Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp quy nạp toán học
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với .
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi , ta có đẳng thức
- Bước 1: Với thì vế trái bằng , vế phải bằng .
Vậy đẳng thức đúng với .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , tức là chứng minh
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Mà
Suy ra
Do đó đẳng thức đúng với . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với thì (loại được các phương án B và D);
+ Với thì (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP
Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:
1)
2)
3)
4)
5)
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án B.
Lời giải
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Bước 1: Với thì vế trái bằng , còn vế phải bằng .
Vậy đẳng thức đúng với .
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh .
Thật vậy, vì nên theo giả thiết quy nạp ta có .
Mặt khác, nên .
Vậy phương án đúng là B.
STUDY TIP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của .
+ Với thì (loại ngay được phương án A, C và D).
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A.. B. . C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương, ta có .
Do đó:.
Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
Với thì (chưa loại được phương án nào);
Với thì (loại ngay được các phương án A,B và D.
Vậy phương án đúng là phương án C.
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp ta dự đoán được với Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với thì vế trái bằng còn vế phải bằng
Do nên bất đẳng thức đúng với
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nghĩa là
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với tức là phải chứng minh hay
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Suy ra hay
Mặt khác với mọi
Do đó hay bất đẳng thức đúng với
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
STUDY TIP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:
Tìm số nguyên tố nhỏ nhất sao cho:
A. . B. . C. . D. .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A.. B. . C. . D. .
A.. B. hoặc . C. D. hoặc .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
, , và .
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A.. B. . C. . D. .
chia hết cho . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
A.. B. . C. . D. .
Bước 1: Với , ta có: và . Vậy đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là ta có .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với , nghĩa là phải chứng minh .
Bước 3 : Ta có . Vậy với mọi số nguyên dương .
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.
là :
A.. B. . C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng và tổng các góc trong từ giác bằng , chúng ta dự đoán được .
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với thì (loại luôn được các phương án A, C và D); với thì (kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Để chọn được đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .
Với thì (loại ngay được phương án B và C); với thì (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp ta dự đoán được công thức .
Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như và . Ta có: .
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện . Suy ra: .
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì nên (loại ngay được các phương án B, C, D).
Cách 2: Chúng ta tính dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: . Suy ra .
Dễ thấy thì bất đẳng thức là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với ta thấy là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng với mọi . Vậy là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng .
Cách 1: Với chú ý , chúng ta có:
=.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: .
Suy ra .
Cách 2: Cho ta được: .
Giải hệ phương trình trên ta được . Suy ra
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: . Suy ra .
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: . Suy ra .
Cách 2: Cho ta được . Giải hệ phương trình trren ta được . Suy ra .
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: . So sánh cách hệ số, ta được .
Cách 2: Cho , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn . Giải hệ phương trình đó, ta tìm được . Suy ra .
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+) .
Suy ra .
+)
Suy ra .
Do đó .
Cách 2: Cho và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ; .
Do đó .
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có là sai.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng chia hết cho 6.
Thật vậy: Với thì .
Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với , nghĩa là phỉa chứng minh chia hết cho 6.
Ta có: .
Theo giả thiết quy nạp thì chia hết cho 6 nên cũng chia hết cho 6.
Vậy chia hết cho 6 với mọi . Do đó các mệnh đề và cũng đúng.
Phân tích phần tử đại diện, ta có: .
Suy ra:
=.
Đối chiếu với hệ số, ta được: .
Suy ra: .
DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển trong đó hoặc viết tắt là .
Số hạng được gọi là số hạng đầu, là số hạng tổng quát (số hạng thứ ) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số:
Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:
- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ của dãy số. Chẳng hạn, .
- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có với mọi
.
Chứng minh: Ta có .
Suy ra hay .
Vậy là một dãy số tăng.
b) Dãy số với là một dãy số giảm.
Chứng minh:
Cách 1: Ta có . Suy ra hay
.Vậy là một dãy số giảm.
Cách 2: Với , ta có nên ta xét tỉ số .
Ta có nên . Vậy là một dãy số giảm.
c) Dãy sốvới không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số giảm vì không xác định được dương hay âm. Đây là dãy số đan dấu.
STUDY TIP
Để chứng minh dãy số là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một trong 2 hướng sau đây:
(1): Lập hiệu . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng) hoặc (dãy số giảm)
(2): Nếu thì ta có thể lập tỉ số . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng),(dãy số giảm).
4. Dãy số bị chặn
Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , sao cho .
Ví dụ 7:
a) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .
b) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .
c) Dãy số với bị chặn dưới vì .
d) Dãy số với ( dấu căn), bị chặn trên vì .
STUDY TIP
1) Nếu là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi .
2) Nếu là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi .
B. Các bài toán điển hình
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án C
Lời giải
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
+ Ta có
+ Ta có .
+ Ta có .
+ Ta có .
Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây
Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 1: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để
Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B.. C. . D..
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có .
Từ đây chúng ta có thể dự đoán . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với thì và . Vậy đẳng thức đúng với .
Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là chứng minh .
Thật vậy, ta có (theo hệ thức truy hồi).
Theo giả thiết quy nạp thì nên .
Vậy đẳng thức đúng với . Suy ra .
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu thì .
Ta có nên .
Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức giúp ta giải quyết được bài toán tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây nhé:
Cho dãy sốxác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D
Lời giải
Ta có .
Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được . Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được . Vậy phương án đúng là D.
Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới đây:
Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. Dãy sốlà dãy số giảm. B. Dãy sốkhông là dãy số giảm.
C. Dãy sốlà dãy số tăng. D. Dãy sốkhông là dãy số tăng.
A. . B. . C. . D. .
STUDY TIP
Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy
+ Với thì loại ngay được phương án A.
+Ta có thì loại ngay được các phương án B và C.
A. là dãy số tăng và .
B. là dãy số giảm và .
C. là dãy số tăng và .
D. là dãy số tăng và .
Đáp án A.
Lời giải
Ta có và .
Suy ra .
Ta có và .
Do đó .
Dấu bằng chỉ xảy ra khi hay . suy ra dãy số là dãy số tăng.
Vậy phương án đúng là A.
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số .
Đặt khi đó .
Từ hệ thức truy hồi suy ra .
Như vậy ta có .
Ta có ; . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng , suy ra . Do đó . Vậy suy ra phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi
-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .
-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .
Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. Không. B. Có, . C. Có, . D. Có, .
A. Giảm và bị chặn trên. B. Tăng và bị chặn trên.
C. Tăng và bị chặn dưới. D. Giảm và bị chặn dưới.
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
+ Ta có .
Do đó ta có và .
Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
.
+ Ta có .
Do đó ta có: và .
Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
.
+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:
.
Do đó số hạng tổng quát của dãy số là .
Vậy suy ra . Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây:
Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi và , với mọi , trong đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là và . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là , trong đó thỏa mãn hệ phương trình .
A. . B. . C. . D.
Đáp án A.
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:
.
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .
Giải phương trình ta được
Vậy phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi và .
Số hạng tổng quát của dãy số được tính theo công thức: .
A. là một dãy số giảm và bị chặn.
B. là một dãy số tăng và bị chặn.
C. là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
D. là một dãy số tăng và không bị chặn trên.
Đáp án A
Lời giải
Ta có . Do đó ta loại được các phương án B và D.
+ Ta có nên .
Suy ra nên là dãy số giảm.
+ Vì là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi .
Ta có .
Vậy phương án đúng là A.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.
A. Dãy , với .
B. Dãy , với .
C. Dãy , với .
D. Dãy , với .
A. Dãy , với . B. Dãy với .
C. Dãy , với . D. Dãy , với .
A. . B. . C. . D. .
A. là dãy số giảm, là dãy số giảm.
B. là dãy số giảm, là dãy số tăng.
C. là dãy số tăng, là dãy số giảm.
D. là dãy số tăng, là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số.
A. Dãy bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. Dãy không bị chặn.
A. Dãy , với .
B. Dãy , với .
C. Dãy , với .
D. Dãy , với .
A. Dãy , với .
B. Dãy , với .
C. Dãy , với .
D. Dãy , với .
A. Dãy , với .
B. Dãy , với .
C. Dãy , với .
D. Dãy , với .
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. Dãy số xác định bởi và là một dãy số không đổi.
B. Dãy số , với , có tính chất .
C. Dãy số , với , là một dãy số bị chặn.
D. Dãy số , với , là một dãy số giảm.
A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới. B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.
C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới. D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.
A. . B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
Ta có nên
Ta có (loại phương án B và D) và (loại phương án C).
Ta có nên loại các phương án còn lại.
Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng . Do đó .
Ta có . Suy ra
Giải phương trình ta được
Ta có Dấu bằng xảy ra khi
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Ta có Dấu bằng xảy ra khi
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng .
Ta tính được
Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Phương án A:
Cách 3: Với loại các phương án còn lại B, C, D.
Ta có và
Suy ra
Suy ra Do đó
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số
Ta có Xét hiệu
là dãy tăng khi và chỉ khi
Ta có và nên là dãy số tăng.
Ta có nên cũng là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số
Ta có nên là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn dưới bởi . Lại do nên dãy số bị chặn trên bởi 1.
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
Ta có .
Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.
Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.
Từ đây ta dự đoán Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng
Mặt khác nên
Trước hết ta kiểm tra phương án với nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của
Dễ dàng thấy nên phương án A là sai.
Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy ta được
Từ đây ta dự đoán được
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được Vậy số nguyên dương cần tìm là
Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để Do đó
Suy ra số cần tìm là
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng Suy ra là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng.
Vậy Do đóphương án B là đúng.
Ta có Từ đó ta tính được
Do nên là dãy số giảm
Ta có nên là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra
Do đó
Vậy
Dựa vào chu kì của hàm số ta có
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là
Suy ra Do đó
Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có
Suy ra
Do đó
Vậy Vì nên
Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là . Vì vậy phương án đúng là C.
CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi .
Số không đổi được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
2) Cấp số cộng là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai .
3) Cấp số cộng là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai .
STUDY TIP
Để chứng minh dãy số là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh là một hằng số với mọi số nguyên dương .
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
.
Lời giải
Vì
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
a) Dãy số , với ; b) Dãy số , với ;
c) Dãy số , với ; d) Dãy số , với .
Lời giải
a) Ta có nên
Do đó là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
b) Ta có nên
Suy ra là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
c) Ta có nên (phụ thuộc vào giá trị của ). Suy ra không phải là một cấp số cộng.
d) Ta có nên (phụ thuộc vào giá trị của ).
Suy ra không phải là một cấp số cộng.
Ví dụ 3. Cho cấp số cộng có 7 số hạng với số hạng đầu và công sai . Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.
Lời giải
Ta có
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng là
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG.
Định lý 1.
Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:
(2)
STUDY TIP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:
Cho cấp số cộng biết hai số hạng và thì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức:
(1) :
(2) :
Ví dụ 4. Cho cấp số cộng có và .
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Lời giải
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
Vì nên
Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG.
Định lý 2.
Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
với . (3)
STUDY TIP
Một cách tổng quát, ta có:
Nếu là cấp số cộng thì .
Ví dụ 5.
a) Cho cấp số cộng có và . Tìm .
b) Cho cấp số cộng . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có nên .
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có và .
Vì nên
Vậy .
IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG.
Định lý 3.
Cho một cấp số cộng . Đặt . Khi đó:
(4) hoặc (5)
STUDY TIP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính khi biết số hạng đầu và số hạng thứ của cấp số cộng.
2) Để tính được , thì công thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng . Chúng ta cần biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo các công thức tính thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng .
Ví dụ 6. Cho cấp số cộng có và .
a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết , tìm .
Lời giải
Ta có
a) Ta có .
b) Vì nên
Giải phương trình bậc hai trên với nguyên dương, ta tìm được
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG
A. Dãy số , với .
B. Dãy số , với .
C. Dãy số , với .
D. Dãy số , với .
Lời giải
Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì
- Phương án C: Ta có
Do đó, nên là cấp số cộng.
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
Ba số này không lập thành cấp số cộng.
STUDY TIP
1) Để chứng minh dãy số là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh là một hằng số với mọi số nguyên dương .
2) Để chỉ ra dãy số không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng liên tiếp của dãy số không lập thành một cấp số cộng.
A.. B.. C.. D. .
Lời giải
Đáp án C.
Ta có công sai của cấp số cộng là .
Suy ra .
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP
Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng của số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.
Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 1: Cho cấp số cộng có và . Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?
A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.
Câu 2: Cho cấp số cộng có và . Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3: Cho cấp số cộng có và . Tính tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 4: Cho cấp số cộng có và . Biết rằng tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm .
A. . B. . C. . D..
A.. B. . C.. D. .
Lời giải
Đáp án D.
Ta có .
Ta có hệ phương trình .
Vậy phương án đúng là D.
A. với .
B. với .
C. với .
D. .
Lời giải
Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A: Ta có
.
Do đó A là phương án đúng.
+ Phương án B: Ta có
.
Do đó B là phương án đúng.
+ Phương án C: Ta có
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có
Vậy phương án D sai.
STUDY TIP
Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:
1) với .
2) với .
3) với .
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có . Vậy D là phương án sai.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
Vậy chọn phương án A.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt thì với mọi .
Dấu bằng xảy ra khi .Suy ra .
Ta có . Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Suy ra là số hạng thứ của cấp số cộng.
Do đó . Vậy B là phương án đúng.
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây:
Câu 1. Cho cấp số cộng Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho cấp số cộng Tìm biết .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số và bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho cấp số cộng có và . Số hạng thứ của cấp số cộng đó là số nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có . Vì lập thành cấp số cộng nên . Suy ra . Thay vào phương trình đã cho, ta được
- Điều kiện đủ:
+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm.
+ Với , ta có phương trình
Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng.
Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì nguyên).
+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm.
+ Với , ta có phương trình
Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.
STUDY TIP
Phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là . Trong thực hành giải toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là là nghiệm của phương trình.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt . Khi đó ta có phương trình: .
Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có nghiệm dương phân biệt
(do tổng hai nghiệm bằng nên không cần điều kiện này).
+ Với điều kiện trên thì có hai nghiệm dương phân biệt là .
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi
Theo định lý Vi-ét ta có: .
Suy ra ta có hệ phương trình .
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.
Do đó .
Suy ra phương án đúng là C.
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Lời giải
Gọi là giá của mét khoan thứ , trong đó
Theo giả thiết, ta có và với .
Ta có là cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là
(đồng).
Vậy phương án đúng là A.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng
A. . B. . C. . D. .
A. Dãy số với .
B. Dãy số với .
C. Dãy số với .
D. Dãy số với .
A. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
B. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
C. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
D. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. hoặc . B. hoặc . C. hoặc . D. hoặc .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Dạng 3: Bài tập về tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
A. . B. .
C. . D. .
A. Ba số lập thành một cấp số cộng.
B. Ba số lập thành một cấp số cộng.
C. Ba số lập thành một cấp số cộng.
D. Ba số lập thành một cấp số cộng
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. hàng. B. hàng. C. hàng. D. hàng.
A. ô. B. ô. C. ô. D. ô.
A. triệu đồng. B. triệu đồng. C. triệu đồng. D. triệu đồng.
A. Dãy số không phải là một cấp số cộng.
B. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .
C. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .
D. Dãy số không phải là một cấp số cộng có công sai .
A. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .
B. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .
C. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .
D. Dãy số không phải là một cấp số cộng.
A. . B. . C. . D.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: .
- Phương án B: .
Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: Ta có nên là cấp số cộng.
- Phương án B: Ta có nên là cấp số cộng.
- Phương án C: Ta có nên không là cấp số cộng.
- Phương án D: Ta có (do ) nên là cấp số cộng.
Theo giả thiết, ta có: .
Suy ra hoặc lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.
Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng
Ta có là cấp số cộng có công sai nên số hạng đầu là
Suy ra số hạng tổng quát là .
Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:
Suy ra .
Ta có và . Suy ra
Vậy .
Ta có .
Suy ra . Do đó .
Ta có hoặc .
+ Giải , ta được .
+ Giải , ta được .
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .
Nếu thì .
Vậy là số hạng thứ của cấp số cộng.
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có .
Theo giả thiết, ta có
Suy ra .
Vậy số cần viết thêm là .
Ta có
Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có .
Suy ra , tức là và .
Lại do nên .
ứng với giá trị của , ta tìm được số hạng chung.
Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là
Giả sử . Khi đó
Theo giả thiết, ta có .
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
+) .
+)
Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và ta tìm được nghiệm
Do đó .
Dạng 3: Bài tập về tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có .
.
Do đó ta có hệ phương trình .
Ta có
Vậy đáp án đúng là B.
Ta có
.
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Ta có: .
- Phương án A: Ta có:
- .
- Vậy đáp án A.
Theo giả thiết ta có:
Suy ra ba số hoặc lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là. A.
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là hay .
Với thì phương trình đã cho trở thành .
Bốn số lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.
ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là hay
Với , ta có phương trình . Phương trình nàu có 4 nghiệm là lập thành cấp số cộng.
Với , ta có phương trình . Phương trình này có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó .
Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình.
Suy ra .
Với , ta có phương trình .
Ba số lập thành cấp số cộng.
Vậy các giá trị cần tìm là . Do đó D là phương án đúng.
Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: là nghiệm của phương trình.
Suy ra
Với thì nên .
Do vậy, với ta có phương trình .
Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.
Vậy là các giá trị cần tìm.
Do đó
Ký hiệu là độ cao của bậc thứ so với mặt sân.
Khi đó, ta có (mét), trong đó (mét). Dãy số lập thành một cấp số cộng có và công sai . Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là (mét).
Giả sử trồng được hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là .
Theo giả thiết ta có .
Kí hiệu là số hạt dẻ ở ô thứ .
Khi đó, ta có và .
Dãy số là cấp số cộng với và công sai nên có .
Theo giả thiết, ta có .
Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng.
Kí hiệu là mức lương của quý thứ làm việc cho công ty. Khi đó và .
Dãy số lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.
Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là (triệu đồng).
Bán kính đường tròn có đường kính là .
Diên tích nửa đường tròn đường kính là .
Suy ra .
Ta có .
Do nên là cấp số cộng với công sai .
Suy ra B là phương án đúng.
Ta có trong đó .
Do nên là một cấp số cộng với công sai .
Suy ra B là phương án đúng.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .
Nhận thấy toạ độ của các điểm đều thoả mãn phương trình nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm là .
Suy ra A là phương án đúng.
CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Đặc biệt:
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
Nếu là một cấp số nhân với công bội , ta có công thức truy hồi (1)
STUDY TIP
1) Để chứng minh dãy số là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi sao cho .
2) Trong trường hợp để chứng minh là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ số là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.
3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.
Lời giải
Ta có
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số là một cấp số nhân với công bội .
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
a) Dãy số , với b) Dãy số , với
c) Dãy số , với d) Dãy số , với
Lời giải
a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 9. Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.
Cách 2: Ta có nên (phụ thuộc vào n không phải là số không đổi). Do đó, không phải là cấp số nhân.
b) Ta có nên (là số không đổi). Do đó, phải là cấp số nhân với công bội .
c) Ta có nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).
Do đó không phải là một cấp số nhân.
d) Ba số hạng đầu của dãy số là Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.
Lời giải
Ta có
Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Định lý 1.
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: (2)
STUDY TIP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau:
Cho cấp số nhân với các số hạng khác 0. Khi đó ta có:
1)
2)
Ví dụ 4. Cho cấp số nhân có và
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?
Lời giải
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
Vì nên
Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.
Ví dụ 5. Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân .
Ta có
+ Với và , ta có số hạng tổng quát là
+ Với và , ta có số hạng tổng quát là
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lý 2.
Trong một cấp số nhân , bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
(3)
STUDY TIP
Một cách tổng quát, ta có:
Nếu là cấp số nhân thì
Ví dụ 6.
a) Cho cấp số nhân có và . Tìm .
b) Cho cấp số nhân . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có Suy ra hoặc .
b) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có và .
Giải ra ta được hoặc .
+ Với thì
+ Với thì
Vậy hoặc
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Định lý 3.
Cho một cấp số nhân với công bội Đặt . Khi đó:
hoặc
STUDY TIP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính khi biết số hạng đầu và công bội q của cấp số nhân.
2) Công thức (5) được sử dụng để tính trong trường hợp biết các số hạng và công bội q của cấp số nhân.
Ví dụ 7.
a) Tính tổng
b) Cho cấp số nhân có và công bội . Tìm k, biết .
Lời giải
a) Ta có dãy số lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó
b) Ta có
Theo giả thiết, ta có
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN
A. Dãy số , với .
B. Dãy số , với .
C. Dãy số , với .
D. Dãy số , với .
Lời giải
Đáp án B
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
Ba số này không lập thành cấp số nhân vì
- Phương án B: Ta có nên là cấp số nhân
- Phương án C: Ta có (phụ thuộc vào n, không phải là không đổi)
Do đó không phải là cấp số nhân.
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là . Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số không là cấp số nhân.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án B
Ta có công bội của cấp số nhân là
Suy ra .
Vậy phương án đúng là B.
Nhận xét: Với dữ kiện của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Suy ra Vậy phương án đúng là A.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có và
STUDY TIP
1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:
Nếu phương trình bậc ba có ba nghiệm thì:
2) Trong thực hành giải toán, chúng ta sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định được mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình.
Trường hợp nếu là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là là nghiệm của phương trình bậc ba đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là công bội của cấp số nhân
Ta có
Suy ra Phương án đúng là B.
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau:
A. B.
C. D.
A. . B. . C. . D. .
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
Lời giải
Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
Theo giả thiết, ta có
Với hoặc thì kích thước của hình hộp chữ nhật là
Suy ra tổng của ba kích thước này là cm.
Vậy phương án đúng là D.
A. B.
C. hoặc D. hoặc
Lời giải
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có . Suy ra ta có
+ Điều kiện đủ: Với và thì nên ta có phương trình
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị
Vậy, và là các giá trị cần tìm. Do đó phương án
STUDY TIP
Ta có thể chỉ ra nghiệm bằng cách khác:
Theo định lý Vi-ét thì
Theo tính chất của cấp số nhân thì Suy ra
Thay được Thay vào ta được
Nhận xét: Từ kêt quả của ví dụ này, ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và
Gọi là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ
Khi đó ta có
Suy ra là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là
Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
mét khối gỗ.
Vậy phương án đúng là D.
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Lời giải
Đặt (đồng) và
Gọi là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau năm.
Theo giả thiết, ta có
Do đó dãy số là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội Suy ra
Vì vậy, sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là
Vậy phương án đúng là A.
A. tháng. B. tháng. C. tháng. D. tháng.
Lời giải
Theo ví dụ , thì sau tháng gửi tiết kiệm, ta có
trong đó
Do đó
Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A: (đồng).
+ Phương án B: (đồng).
+ Phương án C: (đồng).
Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).
Cách 2: Theo giả thiết, ta có (đồng).
Do đó, ta có
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được hay
Do đó Vậy phương án đúng là B.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
A. B.
C. D.
A. Dãy số với B. Dãy số với
C. Dãy số với D. Dãy số với
A. B. C. D.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
A. B. C. D.
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
A. B. C. D.
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
A. và B. và
C. và D. và
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. (đồng) B. (đồng)
C. (đồng) D. (đồng)
A. nghìn người. B. nghìn người.
C. nghìn người. D. nghìn người.
A. tế bào. B. tế bào. C. tế bào. D. tế bào.
A. B. C. D.
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
A. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
B. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
C. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
D. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Các dãy số trong các phương án và đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án không phải là cấp số nhân.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
+ Phương án Ta có nên dãy số là một cấp số nhân.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
Các kiểm tra như câu 2.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
Ta có: nên là cấp số nhân có công bội Suy ra số hạng tổng quát là
Vậy phương án đúng là
Ta có hoặc
Do đó là phương án đúng.
Ta có: hoặc
Với thì
Với thì
Vậy Suy ra là phương án đúng.
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Với thì với thì
Vậy phương án đúng là
Ta có: nên theo giả thiế, ta có:
Suy ra Vậy đáp án là
Gọi là công bội của cấp số nhân .
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Suy ra
Vậy phương án đúng là
Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.
+ Phương án Các góc không lập thành cấp số nhân vì
+ Phương án Các góc lập thành cấp số nhân và Hơn nữa, nên là phương án đúng.
+ Phương án và Kiểm tra như phương án
Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là trong đó
Theo giả thiết, ta có nên
Suy ra các góc của tứ giác là
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng nên ta có:
Do đó, phương án đúng là (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc ).
Ta có
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được
Lại có
Vì nên
Vậy phương án đúng là
Ta có (do ).
Do nên
Suy ra
Vậy phương án đúng là
Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Ta có
Vì nên Do đó
hoặc
+ Với thì
Suy ra
+ Với thì
Suy ra
Vậy phương án đúng là
Gọi là công bội của cấp số nhân. Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi
Suy ra:
Vậy phương án đúng là
Gọi là công bội của cấp số nhân,
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
Ta có
Do đó Vậy phương án đúng là
Ta có
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được Lại có
Vì nên Suy ra
Vậy phương án đúng là
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân
Cách 1: Ta có
Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là là nghiệm của phương trình.
Thay vào phương trình đã cho, ta được
Với ta có phương trình
Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên là giá trị cần tìm. Vậy, là phương án đúng.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
Ta có
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số nên và là các giá trị thỏa mãn
Suy ra
Vậy phương án đúng là
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng là:
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng là:
Suy ra phương án đúng là
Suy ra phương án đúng là B.
Số tiền ban đầu là (đồng).
Đặt .
Số tiền sau tháng thứ nhất là .
Số tiền sau tháng thứ hai là .
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là .
Do đó .
Đặt và .
Gọi là số dân của tỉnh sau năm nữa.
Ta có: .
Suy ra là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
Do đó số dân của tỉnh sau năm nữa là: .
Lúc đầu có tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với và công bội .
Do cứ phút phân đôi một lần nên sau giờ sẽ có lần phân chia tế bào. Ta có là số tế bào nhận được sau giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau giờ là .
Gọi là diện tích đế tháp và là diện tích bề mặt trên của tầng thứ , với . Theo giả thiết, ta có .
Dãy số lập thành cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
Diện tích mặt trên cùng của tháp là .
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án D: Ta có: . Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .
+ Ba số lập thành cấp số cộng nên .
+ Ba số lập thành cấp số nhân nên .
Thay vào ta được hoặc .
Với thì ; với thì .
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có .
Kết hợp với giả thiết , ta suy ra .
Gọi là công sai của cấp số cộng thì và .
Sau khi thêm các số vào ba số ta được ba số là hay .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có .
Giải phương trình ta được hoặc .
Với , cấp số cộng . Lúc này .
Với , cấp số cộng . Lúc này .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới