Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 1:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Giá trị lượng giác của cung .
Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung có sđ :
Hình 1.1
Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:
Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
Các hệ quả cần nắm vững
Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).
Hình 1.2
Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau
Góc phần tư Giá trị lượng giác | I | II | III | IV |
+ | - | - | + | |
+ | + | - | - | |
+ | - | + | - | |
+ | - | + | - |
Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác
2. Công thức lượng giác
Công thức cơ bản Cung đối nhau
Công thức cộng Cung bù nhau
Công thức đặc biệt
Góc nhân đôi Góc chia đôi
Góc nhân ba Góc chia ba
STUDY TIP Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức. |
Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
(độ) | 0 | |||||
(radian) | 0 | |||||
0 | 1 | 0 | ||||
1 | 0 | |||||
0 | 1 | Không xác định | 0 |
STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: Các giá trị ở tử số tăng dần từ đến . Ngược lại đối với giá trị , tử số giảm dần từ về . |
BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Hàm số và hàm số .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .
Tập xác định của các hàm số là .
Nhận xét: Hàm số là hàm số lẻ do hà số có tập xác định là đối xứng và
Hàm số tuần hoàn với chu kì .
Sự biến thiên:
Sự biến thiên của hàm số trên đoạn được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới:
Bảng biến thiên:
Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:
STUTY TIP Khái niệm: Hàm số xác định trên gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số sao cho với mọi thuộc ta có . Số dương nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn. |
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa , ta được đồ thị hàm số trên đoạn , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài
STUDY TIP Hàm số đồng biến trên khoảng . Do tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Tương tự ta suy ra được hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng |
GHI NHỚ
Hàm số
- Có tập xác định là .
- Có tập giá trị là .
- Là hàm số lẻ.
- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Có đồ thị là một đường hình sin.
- Tuần hoàn với chu kì .
- Đồng biến trên mỗi khoảng .
- Nghịch biến trên mỗi khoảng .
Ta thấy nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số .
Bảng biến thiên của hàm số trên .
Đồ thị hàm số :
STUTY TIP Hàm số đồng biến trên khoảng . Do tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Tương tự ta suy ra được hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng . |
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định là .
- Là hàm số chẵn.
- Là một đường hình sin.
- Đồng biến trên mỗi khoảng .
- Nghịch biến trên mỗi khoảng .
Đọc thêm
Hàm số là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở vì:
Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Tương tự hàm số cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12.
2. Hàm số và hàm số
Hình 1.7
Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số tang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .
Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .
Nhận xét: - Hai hàm số và hàm số là hai hàm số lẻ.
- Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì .
a) Hàm số
Hình 1.8
Sự biến thiên: Khi cho tăng từ đến thì điểm chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ đến (không kể và ). Khi đó điểm thuộc trục tang sao cho chạy dọc theo , nên tăng từ đến (qua giá trị khi ).
Giải thích: vì
Nhận xét: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ , ta được đồ thị hàm số trên , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành.
Hình 1.9
STUDY TIP |
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định - Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận
b) Hàm số
Hàm số có tập xác định là một hàm số tuần hoàn với chu ki .
Tương tự khảo sát như đối với hàm số ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số như sau:
Hình 1.10
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định: - Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác
Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Cách 1 Tìm tập của để có nghĩa, tức là tìm . | Cách 2 Tìm tập của để không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là . |
CHÚ Ý
A. Với hàm số cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. , điều kiện: * có nghĩa
* có nghĩa và .
2. , điều kiện: có nghĩa và .
3. , điều kiện: có nghĩa và .
B. Hàm số xác định trên , như vậy
xác định khi và chỉ khi xác định.
* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .
* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .
STUDY TIP
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số và xác định trên .
2. Hàm số xác định trên .
3. Hàm số xác định trên .
A. . B. .
C. . D. .
Chọn A.
Lời giải
Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi .
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số tại và ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.
STUDY TIP
Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số tồn tại hai góc có số đo là và cùng thỏa mãn chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy.
Cách bấm như sau:
Nhập vào màn hình :
Ấn r gán thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp .
Từ đây suy ra hàm số không xác định tại và .
A. . B. .
C. . D. .
Chọn C.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi
+ xác định
+
.
STUDY TIP Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định chứ không chú ý điều kiện để hàm xác định, sẽ bị thiếu điều kiện và chọn D là sai. |
A. . B. . C. . D. .
Chọn C.
Lời giải
Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm xác định với mọi . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa như nhau là và . Do đó ta chọn được luôn đáp án
Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm và thành dựa theo lý thuyết sau:
Hình 1.11
Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác
được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trên đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có
Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Hàm số đã cho xác định khi xác định
STUDY TIP Ở đây nhiều độc giả nhầm lẫn, thấy hàm số và chọn luôn là sai. Cần chú ý đến điều kiện để xác định. |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có
2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi xác định .
STUDY TIP Trong bài này, ta cần thêm kiến thức về tập xác định của hàm số lũy thừa ở lớp 12: Tập xác định của hàm số tùy thuộc vào giá trị của * Với nguyên dương thì tập xác định là . * Với nguyên âm hoặc bằng , tập xác định là . * Với không nguyên, tập xác định là . |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi xác định
.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi
Mặt khác ta có nên .
STUDY TIP Với các bài toán chứa căn thức ta chú ý các hệ số tự do để áp dụng các bất đẳng thức cơ bản như |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có ,. Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi .
Một dạng khác của bài toán liên quan đến tìm tập xác định của hàm lượng giác như sau:
Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là .
