Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vấn đề cần nắm:

1. Khái niệm phương trình

2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất

3. Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai

4. Hệ phương trình

Chủ đề 3

Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc hai.

Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm:

1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có tham số.

2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp.

🟄🟄🟄

§1. Khái niệm phương trình

A. Lý thuyết

I. Phương trình một ẩn

1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.

2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đều là nghiệm của phương trình thì phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình . Ta viết: .

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

II. Các phép biến đổi phương trình

1. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa thì: .

2. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa và thì: .

3. Đối với bất kỳ các hàm và và n là số tự nhiên ta có:

.

Đặc biệt:

B. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Tìm điều kiện của phương trình

Lời giải

Để phương trình có nghĩa ta phải có: .

STUDY TIP

+ Điều kiện để có nghĩa là

+ Điều kiện để có nghĩa là

Đáp án A.

Lời giải

Phương trình xác định khi: .

Đáp án C.

Lời giải

Điều kiện: .

Đáp án B.

Lời giải

Phương trình xác định khi: .

Khi đó để phương trình xác định trên thì:

Đáp án C.

Lời giải

STUDY TIP

Điều kiện ở biểu thức thứ 2 chỉ là: vì căn thức nằm ở mẫu.

Điều kiện xác định của phương trình là:

Hay phương trình xác định trên do đó điều kiện để phương trình xác định trên là:

hay .

Đáp án B.

Dạng 2

Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Lời giải

Ta có phương trình: do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: . Xét các đáp án:

STUDY TIP

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

- Đáp án A: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm của phương trình là:

STUDY TIP

- Đáp án B: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm của phương trình là: .

- Đáp án C: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm nên chọn đáp án C.

- Đáp án D: Có .

Đáp án C.

Lời giải

Giải phương trình đã cho: Tập nghiệm là .

Xét các đáp án:

- Đáp án A:

- Đáp án B:

- Đáp án C:

.

- Đáp án D:

.

Đáp án D.

Đáp án A.

Lời giải

Chọn đáp án D vì

Còn các khẳng định khác đều đúng.

Đáp án D.

Lời giải

Xét các đáp án:

- Đáp án A: + Phương trình

+ Phương trình

Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm.

- Đáp án B: + Phương trình

+ Phương trình

STUDY TIP

Vậy chọn đáp án B.

- Đáp án C: + Phương trình

+ Phương trình

Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.

- Đáp án D: Tập nghiệm rỗng.

Do đó phương trình và không phải là hai phương trình tương đương.

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương với nhau.

Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm.

Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là: .

Đáp án A.

Lời giải

Ta xét các đáp án:

- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là

Khi đó nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho nên hai phương trình tương đương.

- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là nên tương đương.

STUDY TIP

Điều kiện của phương trình là:

- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất với ta được phương trình thứ hai.

Vậy hai phương trình tương đương.

- Đáp án D: Phương trình có 2 nghiệm và thỏa mãn điều kiện .

Còn phương trình chỉ có nghiệm vì không thỏa mãn điều kiện .

Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương.

Đáp án D.

Lời giải

Ta có: Phương trình (2)

Do hai phương trình tương đương nên cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có . Khi hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.

Đáp án B.

Lời giải

Phương trình (1)

Do 2 phương trình tương đương nên cũng phải là nghiệm của (2) nên thay vào phương trình (2) ta có:

+ Với :

Phương trình (1) trở thành:

Phương trình (2) trở thành

STUDY TIP

Với câu hỏi trắc nghiệm ta có thể thử từng đáp án.

Vậy hai phương trình tương đương.

+ Với :

Phương trình (1) trở thành:

Phương trình (2) trở thành:

Vậy Hai phương trình không tương đương.

Vậy thỏa mãn đề bài.

Đáp án C.

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình Tập nghiệm

Ta xét các đáp án:

- Đáp án A:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

STUDY TIP

Phương trình

Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án B:

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án C: vô nghiệm

Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án D: Giải phương trình ta có:

Đáp án C.

Dạng 3

Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số

Lời giải

STUDY TIP

Đồ thị mà là những giá trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Điều kiện: nhìn đồ thị ta thấy: thì đồ thị nằm phía trên trục hoành hay hàm cho .

Đáp án C.

Lời giải

Nhìn đồ thị ta thấy

Đáp án C.

Lời giải

Ta thấy đường thẳng: đi qua các điểm và .

Từ điều kiện của phương trình là: ta thấy trên đoạn .

Đồ thị nằm phía trên đường thẳng nên với thì .

Đáp án A.

Lời giải

Đồ thị như hình bên.

Khi đó điều kiện: .

Đáp án B.

Lời giải

Đồ thị như hình vẽ:

.

Đáp án C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 82

Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình:

là

A. B.

C. D.

Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B. và

C. D. và

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình thuộc tập nào sau đây?

A. B.

C. D.

Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho đường thẳng có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình là:

A. B.

C. D.

Câu 10: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ:

Phương trình có điều kiện là:

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho parabol như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B. C. D.

Câu 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?

A. B.

C. D.

§2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất

A. Lý thuyết

Giải biện luận phương trình :

B. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Giải biện luận phương trình

STUDY TIP

Phương trình có nghiệm duy nhất khi

Lời giải

Phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và

Khi đó nghiệm duy nhất là: là nghiệm nguyên

Có 4 giá trị của m.

Đáp án D.

STUDY TIP

Phương trình hay phương trình vô nghiệm

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình vô nghiệm

Đáp án B.

Lời giải

Viết lại phương trình:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi .

Đáp án A.

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình:

có nghiệm duy nhất

có nghiệm duy nhất

Đáp án B.

STUDY TIP

Phương trình có vô số nghiệm

Lời giải

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình:

có vô số nghiệm

vô số nghiệm .

Đáp án C.

Dạng 2

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình đã cho

+)

+)

Vậy phương trình có 2 nghiệm .

phương trình vô nghiệm.

Đáp án A.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

- Giải (1):

+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Với ta có phương trình , phương trình vô nghiệm.

- Giải (2):

+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Với phương trình , phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ phương trình đã cho có 2 nghiệm .

+ phương trình (1) vô nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm .

+ phương trình (2) vô nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm .

Đáp án D.

Lời giải

Cách 1:

Ta thấy nếu là nghiệm thì cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

Thay vào phương trình (1) ta được .

- Với phương trình (1) trở thành:

Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm .

Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất.

Cách 2:

Ta vẽ đồ thị ta có bảng xét dấu:

Vậy

Ta có đồ thị như hình bên ta thấy thì đường thẳng không thể cắt đồ thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) không có nghiệm duy nhất.

Đáp án D.

Dạng 3

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình: .

Khi đó phương trình (1) (2)

- Với phương trình (2) có nghiệm duy nhất nó là nghiệm của (1).

Khi

- Với phương trình (2) vô nghiệm (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi

Đáp án B.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 129

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình: vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình: vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 3: Tìm m để phương trình:

vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 4: Tìm a để phương trình:

có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 6: Cho phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. phương trình có nghiệm .

phương trình có 1 nghiệm .

B. phương trình đã cho có tập nghiệm .

phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

C. vô nghiệm.

phương trình có nghiệm .

D. phương trình vô nghiệm.

phương trình có nghiệm duy nhất .

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: có nghiệm.

A. B. C. D.

Câu 8: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình là:

A. Hình vuông cạnh bằng

B. Đường tròn tâm O bán kính bằng 1

C. Hai đường thẳng

D. Hình vuông cạnh bằng 1

§3. Phương trình bậc hai và quy về bậc hai

A. Lý thuyết

1. Giải biện luận phương trình:

Ta có: .

+ : phương trình vô nghiệm.

+ : phương trình có nghiệm kép .

+ : phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

2. Định lí Vi-et

Nếu phương trình có 2 nghiệm thì

STUDY TIP

Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm trái dấu ta không cần điều kiện vì nên phương trình luôn có 2 nghiệm.

Nếu hai số x, y mà thì x, y là nghiệm của phương trình (với ).

3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

4. Phương trình có 2 nghiệm dương

5. Phương trình có 2 nghiệm âm

B. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Xác định tham số biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai

Lời giải

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Vì nên , có 10 phần tử thỏa mãn.

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình có nghiệm duy nhất xảy ra ở 1 trong 2 trường hợp sau:

+ TH1: , phương trình có nghiệm duy nhất.

+ TH2: hoặc

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: .

Đáp án B.

Lời giải

Viết lại phương trình:

- Với : Khi đó phương trình có dạng là nghiệm.

- Với : Ta có. Khi đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi .

Vậy thỏa mãn.

Đáp án B.

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

Đáp án C.

Dạng 2

Dấu của nghiệm phương trình bậc hai

Lời giải

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là .

Do cùng dấu nên hay .

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

Đáp án C.

Lời giải

Giả srw phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì .

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:

Khi đó trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án C.

Lời giải

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi:

Vậy tổng các phần tử của S là .

Đáp án A.

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

Đáp án A.

Lời giải

Trước hết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

luôn đúng

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et ta có:

Để thỏa mãn

STUDY TIP

ta đi so sánh hai số với nhau.

Điều kiện:

Đáp án A.

Lời giải

STUDY TIP

Việc so sánh với 2 số ta đưa về so sánh 2 số và với số 0.

Trước hết phương trình đã cho phải có 2 nghiệm thỏa mãn m.

Để thỏa mãn ta đi so sánh hai số và với số 0.

Vậy điều kiện là:

Theo định lí Vi-et ta có:

Đáp án C.

Dạng 3

Định lí Vi-et và những bài toán về phương trình bậc hai

Lời giải

STUDY TIP

Ta có:

Theo định lí Vi-et ta có: thay vào ta được:

.

Đáp án B.

Lời giải

Vì a và c trái dấu nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .

STUDY TIP

Theo định lí Vi-et ta có:

và

Đáp án B.

STUDY TIP

Trong lời giải bên ta nhân 2 vế của P ở đẳng thức (1) với 4 để luôn là số nguyên với m nguyên.

Lời giải

Ta có

Để phương trình có hai nghiệm thì

Theo định lí Vi-et ta có:

Khi đó (1)

thì là ước của

Thử lại với thỏa mãn.

Đáp án D.

Lời giải

Ta có:

STUDY TIP

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:

Theo định lí Vi-et ta có:

Khi đó:

Do khi .

Đáp án C.

