừ, Bắc Ninh lần 3 – 2013)
Giải
Phương trình (1). (1) có
Do đó các căn bậc hai của là .
Vậy (1) có các nghiệm là
Ví dụ 9. Cho là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực, phần ảo của số phức: , biết có phần ảo dương.
(Trích Trường THPT Can Lộc, Hà Tĩnh lần 2 – 2014)
Giải
Vì nên phương trình có hai nghiệm phức: (do có phần ảo dương)
Ta có:
Do đó:
Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.
Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất nên từ (*) suy ra .
Ví dụ 10. Cho số phức z biết . Viết dạng lượng giác của . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
Giải
Cách 1: Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Do đó:
Suy ra:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là
Cách 2: Dạng lượng giác của số phức
Ta có:
Áp dụng công thức Movie, ta có
Vậy phần thực của số phức w là và phần ảo của số phức w là
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng
; b);
Hướng dẫn giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Bài tập 2. Cho số phức . Tìm m nguyên để là số thực, là số ảo
Hướng dẫn giải
Ta có:
Bài tập 3. Cho số phức . Tính .
(Trích Trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – 2013)
Giải
Ta có
Suy ra
Bài tập 4. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm phần thực của số phức .
(Trích Trường THPT Chuyên Trần Phú, lần 2 – 2013)
Giải
Gọi số phức thay vào (1) ta có:
Vậy phần thực của là
Bài tập 5. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực, phần ảo của số phức .
(Trích Trường THPT Chuyên Quảng Bình, lần 2 – 2014)
Giải
Ta có
Áp dụng công thức Moa-vrơ:
. Phần thực của w là -1, phần ảo là 0.
Bài tập 6. Cho các số phức z thỏa mãn: . Chứng minh rằng z có phần thực bằng 1.
(Trích Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị - 2014)
Giải
Ta có không thỏa mãn phương trình nên .
nên đặt
Nên
Vậy z luôn có phần thực là 1.
Bài tập 7. Biết rằng số phức thỏa mãn . Hãy tính
Hướng dẫn giải
Từ
Bài tập 8. Cho Tính
Hướng dẫn giải
Ta có:
a) Ta có
Do đó:
b) Ta có
Vậy
Cách 2. Ta có thể xem B là tổng của cấp số nhân 4 số hạng liên tiếp, số hạng đầu là 1, công bội là . Suy ra ta có:
Với Vậy
c) Ta có
Vậy
d) Ta có là tổng của cấp số nhân có 9 số hạng, số hạng đầu bằng 1, công bội là
Do đó:
với
Do đó:
e) Ta có là tổng của cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu bằng 1, công bội là
Do đó:
Với
Và
.
Vậy
f) Ta có
Với
Vậy .
Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a) và
b) Cho số phức .
Tính
Hướng dẫn giải
a) Ta có
b) Theo câu a) ta có
Ta có
Do đó:
Vậy .
Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức . Trong đó n thỏa mãn: .
Giải
Phương trình: có nghiệm duy nhất là (vì VT của phương trình là một hàm số đồng biến nên đồ thị của nó cắt đường thẳng tại một điểm duy nhất)
Ta có:
Suy ra .
Bài tập 11. Cho số phức . Viết z dưới dạng lượng giác. Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Giải
Ta có:
Khi đó:
Vậy phần thực của w là , phần ảo là .
Bài tập 12. Tìm điều kiện đối với các số phức a,b,c sao cho với mọi số phức z thỏa mãn thì là số thực.
Lời giải
Vì là số thực nên ta có các giá trị đặc biệt:
Từ (1) và (2) ta có Nhưng từ (3) và (4) ta có do đó
Khi đó, từ (1) và (3) thì
Vì nên đặt ta có:
khi và chỉ khi
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị cần tìm là và c là một số thực tùy ý.
Bài toán 3. Tìm môđun và acgumen của số phức
Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau:
Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức z. Ta cần biến đổi sao cho z có dạng
Và 1 acgumen của là thỏa ;
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Cho số phức . Tìm một acgumen của số phức z.
Giải
Do neân . Vậy, một acgumen của z là
Ví dụ 2. Cho số phức z có mô đun bằng 1 và là một acgumen của z
a) Tìm một acgumen của
b) Tìm một acgumen của nếu
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra
a) Ta có
Vậy một acgumen của z là
b) Ta có :
Ví dụ 3. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a) ; b)
c) ; d)
e)
Giải
a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Vậy
d)
Vậy
e)
Vậy
Ví dụ 4. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a) b)
c) d)
Giải
Ta kí hiệu r và lần lượt là môđun và acgumen của số phức z, ta có
a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Vậy
d)
Vậy
Ví dụ 5. Gọi là hai nghiệm của phương trình: có phần thực âm. Tính môđun và acgumen của các số phức sau:
a) b)
c) d)
Giải
Ta gọi r và lầ lượt là môđun và acgumen của số phức w.
Giải phương trình: ta được 2 nghiệm là:
có phần thực âm và
a) Ta có: ;
Suy ra:
Vậy w có môđun và một acgumen là:
b) Ta có
Suy ra:
Vậy có môđun và acgumen là
c) Ta có theo câu b) và
Suy ra
Vậy có môđun và một acgumen là:
Cách khác: Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng công thức Vi-et:
Ta có:
d)
Với
và
Suy ra
Vậy có môđun và acgumen là:
Ví dụ 6. Tìm môđun và một acgumen của số phức z thỏa mãn phương trình:
Giải
Ta có
Đặt
Ta có:
Chọn ta được
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn là:
có môđun , một acgumen là và có môđun , một acgumen là
Ví dụ 7. Trong các acgumen của số phức , tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.
(Trích Ebooktoan.com số 13 – 2013)
Giải
Ta có
Theo công thức Moavơrơ ta có: . Từ đó suy ra z có các họ acgumen là: . Ta thấy với thì acgumen dương nhỏ nhất của z là .
Ví dụ 8. Tìm acgume âm lớn nhất của số phức .
Giải
Aps dụng công thức Moa vro, ta có:
Các acgumen của z đều có dạng . Ta có hay
Acgumen âm lớn nhất của z tương ứng với
Vậy acgumen cần tìm của z là
Ví dụ 9. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: .
(Trích Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ – 2013)
Giải
Ta có:
Giả sử
Từ (1) và (2) suy ra:
Cho ta nhận được các giá trị acgumen tương ứng của số phức là
Từ đó phương trình đã cho có 4 nghiệm lần lượt là:
hay
hay
hay
hay
Nhận xét: Dạng lượng giác luôn phát huy được ưu thế của mình khi xử lí các biểu thức lũy thừa bậc cao của số phức.
Ví dụ 10. Gọi là nghiệm của phương trình . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho
Giải
Đặt (1). Biệt thức của (1) là
.
Vậy (1) có các nghiệm là và
Vì n là số nguyên nhỏ nhất nên từ suy ra:
Ví dụ 11. Tìm số phức z thỏa mãn: biết có một acgument bằng một acgument của cộng với . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Giải
Đặt . Khi đó có một acgument bằng acgument của cộng với nên với .
Suy ra
Ta có:
do (*)
Ap dụng bất đẳng thức Cosi,ta được:
Suy ra , đẳng thức xảy ra khi
Vậy, giá trị lớn nhất của T là , đạt khi
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Tính môđun và một acgumen của số phức sau
Hướng dẫn giải
a) Ta có
Vậy
b) Ta có
Vậy
c) Ta có
Vậy
d)
Ta có
Suy ra
Vậy
Bài tập 2. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm mô-đun của số phức .
(Trích đề thi thử Người Thầy – 2013)
Giải
Gọi . Ta có:
, thay vào (2) ta có
Suy ra
Do đó
Vậy
Bài tập 3. Tìm số phức z biết rằng và có một acgumen bằng .(THPT Chuyên Đại học Vinh, lần 2 – 2013)
Giải
Ta có
Đặt . Khi đó:
Theo bài ra ta có: . Suy ra
Từ giả thiết của bài toán ta có:
Từ đó ta có .
Bài tập 4. Viết dạng lượng giác của số phức z biết và có một acgumen bằng . (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội lần 3 – 2013)
Giải
Ta có /
Gọi là một acgumen của z. Ta có
Từ đó suy ra:
Chọn sao cho
Vậy z có dạng lượng giác là .
Bài tập 5. Tìm số phức z biết là số thực và có một acgumen là . (THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An lần 1 – 2013)
Giải
Vì và có một acgumen là nên có một acgumen là , suy ra z có một acgumen là .
Gọi
Ta có là số thực khi và chỉ khi:
. Vậy .
Bài tập 6. Tìm số phức z sao cho có một acgumen bằng và (THPT Chuyên Vĩnh Phúc khối B, D, lần 5 – 2013)
Giải
Đặt
có một acgumen bằng
Lại có:
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài tập 7. Trong các số phức z thỏa mãn , số phức nào có nhỏ nhất. Khi đó acgumen của nó bằng bao nhiêu?
(Trích GSTT Group lần 4 – 2014)
Giải
Đặt
Áp dụng Bunhia copski:
nhỏ nhất khi
Dấu “=” xảy ra khi:
. Acgumen của z là: .
Bài tập 8. Tìm số phức z thỏa mãn và có một acgumen bằng . (Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh, lần 3 – 2014)
Giải
Đặt .
Suy ra . Khi đó:
Theo giả thiết ta có . Khi đó .
Suy ra
(vì )
Vậy .
Bài tập 9. Xét số phức z thỏa điều kiện
a) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức thỏa (*)
b) Trong các số phức z thỏa (*) tìm số số phức có acgumen dương và nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
b) Kẻ tiếp tuyến OK với đường tròn. Dễ thấy nên
Vậy
Bài tập 10. Tìm số phức sao cho và có một acgumen bằng .
Hướng dẫn giải
Từ
Lúc đó: . Vì có 1 acgumen bằng nên có dạng
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy
Bài tập 11. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho sao cho số phức có một acgument bằng
Hướng dẫn giải
Giả sử thì
Do có một acgument bằng nên ta có
Do đó:
Từ (1) và (2) ta suy ra và
Phương pháp
*Căn bậc hai của 0 bằng 0
* Với
Đặt thì
*Số phức có 2 căn bậc hai đó là và
TT có căn bậc n:
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Giải
Ta có
Đặt là một căn bậc hai của w, ta có:
Vậy w có hai căn bậc hai là: và
Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác:
Giải
Ta có:
w có môđun và một acgumen
Suy ra căn bậc ba của w là số phức z có: Môđun và một acgumen
Lấy thì có ba giá trị:
Vậy có 3 căn bậc ba là:
Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác:
Giải
Ta có: có môđun và một acgumen
Suy ra căn bậc bốn của w là số phức z có: môđun và một acgumen
Lấy ta có 4 giá trị của
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy w có 2 căn bậc hai là:
Bài tập 2. Tìm căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác
Hướng dẫn giải
Ta có:
w có môđun R=1 và acgumen
Suy ra căn bậc ba của w là số phức z có: môđun và một acgumen
Với k = 0,1,2 ta có ba giá trị của .
Vậy có 3 căn bậc 3 là:
Bài tập 3. Tính căn bậc bốn của
Hướng dẫn giải
Ta có: có:
Lấy ta có 4 giá trị cuả
Vậy có 4 căn bậc 4 là:
Bài tập 4. Tính căn bậc năm của
Hướng dẫn giải
Căn bậc năm của số phức là số phức z thỏa mãn
Vì . Đặt ta có
Lấy ta được 5 giá trị của :
Vậy có 5 căn bậc năm của i là:
Bài tập 5. a) Viết dưới dạng lượng giác.
b) Tính và suy ra các căn bậc bốn của
Hướng dân giải
a)
b)
Các căn bậc 4 của là :
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC 3
Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình 3
Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác 10
Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức 20
Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn 23
Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức 27
Xét hệ phương trình:
Lấy (2) nhân sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được :
Đặt , biểu diễn (*) thông qua các đại lương
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
Giải
Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai nhân i ta được
là một căn bậc ba của số phức
Ta có:
có ba căn bậc ba là
Vậy với ta được nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: .
Giải
Hệ đã cho tương đương với
Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ 2 nhân i ta đươc
là một căn bậc 3 của .
Ta có:
nên có ba căn bậc ba là
Vậy với ta được nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:.
Giải
Cách 1. Lấy (2) nhân sau đó cộng với (1) ta được
Đặt . Lúc đó: .
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:.
Cách 2. Ta thấy không là nghiệm của hệ phương trình
trừ vế theo vế ta được
cộng vế theo vế ta được
Ta được hệ
Đáp số:
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: .
Giải
Lấy (2) nhân sau đó cộng với (1) ta được
Đặt . Lúc đó phương trình (*) trở thành
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .
Giải
Điều kiện: . Đặt .
Hệ đã cho có dạng: . Đặt . Ta có.
Từ hệ đã cho ta có
Giải phương trình (*), ta có suy ra các nghiệm:
Vì nên ta có: , suy ra nghiệm của hệ là:
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình trên tập số phức: .
(Đề thi học sinh giỏi Romania năm 2002)
Giải
Xét hệ phương trình
Rõ ràng và x,y,z đôi một khác nhau.
Từ (1) và (2) ta có
Hay
Tương tự hệ đã cho trở thành (4)
Cộng vế với vế ta được
Kết hợp với (4) ta có: Suy ra
Đặt thì từ và x,y,z đôi một khác nhau nên
với
Mà nên
Ta có nên a=1
Vậy các số phức cần tìm là các hoán vị của
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: .
Hướng dẫn giải
Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba:
Phương trình này không có nghiệm đặc biệt!
Xét số phức . Vì ,nên từ hệ đã cho ta có , tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của là:
,,
Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:
Bài tập 2. Giải hệ phương trình trong tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Xét số phức
Vì , nên từ hệ đã cho suy ra:
(*)
Các số phức thỏa mãn (*):
Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:
Bài tập 3. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .
Lời giải
Điều kiện Đặt . Ta có:
Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:
Phương trình có hai nghiệm nên hệ đã cho có các nghiệm hoặc
Chú ý: Muốn giải được các hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng số phức, cần nhớ một công thức cơ bản của số phức, đăc biệt là với mỗi số phức thì ta có là bình phương mođun và .
Bài tập 4. Giải hệ phương trình với nghiệm với : .
Hướng dẫn giải
Từ hệ suy ra
Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt với
Hệ đã cho có dạng:
Đặt . Ta có:
Hệ đã cho tương đương với:
Giải phương trình (*), ta có suy ra các nghiệm là
Vì nên do đó
Vậy nghiệm cần tìm là
Bài tập 5. Giải hệ phương trình: .
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Nhận thấy là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu thì hệ đã cho viết thành
Suy ra:
Đặt ta có phương trình
Với ta được nghiệm của hệ là
Với ta được nghiệm của hệ là
Với ta được nghiệm của hệ là
Bài tập 6. Giải hệ phương trình:
(Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1996)
Hướng dẫn giải
Từ hệ suy ra
Đặt
Hệ đã chho có dạng:
Đặt
Ta có:
Hệ đã cho tương đương với:
Giải (*): Vì nên các nghiệm:
Ta có nghiệm và do đó nghiệm của hệ là:
hoặc
Phương pháp
Cho dạng lượng giác số phức ;;.
Ta có các công thức sau:
Công thức Moa-vrơ :
Nếu với . Lúc đó
I. Các ví dụ điển hình thường găp
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
Giải
Đặt . Ta có:
Mặt khác: .
Từ (1) và (2) ta được:
Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát sau: Biểu diễn theo các lũy thừa của vơi n là số nguyên dương bất kỳ.
Áp dụng công thức Moivre ta có
Mặt khác, theo công thức khai triển nhị thức Newton:
Từ đó suy ra:
Trong đó:
Cụ thể: Với ta có:
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a) ; b)
Giải
Xét Ta có
Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra:
và
Ví dụ 3. Cho . Tính
Giải
Đặt . Khi đó:
Mà nên ,
suy ra:
Ta lại có nên .
Chú ý: Ta cũng có kết quả .
Ví dụ 4. Tính tổng với và
Giải
Đặt Theo công thức nhân và cộng thức Moivre ta có:
(Vì nên ).
Vậy
Xét phần thực và phần ảo của hai vế ta được:
Nhận xét: Từ hai loại công thức trên, xét các trường hợp riêng:
a) Nếu thì suy ra:
b) Nếu thì ta có:
Ví dụ 5. Chứng minh các công thức:
Giải
Ta có:
Do đó là nghiệm dương của phương trình
Vậy suy ra
Nhận xét: Áp dụng công thức ta tính được biểu thức
Để làm được bài toán này trước hết ta chứng minh công thức sau:
Thật vậy:
Sử dụng công thức
Ta có:
Ví dụ 6. Giải phương trình:
Giải
Đặt thì
Phương trình đã cho trở thành
(*)
Vì không là nghiệm nên với ta có:
(*)
Hay nên với Vì nên không nhận giá trị k=3.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Vậy nghiệm cần tìm của hệ đã cho hoặc
Ví dụ 7. Chứng minh rằng
Lời giải
Đặt Khi đó:
Mặt khác (do ),
nhưng nên suuy ra
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 8. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn các điều kiện
Chứng minh rằng
(Đề nghị IMO năm 1989)
Giải
Đặt
Ta có
. Do đó nên
Vì nên
Vậy
Từ đó ta có
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Chứng minh rằng:
a)
Hướng dẫn giải
Xét , ta có , nên z là nghiệm khác -1 của phương trình . Ta có:
+)
nên
+)
Do đó xét phần thực của đẳng thức ta suy ra được:
;
Bài tập 2. Hãy biểu diễn qua
Hướng dẫn giải
Ta có:
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có
Từ đó suy ra:
Bài tập 3. Cho là các số thực thỏa mãn và
Chứng minh rằng:
và
Giải
Đặt , ta có:
nên
Vì thế:
=
Nên
Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh.
Bài tập 4. Giải phương trình
Lời giải
Ta có không là nghiệm của phương trình.
Đặt với
Ta có
Vậy phương trình đã cho trở thành:
Vì và nên
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là
Vì và nên
Suy ra nghiệm cần tìm là
Vậy các nghiệm của phương trình là: và
Bài tập 5. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
a)
Giải
Đặt
Suy ra
a) Ta có: nên lượng giác:
Từ đó ta được: và
b) Với thì
Mặt khác, từ suy ra
Vì thế:
Do đó
Vậy nên
Bài tập 6. Chứng minh rằng:
Giải
Xét số phức có
Ta có
Đẳng thức cần chứng minh trở thành
Rút gọn và chú ý ta có
Hay: (đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài tập 7. Giả sử và là nghiệm của phương trình và . Chứng minh
Giải
Ta có . Không mất tính tổng quát, lấy . Theo giả thiết .
Lúc đó :
Tương tự :
Do đó . Mặt khác :
Từ đó ta có được :
Cho số phức . Lúc đó môđun của số phức
Cho các số phức . Ta có các bất đẳng thức thường dùng sau :
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có :
.
Giải
Bất đẳng thức tương đương với
Xét .
Ta có
Mặt khác :
Áp dụng : ta được
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi ta có :
Giải
Xét
Ta có :
Áp dụng : ta được
Ví dụ 3. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Giải
Theo giả thiết: . Do đó:
Áp dụng : ta được
.
Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện :
.
Chứng minh rằng :
Giải
Từ giả thiết ta có :
Xét
Ta có :
Vì nên
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có :
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét số phức :
Lúc đó :
Vì
Bài tập 2. Chứng minh rằng với ta luôn có
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Vì
Bài tập 3. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có :
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Ta luôn có :
Bài tập 4. Chứng minh rằng với ta luôn có
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Ta có :
Vì nên
Phương pháp
Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn
Ta lưu ý rằng : thì
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tính tổng
Giải
Ta có:
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
Lời giải.
Ví dụ 3. Tính các tổng sau
Giải
Xét khai triển
Lấy đạo hàm hai vế
Thay bởi ta được
Mặt khác:
Vậy
II. Bài tập rèn luyên
Bài tập 1. Chứng minh rằng:
Giải
Xét khai triển nhị thức Newton:
Vì nên ta có:
(1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2. Tính tổng
Hướng dẫn giải
Chú ý rằng nên:
Vì
và nên:
Vậy ta có
Bài tập 3. Tính tổng
Giải
Đặt thì
Do đó ta có:
Vì nên:
Vậy
Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
Phương pháp
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Chứng minh rằng đa thức chia hết cho đa thức với mọi số tự nhiên n.
Vì nên có nghiệm là
Đặt Ta có:
Giải
Trong các bài toán về phép chia đa thức, muốn chứng minh chia hết cho, ta chứng minh mọi nghiệm của đa thức đều là nghiệm của đa thức . Cách làm này gặp phải khó khăn nế như không có nghiệm thực, tuy nhiên số phức giáp ta giải quyết vấn đề này.
Vậy cũng là nghiệm của , do đó chia hết cho
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 và số thực thỏa mãn , đa thức chia hết cho đa thức .
Giải
Xét phương trình nên có nghiệm là hai số phức liên hợp.
Đặt ta có:
Suy ra hay Vậy chia hết
Ví dụ 3. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức chia hết cho đa thức .
Lời giải
Các nghiệm cuả đa thức là:
Đặt Vì là hai số phức liên hợp, nên chỉ cần tìm n sao cho (khi đó sẽ bằng không).
Ta có: nên
Vậy đa thức chia hết cho đa thức khi và chỉ khi n là số nguyên dương không chia hết cho 3.
Ví dụ 4. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức chia hết cho đa thức .
Lời giải
Các nghiệm của đa thức là:
Đặt
Vì do đo
Vậy giá trị cần tìm của n là những số nguyên dương chia cho 6 dư 1 hoặc chia 6 dư 5.
Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:
a) ; b)
Giải
a) Ta có
Mà:
Nên
b) Ta có:
Bằng cách giải các phương trình bậc hai , ta phân tích được thành tích:
Mặt khác:
Vậy
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho đa thức
chia hết cho đa thưc
Hướng dẫn giải
Các nghiệm của đa thức là:
Đặt , ta có , nhưng
Nếu thì
Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức chia hết chho đa thức
Bài tập 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:
a) ; b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vì
Vậy
b)
Tải tài liệu này file docx word pdfXem thêm các bài tiếp theo bên dưới