Bước 2: .
Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Lời giải
Chọn B.
Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi xác định (do xác định với mọi ).
Do vậy hàm số xác định khi .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định (do ).
Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
Với (là tập xác định của hàm số ) thì
. .
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét hàm số
.
Đặt .
Hàm số xác định với mọi
.
Đặt trên .
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.
Ta thấy hoặc
Ycbt
.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định trên khi và chỉ khi .
Đặt
Lúc này ta đi tìm điều kiện của để
Ta có
TH 1: . Khi đó (thỏa mãn).
TH 2: (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
TH 3: khi đó tam thức có hai nghiệm phân biệt .
Để thì .
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của .
Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số , còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số .
Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.
Định Nghĩa.
Cho hàm số xác định trên tập .
a, Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi thuộc , ta có và .
b, Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi thuộc , ta có và .
STUDY TIP: Để kết luận hàm số không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm sao cho hoặc chỉ ra tập xác định của không phải là tập đối xứng. |
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số, khi đó
Nếu là tập đối xứng (tức ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
Nếu không phải tập đối xứng(tức là mà ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định :
Nếu thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
Nếu thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số là hàm số lẻ trên .
2, Hàm số là hàm số chẵn trên .
3, Hàm số là hàm số lẻ trên .
4, Hàm số là hàm số lẻ trên .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
Xét A: Do tập xác định nên .
Ta có . Vậy hàm số là hàm số chẵn.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .
Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì ta chọn luôn A.
STUDY TIP: Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập đối xứng không. |
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Tập xác định .
Ta có
. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .
Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải), ta thấy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
STUDY TIP: Trong bài toán này, tập xác định bởi . |
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có .
Ta có tập xác định .
Hàm số vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường hợp đều ra kết quả là 0. Mà vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta chọn D.
STUDY TIP: Hàm số vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng. |
A. Hai hàm số là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số là hàm số chẵn; hàm số là hàm số lẻ.
C. Hàm số là hàm số lẻ; hàm số là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Lời giải
Chọn D.
a, Xét hàm số có tập xác định là .
Ta có nhưng nên không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số có tập xác định là . Dễ thấy không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Vậy chọn D.
STUDY TIP: Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài toán một cách chính xác. |
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn C.
Hàm số có tập xác định .
Ta có .
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
1, Hàm số đã cho xác định trên .
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã xác định khi Vậy phát biểu sai.
Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Ta có tập xác định của hàm số trên là là tập đối xứng.
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.
STUDY TIP Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O. Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy. |
A. Hàm số đã cho có tập xác định
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là
Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã cho xác định trên tập nên ta loại A.
Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B.
STUDY TIP Với bài toán này ta nên xét B và C trước thay vì xét lần lượt A, B, C, D. |
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
TXĐ: Suy ra
Ta có
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị. Với A và C, ta thử một trường hợp để loại hai đáp án còn lại, tương tự với B và D. Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại giá trị và
Ví dụ: Nhập vào màn hình như hình bên.
0 | = |
Ấn CALC để gán các giá trị cho m. Ta thử với thì ấn
Chọn bất kì, sau đó làm lại lần nữa và gán cho ban đầu và so sánh (ở đây ta thử với và tại
Ta thấy Vậy C đúng. Ta chọn luôn C và loại các phương án còn lại.
DẠNG 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Phương pháp chung:
Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:
* Đồng biến trên các khoảng
* Nghịch biến trên các khoảng
* Đồng biến trên các khoảng
* Nghịch biến trên các khoảng
Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng và
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là và nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.
Ấn
Máy hiện thì ta nhập . START? Nhập END? Nhập STEP? Nhập
Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
B. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng và
Lời giải
Chọn B.
Theo lý thuyết ta có hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên khoảng Từ đây ta có với hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Tiếp theo ta đến với hàm số Ta có ví dụ 3.
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định của hàm số đã cho là
Hàm số tuần hoàn với chu kì dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số đồng biến trên khoảng và
STUDY TIP Ở đây ta không chọn C vì hàm số không liên tục trên hàm số bị gián đoạn tại (tức là hàm số không xác định tại |
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Lời giải
Chọn D.
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên
Ta có hàm số
* Đồng biến trên khoảng
* Nghịch biến trên khoảng
Từ đây suy ra hàm số
* Nghịch biến trên khoảng
* Đồng biến trên khoảng Từ đây ta chọn D.
Dưới đây là đồ thị của hàm số và hàm số trên
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho có tập giá trị là
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Ta có
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn
Ta có:
* Hàm số đồng biến trên khoảng
* Hàm số nghịch biến trên khoảng Từ đây ta chọn A.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Tương tự như ở ví dụ 1, ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải
bài toán.
Ấn
Máy hiện thì ta nhập . Chọn STAR; TEND; STEP
phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:
Từ bảng giá trị của hàm số trên ta thấy khi chạy từ đến thì
giá trị của hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến trên khoảng
Phân tích thêm: Khi chạy từ đến thì giá trị của hàm số giảm dần, tức là
hàm số nghịch biến trên khoảng
STUDY TIP Ta chú ý ở đây có nên ta có thể suy ra STEP phù hợp. Trong bài gán STEP |
A. Hàm số luôn luôn tăng.
B. Hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số tăng trong các khoảng
D. Hàm số tăng trong các khoảng
Lời giải
Chọn B.
Với A ta thấy hàm số không xác định tại mọi điểm nên tồn tại các điểm làm
cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.
Với B ta thấy B đúng vì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Từ đây loại C và D.
(I) : Hàm số giảm.
(II) : Hàm số giảm.
Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy
Lúc này ta có
Ta thấy thì
. Vậy là hàm tăng.
Tương tự ta có là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.
Cách 2:
Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm trên máy tính.
MODE | 7 |
Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( )
Nhập hàm như hình bên:
| 1 | ∇ | SIN | ALPHA | ) | ) | = |
START? ; END? . STEP? .
Của hàm số như hình bên. Ta thấy giá trị của hàm số tăng dần khi x chạy từ đến . Nên ta kết luận trên hàm số tăng.
Tương tự với II và kết luận.
A. đồng biến trong .
B. là hàm số chẵn trên .
C. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
D. luôn nghịch biến trong .
Lời giải
Chọn B.
Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên . Nên ta loại A và D.
Với B ta có hàm số là hàm số chẵn.
Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.
STUDY TIP Ta suy diễn đồ thị hàm hàm số từ đồ thị hàm số từ đó suy ra khoảng đơn điệu của hàm số .
|
STUDY TIP Với bài toán này ta có thể không suy diễn đồ thị mà làm theo hướng tư duy sau:
|
DẠNG 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số xác định trên miền .
Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
A. B.
C. D.
Phân tích
Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:
Bước 1: Chỉ ra
Bước 2 : Chỉ ra sao cho .
Kết luận :
Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Hàm số xác định trên .
Ta có
.
Ta có khi ; khi .
Vậy .
Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị là .
Chỉ có hai giá trị min là 1;-1.
Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:
Ví dụ ta nhập vào màn hình ta thấy phương trình có nghiệm.
Tương tự nhập ta thấy phương trình có nghiệm.
Từ đây ta chọn B.
STUDY TIP Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì là giá trị lớn hơn và là giá trị nhỏ hơn nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại. |
A. B.
C. D. .
Lời giải
Chọn A.
Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa về theo hoặc .
Ta có
Mặt khác .
Ta có bài toán tổng quát:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Với
Lời giải tổng quát
Vì sao cho và
Vì
Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:
. Ta có
Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có .
STUDY TIP Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số điều kiện có nghiệm . Từ đây ta tìm được của y. |
A. . B.
B. D.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có .
Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên.
Ta có
Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay
Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp .
Lúc này chỉ còn A và B. Thử với thì không có nghiệm.
Từ đây chọn B.
STUDY TIP Nếu hàm số có dạng ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về dạng phương trình trong STUDY TIP ở phía trên và tiếp tực lời giải. |
A. . B.
C. . D. không tồn tại.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1 : Ta có .
Vậy khi
Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay
STUDY TIP Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu của bpt thứ hai của hệ khi nhân các vế với dẫn đến chọn đáp án sai. |
A. . B. .
C. . D. Không tồn tại GTLN.
Lời giải
Chọn B.
Dấu bằng xảy ra khi
.
STUDY TIP: Với các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm lượng giác ta có thể đưa về dạng. Nhưng cần lưu ý xem dấu bằng có xãy ra hay không. |
Tiếp theo ta có ví dụ 6 là một câu hỏi khác cho ví dụ 2 như sau
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Từ ví dụ ta có . Đặt
Từ đề bài ta xét
Ta lập BBT của hàm số trên .
Từ bảng biến thiên ta thấy
Hay .
STUDY TIP: Với các bài toán tìm min, max của hàm số lượng giác trên một đoạn ta thường phải xét nhanh BBT để giải quyết bài toán. Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải quyết được bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số sử dụng đạo hàm. Sau khi học xong đạo hàm ta sẽ giải quyết bài toán này nhanh chóng hơn. |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Xét hàm số: trên .
Ta có: . Từ đây có bảng biến thiên
Ta kết luận: và .
Hay và .
Ngoài các phương pháp giải các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác ta rút ra từ các ví dụ trên ta còn phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp này được coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sang tạo và kĩ thuật trong việc sử dụng bất đẳng thức.
Một số bất đẳng thức ta thường dung:
1.Bất đẳng thức AM – GM.
a. Với hai số:
Cho hai số thực là hai số dương, ta có dấu bằng xảy ra khi .
b. Với số:
Cho hai số thực là các số dương , ta có dấu bằng xảy ra khi .
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.
. Dấu bằng xảy ra khi
b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số
Với hai bộ số và ta có
STUDY TIP Ta có thể sử dụng tính chất của tam thức bậc hai để giải các bài toán tìm min max hàm lượng giác như sau: Cho hàm số + Nếu thì dấu bằng xảy ra khi . + Nếu thì dấu bằng xảy ra khi . + Nếu hàm số đã cho là hàm bậc hai mà điều kiện không phải là thì ta phải lập BBT để tìm min max Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số nào đó bằng thì tương đương bằng . |
c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có
A. . B. . C. . D. .
Đáp án B
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1; ; ta có:
Hay
Dấu bằng xảy ra khi
STUDY TIP Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky bởi ở trong căn lần lượt có và . Ta cân bằng hệ số của và để áp dụng tính chất . Áp dụng Bunyakopvsky thì vế phải sẽ là hằng số, từ đó giải quyết được bài toán. |
A. khi T B. khi
C. khi D. khi .
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Ta thấy và . Suy ra và là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
STUDY TIP Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức AM-GM bởi vì ta thấy mẫu số của hai phân thức cộng lại sẽ ra hằng số, nên ở đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Ta có thể giải quyết bài toán theo hướng khác đó là sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu. Với là hai số thực dương ta có dấu bằng xảy ra khi Vậy , dấu bàng xảy ra khi vì . |
Cách 2: Để ý đề bài hỏi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng .
Trên đây là hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác mà không có liên hệ cho trước. Ví dụ 10 dưới đây là một ví dụ khó hơn về sử dụng bất đẳng thức kết hợp với lượng giác để giải quyết.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Ta thấy lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
💣 Đọc thêm
DẠNG 5: Dạng đồ thị của hàm số lượng giác
Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần 1:
Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.
Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:
Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Đồ thị hàm số gồm | *Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị . *Đối xứng phần đồ thị của hàm số phía dưới trục hoành qua trục hoành. |
Đồ thị hàm số gồm | *Phần đồ thị của hàm số nằm bên phải trục . *Đối xứng phần đồ thị trên qua trục . |
Đồ thị hàm số với gồm | *Phần đồ thị của hàm số trên miền thỏa mãn . *Đối xứng phần đồ thị trên trên miền qua trục hoành. |
Cho hàm số . Từ đồ thị hàm số ta suy diễn:
Ở phần lý thuyết có đưa ra phần đọc thêm về hàm số với
Hàm số cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin. Tương tự hàm số cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin. |
Ta có ví dụ sau:
A. | B. | ||
C. | D. |
Lời giải
Chọn C.
Ta thấy nên ta có loại A và B.
Tiếp theo với C và D ta có:
Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì
Ta thấy với thì nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.
A. | B. | ||
C. | D. |
Lời giải
Chọn D
Ta thấy nên ta loại B.
Tiếp theo ta có hàm số có chu kì tuần hoàn là
Ta thấy với thì nên ta chọn D.
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số trên trục lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Suy diễn đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số
Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số nằm bên phải trục
Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục
Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là phần bỏ đi của đồ thị hàm số
STUDY TIP Ngoài ra ở bài toán này, ta có thể áp dụng tính chất hàm chẵn lẻ mà tôi đã cung cấp ở phần xét tính chẵn lẻ của hàm số phía trước. Hàm số là hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Nhìn các phương án A, B, C, D chỉ có phương án D là không có đồ thị đối xứng qua trục Tiếp theo ta tìm giá trị của một số điểm đặc biệt và chọn được C. |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số
Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị
Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Cách 2: Ta thấy nên đồ thị hàm số hoàn toàn nằm trên trục
Từ đây ta chọn B.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
A. . B. .
C. . D. .
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
Số mệnh đề đúng là
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D. .
A. . B. .
C. D.
A. B.
C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. Hàm số có tập xác định là các đoạn .
B. Hàm số có tập xác định là các đoạn .
C. Hàm số có tập xác định là các đoạn .
D. Hàm số có tập xác định là các đoạn .
(I): Các hàm số và có chung tập xác định là .
(II): Các hàm số và có chung tập xác định là .
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
(I): Các hàm số và có chung tập xác định là
(II): Các hàm số và có chung tập xác định là .
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ
C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Không chẵn không lẻ.
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ .
C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ
I.Hàm số là hàm số lẻ.
II.Hàm số là hàm số chẵn.
III.Hàm số là hàm số lẻ.
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu .
A. . B. .
C. . D. .
A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ. D. Tập xác định .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
(I)Hàm số là hàm số lẻ
(II) Hàm số là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
(I)Hàm số là hàm số lẻ
(II) Hàm số là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ. D.Hàm số không tuần hoàn.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. có đồ thị đối xứng qua trục .
C. có đồ thị đối xứng qua trục . D. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
A. Hàm không chẳn không lẻ. B. Hàm lẻ.
C. Hàm chẳn. D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành.
A. Hàm số là hàm chẵn .
B. Hàm số là hàm lẻ .
C. Hàm số là hàm chẵn.
D. Hàm số là hàm số không chẵn không lẻ.
A. Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.
B. Đồ thị hàm số nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.
D. Đồ thị hàm số nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng.
A. . B. .
C. . D. .
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.
DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Đồng biến. B. Nghịch biến.
C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
(I): :Hàm số giảm.
(II): :Hàm số giảm.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên .
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng.
A. Hàm số tuần hoàn với chu kỳ .
B. Hàm số luôn dống biến trên mỗi khoảng .
C. Hàm số nhận đường thẳng là một đường tiệm cận.
D. Hàm số là hàm số lẻ.
A. . B. .
C. . D. .
(I): :Hàm số tăng.
(II): :Hàm số tăng.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
A. Hàm số là hàm số nghịch biến .
B. Hàm số là hàm số nghịch biến.
C. Hàm số là hàm số đồng biến.
D. Hàm số là hàm số đồng biến .
A. | B. | ||
C. | D. |
A. | B. | ||
C. | D. |
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1.
A. và . B. và . C. và D. và
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải chi tiết
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số đã cho xác định khi
Nếu giải đến đây ta có thể dễ dàng loại B,C,D vì:
Với C thì thiếu
Với B,D thì không thõa mãn.
Với A ta kết hợp gộp nghiệm thì ta được
Ở đây xác định với mọi số thực . Nên ta đi tìm điều kiện cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Mệnh đề và là đúng
Mệnh đề và là sai
Sửa lại cho đúng như sau
Hàm số có TXĐ là
Hàm số có TXĐ là
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Vậy TXĐ
Hàm số đã cho xác định khi
Vậy TXĐ
Ta có . Vậy hàm số đã cho xác định với mọi
Ta có .
