100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC

VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa mãn và là điểm biểu diễn số phức . Tìm điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất.

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: nằm trên đường tròn . Tâm

Do nên có độ dài lớn nhất khi là đường kính, hay là trung điểm của . Vậy

Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp , khi cho một đường tròn và một điểm . Tìm điểm trên sao cho đạt min, max.

Câu 2. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa mãn và là điểm biểu diễn số phức . là một điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài lớn nhất bằng

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: nằm trên đường tròn . Tâm

Do nằm ngoài nên có độ dài lớn nhất khi .

Câu 3. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa mãn và là điểm biểu diễn số phức . là một điểm thuộc sao cho có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài bé nhất bằng

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: nằm trên đường tròn . Tâm

Do nằm ngoài nên có độ dài bé nhất khi .

Câu 4. Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi .

Khi đó .

Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm

Cũng theo giả thiết, ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng

.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn . Gọi và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn . Gọi , . Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Câu 7. Kí hiệu là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình . Trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Do nên điểm biểu diễncủathuộc đường tròn tâmbán kính.

Do nên điểm (điểm biểu diễn của) là ảnh của qua phép quay tâm, góc quay. Suy rangắn nhất khingắn nhất.

Ta có: .

Vậy: .

Đề xuất

Do nên điểm biểu diễncủathuộc đường tròn tâmbán kính.

.

(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)

Câu 9. Tính môđun của số phức thỏa mãn

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A.

- Đặt .

- Ta có:

- Vậy . Chọn A.

Câu 11: Tính môđun của số phức thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Số số phức thỏa mãn đẳng thức: là

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho số phức thỏa mãn điêu kiện . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt , ta có:

Lại có:

Kết hợp với , ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

Vậy .

Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

Đặt

Ta có

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức là đường tròn có bán kính bằng

Câu 15: Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của với là số phức khác và thỏa mãn . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là, xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra khi

Câu 16: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính giá trị của .

A. B. C. D.

Câu 17: Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 18: Cho số phức (thoả điều kiện . Đặt . Khẳng định nào sau đây đúng

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Hay phương án chọn là B. .

Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì

Câu 19: Cho số phức (thoả điều kiện . Đặt . Khẳng định nào sau đây đúng

A. B.. C. D. .

Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.

Câu 20: Cho với thỏa mãn .

Giá trị của là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

.

Từ giả thiết: vì .

.

Vậy

Câu 21: Cho là hai số phức thỏa mãn phương trình , biết Tính giá trị của biểu thức: .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

HD: Cách 1. Ta có:

y

O

x

và

Chú ý:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O

bán kính .

Gọi

Ta có: đều

Mà với M là điểm thỏa

mãn là hình thoi cạnh 1.

Cách 2. Đặt , ta có và .

Khi đó:

Sử dụng công thức . Chọn D.

Câu 22: Gọi là các nghiệm của phương trình . Biết là số thuần ảo. Đặt , hãy chọn khẳng định đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Biến đổi phương trình .

Như vậy: là các nghiệm của phương trình (*).

.

Vậy .

Câu 23: Cho hai số phức , thỏa mãn ; với là tham số. Giá trị của để ta luôn có là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Đặt có biểu diễn hình học là điểm

Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng .

Ta có:

với .

Mà ta có

Nên

.

Câu 24: Cho số phức thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: .

nên không thỏa yêu cầu bài toán.

thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy .

Câu 25: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó modun của số phức

A.. B.. C.. D..

Lờigiải

Chọn B.

Giả sử ta có

Ta có

Ta có

Suy ra suy ra do đó ta được vậy .

Câu 26: Biết số phức , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A .

Theo giả thiết

.

Ta có

Xét điểm ; và . Khi đó, .

Bài toán trở thành tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì nên hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng .

Gọi là điểm đối xứng với qua

Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT nên có phương trình

Gọi là giao điểm của và . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình suy ra

đối xứng với qua nên .

Ta có .

Dấu bằng xảy ra là giao điểm của và đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT có phương trình

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Vậy .

Câu 27: Gọi là 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn . Biết rằng là số phức thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức .

A. B. C. D..

Lời giải.

Chọn D .

Giả sử ta có suy ra tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.

Giả sử lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có .

Giả sử và là điểm biểu diễn cho số phức, ta cósuy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn tâm bán kính .

Ta có , gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục tung, ta thấy nhỏ nhất khi là trung điểm suy ra , vậy

Câu 28: Gọi là số phức thoả mãn . Giá trị của biểu thức

A.. B. C.. D..

Lời giải:

Chọn A

Dễ thấy rằng không thoả mãn , do đó ta có

Ta cũng có và

Vậy

Câu 29: Cho hai số phức , có điểm biểu diễn lần lượt là , cùng thuộc đường tròn có phương trình và . Tính giá trị biểu thức .

A . . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Do , cùng thuộc đường tròn có phương trình nên .

Lại có:

.

.

Vậy .

Cách 2: Do , cùng thuộc đường tròn tâm , bán kính và nên . Suy ra là tam giác đều cạnh bằng .

= ( Trong đó là trung điểm )

Câu 30: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi , .

Ta có

.

Lại có

.

Mặt khác

Suy ra .

Câu 31: Cho số phức (, là các số thực) thỏa mãn và có môđun nhỏ nhất. giá trị của là?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

Mô đun của số phức là:

Số phức

Câu 32: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi số phức có dạng . thỏa mãn

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Dấu xảy ra

Câu 33: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Số phức có mô đun bé nhất bằng

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt . Khi đó

.

Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .

.

Câu 34: Cho hai số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .

Từ giả thiết :

với là trung điểm của đoạn thẳng.

.

Ta có

. Vậy

Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương pháp đại số, hoặc lượng giác.

Câu 35: Cho hai số phức thỏa mãn và . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó mô đun của số phức

là :

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .

Từ giả thiết : với là trung điểm của đoạn thẳng.

.

Ta có

Vậy

.

Vậy .

Suy ra

Câu 36: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức là:

A. . B. 3. C.. D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta gọi là điểm biểu diễn số phức.

. Suy ra

Khi đó:

,

với

Ta có: suy ra .

Theo định lý Stewart ta có:

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

Suy ra:

)

Vậy

Câu 37: Cho , là hai số phức thỏa mãn , biết . Tính giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1.

+ Đặt , , ta có

+ Sử dụng công thức: ta có

Suy ra .

Cách 2.

+ Biến đổi:

Ta có .

+ Sử dụng công thức bình phương mô đun

Trong đó là góc với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức

.

Vậy .

Câu 38: Cho số phức thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .

A.. B. . C.. D..

Lời giải

ChọnC

Ta có mà

(1)

Tương tự ta có

Cộng (1) và (2) ta có

Câu 39: Cho hai số thực . Kí hiệu là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình , tìm điều kiện của và sao cho tam giác là tam giác vuông ( Với là gốc tọa độ ).

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Nếu phương trình có hai nghiệm (Loại vì thẳng hàng)

Nếu phương trình có nghiệm kép (Loại)

Nếu Phương trình có hai nghiệm

Vậy hai điểm biểu diễn là và

Tam giác cân tại .Vậy để tam giác vuông

.

Câu 40: Cho số phức thỏa mãn . Tính ?

A. 3. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Giả sử , ta có:

Vậy .

Câu 41: Hcho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Cách 1 :

Giả sử , .

(1)

.

Suy ra .

.

Từ (1) ta có , bán kính . Gọi là hình chiếu của trên .

Đường thẳng có PTTS .

,

,

Vậy .

Cách 2 :

điều này cho thấy đang nằm trên hình tròn tâm bán kính bằng 1.

điều này cho thấy đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng là trung trực của đoạn với

(Minh hoạ như hình vẽ)

Câu 42: Xét các số phức thỏa mãn Tính biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. 3.

Lời giải:

Chọn A

Giả thiết

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

Bài toán trở thành: Tìm sao cho biểu thức nhỏ nhất

Ta có

với

Ta có dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi theo thứ tự đó thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng

là giao của của BC và .

Câu 43: Giả sử là hai nghiệm phức của phương trình và

. Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Từ giả thiết ta có:

.

Bình phương, giải phương trình tìm được , Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức trong mặt phẳng phức thì suy ra nằm trên đường tròn tâm , bán kính 1 và , do đó tam giác là tam giác đều.

Cách trắc nghiệm : chọn thỏa mãn bài toán, nên

Cách tự luận:

Áp dụng định lý hàm số cos tìm được

Câu 44:Trong các số phức thỏa mãn điều kiện sau , gọi số phức là số phức có mô đun nhỏ nhất. Tính .

A. . B.. C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: .

Từ đó: .

Vậy đạt được khi .

Khi đó: .

Câu 45: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt

Ta có suy ra

Ta có: .

Dấu xảy ra khi .

Vậy

Câu 46: Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn bán kính

Câu 47: Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

A. B. C. D.

Câu 48: Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.

A. B. C. D.

Câu 49: Trong các số phức thỏa mãn giả sử số phức có mô đun nhỏ nhất có dạng . Khi đó bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

.

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .

Có , khi đó số phức có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất tức là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng .

Phương trình đường thẳng là:

.

Câu 50: Cho số phức () thoả mãn và .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi , .

.

Ta có ( loại); . Vậy .

Câu 51: Gọi là tổng phần thực và phần ảo của số phức . Tính giá trị của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn.B.

Cách 1:

Ta có

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức bằng .

Cách 2:

Phân tích như Cách 1 nhưng sử dụng cấp số cộng để tính các tổng trên.

Cách 3:

Đặt

Mặt khác:

Thay vào và ta được:

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức bằng .

Câu phát triển:.

Câu 52: Gọi là điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng . Tính ?

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020

Lời giải

Chọn A

Đặt

Mặt khác:

Thay vào và ta được:

.

Câu 53: Gọi là tổng phần thực và phần ảo của số phức . Tính giá trị của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn. A.

Đặt

Mặt khác:

Thay vào và ta được:

Câu 54: Cho các số phức , thỏa mãn , . Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức , . Biết rằng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có  ; .

Gọi và là điểm biểu diễn số phức và .

Từ đó suy ra tam giác đều cạnh bằng và , với là trung điểm .

Khi đó

Do đó: .

Câu 55: Cho số phức thỏa mãn . Hỏi có bao nhiêu cặp thỏa mãn đề bài:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn D.

Ta có

+ Nếu .

+ Nếu , ta có .

Vì phương trình có nghiệm nên có tất cả số phức thỏa mãn.

Vậy có cặp thỏa mãn đề bài.

Câu 56: Cho số phức thỏa mãn: . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn đáp án C

Đặt

Ta có

Vậy .

Câu 57: Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi với .

Ta có .

Do đó .

Mà .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

.

Do đó .

Vậy .

Câu 58: Xét số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . Tính .

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn B .

Cách 1. Gọi là điểm biểu diễn của . Các điểm , , .

Ta có , mà .

Suy ra thuộc đoạn thẳng .

Phương trình đường thẳng , với .

Ta có

Đặt , .

,( nhận )

Ta có , , .

Vậy , .

,..

Cách 2.Gọi là điểm biểu diễn của .

Các điểm , , .

Ta có , mà

Suy ra thuộc đoạn thẳng .

Phương trình đường thẳng , với .

.

.

Vậy .

Câu 59: Biết phương trình:

có 2 nghiệm ,. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

và là số thực.

.

Mà ta có: .

Vậy ta có: .

Câu 60: Cho hai số thực và . Kí hiệu, là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của và để tam giác là tam giác vuông ( là gốc tọa độ).

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: . Vì và là số thực.

. Vậy ta có: và .

Ta có: ; .

Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O .

Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: Vì và là số thực. . Vậy ta có: và .

Ta có:

.

Câu 62: Cho số phức thỏa . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

, vì .

Vậy .

Câu 63: Cho số phức thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: . Ta có: .

Thay vào ta được

.

Vậy .

Câu 64: Cho số phức thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Đặt

Từ giả thiết, ta có:

.

Vậy .

Câu 65: Tìm tập hợp các số phức thỏa .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là điểm biểu số phức thỏa bài toán.

Theo đề có

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .

Câu 66: Cho số phức thỏa mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. . B. .

C.. D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là điểm biểu diễn của số phức .

Ta có

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .

Câu 67: Tìm tập hợp các số phức thỏa thỏa .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là điểm biểu số phức thỏa bài toán.

Ta có

Đặt và thì nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là một elíp với hai tiêu điểm .

Ta có:.

Câu 68: Tìm tổng các giá trị của số thực sao cho phương trình có nghiệm phức thỏa .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có với mọi thì phương trình luôn có nghiệm phức.

và .

Suy ra .

.

Từ ta có , từ ta có .

Vậy tổng .

Câu 69: Cho số phức thỏa , gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Vì nên , nên chọn A.

Cách giải khác:

Ta có

Đặt với

Do đó với

Khi đó , nên chọn A.

Câu 70: Cho số phức thỏa , gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Vì nên , nên chọn C.

Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z,

Ta có:

M thuộc tia đối của tia

.

Dựa vào quan sát, suy ra:

Vậy

Câu 72: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi .

Đặt: ,

Khi đó từ giả thiết suy ra .

Mà .

Vậy thuộc đoạn .

Ta có Phương trình đường thẳng .

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng với .

.

Xét .

.

; ; .

Suy ra .

Câu 73: Cho các số phức và thỏa mãn . Biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi (). Hiệu bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của .

Do nên tập hợp điểm biểu diễn của là đường tròn tâm , bán kính .

Lấy là điểm biểu diễn của . Ta có .

Ta có .

Từ đó .

Vậy .

Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của đường thẳng và .

().

Vậy .

Câu 74: Cho hai só phức . Gọi là số phức thỏa mãn . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính mô đun số phức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Đặt .

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của .

Khi đó ta có .

Vì cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác đều nên suy ra:

, khi đó K trùng với hoặc hoặc .

Gọi thuộc cung .

Ta có (Ptoleme).

.

Suy ra .

Vậy .

Câu 75: Cho số phức thỏa mãn . Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi , với , .

Theo giả thiết ta có suy ra và , .

Ta có

.

Xét hàm số trên . Ta có .

Ta có ; ; ; .

Vậy . Do đó khi và .

Câu 76: Cho số phức thỏa mãn , gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Cách 1 :

Đặt .

Mà .

Nên suy ra .

Cách 2:

=.

Đặt .

Nên .

Đặt .

Bảng biến thiên

Vậy .

Câu 77: Cho số phức thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi biểu diễn số phức , từ thì nằm trên đường tròn có tâm và bán kính :. Gọi thì

.

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểmsao cho, nhận thấy nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm như sau :

Cách 1 :

Nên chọn điểm thì

Cách 2 : Lấy điểm thỏa mãn thì tam giác đồng dạng với tam giác nên ta có , từ đó

Ta có :

Dấu « = » đạt được khi điểm nằm trên đoạn .

Câu 78: Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A.. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Gọi là điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức.

Có .

Vậy hoặc .

Gọi thì . Khi đó hoặc .

Vậy

Câu 79: Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

A.. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi , , , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

, , , trong mặt phẳng phức.

Có thuộc đoạn

=

Ta có : và . Vậy đạt khi trùng .

Câu 80: Biết và là ba nghiệm của phương trình , trong đó là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức bằng:

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C.

Xét phương trình là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là .

Do đó phương trình tương đương với:

.

Nên là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

Suy ra .

Khi đó : .

Vậy phần ảo của là .

Câu 81: Biết rằng hai số phức , thỏa mãn và . Số phức có phần thực là và phần ảo là thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Đặt thì và .

Gọi , , lần lượt là các điểm biểu diễn cho , và . Khi đó:

Điểm nằm trên đường tròn có tâm , bán kính ;

Điểm nằm trên đường tròn có tâm , bán kính

Và điểm nằm trên đường thẳng .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của .

Ta kiểm tra thấy và nằm cùng phía và không cắt đường thẳng .

Gọi đường tròn có tâm và bán kính đối xứng với qua .

Điểm đối xứng với qua thì thuộc .

Ta có . Gọi suy ra .

Ta có .

Từ đó khi các điểm , ,, và thẳng hàng và .

Câu 82: Cho , là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện , đồng thời . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện là đường tròn có tâm là , bán kính .

Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn cho , . Khi đó , nằm trên đường tròn .

Có nên suy ra .

Giả sử và , suy ra .

Gọi là trung điểm của , ta có nên .

Vậy ta có .

Mà nên ta suy ra

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn .

Câu 83: Xét các số phức , thỏa mãn điều kiện và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Gọi , , lần lượt được biểu diễn bởi điểm ,

trong mặt phẳng .

Từ giả thiết:

.

. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng : .

. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng : .

Khi đó . Dấu xảy ra khi

Cách 2:

Từ giả thiết

Và đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

.

Vậy khi .

Câu 84: Cho số phức thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Đặt

Ta có

.

TH1: (1)

TH2: .

Đặt ; .

.

(2)

Từ , suy ra .

Câu 85: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 86: Cho số phức thỏa mãn điều kiện : và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ; số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là . Biết rằng là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A.. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác luôn là hình thanh cân (), nên để là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc .

Giả sử: . Ta có và .

* Khi đó: .

Suy ra và .

* Do 4 điểm tạo thành hình thang cân nhận làm trục đối xứng nên 4 điểm đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi

.

* Với , ta có .

Đẳng thức xảy ra khi .

* Với ta có .

Vậy: .

Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là ; số phức có điểm biểu diễn là . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên trục . Biết rằng tứ giác hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A.. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Giả sử: . Ta có và .

* Khi đó: .

Suy ra và .

* Do 4 điểm tạo thành hình thang vuông () nên 4 điểm đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi: .

* Với , ta có .

Đẳng thức xảy ra khi .

* Với ta có .

Vậy: .

Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ; số phức có điểm biểu diễn là . Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng . Biết rằng tứ giác là hình thoi. Tìm phần ảo của để đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .

Giả sử: . Ta có và .

* Khi đó: . Suy ra .

* Do tứ giác là hình thoi nên .

* Ta có .

đạt giá trị nhỏ nhất tại .

Câu 90: Cho số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Phân tích: Từ yêu cầu bài toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để xuất hiện thì bài toán được giải quyết xong.

Ta có

nên .

Do đó .

Câu 91: Cho số phức và thỏa mãn và (hoặc và ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với .

Lời giải

Ta có:

Khi đó

Nên .

Câu 92: Cho số phức () thỏa mãn . Tính biết rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi là điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng . Ta có

.

Gọi , , khi đó .

Bài toán trở thành: “Tìm thuộc đường thẳng sao cho lớn nhất.”

Xét , ta có . Do đó , nằm cùng phía đối với đường thẳng .

Gọi là giao điểm của với , ta tìm được .

Ta có . Đẳng thức xảy ra khi trùng với . Do đó đạt giá trị lớn nhất khi tọa độ là . Vậy và do đó .

Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu , nằm khác phía đối với đường thẳng . Khi đó ta cần tìm điểm đối xứng của qua và sẽ trùng với .

Câu 93: Cho hai số phức , thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Suy ra , dấu "=" xảy ra khi .

Vậy .

Tổng quát: Cho hai số phức , thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Gọi các điểm biểu diễn của các số phức , , lần lượt là , , .

Ta có .

.

Suy ra giá trị lớn nhất của bằng .

Câu 94: Cho số phức thoả mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Đại số

Đặt .

Từ giả thiết .

Ta có .

Dễ thấy lớn nhất khi . Khi đó

Do nên từ ta có .

Suy ra

.

Dấu xảy ra khi .

Cách 2: Hình học

Đặt .

Từ giả thiết .

Tập hợp biểu diễn thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là có tâm là , , , nằm chọn vẹn trong góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).

với . Từ hình vẽ ta thấy .

Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm thì ta cũng làm tương tự.

Câu 95: Cho số phức thoả mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D.

Câu 96: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 97: Cho số phức thỏa mãn ; dương. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức . Tính .

A. B. C. D.

HD:

Chọn B

Từ đồ thị ta xác định được . Khi đó,

, .

Câu 98: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính .

A. B. C. D.

Câu 99: Cho số phức thỏa mãn . Gọi là giá trị lớn nhất của , là giá trị nhỏ nhất của . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Lấy các điểm , ; điểm biểu diễn số phức .

Ta có ; .

Do đó, .

Câu 100: Cho hai điểm , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự , khác và thỏa mãn đẳng thức . Hỏi ba điểm , , tạo thành tam giác gì? ( là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. Cân tại . B. Vuông cân tại . C. Đều. D. Vuông tại .

Lời giải

Chọn C.

Hai điểm , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự ,

Theo giả thiết suy ra: , và .

Ta có: .

.

Xét

.

Vậy hay tam giác là tam giác đều.