Lời giải

Ta có .

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm.

STUDY TIP

Lời giải bên ta đã trừ hai vế của (1) cho số 1 đưa về hằng đẳng thức để đánh giá dễ dàng hơn.

(1)

Vậy khi .

Đáp án B.

Dạng 4

Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình bậc hai có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia thì

Theo định lí Vi-et ta có:

Khi đó:

Nếu thì một trong hai thừa số của P là hay nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.

Đáp án B.

STUDY TIP

PT: có 2 nghiệm thì:

Lời giải

Phương trình có 2 nghiệm

Khi đó phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn

.

Đáp án A.

Lời giải

Giả sử hai phương trình có nghiệm chung khi đó:

Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta có: (vì )

Phương trình (1) có nghiệm nên ta có:

Phương trình (2) có nghiệm nên ta có:

Vậy ta được

Vậy là nghiệm của phương trình: (3)

Và phương trình (3) có

Đáp án B.

Dạng 5

Các phương trình quy về bậc hai

Phương pháp:

STUDY TIP

Phương trình:

nếu đặt thì phương trình thu được luôn là phương trình bậc 4 trùng phương.

1. : Đặt .

2. : Đặt .

3. : Đặt .

4. : Chia cho , đặt .

5. : Đặt .

6. : Đặt .

7.

+ Xét .

+ Với , chia hai vế cho ta có phương trình: . Đặt .

Lời giải

Đặt hay , ta có phương trình:

Đặt , phương trình trở thành:

Với Tổng các nghiệm là .

Đáp án A.

Lời giải

Với không là nghiệm.

chia 2 vế cho ta được phương trình:

Đặt ta có phương trình:

STUDY TIP

thì

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Trong phương trình ta nhóm và để sau khi nhân ra ta được những biểu thức giống nhau là

Phương trình

Đặt: ta có phương trình:

+ Với

+ Với vô nghiệm.

Vậy tổng .

Đáp án C.

Lời giải

Đặt ta có phương trình:

trở thành có nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án B.

Lời giải

ĐKXĐ: . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

Đặt ta có phương trình:

Vậy tổng các nghiệm bằng .

Đáp án B.

Lời giải

ĐKXĐ: hoặc

Đặt ta có phương trình:

Với (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án B.

STUDY TIP

Lời giải

Để ý nên ta tách: bằng cách đồng nhất hệ số và ta được:

Điều kiện:

Ta có:

Chia hai vế cho ta được:

Đặt ta có phương trình: .

Đáp án C.

Lời giải

ĐKXĐ:

Đặt

thay vào phương trình đã cho ta có:

.

Đáp án D.

Lời giải

ĐKXĐ:

Ta có:

Khi đó:

Thay vào phương trình đã cho ta có:

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình:

Lập bảng biến thiên cho hàm số ta cũng tìm được n.

ĐKXĐ: .

Đặt:

Xét trên

Khi đó: phương trình đã cho trở thành:

có .

Nếu thì phương trình có 2 nghiệm

- Với (không thỏa mãn).

- Với (thỏa mãn) thì:

Đáp án A.

Lời giải

Đặt ta có phương trình: (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Đáp án C.

Lời giải

STUDY TIP

Bảng biến thiên của hàm số

ĐKXĐ:

Phương trình

Ta thấy không là nghiệm.

Với , phương trình

Đặt ta có phương trình:

Vì mỗi thì có 2 nghiệm x nên bài toán trở thành tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn .

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

Vì nên

Vì nên có 21 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 130

Câu 1: Phương trình vô nghiệm khi:

A. B.

C. D.

Câu 2: Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình vô nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 3: Phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 4: Phương trình có nghiệm kép khi:

A. B.

C. D.

Câu 5: Phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 6: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

A. B.

C. D.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

A. 5 B. 6 C. 10 D. 11

Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là:

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho phương trình trong đó , . Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1, khi đó p bằng:

A. B.

C. D.

Câu 10: Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 11: Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B. C. 0 D. 1

Câu 12: Giả sử các nghiệm của phương trình là lập phương các nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 13: Cho phương trình:

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

A. B.

C. D.

Câu 14: Cho phương trình;

.

Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 15: Giả sử phương trình (, ) có các nghiệm . Lập phương trình bậc hai có các nghiệm của nó là .

A.

B.

C.

D.

Câu 16: Xác định các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.

A. B. C. D.

Câu 17: Cho phương trình:

Tìm m để phương trình có nghiệm .

A. B.

C. D.

Câu 18: Tìm m để phương trình:

có đúng 3 nghiệm.

A. không tồn tại m B.

C. D.

Câu 19*: Cho phương trình:

.

Tìm m để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 20*: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

§4. Hệ phương trình

A. Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tính các định thức:

- Biện luận:

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm thì:

Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

và nghiệm

Đáp án A.

Lời giải

Xét hệ phương trình: (*)

Hệ phương trình (*) vô nghiệm .

Đáp án B.

Lời giải

STUDY TIP

đồng quy đi qua giao điểm của và

đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình: có nghiệm duy nhất.

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: thay vào (3) ta tìm được .

Đáp án C.

Hệ đối xứng loại I

Dạng 2

1. Định nghĩa

Hệ đối xứng loại I là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi.

trong đó:

2. Phương pháp giải tổng quát

STUDY TIP

Lời giải

Đặt ta có:

Khi đó ta có hệ:

x, y là nghiệm của phương trình:

Đáp án C.

Lời giải

Đặt ta có hệ phương trình:

Khi đó S, P là nghiệm phương trình:

hoặc

STUDY TIP

Phương trình:

có 2 nghiệm khi và chỉ khi:

Để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn thì

TH1: thì:

TH2: thì:

Vậy .

Đáp án A.

Dạng 3

Hệ đối xứng loại II

1. Định nghĩa

Chú ý: Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ.

2. Phương pháp giải

Lời giải

Trừ vế theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

STUDY TIP

Khi cộng vế với vế của 2 phương trình trong hệ đối xứng loại II ta luôn được một phương trình đối xứng.

- TH1: Với thế vào (1) ta có phương trình:

Hệ có nghiệm là .

- TH2: Với . Kết hợp với tổng của hai phương trình (1) và (2) ta có hệ:

(là hệ đối xứng loại I)

Đặt ta có hệ:

Từ (3) ta có: thế vào (4) ta được:

x, y là nghiệm của phương trình:

Hệ có nghiệm là .

Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm.

Đáp án C.

Lời giải

STUDY TIP

Nếu là một nghiệm và cũng là nghiệm để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần

Do tính đối xứng nên: Nếu hệ có nghiệm thì cũng có nghiệm .

Một điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là thế vào (1) ta được:

Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép .

- TH1: (3) vô nghiệm

- TH2: (3) có nghiệm kép

Khi đó không phải nghiệm kép.

Thử lại với giải hệ thấy có nghiệm duy nhất.

Đáp án B.

Dạng 4

Hệ đồng bậc

Lời giải

Nhận xét ta thấy vế trái của hai phương trình đã cho đều bậc 3 với x và y còn vế phải là bậc 0 (hay hằng số) nên ta nhân chéo để đưa về phương trình đồng bậc.

STUDY TIP

Phương trình (3) trong lời giải là phương trình đẳng cấp bậc 3 (là phương trình mà tất cả các đơn thức của nó đều bậc 3)

Hệ phương trình

Với không là nghiệm.

Với chia hai vế của (3) cho ta được:

Giải phương trình bậc ba ta có:

+ Với thay vào (2) ta có: vô nghiệm.

+ Với thay vào (2) ta có:

+ Với thay vào (2) ta có:

Tóm lại chỉ có: thỏa mãn.

Lời giải

STUDY TIP

Phương trình (1) có vế trái bậc 1, vế phải bậc 2.

Phương trình (2) có vế trái bậc 2, vế phải bậc 1.

Nhận xét: Ta nói mỗi phương trình đều có một vế bậc nhất vế còn lại là bậc hai với x, y nên khi nhân vế với vế của hai phương trình ta được phương trình đồng bậc:

Vì ta chia 2 vế cho ta được phương trình:

là nghiệm của phương trình:

Đáp án A.

Giải hệ bằng phương pháp thế

Dạng 5

Lời giải

STUDY TIP

Hệ phương trình

Thế xy ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

+ Với không thỏa mãn hệ.

+ Với thay vào (2) ta có:

.

Đáp án D.

Lời giải

Trong phương trình (1) ta coi x là ẩn và giải phương trình bậc hai:

STUDY TIP

Phương trình bậc hai với ẩn là x thì hệ số ;;.

Có

- Với thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

. Khi đó hệ có nghiệm là .

- Với thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là .

Đáp án C.

Dạng 6

Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

STUDY TIP

Hệ đã cho ta thấy có những biểu thức giống nhau là và .

Lời giải

Dễ thấy không phải là nghiệm của hệ.

Với chia hai vế của các phương trình trong hệ cho y ta được hệ:

Đặt ta có hệ:

- TH1: ta có hệ:

hoặc

- TH2: ta có hệ:

vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm là và .

Đáp án B.

STUDY TIP

Trong phương trình (1) biến đổi thì thấy có những biểu thức giống nhau, từ đó tìm cách đặt ẩn phụ.

Lời giải

Điều kiện:

Phương trình

Giải phương trình bậc hai ta được:

- Với thế vào (2) ta được nghiệm không thỏa mãn .

- Với thế vào (2) ta được nghiệm .

Đáp án D.

Dạng 7

Hệ phương trình 3 ẩn

Lời giải

Ta coi z như là tham số thì hệ đã cho là hệ đối xứng với x và y nên:

Hệ phương trình

- Với ta có: .

Hệ này có nghiệm .

- Với ta có:

STUDY TIP

Trong Ví dụ 1, ta cũng có thể dùng phương pháp thế để giải.

Giải hệ ta có nghiệm .

- Với ta có:

Giải hệ ta có 2 nghiệm và .

Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm.

Đáp án D.

Lời giải

Nhân vế với vế 3 phương trình trên ta được:

- Với ta có hệ:

Thay (1) vào (4) ta được

Thay (2) vào (4) ta được

Thay (3) vào (4) ta được

Hệ có nghiệm là là

- Tương tự với ta giải được nghiệm là

Đáp án A.

B. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 132

Câu 1: Cho hệ phương trình: . Khi hệ có nghiệm duy nhất thì tổng là:

A. B.

C. D.

Câu 2: Xác định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

A. hoặc B.

C. hoặc D. hoặc

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình: có nghiệm nguyên (tức là )?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Câu 4: Biết hệ phương trình: có hai nghiệm và . Khi đó bằng:

A. 14 B. 0 C. 3 D. 4

Câu 5: Cho hệ phương trình: . Gọi và là các nghiệm của hệ. Tính .

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1

Câu 6: Cho hệ phương trình: .

Đặt , tính ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

A. B.

C. D.

Câu 8: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức . Khi đó các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất theo thứ tự là:

A. B. C. D.

Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 10: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 11: Gọi , là các nghiệm của hệ phương trình: .

Hãy tính .

A. 0 B. 8 C. 10 D. 5

Câu 12*: Cho hệ phương trình: . Xác định a để hệ có tích x.y nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 13*: Cho hệ phương trình:

.

Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm là và . Khi đó tổng là:

A. B. C. D.

Câu 14*: Cho hệ phương trình:

Biết hệ phương trình có hai nghiệm là và . Tìm .

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III

Xem đáp án chi tiết tại trang 134

Câu 1: Cặp là nghiệm của phương trình:

A. B.

C. D.

Câu 2: Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm . Hãy xác định mệnh đề đúng.

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Hệ phương trình nào sau đây không phải là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn?

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho phương trình . Hãy chọn mệnh đề đúng?

A. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

C. Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

D. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 6: Phương trình có:

A. Hai nghiệm trái dấu B. Hai nghiệm dương

C. Hai nghiệm âm D. Vô nghiệm

Câu 7: Tìm điều kiện xác định của phương trình

.

A. B.

C. D.

Câu 8: Chọn cặ phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 9: Cho các phương trình sau:

(1)

(2);

(3);

(4).

Số phương trình vô nghiệm là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 10: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

.

A. 3 B. 2 C. 1 D.

Câu 11: Cho là hai nghiệm của phương trình . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào chỉ có hai nghiệm là và ?

A. B.

C. D.

Câu 12: Nghiệm của hệ phương trình là . Tính bằng:

A. 2 B. C. D.

Câu 13: Một công ty Taxi có 85 xe chở khách gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại?

A. 50 xe 4 chỗ; 35 xe 7 chỗ

B. 35 xe 7 chỗ; 50 xe 4 chỗ

C. 45 xe 4 chỗ; 40 xe 7 chỗ

D. 40 xe 4 chỗ; 45 xe 7 chỗ

Câu 14: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt. Hãy tính .

A. B.

C. D.

Câu 15: Tìm số nghiệm của phương trình

?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 16: Cho phương trình . Đặt , . Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Câu 17: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình . Hãy tính S.

A. B. C. D.

Câu 18: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 19: Cho phương trình . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho?

A.

B.

C.

D.

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình có duy nhất một nghiệm. Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây

A. B.

C. D.

Câu 21: Phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. và D. hay

Câu 22: Với điều kiện nào của m thì phương trình có nghiệm âm?

A. B.

C. D. và

Câu 23: Cho hệ phương trình (I), m là tham số. Mệnh đề nào sai?

A. Hệ (I) có vô số nghiệm.

B. Khi thì hệ (I) có vô số nghiệm.

C. Hệ (I) có nghiệm duy nhất .

D. Khi thì hệ (I) vô nghiệm.

Câu 24: Số nghiệm của phương trình

là:

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Câu 25: Một lớp học có 36 học sinh được phân thành 3 nhóm A, B, C để thảo luận trong giờ học toán. Biết nhóm A ít hơn nhóm B 2 học sinh, tổng số học sinh nhóm A và C gấp đôi số học sinh nhóm B. Hỏi số lượng học sinh từng nhóm A, B, C lần lượt là bao nhiêu?

A. 12, 14, 16 B. 12, 10, 14

C. 14, 12, 10 D. 10, 12, 14

Câu 26: Giả sử phương trình:

có các nghiệm là . Tính

A. B. C. D.

Câu 27: Tổng các nghiệm của phương trình

là:

A. 6 B. C. D. 7

Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn để phương trình vô nghiệm.

A. 4 B. 3 C. 19 D. 20

Câu 29: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi?

A. B.

C. D.

Câu 30: Cho phương trình:

.

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm sao cho tổng bình phương hai nghiệm đó bằng 5?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 31: Thảo và Châu đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30km, vận tốc trung bình của Châu nhanh hơn vận tốc trung bình của Thảo 3km/h nên Châu đến B sớm hơn Thảo 30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi người.

A. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h

B. Vận tốc trung bình của Châu là 12km/h, của Thảo là 15km/h

C. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 17km/h

D. Vận tốc trung bình của Châu là 11km/h, của Thảo là 8km/h

Câu 32: Có bao nhiêu tam giác cân có một góc gấp đôi góc kia?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 33: Cho phương trình . Đặt: , , . Ta có (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. B. hoặc

C. D.

Câu 34: Số nghiệm của phương trình là:

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 35: Số nghiệm của phương trình:

là:

A. 2 B. 1 C. 4 D. 5

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình vô nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 37: Cho (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên đoạn để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

A. 2 B. 5 C. 3 D. 4

Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: có đúng 3 nghiệm thuộc .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 39: Gọi là hai nghiệm của phương trình (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

A. B.

C. D.

Câu 40: Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. Tìm các giá trị nguyên của m trên đoạn để phương trình xác định trên .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 41: Cho hệ phương trình . Có bao nhiêu giá trị m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 42: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Biết c và d là hai nghiệm của phương trình và a, b là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .

A. B.

C. D.

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng bốn nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 45: Nghiệm của phương trình thuộc khoảng nào sau đây:

A. B.

C. D.

Câu 46: Nghiệm của phương trình có dạng với a, b, c tối giản. Tính

A. 11 B. 43 C. 61 D. 29

Câu 47: Phương trình:

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 48: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 49: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 50: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 3

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1: Đáp án D.

ĐKXĐ:

Câu 2: Đáp án B.

ĐKXĐ:

Vậy .

Câu 3: Đáp án A.

ĐKXĐ:

.

Câu 4: Đáp án B.

ĐKXĐ:

Câu 5: Đáp án C.

ĐKXĐ:

Câu 6: Đáp án D.

ĐKXĐ:

Câu 7: Đáp án D.

ĐKXĐ:

Câu 8: Đáp án C.

ĐKXĐ:

Câu 9: Đáp án D.

Nhìn đồ thị ta thấy

Điều kiện: .

Câu 10: Đáp án A.

Nhìn đồ thị ta thấy

Câu 11: Đáp án B.

Từ đồ thị ta thấy .

Câu 12: Đáp án B.

Vẽ lại hình:

Ta thấy: Parabol đi qua các điểm , ,

nên thì .

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC NHẤT

Câu 1: Đáp án B.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Câu 2: Đáp án A.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Câu 3: Đáp án C.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Câu 4: Đáp án B.

ĐKXĐ:

Phương trình tương đương với là nghiệm khi

Câu 5: Đáp án C.

ĐKXĐ: .

Phương trình tương đương với

là nghiệm của phương trình đã cho khi

Câu 6: Đáp án A.

Phương trình

- Với : (1) nghiệm đúng ; (2) có nghiệm

- Với : (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm

Câu 7: Đáp án C.

Viết lại phương trình thành:

(*)

Vẽ đồ thị hàm số:

Vì số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị với đường thẳng nên thì phương trình có nghiệm.

Câu 8: Đáp án A.

Khử giá trị tuyệt đối ta được

1. ta có phương trình:

2. ta có phương trình:

3. ta có phương trình:

4. ta có phương trình:

Vẽ 4 đường thẳng suy ra tập nghiệm của phương trình là hình vuông ABCD cạnh bằng .

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC HAI

Câu 1: Đáp án B.

- Với

Khi đó phương trình trở thành

- Với .

Ta có: .

Phương trình vô nghiệm khi

Câu 2: Đáp án C.

Viết lại phương trình:

.

- Với .

Khi đó phương trình trở thành

- Với .

Ta có

, do đó số nguyên k nhỏ nhất là

Câu 3: Đáp án C.

- Với . Khi đó, phương trình trở thành: .

Do đó là một giá trị cần tìm.

- Với ta có

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi

Câu 4: Đáp án C.

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi:

Câu 5: Đáp án C.

Viết lại phương trình:

- Với

Khi đó phương trình trở thành;

.

Do đó là một giá trị cần tìm.

- Với .

Ta có:

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi:

Câu 6: Đáp án B.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Khi đó gọi hai nghiệm là là

Câu 7: Đáp án A.

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi:

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu.

Câu 8: Đáp án B.

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy với thỏa mãn.

Câu 9: Đáp án A.

Giả sử là hai nghiệm của phương trình khi đó ta có

Theo giả thiết ta có

Câu 10: Đáp án C.

Gọi là hai nghiệm của phương trình: .

Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: để phương trình có nghiệm

Theo định lí Vi-et ta có:

Khi đó:

khi .

Câu 11: Đáp án A.

Ta có

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-et ta có:

Ta có:

.

Khi đó:

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Câu 12: Đáp án C.

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo bài ra ta có:

(*)

Theo hệ thức Vi-et:

Thay vào (*) ta được:

Câu 13: Đáp án D.

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi

Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi:

Câu 14: Đáp án A.

Phương trình có nghiệm

Xét

Bảng biến thiên:

khi

Câu 15: Đáp án B.

Phương trình bậc hai có các nghiệm có dạng

Đặt ta có:

Vậy phương trình đã cho cần lập là:

Câu 16: Đáp án D.

Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt

có hai nghiệm dương phân biệt

Câu 17: Đáp án C.

Đặt

Phương trình đã cho trở thành;

(2)

với

Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có nghiệm .

Ta có: nên phương trình (2) có 2 nghiệm .

Ta đi tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm

vì

thỏa mãn yêu cầu tương đương với .

Câu 18: Đáp án A.

Đặt ta có phương trình:

(2)

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm .

Điều kiện cần:

Khi đó ta có phương trình:

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Câu 19: Đáp án D.

Điều kiện: .

Phương trình

Đặt

Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm thuộc .

Xét hàm số .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên là giá trị cần tìm.

Câu 20: Đáp án B.

Điều kiện: .

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

Đặt ta có phương trình: .

Khảo sát trên .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên .

IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1: Đáp án B.

Hệ có nghiệm duy nhất khi và

Khi đó:

Câu 2: Đáp án A.

Hệ vô nghiệm

Câu 3: Đáp án C.

Ta có:

+ Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm

+ Trường hợp 2:

Lúc đó hệ có nghiệm duy nhất:

là ước nguyên của 2

Câu 4: Đáp án D.

Từ (2) ta có: thế vào (1) ta có:

- Với

- Với

Hệ có nghiệm là

.

Câu 5: Đáp án A.

Đặt

Ta có:

Ta có hệ:

Lại đặt: ta có:

Ta có hệ:

Vì nên chỉ có

thỏa mãn

x, y là nghiệm phương trình:

Nghiệm của hệ là

Câu 6: Đáp án C.

Ta có:

Ta có hệ:

Câu 7: Đáp án D.

Đặt:

Khi đó hệ trở thành:

Suy ra u, v là nghiệm không âm của phương trình:

(*)

Theo đề bài hệ đã cho có nghiệm

Phương trình (*) có nghiệm không âm

Câu 8: Đáp án B.

Điều kiện: . Khi đó ta có hệ:

Đặt:

Ta có hệ:

(thỏa mãn ĐK)

Câu 9: Đáp án C.

Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:

- TH1: ta có hệ:

Hệ có nghiệm là .

- TH2: ta có hệ:

hoặc

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.

Câu 10: Đáp án D.

Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:

- TH1: Với thay vào (1) ta có:

Hệ có nghiệm là

.

- TH2: . Kết hợp với phương trình mà ta cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho ta được:

Đặt ta có hệ:

là nghiệm phương trình:

hay

Hệ có nghiệm là .

Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm , , , .

Câu 11: Đáp án A.

Nhận xét: Vế trái của hai phương trình đều là bậc hai; vế phải là hằng số nên ta có thể nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đẳng cấp.

Ta có:

+ Với không là nghiệm của hệ

+ Với chia hai vế cho ta được:

Đặt ta có phương trình:

- Với thay vào (1) ta được vô nghiệm.

- Với ta có: thay vào (1)

hoặc

.

Câu 12: Đáp án B.

Đặt ()

Hệ phương trình đã cho có dạng

Để hệ có nghiệm thì

(*)

Điều kiện (*) là điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.

Xét: ta có bảng biến thiên trên đoạn là:

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi

.

Câu 13: Đáp án B.

Hệ đã cho biến đổi thành:

Đặt ,

hệ phương trình có dạng:

hoặc

- TH1: Với

- TH2: Với

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

.

Câu 14: Đáp án C.

Dùng máy tính cầm tay nhập biểu thức:

Ấn: SHIFT SOLV gán

Máy luận: … tức là (11,0489 …, 100) là 1 cặp nghiệm của phương trình.

- Nhập tiếp: ấn “=” ta được kết quả là

12,0489…=11,0489…+1 =

- Nhập tiếp: ấn bằng máy hiện 2 ta hiểu:

tại

.

Phương trình (1) của hệ phương trình với

Nhân liên hợp ta có:

Vì trong ngoặc vuông lớn hơn 0 nên thế vào phương trình (2) của hệ ta được:

Đến đây dùng máy tính nhẩm được hoặc .

Vậy .

V. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 3

Câu 1: Đáp án A.

Thay vào phương trình của 4 đáp án ta thấy đáp án A.

Câu 2: Đáp án D.

Câu 3: Đáp án A.

Nhận dạng hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn theo công thức:

trong đó mỗi phương trình là 1 phương trình bậc nhất 3 ẩn với các hệ số không đồng thời bằng 0.

Câu 4: Đáp án A.

Câu 5: Đáp án A.

Phân tích phương án nhiễu:

B. Sai do tính nhầm

C. Sai do tính nhầm

.

D. Sai do không nhìn ra điều kiện.

Câu 6: Đáp án B.

có

Phương trình có 2 nghiệm dương

Câu 7: Đáp án A.

ĐKXĐ:

Câu 8: Đáp án D.

ĐKXĐ: . Ta có:

Do đó, và không phải là cặp phương trình tương đương.

Câu 9: Đáp án C.

+)

Phương trình (1) vô nghiệm.

+) .

ĐKXĐ:

mà

Phương trình (2) vô nghiệm.

+)

Phương trình (3) có nghiệm

+)

Phương trình (4) vô nghiệm.

Câu 10: Đáp án A.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3.

Câu 11: Đáp án B.

Phương trình đã cho có 2 hai nghiệm là 1 và 2.

Suy ra và là một trong hai giá trị và 1.

Hai số có tổng bằng và tích bằng

Do đó và là nghiệm của phương trình

.

Câu 12: Đáp án B.

Điều kiện:

Hệ phương trình

Câu 13: Đáp án A.

Gọi x là số xe chở được 4 khách và y là số xe chở được 7 khách (x, y nguyên và )

Ta có hệ phương trình:

Câu 14: Đáp án A.

ĐKXĐ:

(TMĐK)

Vậy .

Câu 15: Đáp án A.

Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn nên là nghiệm.

Câu 16: Đáp án B.

Đặt .

Khi đó, phương trình ban đầu trở thành .

Câu 17: Đáp án D.

. Vậy .

Câu 18: Đáp án B.

ĐKXĐ: .

Với điều kiện trên phương trình tương đương

hoặc .

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất .

Câu 19: Đáp án C.

Ta có .

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là .

Xét các đáp án:

* Đáp án A. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là .

* Đáp án B. Ta có

.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là .

* Đáp án C. Ta có

(vô nghiệm).

Do đó, tập nghiệm của phương trình là .

* Đáp án D. Ta có

.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là .

Câu 20: Đáp án D.

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

có nghiệm duy nhất khi là nghiệm của phương trình tức là:

.

Câu 21: Đáp án C.

Nếu Phương trình có vô số nghiệm

Nếu Phương trình vô nghiệm

Nếu và Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Câu 22: Đáp án A.

(1)

Với :

Phương trình vô nghiệm

Với Phương trình nghiệm đúng với mọi

Với và :

(1)

Do đó phương trình có nghiệm âm khi và chỉ khi .

Câu 23: Đáp án A.

Hệ phương trình có vô số nghiệm

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với ta có hệ hệ vô nghiệm.

Câu 24: Đáp án D.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm số là: ; .

Câu 25: Đáp án D.

Gọi A, B, C lần lượt là số học sinh của 3 nhóm A, B, C.

Theo đề ta có

Câu 26: Đáp án D.

Đặt , (với )

Ta có:

Với

Câu 27: Đáp án C.

ĐK (*)

Với điều kiện (*) ta đặt (1)

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*)

(**)

Với điều kiện (**), phương trình đã cho trở thành:

Với , ta có:

(1)

Với , ta có:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt:

Câu 28: Đáp án B.

Theo bài ra

Câu 29: Đáp án A.

có 2 nghiệm phân biệt cùng dương khi

Câu 30: Đáp án B.

Câu 31: Đáp án A.

Gọi vận tốc trung bình của Thảo là x (km/h),

Gọi vận tốc trung bình của Châu là (km/h)

Thời gian Thảo đi từ A đến B là (h)

Thời gian Châu đi từ A đến B là (h)

Ta có phương trình:

Vậy Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h.

Câu 32: Đáp án C.

Gọi A, B, C lần lượt là số đo 3 góc của tam giác (), đơn vị độ. Không mất tính tổng quát ta giả sử

Theo đề ta có

hoặc

hoặc

hoặc

Câu 33: Đáp án B.

Đặt ()

(1) thành (2)

Phương trình (1) vô nghiệm

phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm hoặc

Câu 34: Đáp án C.

+ Nếu thì phương trình trở thành

Kết hợp với có nghiệm

+ Nếu thì phương trình trở thành

Kết hợp với ta có phương trình vô nghiệm.

Kết luận phương trình có nghiệm

Câu 35: Đáp án A.

ĐKXĐ:

Với điều kiện trên ta có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Câu 36: Đáp án D.

Câu 37: Đáp án D.

Điều kiện: .

(2), phương trình luôn có nghiệm là và , để phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì

Câu 38: Đáp án D.

. Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn và khác

.

Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.

Câu 39: Đáp án C.

Để phương trình có hai nghiệm . (*)

Theo định lí Viet, ta có

Khi đó

Vì

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : thỏa mãn (*).

Câu 40: Đáp án D.

Đồ thị như hình vẽ:

Câu 41: Đáp án B.

Với

hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

Câu 42: Đáp án A.

Vì c, d là hai nghiệm của phương trình suy ra .

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình suy ra .

Khi đó, ta có hệ

.

Lại có

.

- Với thì từ : mâu thuẫn giả thiết.

- Với thì từ và từ .

Ta có:

.

Khi đó

Câu 43: Đáp án B.

Ta có

Xét (1), ta có:

+ thì phương trình nghiệm đúng với mọi .

+ thì có nghiệm .

Xét (2), ta có:

+ thì phương trình vô nghiệm.

+ thì phương trình có nghiệm .

Vì nên phương trình có hai nghiệm, phân biệt là khi và .

Mà và

có 9 giá trị m.

Câu 44: Đáp án D.

ĐKXĐ:

Đặt

.

Với mỗi t thỏa mãn thì (*) có hai nghiệm x phân biệt.

Mặt khác phương trình đã cho trở thành: (**)

k

Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa điều kiện

hay

Có vô số giá trị m

Câu 45: Đáp án C.

ĐK:

(t/m)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất

Câu 46: Đáp án D.

+ Đặt . Khi đó ta có:

.

+ Sử dụng định lí Viet đảo hoặc phương pháp thế ta được:

+ Vì vai trò của u, v như nhau nên ta chỉ cần xét ta có:

Câu 47: Đáp án B.

Điều kiện: (*)

Ta thấy thỏa mãn điều kiện (*)

Nếu thì

(*) .

Do đó điều kiện xác định của phương trình là hoặc .

Thay và vào phương trình thấy chỉ có thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Câu 48: Đáp án B.

Hệ phương trình tương đương với

Đặt , hệ phương trình đã cho trở thành.

Với ta có

Với ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm là và .

Câu 49: Đáp án A.

Điều kiện:

Hệ

(Do

)

Thay vào hệ ta được:

.

Vậy hệ có nghiệm: .

Câu 50: Đáp án B.

Ta thấy không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành

Đặt ta có hệ:

* .

* .

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: