Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BẤT ĐẲNG THỨC

Vấn đề cần nắm:

1. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chủ đề 4

Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số,…

Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.

🟄🟄🟄

A. Lý thuyết

I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1. Bất đẳng thức

Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “”, “”, “”, “” được gọi là những bất đẳng thức.

STUDY TIP

Đặc biệt, nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu hoặc ; nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D thì ta ký hiệu hoặc .

Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là , nếu:

(1) M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là , nếu:

(1) với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP

1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết

a. Nội dung phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình; sử dụng tính chất của hàm số; sử dụng dồn biến; sử dụng dấu tam thức bậc hai; sử dụng phản chứng.

(1): .

(2): với mọi x sao cho xác định.

Đặc biệt, .

(3): , với mọi a, b, c.

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

a) Ta có . ĐKXĐ:

Với mọi , ta có: .

Do đó .

Ta có .

Vậy và .

b) Với thì .

Ta có .

Với mọi x thuộc đoạn thì

.

Do đó , .

Mặt khác .

Vậy và ./.

Lời giải

Điều kiện: .

Ta có , suy ra .

, suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.

Lời giải

a) Ta có .

Suy ra .

STUDY TIP

Khi học về đạo hàm, chúng ta có thể tìm ra biểu thức một cách đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán được . Với thì . Sau đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Tiếp tuyến đó có phương trình là .

Dấu bằng xảy ra khi hoặc .

b) Từ giả thiết, ta có .

Tương tự, ta cũng có và .

Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn .

Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:

.

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ./.

2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp)

a. Nội dung phương pháp

(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .

- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

1. .

2. .

(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .

- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

1. 2. .

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

a) Do nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện ).

Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

b) Do nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

c) Ta có .

Do nên ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

d)

STUDY TIP

Ngoài lời giải trình bày ở bên, chúng ta có thể sử dụng một cách chung nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất đối với hàm số, đó là sử dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12 và bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

.

Từ giả thiết ta có . Do đó

.

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.

Lời giải

Ta có .

a) Khi thì .

Đẳng thức xảy ra khi .

b) Khi thì .

Đẳng thức xảy ra khi ./.

3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)

a. Nội dung phương pháp

(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).

- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: .

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ và thì do ta luôn có nên .

(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có

Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).

- Hình thức khác của bất đẳng thức này là

.

STUDY TIP

Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công phá Toán 3.

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ và thì do ta luôn có nên .

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

.

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

Lời giải

a) Đặt , với .

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).

Với mọi , ta luôn có .

Có .

Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy, .

Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).

Ta có .

Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy, .

Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).

Ta có .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

STUDY TIP

Ngoài các cách trình bày ở bên, ví dụ này còn có thể giải theo cách lập bảng biến thiên của hàm số (có sử dụng công cụ đạo hàm - sử dụng kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

Vậy, .

b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).

Ta có .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

Lời giải

a) Ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi

hoặc .

Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ; đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi .

b) Ta có .

.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi ./.

4. Sử dụng kiến thức hình học

a. Nội dung phương pháp

Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận.

Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.

- Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là ).

- Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương .

- Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi ngược hướng

hoặc .

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi cùng hướng

hoặc .

- Kết quả 4: Cho đường tròn và điểm A nằm ngoài . Gọi M là điểm tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức .

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn , trong đó M nằm ngoài đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức .

- Kết quả 5: Cho hai đường tròn và ngoài nhau (tức là ). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc và .

Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường tròn và , trong đó M, N thuộc đoạn , tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức .

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường tròn và , trong đó M, N nằm ngoài đoạn , tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức .

- Kết quả 6: Cho đường tròn và đường thẳng không cắt đường tròn. Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng . Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn , tức là M thỏa mãn hệ thức .

* Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn:

STUDY TIP

Khi sử dụng một kết quả nào đó trong các kết quả nên trên vào việc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chúng ta lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra để có sự điều chỉnh hình thức tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ một cách phù hợp.

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

a) Ta có .

Xét hai vectơ và . Khi đó

và .

Mặt khác, ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng .

b) Cách 1: Xét hai vectơ và .

Suy ra và .

Ta có .

Mặt khác, ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng

.

Cách 2: Xét ba điểm .

Khi đó và đường thẳng EF có phương trình là .

Ta có .

Vì ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay .

c) Xét hai vectơ và .

Suy ra và .

Ta có .

Mặt khác, ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng .

Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

Lời giải

Ta có .

Xét điểm và điểm thì M và N lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng .

Đường tròn có tâm và bán kính .

Ta có .

Mặt khác với mọi điểm thì . Do đó .

Ta lại có .

STUDY TIP

Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo cách này chúng ta không cần phải chỉ ra giá trị cụ thể của x để đẳng thức xảy ra nữa (vì chúng ta đã có điều kiện tồn tại x để đẳng thức xảy ra rồi).

Vậy, hay ./.

5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình

a. Nội dung phương pháp

Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau đây:

(1) Phương trình , có nghiệm khi và chỉ khi .

(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho là .

(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho là

.

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

Vì với mọi nên hàm số xác định trên .

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình

có nghiệm

có nghiệm

(1) có nghiệm.

Trường hợp 1: .

Khi đó (1) trở thành .

Trường hợp 2: .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm

.

Kết hợp hai trường hợp ta có

Với ta tìm được .

Với ta tìm được .

Vậy, và ./.

STUDY TIP

Ngoài cách giải này, chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (đây là cách làm có tư tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối với mọi đối tượng học sinh) mà chúng ta sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12.

Lời giải

Hệ điều kiện đã cho được viết lại là (*).

Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay .

Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương tự ta cũng có . Vậy, ./.

6. Sử dụng tính chất của hàm số

a. Nội dung phương pháp

Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, chúng ta cần biết một số kiến thức sau đây:

(1) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai .

(2) Xét hàm số bậc nhất trên đoạn . Khi đó,

STUDY TIP

Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số mà công cụ hiệu quả, có đường lối, tư duy rõ ràng là sử dụng công cụ đạo hàm (được nghiên cứu đầy đủ ở chương trình lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

và .

Đặc biệt: - Nếu thì .

- Nếu thì .

(3) Xét hàm số bậc hai trên đoạn .

Tính . Khi đó

- Nếu thì

- Nếu thì

(4) Xét hàm số xác định trên đoạn .

Khi đó, .

(5) Xét hàm số , trong đó với . Khi đó .

Đặc biệt, với thì .

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

a) Với thì .

Ta có .

Xét hàm số trên đoạn . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có

.

Vậy, và .

Chú ý: Chúng ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng cách đơn giản như nêu ở phần lý thuyết. Cụ thể:

Ta có và nên

và .

b) Đặt (ĐK: ). Suy ra .

Do đó .

Với thì theo ý a) ta có .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

Do đó .

Suy ra .

Vậy, và ./.

Lời giải

Ta luôn có và .

Do đó, kết hợp với giả thiết ta có .

Đặt thì và .

Suy ra, .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

Do vậy .

+) hoặc .

+) (hệ có nghiệm .

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng 33 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng ./.

7. Sử dụng dồn biến

a. Nội dung phương pháp

Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức là một kỹ thuật làm giảm số biến trong bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến,… Trong các kỳ thi Trung học phổ thông chúng ta thường chỉ gặp các bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với những kỹ thuật dồn biến khá là cơ bản như đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; …

Một số đánh giá thường sử dụng thì đã được nêu ở các phần trên, ngoài ra còn cần chú ý đến một vài đánh giá như: Với thì

(1)

(2) , với

Một số cách đổi biến thường gặp là hoặc hoặc hoặc ; hoặc Bên cạnh việc đổi biến số, chúng ta thường sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc kinh điển để tìm tập giá trị của biến mới.

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

Đặt thì hoặc .

Từ cách đặt, ta có .

Do hoặc nên hoặc .

Vậy, . Đẳng thức xảy ra khi ./.

Lời giải

Vì nên

.

Đặt (ĐK: ), ta được .

Lại có nên .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

Suy ra, .

Vậy, Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi .

Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi

hoặc ./.

Lời giải

Ta có và .

.

Đặt thì và .

Xét hàm số trên nửa khoảng . Bảng biến thiên của hàm số là:

Do đó .

Vậy, P đạt giá trị lớn nhất bằng 7; khi ./.

8. Sử dụng dấu tam thức bậc hai

a. Nội dung phương pháp

- Định lý (về dấu tam thức bậc hai):

Cho tam thức bậc hai .

+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .

+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .

+ Nếu thì có hai nghiệm và (). Khi đó, trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (tức là với ) và cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc ).

- Hệ quả: Từ định lý về dấu tam thức bậc hai ta rút ra các hệ quả sau đây:

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

Cách 1: (Biến đổi tương đương)

Ta có

.

Cách 2: (Sử dụng dấu tam thức bậc hai)

Xét .

Có

.

Suy ra, .

Vậy, ./.

Lời giải

Xét tam thức bậc hai .

Ta có .

Vì nên . Do đó .

Mặt khác hệ số của bằng nên

./.

9. Sử dụng phản chứng

a. Nội dung phương pháp

Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau:

b. Ví dụ minh họa

Lời giải

Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sia. Khi đó .

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được

(*).

Mặt khác, với thì nên

.

Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng./.

B. Các dạng toán điển hình

Trong phần này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp nêu trên.

Dạng 1

Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết

STUDY TIP

Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ.

Lời giải

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.

Xét phương trình

.

Vậy .

Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

Ta có .

Do nên . Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Đáp án C.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Lời giải

Điều kiện: .

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

- Kiểm tra phương án B:

Xét phương trình

(điều này không thể xảy ra vì ).

- Kiểm tra phương án A:

Xét phương trình

STUDY TIP

Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ thuộc .

Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì . Thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .

Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

Với mọi , ta có .

Đẳng thức xảy ra khi .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .

Đáp án A.

Lời giải

Ta có .

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 0.

Đáp án B.

Lời giải

Với thì và nên biểu thức M xác định khi .

Ta có .

.

Vậy, biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi .

Do đó .

Đáp án D.

Lời giải

Ta có:

.

.

Vì x, y, z không âm nên và .

và .

Vậy và .

Đáp án A.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số nguyên của biểu thức là:

A. 0 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 3: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số giá trị nguyên của biểu thức là:

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Câu 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của biểu thức . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S.

A. 415 B. 451 C. 366 D. 2025

Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng biểu thức nhận giá trị là số nguyên tố p khi hoặc . Giá trị của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có . Đẳng thức xảy ra (tức là ) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm .

Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên .

Khi thì .

Đẳng thức xảy ra khi .

Vậy, với thì . Suy ra và .

Do đó .

Đáp án A.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một số dương.

A. B. C. D.

Câu 2: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện . Tỷ số nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 3: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị của bằng:

A. 12 B. 30 C. 36 D. 52

Câu 4: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Dạng 2

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

STUDY TIP

1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp mà cụ thể là dựa vào điều kiện tồn tại giá trị của biến để đẳng thức xảy ra. Nếu kiểm tra không đúng thì kiểm tra đến những giá trị tiếp theo là ; ; cho đến khi tìm được phương án đúng.

2. Đối với trường hợp tìm giá trị lớn nhất thì chúng ta kiểm tra từ giá trị lớn nhất đến giá trị nhỏ nhất trong bốn giá trị cho trước đến khi tìm được phương án đúng.

Lời giải

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước.

Ta có .

Đáp án D.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là:

A. 4 B. C. D.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 3. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:

A. B. C. D.

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 5. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi .

Vậy .

Đáp án A.

Lời giải

Hàm số xác định trên đoạn .

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

Ta có .

Với thì nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Suy ra .

Vậy .

Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Nhận thấy với thì nên loại ngay phương án B và C. Kiểm tra phương án D trước (vì ).

Ta có . Vậy .

Đáp án D.

Lời giải

Từ giả thiết ta có . Do nên suy ra .

Với thì .

Do đó .

Vì nên . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi .

Vậy .

Đáp án B.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

1. Qua kết quả trên đây, chúng ta có thể đề xuất một số câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5 B. một số vô tỷ lớn hơn 5

C. một số hữu tỷ lớn hơn 5 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5

Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b là các số thực dương. Giá trị của bằng:

A. 7 B. 13 C. 17 D. 22

Câu 3: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Giá trị của là:

A. một số nguyên dương B. một số hữu tỷ dương

C. một số vô tỷ lớn hơn 1 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1

2. Khi học về hàm số lôgarit (Giải thích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức khác nhưng bản chất giải quyết vấn đề thì không có gì thay đổi. Chẳng hạn:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có . Do nên . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy khi .

STUDY TIP

Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với có thể dựa vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

Đáp án D.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Gọi S là tập hợp các giá trị của , tính tổng bình phương các phần tử của S.

A. 932 B. 2560 C. 1764 D. 4096

Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi , tính .

A. B. C. D.

Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. B.

C. D.

Lời giải

Từ giả thiết, ta có

.

STUDY TIP

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng , với , chúng ta có thể tiến hành theo một trong ba cách sau đây: Một là, đánh giá , với ; hai là, đánh giá , với ; ba là, đánh giá và , với , , .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Tương tự, ta cũng có .

Lại có .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi .

Vậy khi .

Đáp án C.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Dạng 3

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Lời giải

Điều kiện

+) Với mọi , ta có (TMĐK) .

+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi (TMĐK).

Do đó . Vậy .

Đáp án D.

Lời giải

- Điều kiện: . Với điều kiện này thì .

- Với mọi , ta có

.

Suy ra (TMĐK).

- Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra (TMĐK).

Vậy và . Suy ra .

Đáp án B.

c

Lời giải

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Do đó .

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy, .

Cách 2: (Sử dụng kiến thức hình học)

Đặt . Từ giả thiết suy ra .

Từ cách đặt và , ta có .

Xét trong hệ trục tọa độ OXY, thì phương trình là phương trình đường tròn có tâm , bán kính , còn là phương trình đường thẳng .

Do tồn tại x, y nên cũng tồn tại X, Y. Suy ra và phải có điểm chung

.

Vậy, .

Cách 3: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình)

Ta có .

Thay vào giả thiết, ta được

.

Do tồn tại x, y nên phương trình trên phải có nghiệm

.

Vậy, .

Lời giải

Ta có . Do vậy áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi

hoặc .

Suy ra và S có 25 số nguyên dương.

Dạng 4

Đáp án C.

Sử dụng kiến thức hình học

Lời giải

Ta có nên hàm số xác định trên .

Xét hai vectơ và thì và .

STUDY TIP

Khi học về phương trình, chúng ta cũng có thể gặp một hình thức khác của dạng toán này. Đó là, giải phương trình:

Do nên .

Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi cùng hướng .

Vậy .

Đáp án B.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. một số hữu tỷ nhỏ hơn 8 B. một số vô tỷ lớn hơn 6

C. một số vô tỷ nhỏ hơn 5 D. một số nguyên lớn hơn 8

Câu 2. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm:

A. thuộc khoảng B. thuộc khoảng

C. thuộc khoảng D. thuộc khoảng

Câu 3. Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng:

A. 1 B. 9 C. 21 D.

Cũng từ bài toán trên cùng với cách giải của nó, chúng ta có thể phát triển bài toán thành các bài toán sau đây:

Câu 1. Cho hai số thực bất kỳ x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. B. C. 9 D. 7

Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 5 B. 7 C. D.

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 5 B. D. D.

Câu 4. Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

STUDY TIP

Trong lời giải này, chúng ta không cần phải chỉ ra tọa độ của điểm P để đẳng thức xảy ra vì ở phần kiến thức cần biết chúng ta đã chỉ ra sự tồn tại và cách xác định điểm P rồi. Nêu câu hỏi có liên quan đến điều kiện để đẳng thức xảy ra thì chúng ta cần phải chỉ ra tọa độ của P. Ta có:

; .

Đến đây thì bạn đọc có thể tự đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F và điều kiện để đạt được giá trị đó.

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có (*).

Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thì (*) là phương trình đường tròn có tâm , bán kính .

Gọi là điểm tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó .

Ta có nên O nằm ngoài .

Với mọi điểm , ta có .

Suy ra và .

Đáp án C.

Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp bài toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lại về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây:

Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn . Môđun lớn nhất của số phức z là:

A. B.

C. D.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Cách 1: (Lời giải đại số)

Ta có và

.

Sử dụng phương pháp miền giá trị, ta có: .

. Do đó, giá trị lớn nhất của là .

Cách 2: (Lời giải hình học)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng

và .

Nhận thấy luôn đi qua điểm cố định luôn đi qua điểm cố định và vuông góc với nhau.

Điểm là giao điểm của và thì M thuộc đường tròn đường kính AB có tâm , bán kính .

, với . Có nên J nằm ngoài .

Với mọi thì

.

Do đó, giá trị lớn nhất của L là .

Đáp án C.

Lời giải

Ta có:

(*).

Xét hai vectơ và .

Ta có .

STUDY TIP

Nếu chúng ta chỉ tập trung biến đổi đại số điều kiện đã cho thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp. Dấu hiệu để chúng ta có thể nhận dạng sử dụng hình học để giải là biểu thức dưới căn bậc hai viết được dưới dạng tổng bình phương của hai số. Qua lời giải bên, bạn đọc tự đề xuất những câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và điều kiện để đạt được các giá trị đó.

Do vậy, (*) trở thành .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

.

Khi thì .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

Suy ra .

Do đó và .

Đáp án B.

Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp dạng toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lạ về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây.

Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .

A. B.

C. D.

Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .

A. B. C. D.

Lời giải

Hệ thức đã cho được viết lại thành .

Xét các điểm và . Khi đó, hệ thức đã cho trở thành , còn biểu thức .

Dễ thấy I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (khi đó MAB là tam giác cân tại M và có có nghĩa là tồn tại M).

Đáp án D.

Dạng 5

Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình

STUDY TIP

Lời giải tự luận trong ví dụ này ngoài cách được trình bày theo miền giá trị của hàm số thì chúng ta còn có thể sử dụng bảng biến thiên của hàm số (dựa vào công cụ đạo hàm trong chương trình Giải tích 12).

Lời giải

Cách 1: (Lời giải tự luận)

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .

Khi đó phương trình (*) có nghiệm.

- Trường hợp 1: .

(*) trở thành .

- Trường hợp 2: .

(*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp hai trường hợp, ta có và .

Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

- Kiểm tra phương án A.

Ta có .

Đến đây, chúng ta không đánh giá được , tức là nên giá trị lớn nhất của hàm số không phải là 1. Do đó, loại phương án A.

- Kiểm tra phương án B.

+) .

+) .

Do vậy, phương án đúng là B (lúc này không cần kiểm tra các phương án còn lại nữa vì trong hai phương án còn lại giá trị lớn nhất nhỏ hơn 9).

Cách 3: (Sử dụng cách loại trừ)

Ta có nên .

Do đó, các phương án A, C và D không phù hợp.

Đáp án B.

Nhận xét: Từ lời giải tự luận của ví dụ này, với chú ý rằng và , chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính trung bình cộng của M và m.

A. 8 B. 4 C. D. 2

Câu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của hàm số . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

A. 11 B. 10 C. 9 D. 5

Câu 3: Biết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất khi và đạt giá trị nhỏ nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính tổng bình phương của M và m.

A. 82 B. 80 C. 64 D. 100

Câu 5: Biết rằng tồn tại các số thực c, d để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 6: Trong các cặp số thỏa mãn thì là cặp số mà y đạt giá trị lớn nhất. Trung bình nhân của và bằng

A. B. C. D.

Câu 7: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng không. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính .

A. B. C. D.

Câu 8: Xét các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn và biểu thức . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S. Kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá p, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .

Khi đó phương trình có nghiệm

(*) có nghiệm.

- Trường hợp 1: .

(*) trở thành .

- Trường hợp 2: .

(*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có và .

Đáp án D.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho a là số thực khác 0. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo a. Tính tổng bình phương của m và M.

A. 144 B. C. D.

Câu 2: Gọi T là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng . Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

A. 0 B. C. D.

Câu 3: Cho a là số thực thỏa mãn . Số giá trị của a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất là

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 4: Cho a là số thực dương. Biết rằng tập giá trị của hàm số là đoạn và tồn tại a để . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 5: Gọi S là tập hợp các số nguyên a sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đều là các số nguyên. Tập hợp S gồm bao nhiêu phần tử?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 8

Lời giải

Từ giả thiết, ta có .

- Nếu thì từ giả thiết ta có . Suy ra .

- Nếu thì , trong đó .

Ta có (*).

STUDY TIP

1. Lời giải bên cũng là một ví dụ cho cách dồn biến thông qua đổi biến . Ngoài lời giải trên thì ví dụ này còn được giải dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác thông qua việc đổi biến (một cách dồn biến khác) như ; . Bạn đọc có thể tìm hiểu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trong cuốn sách Công phá Toán 2.

2. Ví dụ này được chuyển sang dạng trắc nghiệm khách quan dựa trên câu IV.2 đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2018.

+) Với thì (*) trở thành .

+) Với thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp hai trường hợp, ta có và .

Đáp án A.

Nhận xét: Từ lời giải ở trên, với chú ý rằng thì và thì , chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. một số nguyên dương B. một số nguyên âm

C. một số vô tỷ dương D. một số vô tỷ âm

Câu 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng:

A. 53 B. 67 C. 34 D. 62

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức . Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi , tính giá trị của .

A. B. C. D.

Câu 5: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi . Tính giá trị của biểu thức .

A. 96 B. C. 48 D.

Lời giải

- Nếu thì từ điều kiện suy ra . Do đó, .

- Nếu thì , với .

Suy ra (*).

+) thì (*) trở thành .

+) thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi . Suy ra .

Kết hợp hai trường hợp, ta luôn có . Vậy, .

Đáp án B.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của biểu thức là

A. một số nguyên dương B. một số vô tỷ dương

C. một số nguyên tố D. một số chính phương

Câu 2: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi S là tập giá trị của biểu thức . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu số nguyên tố?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 12

Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức là một số nguyên m. Gọi S là tập hợp các ước số dương của m. Tổng các phần tử thuộc S bằng

A. 28 B. 27 C. 15 D. 16

Câu 4: Xét hệ phương trình , với a là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hệ phương trình có nghiệm.

A. 13 B. 12 C. 4 D. 5

Lời giải

Điều kiện: và .

Từ giả thiết, ta có .

Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Cô-si)

Từ điều kiện đã cho ta có .

.

+) Do nên

.

Đẳng thức xảy ra khi hoặc .

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Do đó ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi .

STUDY TIP

Ví dụ này được chuyển sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan dựa vào câu 1, đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2005 (VMO 2005).

Vậy và .

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm)

Đặt và , với .

Từ điều kiện ban đầu, ta có .

Điều kiện tồn tại các số a, b không âm thỏa mãn là

.

Lại do nên .

Vậy và .

Đáp án C.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức là

A. một số nguyên dương nhỏ hơn 7 B. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 7

C. một số nguyên dương lớn hơn 20 D. một số vô tỷ lớn hơn 20

Câu 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng , trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Giá trị lớn nhất của là

A. 25 B. 73 C. 75 D. 199

Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Biết rằng khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì x có dạng , trong đó p, q là các số nguyên dương. Giá trị của bằng

A. 25 B. 36 C. 55 D. 66

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Gọi S là tập giá trị của biểu thức . Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp S?

A. 3 B. 9 C. 10 D. 12

Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm

.

A. B.

C. D.

Câu 6: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn . Tập giá trị của biểu thức là

A. B. C. D.

Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính tổng bình phương của M và m.

A. B. 10 C. 17 D. 16

Câu 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức là

A. B. C. D.

Dạng 6

Sử dụng tính chất của hàm số

STUDY TIP

Qua lời giải trên chúng ta tìm được

.

Lời giải

Đặt . Do nên .

Hàm số đã cho trở thành .

Ta có và nên .

Đáp án D.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .

A. B. C. D.

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. 50 B. 5 C. 1 D. 122

Câu 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là:

A. 5 và B. và C. và D. và

Câu 4: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 1.

A. B. C. D.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên đoạn và .

STUDY TIP

Trong cách 1 thì chúng ta không biết được hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại điểm nào. Còn trong cách 2 lời giải tuy hơi dài nhưng chúng ta biết được hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu và đạt được khi nào.

Cách 1: Vì và nên

.

Cách 2: Xét hiệu .

- Nếu thì (loại).

- Nếu thì (nhận).

- Nếu thì . Do đó không thể xảy ra .

Vậy .

Đáp án C.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là:

A. 1 và 3 B. 0 và C. 0 và 1 D. và 0

Câu 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị của biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 3: Cho hàm số (m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng khi m nhận giá trị bằng:

A. B. 1 C. 0 D.

Câu 5: Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên đoạn .

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có . Suy ra, bảng biến thiên của hàm số trên đoạn là

Do đó, với mọi thì . Suy ra .

Vậy, nên . Khi đó, S có 8 phần tử.

Đáp án A.

Lời giải

Ta có .

STUDY TIP

Qua lời giải bên, chúng ta tìm được .

+) .

+) .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

Suy ra hay , đạt được khi .

Đáp án A.

Lời giải

Điều kiện: .

Đặt . Ta có .

+) Do nên hoặc .

+) Lại do nên .

Đẳng thức xảy ra khi .

Từ cách đặt, ta có , với .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và nên .

Suy ra .

Đáp án B.

Dạng 7

Sử dụng kỹ thuật dồn biến

Lời giải

Ta có

Đặt . Do nên .

Suy ra .

Do nên .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và nên và . Do đó và .

Đáp án C.

Lời giải

Với a và b dương, , ta luôn có (*).

Thật vậy, (*)

, luôn đúng với a và b dương, .

Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi hoặc .

Với x và y thuộc đoạn và (tức ), ta có

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc .

Đặt thì . Khi đó .

Ta có và . Ta sẽ chỉ ra .

Thật vậy,

hay .

Đẳng thức xảy ra khi (khi đó ).

Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng .

Dạng 8

Đáp án C.

Sử dụng dấu tam thức bậc hai

Lời giải

Đặt

.

- Nếu thì với mọi x, z không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì với mọi x, y không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì

.

.

Kết hợp các trường hợp, ta có .

Do đó, trong tập hợp S có 27 số nguyên.

Dạng 9

Đáp án A.

Sử dụng phản chứng

Lời giải

Cách 1: (Lời giải tự luận)

Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Do đó:

.

Với mọi , ta lại có nên

.

Suy ra, điều giả sử là sai hay trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức là sai.

Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)

Cho thì (I) là đúng, còn (II) và (III) là sai nên loại ngay được các phương án A và B.

Cho thì (I) và (II) là đúng, còn (III) là sai nên loại được phương án D.

Đáp án C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 193

Câu hỏi ở mức độ nhận biết

Câu 1: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B. .

C.

D.

Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 4: Cho a, b là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Bất đẳng thức nào dưới đây KHÔNG tương đương với bất đẳng thức ?

A.

B.

C.

D.

Câu hỏi ở mức độ thông hiểu

Câu 6: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 7: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là luôn đúng?

A. B.

C. D.

Câu 8: Nếu thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

Câu 10: Cho x, y, z là độ dài các cạnh của một tam giác và biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho biểu thức , với , . Biểu thức F đạt giá trị lớn nhất nếu cặp nhận giá trị:

A. B.

C. D.

Câu 12: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khi x nhận giá trị nào dưới đây?

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2

Câu 13: Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x nhận giá trị nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 14: Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn khi:

A. B.

C. D.

Câu 15: Cho các số thực x, y thỏa mãn hệ:

.

Biểu thức đạt giá trị bé nhất khi cặp nhận giá trị:

A. B.

C. D.

Câu 16: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 3 C. D.

Câu 17: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 3 B. 4 C. 3 D. 7

Câu 18: Hàm số đạt:

A. giá trị lớn nhất bằng 15

B. giá trị nhỏ nhất bằng 6

C. giá trị lớn nhất bằng 6

D. giá trị nhỏ nhất bằng 15

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là:

A. B. 1 C. 3 D. 9

Câu 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện và xét các bất đẳng thức:

(I): ; (II): ; (III): .

Mệnh đề nfao dưới đây đúng?

A. Chỉ (I) đúng B. Chỉ (II) đúng

C. (I) và (II) đúng D. (II) và (III) đúng

Câu 21: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn và xét các bất đẳng thức:

(I): ; (II): ;

(III): .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Chỉ (I) đúng

B. Chỉ (II) đúng

C. (I) và (II) đúng

D. (I), (II) và (III) đúng

Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương và xét các bất đẳng thức: ;

(II): ;

(III): .

Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Câu 23: Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn . Xét các bất đẳng thức sau:

(I): (II):

(III): ; (IV):

Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Câu 24: Tập giá trị của biểu thức là:

A. B.

C. D.

Câu 25: Cho a, b là hai số thực không âm thỏa mãn . Tập giá trị T của là:

A. B.

C. D.

Câu 26: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. 54 B. 201 C. 9 D. 2

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 28: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng . Số phần tử của tập hợp S là:

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

Câu 29: Biết rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt được lần lượt tại và . Giá trị của bằng:

A. 49 B. 19 C. 39 D. 109

Câu 30: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính giá trị của biểu thức .

A. B.

C. D.

Câu 31: Tập giá trị của hàm số:

có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 32: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tổng bằng:

A. 27 B. 24 C. 18 D. 36

Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

.

A. B.

C. D.

Câu 34: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 2 B. C. D.

Câu 35: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn hệ thức . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

bằng:

A. 53 B. 56 C. D.

Câu 36: Xét các tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và chu vi bằng 2. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Giá trị của bằng:

A. 19 B. 4 C. 14 D. 11

Câu 37: Xét các số thực x, y thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. một số hữu tỉ lớn hơn 3

B. một số vô tỉ lớn hơn 3

C. một số vô tỉ nhỏ hơn 3

D. một số nguyên nhỏ hơn 3

Câu 38: Xét các số thực x, y thỏa mãn và . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Giá trị của bằng:

A. B.

C. 70 D.

Câu 39: Xét các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. B.

C. 3 D. 4

Câu 40: Cho hai tập hợp bằng nhau:

.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tổng của M và m bằng

A. 7210 B. 6076

C. 6350 D. 7574

Câu 41: Xét các số thực x, y, z thuộc đoạn và có tổng bằng 5. Số giá trị của bộ số khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất là

A. 1 B. 3 C. 6 D. Vô số

Câu 42: Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của bằng

A. 4 B. 5 C. 7 D. 6

Câu 43: Cho a, b là hai số thực không âm, còn c là số thực bất kỳ thỏa mãn . Tập giá trị của biểu thức có bao nhiêu số nguyên dương?

A. 15 B. 11 C. 10 D. 13

Câu 44: Biết rằng tồn tại các giá trị của a và b sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 3. Tính .

A. 8 B. 3 C. 7 D. 22

Câu 45: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất đều là các số nguyên. Tính giá trị của , biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên

A. 36 B. 34 C. 41 D. 25

Câu 46: Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện . Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng khi , trong đó a, b là các số nguyên dương, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

A. 19 B. 382 C. 46 D. 43

Câu 47: Cho p, q là hai số cho trước và khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

.

A.

B.

C.

D. .

Câu 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn và với mọi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B.

C. D.

Câu 49: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn và . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Tính trung bình cộng của M và m.

A. 40 B. 80 C. D.

Câu 50: Cho a, b, c là ba số thực có tổng bằng 2019 và thỏa mãn , , . Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Tính .

A. 107070 B. 3676938

C. 3795203 D. 80974

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV

Xem đáp án chi tiết tại trang 196

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Cho còn c là số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D. , .

Câu 3: Cho x là số thực tùy ý. Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. đạt giá trị nhỏ nhất khi

B. có giá trị nhỏ nhất bằng

C. có giá trị lớn nhất bằng

D. đạt giá trị lớn nhất khi

Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho hàm số với . Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi:

A. B. C. D.

Câu 7: Với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 2 C. D. 6

Câu 8: Cho x, y là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương và xét biểu thức

.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho a, b là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 3 B. 1 C. D.

Câu 12: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 8 B. 64 C. 16 D. 36

Câu 13: Cho . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 14: Hàm số đạt:

A. giá trị lớn nhất bằng 673

B. giá trị nhỏ nhất bằng 673

C. giá trị lớn nhất bằng 2019

D. giá trị nhỏ nhất bằng 2019

Câu 15: Cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. 4 B. 3 C. 6 D.

Câu 16: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 17: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 3 C. 4 D. 2

Câu 18: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 19: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

A. B. hoặc

C. D.

Câu 20: Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:

A. và B. và

C. và D. và

Câu 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của là:

A. 4 B. 2 C. 1 D.

Câu 22: Cho a, b, c là các số thực dương và xét các bất đẳng thức sau: (I): ;

(II): ;

(III): .

Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:

A. 0 B. 3 C. 1 D. 2

Câu 23: Cho x, y, z là ba số thực dương có tích bằng 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 24: Cho a là số thực thay đổi, luôn thuộc đoạn và xét biểu thức . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 25: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 2 B. 7 C. 3 D.

Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:

A. B. 1 C. 3 D.

Câu 27: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của ab bằng:

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

Câu 28: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức . Biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì trường hợp nào dưới đây xảy ra?

A. B.

C. D.

Câu 29: Cho a, b là hai số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn . Khi tích ab đạt giá trị lớn nhất thì xảy ra trường hợp nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 30: Cho hai số dương x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn . Giá trị của xy là lớn nhất khi và chỉ khi

A. B.

C. D.

Câu 31: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là các số nguyên. Biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho có đúng 11 số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 32: Biết rằng hàm số:

đạt giá trị nhỏ nhất tại mọi . Giá trị của bằng:

A. B. C. 8 D. 7

Câu 33: Cho m là tham số, còn x, y là các biến số thay đổi. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. B. 68 C. 0 D.

Câu 35: Biết rằng là đa thức thỏa mãn:

.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị của bằng

A. 147 B. 119 C. 151 D. 123

Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số:

với .

A. B. C. D.

Câu 37: Cho a, b, c là các số thay đổi thuộc . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 38: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Trung bình cộng của M và m bằng:

A. B. C. 11 D. 22

Câu 39: Gọi S là tập giá trị của hàm số

Trong tập hợp S có bao nhiêu số nguyên?

A. 6 B. 3 C. 2 D. 5

Câu 40: Cho x, y, z, t thỏa mãn và . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức bằng , trong đó m, n, p là các số nguyên dương. Giá trị lớn nhất của bằng

A. 82 B. 20 C. 81 D. 104

Câu 41: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là

A. 25 và B. 625 và

C. 24 và D. 24 và

Câu 42: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 43: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức .

A. 12 và 108 B. 16 và 108

C. 12 và 36 D. 8 và 36

Câu 44: Xét các tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn . Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 2018 B. 8072 C. 1009 D. 4036

Câu 45: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

A. B.

C. D.

Câu 46: Cho các số thực x, y, z có tổng bằng 5 và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B. 4 C. D.

Câu 47: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:

A. B. 10 C. 1 D. 5

Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

A. B. C. D.

Câu 49: Biết rằng hệ có hai nghiệm là và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

Câu 50: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng đối với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

?

A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số nguyên dương

B. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số hữu tỷ dương

C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số vô tỷ dương

D. Giá trị lớn nhất và số hữu tỷ dương còn giá trị nhỏ nhất là số nguyên dương

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 4

I. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Câu 1: Đáp án B.

Câu 2: Đáp án D.

Câu 3: Đáp án D.

Câu 4: Đáp án D.

Câu 5: Đáp án B.

Câu 6: Đáp án C.

Câu 7: Đáp án B.

Câu 8: Đáp án C.

Câu 9: Đáp án C.

Câu 10: Đáp án B.

Câu 11: Đáp án B.

Câu 12: Đáp án C.

Câu 13: Đáp án D.

Câu 14: Đáp án C.

Câu 15: Đáp án C.

Câu 16: Đáp án A.

Câu 17: Đáp án B.

Câu 18: Đáp án D.

Câu 19: Đáp án C.

Câu 20: Đáp án D.

Câu 21: Đáp án C.

Câu 22: Đáp án C.

Câu 23: Đáp án B.

Câu 24: Đáp án A.

Điều kiện: . Ta có .

Suy ra

.

Câu 25: Đáp án D.

+) Ta có

Suy ra

hoặc .

+) Lại có .

Suy ra .

Vậy, .

Câu 26: Đáp án A.

Đặt .

Do nên .

Xét hàm số .

Ta có và .

Suy ra, .

Câu 27: Đáp án C.

Ta có nên .

Câu 28: Đáp án A.

Ta có

Do

nên .

Theo giả thiết thì

.

Câu 29: Đáp án B.

Với thì và .

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi

.

Khi đó, .

Do đó, .

Vậy .

Câu 30: Đáp án A.

Điều kiện: .

Khi đó, .

+)

Suy ra, .

+)

.

Suy ra, .

Do đó, và .

Vậy .

Câu 31: Đáp án D.

Điều kiện: .

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi

hoặc .

Lại có nên

.

Đẳng thức xảy ra khi .

Suy ra, tập giá trị của hàm số là . Các số nguyên thuộc tập giá trị của hàm số là .

Câu 32: Đáp án A.

Điều kiện: .

+) Có ;

.

+)

.

.

Do đó, nên .

Câu 33: Đáp án C.

Ta có nên

.

Câu 34: Đáp án A.

Từ điều kiện đã cho, ta có và . Suy ra, .

.

Do tồn tại y nên phương trình trên phải có nghiệm

Vậy .

Câu 35: Đáp án B.

Đặt .

Khi đó, ta có và .

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Từ giả thiết , ta có .

Áp dụng bất đẳng thức với ta được: .

Suy ra

.

.

Khi đó .

Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 56.

Câu 36: Đáp án A.

Đặt

Khi đó, và .

Suy ra .

Do đó

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Do đó, .

.

Với thì .

Suy ra, .

Câu 37: Đáp án C.

Do nên .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

hoặc .

Do đó, .

Câu 38: Đáp án B.

Ta có

Vì nên .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Suy ra .

Câu 39: Đáp án C.

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Do đó, .

Câu 40: Đáp án A.

Ta có

Vì nên

.

.

Suy ra, .

Câu 41: Đáp án D.

Do x,y, z thuộc đoạn nên , , .

Ta có .

và nên

+)

hoặc

hoặc .

Rõ ràng tồn tại vô số giá trị của bộ số để biểu thức đã cho đạt được giá trị lớn nhất.

Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho, chúng ta có thể dựa vào bất đẳng thức:

.

Câu 42: Đáp án B.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

.

Theo giả thiết thì,

.

Do đó,

Từ suy ra z, t không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì và . Lúc này, ta có hoặc .

- Nếu thì

Do đó,

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

.

+)

hoặc .

Khi thì và .

Vậy, .

Câu 43: Đáp án B.

Ta có: .

Do nên .

Suy ra .

Tập giá trị của T có 11 số nguyên dương là 1; 2; 3; …; 11.

Câu 44: Đáp án A.

+) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 nên với mọi x và đẳng thức xảy ra

+) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 nên với mọi x và đẳng thức xảy ra

Giải hệ

ta được . Suy ra .

Câu 45: Đáp án B.

Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình, chúng ta có: Khi thì hàm số chỉ đạt giá trị lớn nhất (khi ) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (khi ). Còn khi thì

.

Do đó, và

Vì là các số nguyên nên tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên khi và chỉ khi

Suy ra, và

Theo giả thiết, thì b là số nguyên lẻ và nên .

Do đó, .

Câu 46: Đáp án B.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta được miền tam giác ABC, trong đó , , .

Ta có: ;

Suy ra, khi .

Theo giả thiết, ta có nên nhỏ nhất khi và chỉ khi .

Lúc đó .

Câu 47: Đáp án D.

Ta có

Xét hai vectơ

.

Do nên .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Vậy,

Câu 48: Đáp án B.

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

.

.

Vậy, .

Câu 49: Đáp án A.

.

Với thì .

Đặt .

Ta có: và

;

.

Lại có nên và .

Dựa vào cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một đoạn, ta được

và .

Như vậy, với mọi thì

.

và

Do đó, và

.

Câu 50: Đáp án A.

Đặt .

Ta có:

Lại do

nên

.

Vì nên .

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi

.

.

II. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 4

Câu 1: Đáp án D.

Câu 2: Đáp án B.

Câu 3: Đáp án B.

Câu 4: Đáp án C.

Câu 5: Đáp án B.

Câu 6: Đáp án B.

Câu 7: Đáp án A.

Câu 8: Đáp án B.

Câu 9: Đáp án A.

Câu 10: Đáp án D.

Câu 11: Đáp án A.

Câu 12: Đáp án A.

Câu 13: Đáp án C.

Câu 14: Đáp án A.

Câu 15: Đáp án C.

Câu 16: Đáp án C.

Câu 17: Đáp án B.

Câu 18: Đáp án A.

Câu 19: Đáp án C.

Câu 20: Đáp án A.

Câu 21: Đáp án A.

Câu 22: Đáp án D.

Câu 23: Đáp án D.

Câu 24: Đáp án C.

Câu 25: Đáp án B.

Câu 26: Đáp án B.

Câu 27: Đáp án D.

Câu 28: Đáp án B.

Câu 29: Đáp án A.

Câu 30: Đáp án C.

Câu 31: Đáp án A.

Gọi là giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó, phương trình

có nghiệm

+) Nếu thì phương trình có nghiệm khi hoặc .

+) Nếu thì phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi

Kết hợp hai trường hợp, ta có tập giá trị của hàm số là

Vì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là các số nguyên và tập giá trị của hàm số có đúng 11 số nguyên dương nên

Câu 32: Đáp án B.

Ta có

.

.

Câu 33: Đáp án C.

Ta có .

có nghiệm .

Với , thì .

Đặt thì .

Xét hàm số trên .

Ta có

nên .

Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .

Câu 34: Đáp án D.

Với thì nên loại ngay được phương án A.

Xét phương án D: Phương trình nhận làm nghiệm nên .

Câu 35: Đáp án D.

Từ giả thiết, thay x bởi , ta được

.

Do đó, ta có hệ phương trình

.

.

Thử lại, thấy thỏa mãn. Vậy, .

Ta có và nên và . Do đó, .

Câu 36: Đáp án B.

Ta có

Do nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Suy ra ,

.

Câu 37: Đáp án A.

Cách 1: (Lời giải tự luận)

Do a, b, c thuộc

nên .

Theo bất đẳng thức Cô-si thì

.

Tương tự,

.

Suy ra .

Do đó, .

Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)

Do a, b, c thuộc

nên

và nên loại được phương án D.

Cũng từ giả thiết, ta có

và nên loại ngay được phương án C.

Cho thì

Do đó, loại được phương án B.

Câu 38: Đáp án B.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho. Khi đó, ta có . Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC, trong đó , và .

Dựa vào tính chất hình học, ta có

và .

Câu 39: Đáp án D.

Bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, chúng ta có .

Do đó, S chứa 5 số nguyên.

Câu 40: Đáp án A.

Ta có:

.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn có phương trình (tâm , bán kính ) và đường thẳng .

Khi đó, điểm và điểm .

Lại do Δ và không có điểm chung nên

Suy ra

.

Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng .

Với cách viết thì đạt giá trị lớn nhất, và giá trị đó bằng 82.

Câu 41: Đáp án A.

Điều kiện .

+) Với thì ;

+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

Lại có

.

Khi thì .

Vậy .

Câu 42: Đáp án B.

Ta có:

Vì nên .

Do đó,

.

Đẳng thức xảy ra khi .

Câu 43: Đáp án C.

+) Vì không âm nên

.

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

.

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Đặt thì từ giả thiết và đánh giá trên, ta có

Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng 36 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12.

Câu 44: Đáp án B.

Từ giả thiết, ta có

.

Lại có ;

;

nên .

Đẳng thức xảy ra khi

Câu 45: Đáp án A.

Đặt

thì và

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

;

và

.

Suy ra

hay .

Vậy, F đạt giá trị lớn nhất bằng .

Câu 46: Đáp án D.

.

Do tồn tại x, y nên hệ trên có nghiệm

.

Xét hàm số

trên đoạn .

Ta có

và .

Suy ra, .

Câu 47: Đáp án D.

Ta có

.

Vì x, y, z không âm nên .

.

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có

và .

Vậy, .

Câu 48: Đáp án A.

Ta có

Xét hai vectơ và .

Khi đó

và .

Lại do nên .

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

Câu 49: Đáp án C.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng d và đường tròn có phương trình lần lượt là

và .

có tâm và bán kính

Do hệ có hai nghiệm nên d cắt tại hai điểm phân biệt

Với điều kiện trên thì , là hai giao điểm của d và , đồng thời .

d đi qua I khi và chỉ khi

™.

Với thì d cắt theo dây cung là đường kính nên P lớn nhất bằng .

Câu 50: Đáp án B.

Lại có

.

+)

+)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Vấn đề cần nắm:

1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn

Chủ đề 3

Bất phương trình là khái niệm mà học sinh đã được làm quen ở cấp THCS. Chủ đề này sẽ hoàn thiện hơn khái niệm bất phương trình, đồng thời cung cấp cho học sinh những kiến thức mới như vấn đề xét dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức đó, đồng thời rèn luyện kĩ năng áp dụng chúng để giải các bài toán trong khuôn khổ của chương trình lớp 10.

🟄🟄🟄

§1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

A. Lý thuyết

I. Đại cương về bất phương trình

1. Khái niệm bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa:

STUDY TIP

Ta trình bày lý thuyết cho bất phương trình . Các kết quả này cũng đúng cho các bất phương trình , , .

- Số được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu “” là một mệnh đề đúng.

- Giải bất phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của nó, tức là tập hợp , S được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Nếu thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Lời giải

STUDY TIP

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và .

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi .

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và .

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi và .

Ta có “” là một mệnh đề đúng. Vậy thuộc tập nghiệm của bất phương trình .

(Ta còn nói thỏa mãn bất phương trình ).

Đáp án B.

Lưu ý: Trong thực hành ta không cần viết rõ tập D mà chỉ cần tìm điều kiện của x để và có nghĩa. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình.

2. Hệ bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa:

- Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó.

3. Một số phép biến đổi bất phương trình

LƯU Ý

Định nghĩa tương tự cho hệ bất phương trình.

- Định nghĩa:

Nếu bất phương trình tương đương với bất phương trình thì ta viết .

- Định nghĩa:

LƯU Ý

có thể là một hằng số.

Định lí:

STUDY TIP

Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

Hệ quả: .

Lời giải

Giải từng bất phương trình ta có:

* (chuyển vế, đổi dấu)

(rút gọn từng vế của bất phương trình)

(chia cả hai vế cho ).

* (nhân cả hai vế với )

(chuyển vế, đổi dấu)

(rút gọn từng vế của bất phương trình)

(chia cả hai vế cho ).

Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình:

Tập nghiệm của bất phương trình (1):

Tập nghiệm của bất phương trình (2):

Giao của hai tập hợp trên là đoạn .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là đoạn .

Ta viết ngắn gọn như sau:

.

Đáp án C.

Lưu ý:

Lời giải

Ta có (*) xác định trên . Mặt khác .

+ Xét bất phương trình (I):

Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương trình (I). Mà hàm số xác định trên nên suy ra (*) tương đương với (I).

STUDY TIP

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

+ Xét bất phương trình (II): Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương trình (II). Tuy nhiên hàm số xác định trên nên ta chưa thể khẳng định được ngay (*) có tương đương với (II) hay không.

Ta có:

STUDY TIP

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà làm thay đổi điều kiện của bất phương trình thì ta chưa thể khẳng định ngay là bất phương trình mới thu được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không.

Vậy (*) không tương đương với (II).

+ Xét bất phương trình (III): Tương tự như trên, ta chưa thể khẳng định ngay được là (*) có tương đương với (III) không.

Ta có: .

Vậy (*) tương đương với (III).

+ Xét bất phương trình (IV): Tương tự, ta có:

.

Vậy (*) không tương đương với (IV).

+ Tóm lại (*) tương đương với hai bất phương trình (I) và (III).

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Nếu hai vế của một bất phương trình đều dương trên D thì khi nghịch đảo hai vế và đổi chiều ta được bất phương trình tương đương trên D.

- Với đáp án A: và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên nên khi bình phương hai vế, bất phương trình mới thu được không tương đương.

- Với đáp án B: Vì là biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên nên khi nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với ta được bất phương trình không tương đương.

- Với đáp án C: nên chia cả hai vế của bất phương trình cho ta được bất phương trình tương đương. Vậy C là đáp án đúng.

- Với đáp án D: Vì và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên nên khi nghịch đảo (dù có cả đổi chiều) ta không thu được bất phương trình tương đương.

Đáp án C.

II. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định nghĩa:

Định lí:

Bảng tóm tắt về dấu của :

Ta có . Ta nói số là nghiệm của nhị thức .

STUDY TIP

Cách ghi nhớ: “trái khác, phải cùng”.

Nghiệm chia trục số thành hai khoảng mà trên đó dấu của nhị thức là trái nhau.

STUDY TIP

Dấu của nhị thức bậc nhất phụ thuộc vào dấu của hệ số a.

Một số kết quả quan trọng:

Lời giải

a) .

b) .

c) .

d) .

III. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

- Định nghĩa:

STUDY TIP

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của Δ và dấu của hệ số a.

- Định lí: Cho .

Nếu thì luôn cùng dấu với a, tức là .

STUDY TIP

Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai khi : “trong trái, ngoài cùng”.

Nếu thì luôn cùng dấu với a trừ khi , tức là : (hay , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).

Nếu thì cùng dấu với a khi hoặc , trái dấu với a khi , trong đó là hai nghiệm của , tức là:

;

.

Lưu ý: Ta có thể dùng thay cho Δ.

* Một số kết quả quan trọng:

Lời giải

a) mà . Vậy .

b) có 2 nghiệm là và .

Bảng xét dấu :

Lời giải

Hàm số xác định .

STUDY TIP

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà hệ số a chứa tham số, ta lưu ý trường hợp .

- TH1: (Hệ vô nghiệm).

- TH2: .

Vậy . Do đó S chứa khoảng .

Đáp án C.

2. Bất phương trình bậc hai

- Định nghĩa:

- Các bước giải bất phương trình bậc hai:

+ Xét dấu biểu thức .

+ Dựa vào kết quả xét dấu để kết luận về nghiệm của bất phương trình.

Lời giải

có hai nghiệm là 1 và , có .

Bảng xét dấu :

STUDY TIP

Có thể sử dụng chức năng giải bất phương trình bậc hai của máy tính cầm tay!

Vậy . Do đó .

Đáp án C.

IV. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

1. Xét dấu biểu thức có dạng tích, thương các đa thức

* Xét biểu thức có dạng tích các đa thức:

- Cách 1: Xét dấu bằng phương pháp lập bảng xét dấu (độc giả đọc trong Sách giáo khoa Đại số 10).

- Cách 2: Xét dấu bằng phương pháp khoảng.

+ Bước 1: Giải phương trình được các nghiệm .

+ Bước 2: Đặt các điểm lên trục số. Các điểm này chia trục số thành khoảng.

STUDY TIP

Ở bước 3, ta thường chọn khoảng chứa số 0 (nếu 0 không phải là một trong các điểm ) rồi chọn .

+ Bước 3: Xác định dấu của trên một trong các khoảng nói trên (dấu của trùng với dấu của với a là một điểm tùy ý thuộc khoảng đó).

+ Bước 4: Suy ra dấu của trên các khoảng còn lại theo quy tắc: “qua” nghiệm bội lẻ thì đổi dấu, “qua” nghiệm bội chẵn thì không đổi dấu.

Lời giải

hoặc .

Trong đó và là các nghiệm bội lẻ, là nghiệm bội chẵn.

Ta có . Từ đó ta có kết quả xét dấu :

* Xét các biểu thức có dạng thương các đa thức: .

Giải phương trình và được các nghiệm . Các nghiệm này chia trục số thành khoảng.

Ta có một kết quả quan trọng: Dấu của phân thức trùng với dấu của tích trên các khoảng đó.

Ta tìm hiểu cụ thể qua ví dụ sau:

Lời giải

- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2) và (bội 1).

- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2), (bội 1) và (bội 1).

STUDY TIP

Tại các điểm 2, 3, 4: không xác định.

Vậy ta có thể coi là nghiệm bội 2, là “nghiệm” bội 3, và là các “nghiệm” bội 1 của .

.

Từ đó ta có kết quả xét dấu như sau:

2. Áp dụng giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Lời giải

Ta có hoặc .

Kết quả xét dấu của biểu thức :

Vậy .

Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình trong đoạn là 0; 2; 3; …; 2018 Có 2018 số.

STUDY TIP

Với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi chưa xác định được dấu của các biểu thức trong bất phương trình.

Đáp án B.

Lời giải

Điều kiện: và .

Kết quả xét dấu vế trái:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Suy ra bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên âm là .

Đáp án C.

V. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

STUDY TIP

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số.

Một số kết quả quan trọng thường sử dụng:

1. ;

2. .

3. Với thì:

+ ;

+ ;

4. Cho và là các biểu thức của x:

+ ;

+ ;

+ .

Lời giải

.

Vậy .

Đáp án D.

STUDY TIP

Ta thường sử dụng phương pháp chia khoảng xét dấu khi bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối nhưng không được đưa về dạng cơ bản như trong mục 3, 4 ở trên.

Lời giải

Lập bảng chia khoảng xét dấu hai biểu thức và :

- TH1: Với hoặc , bất phương trình (1) trở thành:

(do )

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .

- TH2: Với , bất phương trình (1) trở thành:

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .

- TH3: Với , bất phương trình (1) trở thành:

(do với thì )

(loại).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .

Do đó 2 số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án B.

VI. Bất phương trình chứa căn thức

(Trong chương trình chuẩn không có nội dung bất phương trình chứa căn thức. Vì vậy phần này chỉ mang tính chất tham khảo).

* Một số kết quả quan trọng:

Lời giải

.

.

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Do đó .

Đáp án A.

B. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Bài tập về phép biến đổi tương đương

Lời giải

STUDY TIP

Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình chứa căn thức.

Điều kiện: .

Ta có: .

(Lưu ý: Ta nói là hệ quả của bất phương trình )

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .

Đáp án C.

STUDY TIP

Trong nhiều trường hợp, giải bất bất phương trình thì mới khẳng định được phép biến đổi có tương đương hay không.

Lời giải

Ta có: .

Với A: .

Vậy bất phương trình và bất phương trình có cùng tập nghiệm, do đó tương đương với nhau. A là đáp án đúng.

Giải thích thêm:

* .

Vậy bất phương trình và bất phương trình không có cùng tập nghiệm. Do đó chúng không tương đương với nhau.

* .

Tương tự suy ra C không phải là đáp án đúng.

* .

Do đó D cũng không phải là đáp án đúng.

Đáp án A.

Dạng 2

Giải bất phương trình, hệ bất phương trình

Lời giải

STUDY TIP

Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình.

Điều kiện: .

Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Vậy .

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với .

.

STUDY TIP

Không được tùy tiện chia 2 vế của bất phương trình cho một biểu thức khi chưa xác định được dấu của biểu thức đó.

Ta có có các nghiệm (bội 1), (bội 3) và (bội 1). Xét dấu vế trái:

Vậy . Do đó C là đáp án đúng.

Đáp án C.

STUDY TIP

Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với

Lời giải

Điều kiện: và .

.

Bảng xét dấu vế trái:

Suy ra nghiệm của bất phương trình là .

STUDY TIP

Không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Do đó và .

Đáp án B.

Lời giải

.

(2) .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

Do đó .

Đáp án D.

Lời giải

STUDY TIP

Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu . Ví dụ:

.

.

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

.

Từ đó ta có .

Đáp án A.

STUDY TIP

Cho hàm số xác định trên D. Khi đó .

Lời giải

* (*).

* (do )

hoặc , trong hai giá trị này của x chỉ có giá trị thỏa mãn (*).

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

Đáp án B.

Dạng 3

Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất chứa tham số

STUDY TIP

.

Lời giải

.

Đặt .

.

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là giá trị .

Đáp án B.

STUDY TIP

Hệ bất phương trình trong Ví dụ 10 vô nghiệm

.

Lời giải

* .

* .

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

.

Đáp án D.

Dạng 4

Tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai chứa tham số

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm

.

Mà .

Đáp án C.

Lời giải

Ta tìm điều kiện của m để bất phương trình vô nghiệm.

- TH1: . Khi đó .

Vậy với thì bất phương trình có nghiệm.

STUDY TIP

Phương pháp “tìm phần bù”: Thay vì tìm m để bất phương trình có nghiệm, ta tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

- TH2: . Khi đó bất phương trình vô nghiệm

.

Vậy thì bất phương trình vô nghiệm.

Suy ra với thì bất phương trình có nghiệm .

Vậy S chứa khoảng .

Đáp án A.

Lời giải

STUDY TIP

Việc xác định chính xác dấu của tử thức giúp ta có được lời giải đơn giản cho bài toán này.

Ta có có , nên .

Do đó .

Bất phương trình nghiệm đúng nghiệm đúng .

Đáp án B.

Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng 5

Lời giải

* TH1: . Phương trình đã cho trở thành: .

* TH2: . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm.

.

Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó .

STUDY TIP

Khi phương trình dạng có hệ số a chứa tham số ta cần phải chú ý đến trường hợp .

Đáp án A.

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi .

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

.

Vậy . Do đó có 1 ước nguyên dương.

Đáp án A.

Lời giải

STUDY TIP

Độ dài của đoạn trên trục số là .

Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt

.

Vậy đoạn có độ dài là .

Đáp án A.

Lưu ý:

Cho phương trình bậc hai , , , .

+ Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt ;

+ Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt ;

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ;

+ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu .

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 228

Câu hỏi ở mức độ nhận biết

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình vô nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyen nhỏ hơn 10 thuộc tập nghiệm của bất phương trình ?

A. Vô số B. 4 C. 5 D. 6

Câu 3: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình ẩn x, tham số m: là:

A. B.

C. D.

Câu 4: Cho phương trình:

Gọi a và b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính .

A. B. 4 C. D. 2

Câu 5: Cho hàm số

. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số có tập xác định là:

A. B. C. D.

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A.

B.

C.

D.

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số xác định trên khoảng ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để ta luôn có ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 12: Gọi M là số dương nhỏ nhất và m là số âm lớn nhất thuộc tập xác định của hàm số:

.

Tính .

A. 4 B. C. 2 D. 0

Câu 13: Cho hệ bất phương trình: . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số m để hệ vô nghiệm?

A. 8 B. 7 C. 10 D. 19

Câu 14: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 trên trục số. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:

A. B. 1 C. 5 D. 8

Câu 15: Biết bất phương trình

có tập nghiệm . Tính .

A. B. 3 C. D.

§2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định nghĩa:

STUDY TIP

Ta trình bày lí thuyết cho bất phương trình dạng . Hoàn toàn tương tự cho các dạng ; ; .

Cặp số sao cho “” là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền nghiệm của bất phương trình.

STUDY TIP

Các bước vẽ đường thẳng ():

- Cho thì . Ta được điểm . Vẽ điểm A trên mặt phẳng .

- Cho thì . Ta được điểm . Vẽ điểm B trên mặt phẳng .

- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Đó chính là đường thẳng Δ.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình .

STUDY TIP

Miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình

Lời giải

- Vẽ đường thẳng Δ có phương trình .

- Lấy gốc tọa độ , ta thấy .

- Ta có: .

Vậy nửa mặt phẳng bờ Δ chứa gốc O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị gạch bỏ trong hình).

II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

* Định nghĩa:

Ví dụ 3: là một nghiệm của hệ bất phương trình .

* Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

STUDY TIP

- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Oy.

- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Ox.

Lời giải

- Vẽ các đường thẳng và .

- Lấy điểm . Ta thấy tọa độ của thỏa mãn cả bốn bất phương trình trong hệ.

- Miền không bị gạch (miền tứ giác OAIC, kể cả bốn cạnh của nó, với , và , chứa điểm ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

* Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng , trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

- Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác.

- Tính giá trị của F ứng với là tọa độ các đỉnh của miền đa giác nói trên rồi so sánh các kết quả, từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Lời giải

Lập bảng:

B. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

STUDY TIP

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

Đường thẳng đi qua 2 điểm và với có phương trình là

.

Lời giải

Đường thẳng d trong hình có phương trình: .

Lấy điểm ta có và .

Từ đó suy ra miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình .

Đáp án B.

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh AB, BC, CA, trong đó và . Dễ thấy vuông tại A. Do đó ta có:

STUDY TIP

- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng a.

- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.

.

Đáp án C.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by. Áp dụng vào bài toán tối ưu trong thực tế

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh AB, BC, CA với ; và .

Lập bảng:

Vậy và .

Đáp án A.

Lời giải

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (). Khi đó số lãi thu được là (nghìn đồng).

Theo giả thiết thì x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác OABCD, kể cả các cạnh của nó. Lập bảng:

Vậy cần sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II để số lãi thu được cao nhất. Khi đó cần dùng đến máy thuộc nhóm A.

Đáp án D.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 230

Câu 1: Miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) trong hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Cho hệ bất phương trình: . Miền nghiệm của hệ bất phương trình là:

A. Một nửa mặt phẳng.

B. Một miền tam giác

C. Một miền tứ giác

D. Một miền ngũ giác

Câu 3: Cho biểu thức với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình: . Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi và . Tính .

A. 5 B. 41 C. 26 D. 0

Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là 250.000 đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là 85.000 đồng. Hỏi chi phí ít nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?

A. 226.000 đồng B. 209.500 đồng

C. 167.000 đồng D. 168.500 đồng

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ V

Xem đáp án chi tiết tại trang 230

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình ?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho bất phương trình . Một học sinh giải như sau:

.

Hỏi học sinh giải sai từ bước nào?

A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:

.

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình: chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình:

chứa bao nhiêu số nguyên?

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 7: Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 8: Điều kiện của bất phương trình:

là:

A. B.

C. và D. và

Câu 9: Bất phương trình có tập nghiệm là:

A.

B. .

C.

D.

Câu 10: Gọi a và b lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của hệ bất phương trình . Tính .

A. 3 B. 2 C. 6 D. 10

Câu 11: Bất phương trình có tập nghiệm là:

A. B.

C. D.

Câu 12: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Bất phương trình luôn có nghiệm .

B. Bất phương trình vô nghiệm khi và

C. Bất phương trình có tập nghiệm là khi và

D. Bất phương trình có nghiệm khi

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên không thuộc tập nghiệm của bất phương trình ?

A. 6 B. 8 C. 4 D. 2

Câu 14: Cho bất phương trình . Nghiệm lớn nhất của bất phương trình gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 15: Cho hệ bất phương trình . Xét các khẳng định sau:

(I) Khi thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(II) Khi thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

(III) Khi thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

(IV) thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là .

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 16: Giá trị lớn nhất của tham số m để hệ bất phương trình vô nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 19: Cho hệ bất phương trình . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 20: Bất phương trình: có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. Vô số B. 23 C. 22 D. 21

Câu 21: Cho hệ bất phương trình: . Gọi là tập nghiệm của bất phương trình (1), là tập nghiệm của bất phương trình (2) còn S là tập nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 22: Biết hệ bất phương trình: có miền nghiệm là một miền đa giác (kể cả các cạnh của nó). Tính diện tích đa giác đó.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 23: Miền nghiệm của hệ bất phương trình

là:

A. Một nửa mặt phẳng B. Một miền tam giác

C. Một miền tứ giác D. Một miền ngũ giác

Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 25: Cho hệ bất phương trình . Biết miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác. Diện tích của đa giác đó gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 5,5

Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 27: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

A. B.

C. D.

Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 10 thuộc tập nghiệm của bất phương trình ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Câu 29: Tập xác định của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Câu 30: Cho bất phương trình:

.

Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình vô nghiệm là đoạn . Tính độ dài đoạn trên trục số.

A. 6 B. C. 4 D.

Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 32: Gọi a và b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của hệ bất phương trình:

.

Tính .

A. B. C. D.

Câu 33: Tập xác định của hàm số có dạng là một đoạn (với ) khi và chỉ khi:

A. B. C. D.

Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 36: Tập nghiệm của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 38: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 39: Biết phương trình có tập nghiệm là nửa khoảng , a gần với số nào nhất trong các số sau?

A. B. 0 C. 1 D. 2

Câu 40: Bất phương trình tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 41: Biết tập nghiệm của bất phương trình có dạng (với ). Tính .

A. B.

C. D.

Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm bằng gần với số nào nhất trong các số sau đây?

A. 4,5 B. 5 C. 5,5 D. 6

Câu 43: Gọi lần lượt là tập nghiệm của các bất phương trình và . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm bằng ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị thuộc khoảng của tham số m để hàm số xác định khi ?

A. 0 B. 1 C. 2 D.Vô số

Câu 46: Cho bất phương trình:

.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình có nghiệm?

A. 7 B. 8 C. 9 D. Vô số

Câu 48: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng là nửa khoảng , trong đó a là một số nguyên dương. Tính số ước nguyên dương của a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 trên trục số?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 50: Bác Thùy dự định trồng đậu và cà trên diện tích (). Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu lãi 3.000.000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lãi 4.000.000 đồng trên mỗi a. Biết tổng số công cần dùng không được vượt quá 180. Tính số tiền lãi lớn nhất thu được.

A. 24 (triệu đồng) B. 25 (triệu đồng)

C. 26 (triệu đồng) D. 27 (triệu đồng)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 5

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Câu 1: Đáp án B.

Ta có:

(*).

Bất phương trình (*) vô nghiệm

.

Câu 2: Đáp án D.

Điều kiện:

Ta có:

Bảng xét dấu vế trái:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm .

Vậy có 6 số nguyên nhỏ hơn 10 thuộc S, đó là các số .

Câu 3: Đáp án A.

(*).

Vì nên .

Do đó (*)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

Câu 4: Đáp án B.

* .

Phương trình trở thành:

.

* . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm

* Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

Do đó .

Câu 5: Đáp án D.

Hàm số có tập xác định

.

* TH1:

hoặc .

- Với :

;

.

- Với :

.

Vậy hoặc không thỏa mãn hàm số có tập xác định .

* TH2: .

Khi đó

.

* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn ycbt.

Câu 6: Đáp án C.

Điều kiện:

.

* Với hoặc :

Vậy là các nghiệm của bất phương trình.

* Với thì

.

Vậy trường hợp này bất phương trình có nghiệm là .

* Vậy .

Câu 7: Đáp án D.

Điều kiện: (1).

Ta có:

(2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Câu 8: Đáp án C.

Cách 1: * Giải bất phương trình:

(1).

Điều kiện: .

- Với thì . Do đó không là nghiệm của bất phương trình (1).

- Với :

.

Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm .

* Giải bất phương trình (2). Dễ thấy bất phương trình (2) có tập nghiệm .

* Ta thấy .

Vậy .

Cách 2: Ta có .

Với thì . Do đó nhân hai vế của bất phương trình với ta được bất phương trình tương đương. Vậy C đúng.

Câu 9: Đáp án D.

Điều kiện: .

Để hàm số xác định trên khoảng thì ta phải có

.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đó là các giá trị .

Câu 10: Đáp án C.

Ta có (do có và ).

Do đó

Để bất phương trình đã cho thỏa mãn thì (1) và (2) phải nghiệm đúng

.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là các giá trị .

Câu 11: Đáp án D.

.

Ta có

.

Vậy bất phương trình

vô nghiệm.

Do đó .

Câu 12: Đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số:

(do )

.

Vậy .

Do đó và .

Suy ra .

Câu 13: Đáp án A.

* .

*

(*)

- TH1: .

(*) trở thành .

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm .

- TH2: .

Khi đó (*) .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì ta phải có .

- TH3: .

Khi đó (*) .

Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

* Tóm lại hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm .

Câu 14: Đáp án C.

Đặt .

Có .

- Nếu thì .

Khi đó bất phương trình vô nghiệm.

- Nếu thì ; . Khi đó bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất .

- Nếu thì có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là .

Vậy để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 thì ta phải có:

.

Vậy . Do đó tổng các phần tử của S bằng 5.

Lưu ý: Ta có thể giải như sau:

.

Sau đó áp dụng định lí Vi-et để tìm m.

Câu 15: Đáp án C.

Điều kiện:

Khi đó ta có:

(*)

Với thì

Do đó (*)

.

Kết hợp với điều kiện ta có

.

Do đó .

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

Câu 1: Đáp án C.

Phương trình đường thẳng d:

.

Lấy điểm , ta có và .

Vậy miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình .

Câu 2: Đáp án C.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABOC với , và .

Câu 3: Đáp án C.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với và . Lập bảng:

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và . Do đó và .

Câu 4: Đáp án D.

Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình: .

Lượng tiền để mua thịt là

(nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác ABCD với , , và .

Lập bảng:

Vậy chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng.

III. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 5

Câu 1: Đáp án D.

Xét bất phương trình:

(*)

Điều kiện: .

* Dễ thấy thỏa mãn bất phương trình (*).

* Với :

Vậy trong trường hợp này bất phương trình (*) có nghiệm .

* Vậy (*) có tập nghiệm

.

Mặt khác xét bất phương trình . Bất phương trình này có tập nghiệm .

Vậy . Do đó bất phương trình không tương đương với bất phương trình

.

Câu 2: Đáp án D.

* Xét bất phương trình

(*)

Điều kiện: .

+ không thỏa mãn bất phương trình (*).

+ : (*) .

Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .

Vậy tập nghiệm của (*) là .

* Xét bất phương trình: có tập nghiệm .

Ta thấy .

Do đó .

Câu 3: Đáp án B.

Học sinh giải sai từ bước (II), vì chỉ đúng khi .

Câu 4: Đáp án C.

vì .

Câu 5: Đáp án C.

.

Phương trình có nghiệm duy nhất (nghiệm bội 1).

Xét dấu vế trái:

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 6: Đáp án C.

Hệ bất phương trình đã cho tương đương với

.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình chứa 2 số nguyên là và 0.

Câu 7: Đáp án D.

* Xét bất phương trình . Dễ thấy bất phương trình có tập nghiệm .

* Xét bất phương trình

(*).

+ Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình (*).

+ Với thì . Khi đó:

.

Vậy trong trường hợp này (*) có nghiệm .

+ Vậy (*) có tập nghiệm

.

* Ta thấy . Do đó và không tương đương với nhau.

Câu 8: Đáp án D.

Điều kiện của bất phương trình đã cho là: .

Câu 9: Đáp án A.

vì ta luôn có

.

Câu 10: Đáp án B.

.

Vậy và .

Câu 11: Đáp án C.

Ta có: .

Xét có

và .

Do đó .

Suy ra .

.

Câu 12: Đáp án A.

Chẳng hạn với thì bất phương trình là vô nghiệm.

Câu 13: Đáp án B.

Bảng xét dấu các nhị thức và :

* :

Bất phương trình trở thành:

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .

* : Bất phương trình trở thành: (vô lí).

Vậy trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

* : bất phương trình trở thành:

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .

* Tóm lại, bất phương trình có nghiệm là .

Vậy có 8 số nguyen không thuộc tập nghiệm của bất phương trình, đó là các số .

Câu 14: Đáp án A.

Điều kiện: .

*

.

Ta có:

.

* Bảng xét dấu

:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Suy ra nghiệm lớn nhất của bất phương trình đã cho là .

Câu 15: Đáp án B.

* .

* .

+ : Hệ bất phương trình vô nghiệm.

+ : trở thành (vô lý) Hệ bất phương trình vô nghiệm.

+ : Hệ bất phương trình có nghiệm .

* Vậy và là các khẳng định đúng.

Câu 16: Đáp án C.

.

Hệ trên vô nghiệm .

Câu 17: Đáp án D.

Điều kiện: .

* Trường hợp 1:

* Trường hợp 2:

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Câu 18: Đáp án A.

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

.

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn ycbt.

Câu 19: Đáp án A.

* .

* Xét bất phương trình

(*).

+ : (*) trở thành thỏa mãn . Vậy với hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là . Do đó không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ :

(*) .

Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì ta phải có

.

Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ :

.

Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì ta phải có

.

Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20: Đáp án C.

Với thì . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

(do )

.

Vậy bất phương trình đã cho có 22 nghiệm nguyên âm.

Câu 21: Đáp án B.

Ta có:

hay .

Vậy .

Câu 22: Đáp án C.

Hai đường thẳng và giao nhau tại điểm .

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh AB, AC, BC) với ; và .

.

Câu 23: Đáp án C.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, với .

Câu 24: Đáp án B.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác ABC (kể cả các cạnh của nó), trong đó , , .

Tải tài liệu này file docx word pdf