Vậy hàm số đã cho xác định khi
Tương tự câu 14, hàm số đã cho xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Mà nên hàm số đã cho xác định
Vậy hàm số đã cho xác định khi
Với A thì hàm số xác định khi
Với B thì hàm số xác định khi xác định .
Với C thì hàm số xác định khi
Với D thì
Vậy ta chọn D vì các phương án trên không có phương án nào thỏa mãn hàm số có tập xác định là
Với A thì hàm số xác định khi
Với B thì hàm số xác định khi
Với C thì hàm số xác định khi
Từ đây ta chọn C do khác với A và B
Hàm số đã cho xác định khi , mà , do vậy để hàm số xác định thì
Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi đúng với mọi
Cách 2: ,tập xác định là
Với A thì hàm số xác định khi . vậy A sai.
Với B thì hàm số xác định khi
Với C thì hàm số xác định khi xác định khi . Vậy C đúng.
Ta thấy cả hai hàm số và đều xác định khi . tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi .
Hàm số xác định khi
Hàm số xác định khi
Hàm số xác định khi
Hàm số xác định khi
Hàm số đã cho xác định khi
Khoảng chứa nên hàm số không xác định trong khoảng này
Hàm số tập xác định là , Hàm số tập xác định là , suy ra (II) sai
Hàm số đã cho xác định khi
Hàm số xác định khi .
ĐK:
Tập xác định .
Ta có nên .
Mặt khác .
Hàm số đã cho xác định
Tập xác định .
Vì nên và .
Hàm số xác định .
Tập xác định của hàm số là .
Vì neen .
Hàm số xác định .
Vậy .
Hàm số xác định khi
.
Vậy tập xác định của hàm số là .
Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác.
Với A: TXĐ: .
Ta có với
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Với A: Ta có
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Với B: Ta có:
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B.
Hàm số đã cho có tập xác định .
Vậy với . Ta có .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Đáp án B.
Tập xác định của hàm số là là tập đối xứng.
Ta có
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ta loại I và II do khi thì , do đó không tồn tại.
Với III: Hàm số xác định khi .
Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.
Do vậy, ta xét .
Vậy III đúng.
Với A: Tương tự như câu 26, thì ta loại A.
Với B: Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có Vậy hàm sô ở phương án C là hàm số lẻ.
Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì nên tập xác định của hàm số đã cho không thể là hàm số chẵn.
Do .
Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là hàm số chẵn. Do vậy, ta chọn B. Thật vậy .
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ. Với các bạn tinh ý thì ta có thể chọn luôn C.
Lý giải:
Tập xác định là tập đối xứng.
. Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho.
Hàm số ở D loại vì lí do tương tự câu 26.
Hàm số A và C là hàm số lẻ. Do vậy ta chọn B.
Với A: TXĐ: .
Ta có .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ.
(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có .
Vậy (I) đúng.
(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có
.
Vậy (II) đúng.
- Với (I) ta có .
Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.
- Với (II) ta có .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số .
Ta có
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Dễ thấy hàm số là hàm số lẻ.
Với B ta có
Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ.
Với C ta có TXĐ là tập đối xứng.
Vậy hàm số ở C là hàm số lẻ. Vậy ta chọn D.
Ta chọn luôn A vì ở phần ví dụ ta có đưa ra hàm số là hàm số chẵn trên D.
Với A: Tập xác định .
Ta có
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, chứ không phải đối xứng qua gốc tọa độ.
Tập là tập đối xứng.
Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn
Vói A: Ta có vậy A đúng.
Với B : Tập xác định D là tập đối xứng .
Ta có = .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai.
Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có = . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng.
Với B : Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng .
Với C : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . Vậy C đúng .
Từ đây ta chọn D.
Bài toán trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án .
Với A : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ, (loại).
Với B : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ (loại).
Với C : Ta có = vậy ta chon C
Vì . Do đó điều kiện là vậy tập xác định của D là tập đối xứng.
Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ.
Tập xác định Với
Ta có = =
Ta thấy . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Tập xác định là tập đối xứng .
. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Dạng 3 : Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác.
Cách 1 : Ta thấy trên khoảng hàm đồng biến và hàm đồng biến , suy ra trên hàm số đồng biến.
Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số tăng trên
Ta thấy hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến khi
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số nghịch biến khi
: Hàm giảm và , suy ra tăng :
Câu (I) sai, : Hàm tăng và , , suy ra hàm giảm.
Câu (II) đúng.
Ta có = . Xét sự biến thiên của hám số , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .
Ta thấy với A. Trên thì giá trị của hàm số luôn tăng.
Tương tự trên thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.
Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng , suy ra hàm số luôn đồng biến tren mỗi khoảng . Vậy B là sai.
Ta có . Để hàm số tăng thì
Bài toán có hai hàm số mà cùng xét trên một khoảng nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập là hàm nhập g là hàm thì ta có kết quả .
Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng . Vì khi chạy từ đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi chạy từ 0 đến thì giá trị của hai hàm số đều tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai.
D sai , thật vậy với , ta có :
Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại và . Các bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.
Tương tự như câu 70 thì ta có thể loại A và B do tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D.
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm lượng giác .
Tập xác định .Ta có , . . Vậy
Ta có
Ta có
Ta có =
Ta có Dấu bằng xảy ra khi
Cách 1 : Tương tự như phần lý thuyết đã giới thiệu thì ta thấy . Vậy . Ta có . Vậy min y = 0.
Cách 2 : Ta có .
Ta có . Ta có Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.
Ta có . Vậy GTNN của hàm số là .
Ta có
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Ta có Từ đó suy ra = . Vậy
Ta có . Ta có . Do đó ta có . Vậy giá trị lớn nhát của hàm số là .
Ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi
Ta có . Dấu bằng xảy ra
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. CONG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a)
b)
c)
d)
Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình
lượng giác.
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B
A.
B.
STUDY TIP | |
C.
D.
So sánh ta được đáp án là B.
LƯU Ý: Bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết luận . Phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn công phá kỹ thuật giải toán CASIO.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng ( )
1. Phương trình (1)
- Nếu Phương trình (1) vô nghiệm do .
- Nếu
+ Xác định sao cho .
Vậy phương trình .
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là
ac-sin-m). Khi đó
STUDY TIP +) có nghiệm +) arc sin m là cung thuộc mà có sin bằng m. |
và
A. B. . C. D.
Lời giải
Chọn A
Cách 1
A. vô nghiệm do .
B. ( vì ) .
C. ( vì )
D.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2 : Sử dụng máy tính cầm tay ( MTCT).
Ta có và
Đặc biệt
Phương trình | Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác | ||
+ . | sđ. | ||
+ . | sđ. | ||
+ . |
|
2. Phương trình
- Nếu Phương trình (2) vô nghiệm (do ).
- Nếu :
+ Xác định sao cho .
Vậy phương trình .
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là ac-cos- m).
Khi đó .
sđ; sđ
STUDY TIP + là cung thuộc mà có cos bằng . + Phương trình có nghiệm . |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
A. chỉ có một nghiệm thuộc .
B.
Phương trình không có nghiệm nào thuộc '
C.
Phương trình có hai nghiệm thuộc .
D. vô nghiệm do .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dễ dàng kiểm tra trên đường tròn lượng giác .
Đặc biệt
Phương trình | Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác | ||
+ . |
| ||
+ . |
| ||
+ .. |
|
3. Phương trình
a) Phương trình
Điều kiện: - Ta xác định sao cho . Khi đó phương trình . + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là ac - tan - m). Khi đó phương trình .. | |
b) Phương trình Điều kiện: - Ta xác định sao cho . Khi đó phương trình . + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là ac - cotang - m). Khi đó phương trình . |
STUYDY TIP Phương trình luôn có nghiệm với |
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
A. .
(Với nên nghiệm dương bé nhất là )
B. .
Nghiệm dương bé nhất là .
C. Nghiệm dương bé nhất là .
D. .
Chọn Nghiệm dương bé nhất là .
Vậy giá trị nhỏ nhất là nên ta chọn đáp án A.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
.
* Kĩ năng biểu diễn và tổng hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác
1 điểm trên đường tròn lượng giác | 2 điểm đối xứng qua gốc |
4 điểm cách đều: | 3 điểm cách đều: |
n điểm cách đều: |
III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Có dạng với , t là một hàm số lượng giác
Phương pháp giải
(đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học)
STUDY TIP | |||
1. . | 2. | 3. . | 4. . |
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
A. vô nghiệm (loại phương án A).
B. Có 1 nghiệm thuộc .
C. Có 1 nghiệm thuộc .
D. Có hai nghiệm thuộc .
LƯU Ý: Để giải nhanh các bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi so sánh để đưa ra đáp án một cách dễ dàng.
B. C. D.
STUDY TIP Một số phương trình phải qua một vài bước biến đổi đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. |
A. , B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là và
Vậy
DẠNG 2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Có dạng: với là một hàm số lượng giác.
Phương pháp giải:
A. sđ . B. sđ . C. sđ . D. sđ và sđ .
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Phương trình
Với
Vậy nghiệm của phương trình là sđ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện:
Phương trình
Vậy nghiệm âm lớn nhất là
A. . B. . C.. D. .
Lời giải
Chọn B.
Phương trình
Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX:
Có dạng trong đó
Phương pháp giải:
Chia 2 vế cho ta được:
Đặt
. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
+ Phương trình có nghiệm khi:
+ Bạn có thể đặt:
Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C.
+ Ta đi tìm để phương trình có nghiệm rồi lấy phần bù
+ Ta có: Phương trình có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm suy ra phương trình vô nghiệm khi
A. . B..
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Phương trình ( chia 2 vế cho )
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C.
+ Điều kiện:
+ Phương trình
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm
Chọn
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn D.
Phương trình
Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Là phương trình dạng trong đó lũy thừa của và cùng bậc chẵn hoặc lẻ.
Phương pháp giải:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Chọn C.
+ Với . Thay vào phương trình luôn đúng
là nghiệm của
+ Với chia 2 vế cho ta được:
Kết luận: Nghiệm của phương trình là
LƯU Ý:
- Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho để đưa về phương trình bậc 2 theo tan x.
- Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Bạn đọc có thể giải theo các cách sau:
+ Xét không thỏa mãn phương trình
+ Với , chia 2 vế cho đưa về phương trình bậc 2 theo.
Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos:
(đây là phương trình bậc nhất đối với , đã học trong phần trước)
Hoặc
(đây là phương trình đẳng cấp bậc 2)
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Trường hợp 1:
Với phương trình (vô nghiệm).
Với phương trình (vô nghiệm).
Vậy không thỏa mãn phương trình.
Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:
Phương trình
Với . Với .
Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là .
Nhận xét: Đây là phương trình cùng bậc lẻ do đó có biến đổi sau:
là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với , .
STUDY TIP Có thể sử dụng đường tròn lượng giác để xác định nghiệm âm lớn nhất. Cách biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác: | ||
Đuôi có điểm. | Đuôi có điểm. | Đuôi có điểm. |
Đuôi có điểm. | Đuôi có điểm. |
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: .
Phương trình
(*)
Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho (do điều kiện)
(TMĐK)
Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là .
STUDY TIP Ở đây ta có thể từ phương trình đầu chia ngay cho sẽ nhanh hơn. Tuy nhiên nó sẽ không tự nhiên bởi bạn chưa nhận ra dạng quen thuộc của bài toán. |
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện:
Phương trình (cùng bậc lẻ)
Chia 2 vế cho (do điều kiện)
Phương trình
.
Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm là Đáp án B.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: .
Phương trình
(*)(đây là phương trình bậc 2)
Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:
Phương trình (*)
(TMĐK)
STUDY TIP (nếu có) Với , ta chia luôn 2 vế cho để khỏi phải chia 2 trường hợp, bài giải sẽ ngắn gọn hơn. Khi giải mà kết quả nghiệm có thì chia 2 vế cho và nếu kết quả nghiệm có thì chia 2 vế cho . |
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI VÀ .
Dạng: trong đó .
Phương pháp chung:
Đặt (vì ).
.
Phương trình (là phương trình bậc 2 theo )
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
(1)
Đặt .
.
Phương trình (TMĐK)
Với .
Với
Kết luận: phương trình có nghiệm có 4 nghiệm trên .
STUDY TIP Có bao nhiêu điểm biễu diễn trên đường tròn lượng giác các nghiệm của phương trình thì phương trình đó có bấy nhiêu nghiệm trên . |
Chú ý: Với phương trình: .
Đặt
(vì ).
.
Phương trình (là phương trình bậc 2 theo )
Một số sách gọi phương trình này là phản đối xứng với , .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Đặt . Điều kiện: .
.
Phương trình (TMĐK)
Với .
Với
có 2 nghiệm thuộc là và .
STUDY TIP Dạng: . Đặt . . |
Cách 2: Nhận thấy phương trình có và có nhân tử chung là nên ta có:
STUDY TIP . . |
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
(3)
Đặt
Với
Suy ra phương trình có 3 nghiệm trên là
Vậy tổng 3 nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt
Ta đi tìm để phương trình có nghiệm
có nghiệm
Xét trên
Suy ra
Vậy phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm trên
mà
Vậy có 4 giá trị thỏa mãn.
STUDY TIP Bảng biến thiên +)
+)
|
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Giải
Giải
Đặt
Vậy nghiệm của phương trình là
Biểu diễn nghiệm này trên vòng tròn lượng giác
ta suy ra nghiệm lớn nhất là và nghiệm bé nhất là
Vậy .
STUDY TIP Ba biểu thức trên cùng có nhân tử chung là . |
DẠNG IV. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:
A. . B.. C. . D..
Lời giải
Chọn D.
Phương trình
Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác
Vậy ta có 5 điểm.
Phương trình không phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây ?
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hông phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Chú ý: Bạn đọc có thể giải các phương trình đơn giản ở các phương án rồi thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra.
STUDY TIP +) Phương trình (1) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình (2) nếu tập nghiệm của phương trình (1) chứa tập nghiệm của phương trình (2). +) . |
Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Phương trình
Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6.
STUDY TIP |
Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình
Mà
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc .
STUDY TIP |
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc ?
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình
Mà nên
Vậy phương trình có 5 nghiệm trên .
Cho các phương trình sau:
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Giải :
Giải :
Giải :
Giải :
Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại.
STUDY TIP |
Phương trình có phương trình tương đương là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Phương trình
Lưu ý: Có thể thử các nghiệm trong các đáp án vào phương trình đã cho nếu thỏa mãn thì 2 phương trình tương đương.
STUDY TIP |
Phương trình có tổng các nghiệm trên là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Phương trình
Vậy tổng các nghiệm trên của phương trình là: .
Phương trình có các nghiệm là:
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Phương trình tương đương
+ Với
+ Với
(vô nghiệm)
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là .
Nhận xét:
+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích
+ Với phương trình (2) có thể giải cách khác như sau: , phương trình này vô nghiệm do
STUDY TIP có nghiệm |
Với phương trình thì:
A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Phương trình (*) xảy ra
+ Giải (I): (vô nghiệm)
+ Giải (II):
Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc .
Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sẽ tự nhiên hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác để linh hoạt khi làm bài.
STUDY TIP (1) . Mà + suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi + suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi |
Lưu ý: Đối với phương trình (1) và (2) ta có thể đưa ngay cách giải ngay bằng cách đưa về phương trình bậc 2 đối với bằng cách sử dụng công thức. Tuy nhiên một số phương trình không đưa về được như vậy. Ví dụ (bạn đọc tự giải)
Phương trình có tổng các nghiệm trong khoảng là:
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn C.
Phương trình
Xét hàm số trên .
Với ta xét biểu thức
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương
Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc là
Lưu ý: Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến trên của hàm số , xét tỉ số
+ Nếu Hàm số đồng biến trên
+ Nếu Hàm số nghịch biến trên
+ Nếu Hàm số không đổi trên
STUDY TIP + Nếu hàm sốđồng biến trên thì
|
V. Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên là và
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn D.
Phương trình
Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là:
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn B.
Phương trình
-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc .
-Giải (2) có
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc
Vậy có 1 giá trị nguyên của là
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn B.
Phương trình
Vậy
STUDY TIP |
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
pt
Lưu ý: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thì
VI. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
Với (loại vì không TMĐK)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
thì bằng:
A. B. - C. D.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
Vậy
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
=>có 2 nghiệm trên là x= và x=
Vậy tổng các nghiệm trên là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là
Vậy có hai nghiệm thuộc là và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
Ta có:
.
.
Kết hợp điều kiện nghiệm của phương trình (1) là
Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4.
Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Phương trình lượng giác cơ bản
A. và B. và
C. và D. và
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
Một số phương trình lượng giác thường gặp
A. B. C. D. 4
A. . C. D.
A. B. C. D. Vô số
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. Vô số. D. Không có .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
.
.
.
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm
A. Chỉ phương trình (1) vô nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vô nghiệm.
C. Chỉ phương trình (3) vô nghiệm. D. Cả phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc nhất đối với , .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Phương trình đẳng cấp bậc hai.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Phương trình đối xứng và các phương trình lượng giác không mẫu mực.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Một số phương trình lượng giác khác.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. Vô số. C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Phương trình lượng giác chứa tham số.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phương trình lượng giác cơ bản
Mà .
.
Biểu diễn trên đường trong lượng giác:
Vậy có họ nghiệm thuộc .
Phương trình có nghiệm khi .
Phương trình có nghiệm khi .
Phương trình .
Mà
Do nghiệm là , ,
.
Ta có
Vậy .
(Chú ý gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác)
Ta có:
Mà
Vậy có giá trị có nghiệm .
với .
Vậy nghiệm âm lớn nhất là .
Vì .
Một số phương trình lượng giác thường gặp
Vậy phương trình có nghiệm thuộc là và .
+ Với : Phương trình (vô nghiệm) không thỏa mãn.
+ Với : Phương trình xác định với mọi giá trị .
có nghiệm có nghiệm
Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn.
Vậy tổng các nghiệm trên là: .
.
Vậy .
.
Vậy tổng nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là: .
Điều kiện:
Phương trình
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là
Điều kiện: .
Ta có:
Phương trình
.
+ Với
có nghiệm
+ Phương trình có nghiệm có nghiệm khác .
không có nghiệm thỏa mãn .
Phương trình có nghiệm trên .
.
Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là .
(*)
Đặt . Xét trên .
Suy ra (*) có nghiệm .
Vậy .
Điều kiện .
Phương trình
Vậy .
Phương trình bậc nhất đối với
Phương trình có nghiệm .
.
.
.
Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là .
Nghiệm dương nhỏ nhất là , nghiệm âm lớn nhất là .
Vậy .
Phương trình đẳng cấp bậc 2.
Vậy số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là 4.
Phương trình có nghiệm
Mà .
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Phương trình
-Với không thỏa mãn phương trình.
-Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được
Điều kiện
Phương trình
.
Vây só nghiệm trên là 3.
Trên
Đặt
Yêu cầu bài toán tìm để phương trình có nghiệm trên
Phương trình có nghiệm .
Vậy có 3 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Phương trình đối xứng và các phương trình lượng giác không mẫu mực.
Đặt .
+ Với
+ Với
.
Vậy có 3 điểm biểu diễn các nghiệm.
Đặt .
Phương trình có nghiệm trên
Xét hàm số trên
Phương trình có nghiệm
Vậy các giá trị thỏa mãn.
Điều kiện .
Phương trình
Giải
Giải . Đặt , .
. Vậy .
Cách 1: Điều kiện để phương tình có nghiệm:
Cách 2: Phương trình có nghiệm
có nghiệm
.
.
.
Vậy .
Vậy có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
.
Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc .
.
Vậy phương trình có 24 nghiệm trên .
Suy ra có hai nghiệm thuộc là và .
Vậy tích hai nghiệm là .
.
Điều kiện .
Ta có
.
Phương trình
.
Vậy tổng các nghiệm âm liên tiếp lớn nhất là .
Ta có , mà.
Vậy phương tình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình có 1 nghiệm trên .
Đặt
Phương trình
Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc .
.
Điều kiện
Phương trình
.
Điều kiện .
Phương trình
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên
Vậy ta chọn đáp án C.
Vậy ta chọn đáp án D.
Điều kiện: Phương trình - Với : Không thỏa mãn phương trình - Với : Chia hai vế cho ta được: Kết hợp với điều kiện Phương trình vô nghiệm |
Điều kiện: Phương trình |
Điều kiện:
PT:
Mà
Vậy PT có 33 nghiệm trên
Phương trình lượng giác chứa tham số
có nghiệm thuộc Giải PT (1) không có nghiệm nào thuộc (*) có nghiệm có nghiệm . Chú ý: Độc giả có thể giải cách khác như sau: Có |
PT có đúng hai nghiệm
Giải (1): có hai nghiệm thuộc
=> Phương trình có hai nghiệm thuộc
(2) vô nghiệm hoặc (2)
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
Chú ý:
Đặt , phương trình
Bảng biến thiên:
=> Phương trình (*) có nghiệm
. Vậy a + b = -8
Điều kiện:
+ Từ m = 0 loại do điều kiện phương trình (*) vô nghiệm.
+ Với
=> (*) có nghiệm khi (1)
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.
Giải (1): luôn có 2 nghiệm
phương trình có nghiệm.
Đặt
=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm
có nghiệm
Bảng biến thiên:
=> Phương trình có nghiệm
Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018
+ Với thì
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới