Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Phương pháp tọa độ trong không gian

I. Hệ tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Vấn đề cần nắm:

Chủ đề I

Trong không gian, cho ba trục vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .

Định nghĩa

I. Lí thuyết về hệ tọa độ trong không gian

II. Phương trình mặt phẳng

III. Phương trình đường thẳng

IV. Các dạng toán mặt cầu

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz

Nhận xét: và

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz, cho một vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực sao cho

Bộ ba số thực thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ trục Oxyz.

Kí hiệu hoặc , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của vectơ .

Tính chất

3. Tọa độ của một điểm

Nếu là tọa độ của vectơ thì ta cũng nói là tọa độ của điểm M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2).

Kí hiệu hay

Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút

Trong không gian Oxyz cho hai điểm và thì khi đó tọa độ của vectơ và độ dài của nó là:

5. Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa

STUDY TIP

Định lý

Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ.

Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:

Ví dụ hai vectơ và ta viết tọa độ của hai vectơ song song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.

Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính 570 VN Plus mà tôi đã giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:

1. Vào MODE 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với vectơ).

2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ, cao độ.

3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào.

4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1 nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ vectơ thứ hai.

5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình.

6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên.

7. Ấn = để nhận kết quả.

Tính chất

Hệ quả

Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ dài.

II. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Chú ý

Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Cho mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng

Định nghĩa

Nhận xét

Các trường hợp đặc biệt

Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng với

1. Trường hợp thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

2. Trường hợp thì mặt phẳng có vtpt khi đó mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng chứa trục Ox khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ O, hay

3. Trường hợp , mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy.

4. Trường hợp , mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.

5. Trường hợp Khi đó mặt phẳng có vtpt . Trong trường hợp này, mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng . Khi đó khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ O, hay

6. Trường hợp , mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng .

7. Trường hợp , mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng

8. Trường hợp . Đặt , phương tình mặt phẳng được đưa về dạng . Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ tại các điểm và phương trình mặt phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Đến đây ta có bài toán tổng quát:

Mặt phẳng (hình 7.5) đi qua ba điểm có phương trình

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng , với và điểm . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với tại H (hình 7.6).

Độ dài MH được tính bằng công thức

Hệ quả

Với và

là hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa và được tính bằng công thức:

4. Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng và , kí hiệu là góc giữa hai đường thẳng a và b mà và .

Từ đó suy ra

Từ đây ta có

Dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

III. Phương trình đường thẳng

1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (do nên ), Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng với t là tham số.

Khi , khử t từ hệ ta được :

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương .

Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai ẩn như sau: (1)

3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng

Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ phương . Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến (hình 7.11)

Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ M của tam giác MNP. Vì nên

STUDY TIP

Khoảng cách giữa điểm M đến đường thẳng trong không gian được tính bằng công thức

Trong đó N là một điểm thuộc

Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.

Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H.

Dựa vào dữ kiện ta sẽ tìm được tọa độ điểm H.

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Lời giải

Cách 1: Lấy điểm trên . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng được tính bằng công thức:

STUDY TIP

Cả hai cách làm đều khá là nhanh, tùy theo lựa chọn của độc giả mà áp dụng, tuy nhiên để nhớ công thức nhanh, cần nắm vững cách để suy luận ra công thức đó.

Ta có . Khi đó

Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên . Khi đó

Mà , do vậy

Khi đó

b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.

Lấy điểm A thuộc , điểm B thuộc .

Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và .

Trên và lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho . Khi đó khoảng cách giữa và là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba cạnh MA, AB, BN (hình 7.12).

STUDY TIP

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và trong không gian được tính bằng công thức

trong đó A, B là hai điểm lần lượt thuộc và .

Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của hình hộp bằng Do vậy

4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

a. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là , được xác định bởi các trường hợp:

- Nếu cùng phương với thì

- Nếu và cắt nhau tại I thì bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo thành.

- Nếu và chéo nhua thì trong đó và (Hình 7.13)

Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.

Do vậy Do vạy nếu đặt thì ta có

b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng , kí hiệu là , xác định bởi:

- Nếu thì .

- Nếu d không vuông góc với thì bằng góc giữa d và hình chiếu của d trên (hình 7.14).

Ta có

Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Khi đó nếu đặt thì

Dạng toán viết phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian

1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm cố định

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng . Khi đó tam giác ABH vuông tại H và Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B, khi đó là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB.

Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất.

2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Tìm vị trí của mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng .

Ta thấy (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Vậy lớn nhất khi và chỉ khi , hay vị trí mặt phẳng cần tìm là chứa và vuông góc với AK.

Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến trong đó .

Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng và cách một khoảng lớn nhất là

A. B. C. D.

Đáp án A.

Lời giải

Ta có Vậy áp dụng công thức vừa chứng minh ta có

Bài tập áp dụng

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cách một khoảng lớn nhất.

A. B.

C. D.

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng và cách điểm một khoảng lớn nhất.

A. B.

C. D.

Đáp án: 1.A; 2.B

Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất.

Lời giải

Vẽ một đường thẳng bất kì song song với và cắt tại K. Gọi A là điểm cố định trên và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng . Ta có góc giữa và chính là góc kẻ .

Khi đó vuông tại T, nên: (không đổi).

Vậy góc lớn nhất khi và chỉ khi hay .

Góc lớn nhất đó chính bằng góc

Khi đó mặt phẳng cần tìm chứa và vuông góc với mặt phẳng hay nó có một vectơ chỉ phương là

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất.

A. B.

C. D.

Đáp án A.

Lời giải

Ta có

3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định trong mặt phẳng cố định

Bài toán 4*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , điểm B khác A. Tìm đường thẳng nằm trong đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên .

Ta thấy

Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi .

Khi đó là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là .

Gọi T là hình chiếu của B trên . Ta thấy

Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi hay đường thẳng đi qua A và T.

Để viết phương trình đường thẳng ta có 2 cách:

- Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua A và T.

- Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Bài toán 5*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , đường thẳng d không song song với , khồn nằm trên , không đi qua A. Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là lớn nhất.

Lời giải

Gọi là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn . Khoảng cách giữa d và bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên .

Ta thấy , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi

Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm và mặt phẳng Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên Độ dài đoạn thẳng MN là

A. B. C. D. 4

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng

Gọi B là điểm đối xứng với A qua . Độ dài đoạn thẳng AB là

A. 2 B. C. D. 4

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho , , và . Biết . Tổng là

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm và đường thẳng . Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d là

A. B.

C. D.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Khi đó giao tuyến của và có một vectơ chỉ phương là

A. B.

C. D.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Mặt phẳng thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là

A. 54 B. 6 C. 9 D. 18

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Hai mặt phẳng và chứa d và tiếp xúc với . Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là

A. B. C. D. 4

Câu 8: Cho hai điểm và mặt phẳng Đường thẳng d nằm trên sao cho mọi điểm của d và cách đều hai điểm A,B có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho bốn điểm và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là:

A. 1 B. 2

C. 2 hoặc 32 D. 32

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng . Điểm nào dưới đây thuộc ?

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho hai đường thẳng và . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng và có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Câu 12: Cho đường thẳng . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Câu 13: Cho , điểm D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

A.

B. hoặc

C.

D. hoặc

Câu 14: Cho , . Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và ba mặt phẳng Trong các mệnh đề sau, mệnh đều sai là

A. đi qua M B.

C. D.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng qua và vuông góc với . Phương trình tham số của d là

A. B.

C. D. Đáp số khác

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là

A.

B.

C.

D.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và Giá trị của m và n để hai mặt phẳng và song song với nhau là

A.

B. Không có giá trị của m và n

C.

D.

Câu 19: Cho điểm và đường thẳng Gọi là điểm đối xứng với M qua d. Giá trị của là

A. B. C. D. 3

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và . Góc giữa và là

A. B. C. D.

Câu 21: Cho điểm , gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng .

A.

B.

C.

D.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ?

A. B.

C. D.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng .

A.

B.

C.

D.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho . Tính tổng sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng là lớn nhất.

A. B.

C. D.

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết rằng điểm M thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

A. B.

C. D.

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại các điểm M, N, P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP.

A.

B.

C.

D.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ . Tìm tọa độ của vectơ .

A. B.

C. D.

Câu 29: Cho điểm . Mặt phẳng đi qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox. Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .

A. 2017 B. C. D.

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Giao điểm M của d và có tọa độ là

A. B.

C. D.

Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của là

A.

B.

C.

D.

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và ba điểm . Tọa độ điểm M thuộc sao cho nhỏ nhất là

A. B.

C. D.

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt tại hai điểm phân biệt?

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 35: Viết phương trình đường thẳng d qua và vuông góc với hai đường thẳng

A. B.

C. D.

Câu 36: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

A. B.

C. D.

Câu 37: Cho mặt phẳng và đường thẳng . Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , cắt đường thẳng d và vuông góc với là

A.

B.

C.

D.

Câu 38: Cho mặt phẳng đi qua các điểm . Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

A. B.

C. D.

Câu 39: Cho tam giác ABC có , . Trọng tâm của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp là

A. B.

C. D.

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thăng ?

A.

B.

C.

D.

Câu 41: Cho có 3 đỉnh , . Để thì

A. B. C. `D.

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ . Giá trị của m để đồng phẳng là

A. B. C. D. 1

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là

A. B. C. 243 D.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng , , . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. B.

C. D.

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng , cắt trục tọa độ tại , . Phương trình mặt phẳng là:

A. B.

C. D.

Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng ; . Phương trình mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Mặt phẳng chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ . Giá trị lớn nhất của biểu thức là

A. B. C. D.

Câu 49: Cho ba điểm , , khi đó phương trình mặt phẳng là:

A.

B.

C.

D.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng

và là:

A. Chéo nhau B. Cắt nhau

C. Song song D. Trùng nhau

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Khi đó bằng

A. B.

C. D.

Câu 52: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có , . Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

A. 11 B. C. D.

Câu 53: Cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và cách M một khoảng lớn nhất.

A. B.

C. D.

Câu 54: Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho , với

A. hoặc

B. hoặc

C. hoặc

D. Không có điểm M nào thỏa mãn.

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng có phương trình . Gọi là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng . Giá trị của là

A. B. C. D.

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng sao cho d cắt và vuông góc với có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất.

A.

B.

C.

D.

Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. B. C. D.

Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng .

A. B.

C. D.

Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ?

A. B.

C. D.

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng .

A. B.

C. D.

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa 2 điểm và và song song với trục Ox có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 64: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Giao điểm I của d và là

A. B.

C. D.

Câu 65: Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng là

A.

B.

C.

D.

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho . Độ dài đoạn AM là:

A. B. C. D.

Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , . Tính thể tích tứ diện ABCD.

A. B. C. D.

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều 2 đường thẳng

và .

A.

B.

C.

D.

Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp có , và . Giả sử tọa độ thì giá trị của là kết quả nào dưới đây?

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi A là giao điểm của và ; gọi M là điểm thuộc thỏa mãn điều kiện . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nao sau đây là đúng?

A. B.

C. d và cắt nhau D. d và chéo nhau

Câu 72: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm . Tìm số đo của .

A. B. C. D.

Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng

.

Tìm tọa độ điểm đối xứng với M qua .

A. B.

C. D.

Câu 74: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu .

A.

B.

C.

D.

Câu 75: Trogn không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. B.

C. D.

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và chứa đường thẳng .

A. B.

C. D.

Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình:

Xét mặt phẳng , với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng .

A. B. C. D.

Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm I của cạnh AB và vuông góc với đường thẳng AB.

A. B.

C. D.

Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng

A.

B.

C. ,

D.

Câu 81: Cho tọa độ các điểm , . Chọn phát biểu đúng?

A. Tam giác ABC là tam giác đều

B. Tam giác ABC là tam giác vuông

C. Các điểm A, B, C thẳng hàng

D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm M có các tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến bằng 2.

A. B.

C. D.

Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.

A. B.

C. D.

Câu 84: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Phương trình của mặt phẳng đi qua M và là

A. B.

C. D.

Câu 85: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Phương trình của mặt phẳng đi qua M , song song với và cách một khoảng bằng 3 là

A.

B.

C.

D.

Câu 86: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 87: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác BCD có , . Tính diện tích tam giác BCD.

A. B. C. D.

Câu 88: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Phương trình mặt phẳng là

A.

B.

C.

D.

Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

đường thẳng . Mặt phẳng vuông góc với và tiếp xúc với có phương trình là

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 90: Trong không gian Oxyz, cho , , đường thẳng d đ qua A cắt và vuông góc có vectơ chỉ phương là

A. B.

C. C.

Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng và . Góc giữa 2 mặt phẳng và là

A. B. C. D.

Câu 92: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm , đường thẳng . Tọa độ điểm M trên sao cho là

A. B.

C. D.

Câu 93: Đường thẳng d đi qua và vuông góc với có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 94: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục Oy sao cho nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 95: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

A. B.

C. D.

Câu 96: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

A.

B.

C.

D.

Câu 97: Nếu mặt phẳng song song với mặt phẳng thì các giá trị của m và n là

A. B.

C. D.

Câu 98: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là

A.

B.

C.

D.

Câu 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm N thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ N đến bằng khoảng cách từ N đến mặt phẳng ?

A. B.

C. D. không tồn tại điểm N

Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và hai mặt phẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với và ?

A. B.

C. D.

Câu 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Tìm tọa độ trung bình I của đoạn thẳng AB.

A. B.

C. D.

Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A. B.

C. D.

Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ?

A. B.

C. D.

Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với và cắt là

A.

B.

C.

D.

Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Phương trình đường thẳng d nằm trong sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng là

A.

B.

C.

D.

Câu 106: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ?

A. B.

C. D.

Câu 107: Mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng thì có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 108: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng .

A. B.

C. D.

Câu 109: Trong không gian Oxyz, cho các điểm . Tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho là

A. B.

C. D.

Câu 110: Trong không gian Oxyz, cho , và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.

A.

B.

C.

D.

Câu 111: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và tạo với mặt phẳng góc thỏa mãn ?

A.

B.

C.

D.

Câu 112: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và hai điểm ; . Phương trình mặt phẳng qua A,B và vuông góc với là

A.

B.

C.

D.

Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với và

A. B.

C. D.

Câu 114: Cho hai đường thẳng

;

và điểm . Đường thẳng đi qua A, vuông góc với và cắt có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng , và mặt phẳng . Phương trình nào dưới đây là phương tình mặt phẳng đi qua giao điểm của và , đồng thời vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Câu 116: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho . Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng Oyz tại điểm nào trong các điểm sau đây?

A. B.

C. D.

Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Viết phương trình mặt phẳng .

A. B.

C. D.

Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Tính diện tích S của tam giác ABC.

A. B.

C. D.

Câu 119: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Viết phương trình mặt phẳng qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 120: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

A. B.

C. D.

Câu 121: Cho ba điểm , . Tìm điểm sao cho nhỏ nhất?

A. B.

C. D.

Câu 122: Cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi là mặt phẳng chứa d và song song với . Khoảng cách giữa và là

A. B. C. D.

Câu 123: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng , điểm . Phương trình mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến là lớn nhất là

A.

B.

C.

D.

Câu 124: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.

A. B. C. D.

Câu 125: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1: Đáp án B

Cách 1: Ta có

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng . Lúc này .

Mà

.

Tương tự ta tìm được .

. Chọn B.

Câu 2: Đáp án B

Ta có:

B là điểm đối xứng với A qua nên:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 3: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 4: Đáp án C

Ta có: . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên: . Dó đó có dạng: . Vì đi qua nên: .

Do đó, đáp án đúng là C.

Câu 5: Đáp án A

Cách 1: Giao tuyến của và là nghiệm của hệ phương trình:

Do đó, đáp án đúng là A.

Cách 2:

Câu 6: Đáp án C

Giả sử . Do cắt các tia nên: . Khi đó, phương trình mặt phẳng là : . đi qua nên: . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu xảy ra khi:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 7: Đáp án B

Mặt cầu có tâm là và bán kính

Gọi là hình chiếu của I lên . Khi đó, ta có:

Gọi K là giao điểm của IH và MN. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MIH có:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 8: Đáp án A

Gọi K là điểm bất kì trên . Theo giả thiết: tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ xảy ra khi nằm trên mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của AB. Ta đi xác định :

Gọi M là trung điểm AB thì:

Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB tức là nhận là vectơ pháp tuyến. Dó đó:

Do đó, là giao tuyến của và nên là nghiệm của hệ:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 9: Đáp án C

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10: Đáp án D

Đặt .

Với phương án A: Ta có

nên điểm không thuộc mặt phẳng .

Với phương án B:

nên điểm không thuộc mặt phẳng .

Với phương án C:

nên điểm không thuộc mặt phẳng .

Với phương án D: nên điểm nằm trên mặt phẳng .

Câu 11: Đáp án D

Dễ dang nhận thấy hai đường thẳng chéo nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm ; sao cho là đường vuông góc chung của .

Mặt phẳng cần tìm đi qua trung điểm M của và vuông góc với nên:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 12: Đáp án B

Giao điểm của với mặt phẳng là:

Dễ thấy điểm . Hình chiếu B của M lên mặt phẳng là: . Phương trình đường thẳng cần tìm chính là phương trình đường thẳng AB và là:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 13: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 14: Đáp án C

Mặt phẳng nên có:

Gọi là hình chiếu của A lên , ta có:

Khi đó, đối xứng với A qua khi và chỉ khi H là trung điểm . Do đó ta có:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 15: Đáp án C

Khẳng định A, B, C hiển nhiên đúng. Khẳng định C sai vì mặt phẳng giao với Oz tại điểm . Vậy đáp án đúng là C.

Câu 16: Đáp án B

Cách 1: vuông góc với nên:

đi qua điểm nên:

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Từ suy ra B đúng.

Câu 17: Đáp án A

Cách 1: Trung điểm AB là:

Phương trình mặt phẳng trung trực AB nhận là vecto pháp tuyến và đi qua điểm M nên nó có dạng:

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: loại C; D.

Thay tọa độ điểm I vào đáp án (I là trung điểm của AB) ta chọn A.

Câu 18: Đáp án C

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 19: Đáp án A

Ta có: . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với hay nhận là vecto pháp tuyến là

Giao điểm của và chính là hình chiếu vuông góc của M lên , ta có:

đối xứng với M qua khi và chỉ khi H là trung điểm . Do đó, ta có:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 20: Đáp án D

Góc giữa và là: Vậy đáp án đúng là D.

Câu 21: Đáp án D

Theo giả thiết ta có:; ;

Phương trình mặt phẳng là:

Do đó, mặt phẳng song song với có dạng:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 22: Đáp án D

Gọi là giao điểm của với . Khi đó, ta có:

Phương trình chính là phương trình AB và là:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 23: Đáp án C

Thực chất bài toán chỉ là kiểm tra kiến thức phương trình mặt phẳng dạng chắn:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 24: Đáp án A

Cách 1: Gọi là hình chiếu của A lên . Khi đó ta có:

Mặt phẳng là mặt phẳng có dạng: . Từ đó suy ra:

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Ta có . Nên ta loại C; D.

Thay tọa độ điểm A của đề bài vào hai đáp án còn lại.

Khi đó, đáp án A thỏa mãn.

Câu 25: Đáp án A

Phương trình mặt phẳng là:

Dấu xảy ra khi:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 26: Đáp án C

Gọi thì ta có:

Dấu xảy ra khi:

Do đó, . Vậy đáp án đúng là C.

Câu 27: Đáp án A

Bài toán này sử dụng tính chất quen thuộc của tứ diện vuông: H là trực tâm của tam giác MNP khi và chỉ khi: . Ta có:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 28: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 29: Đáp án C

Ta có:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 30: Đáp án D

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Khi đó ta có:

Do nên I thay đổi trên mặt phẳng

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 31: Đáp án A

Vì nên:

nên:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 32: Đáp án C

Phương trình mặt phẳng là:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 33: Đáp án B

Gọi . Vì nên:

Ta có:

Dấu xảy ra khi:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 34: Đáp án A

d cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 35: Đáp án A

Cách 1.

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Sau khi tìm được ta chọn luôn A.

Câu 36: Đáp án B

Mặt phẳng vuông góc với Oyz có dạng:

Dễ thấy nên ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 37: Đáp án B

Gọi M là giao điểm của và d. Khi đó Do nên

Giả sử đi qua khác M. Ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 38: Đáp án B

Ta có:

Bằng cách kiểm tra thì đáp án đúng là B.

Câu 39: Đáp án D

G thuộc Ox khi: . Theo công thức trọng tâm ta suy ra:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 40: Đáp án C

Do nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

Điểm nên phương trình mặt phẳng là:

Câu 41: Đáp án C

Ta có:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 42: Đáp án A

đồng phẳng khi:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 43: Đáp án D

Giả sử Ta có:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 44: Đáp án C

Dễ dàng nhìn thấy ngay ra điểu này.

Câu 45: Đáp án A

Ta có:

Vậy đáp án đúng là A

Câu 46: Đáp án B

Cách 1: đi qua gốc tọa độ nên:

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Ta có

Chọn B.

Câu 47: Đáp án D

Cách 1: Gọi là hình chiếu của B lên . Khi đó ta có:

Khi đó, chính là

Cách 2:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 48: Đáp án A

Nhận xét: A,B nằm về hai phía so với mặt phẳng , gọi là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng .

Khi đó và

Gọi I là giao điểm của với mặt phẳng .

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có . Dấu bằng xảy ra khi . Khi đó

Câu 49: Đáp án D

Cách 1:

Vậy đáp án đúng là D.

Cách 2: suy ra loại B; C.

Thay tọa độ điểm A ta tính được hệ số d bởi công thức: chọn D.

Câu 50: Đáp án A

Xét hệ:

Hệ vô nghiệm nên loại B và D. Dễ thấy chúng không song song với nhau. Vì thế đáp án đúng là A.

Câu 51: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 52: Đáp án A

Cách 1: Xác định

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Sử dụng công thức tích có hướng để tính và đáp án A.

Câu 53: Đáp án A

Do đi qua gốc tọa độ nên

Dấu xảy ra khi:

Đáp án đúng là A.

Câu 54: Đáp án B

M thuộc d nên:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 55: Đáp án D

đi qua A nên:

đi qua B nên:

Ta cần tìm

Dấu xảy ra khi:

Đáp án đúng là D.

Câu 56: Đáp án C

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 57: Đáp án D

Giao điểm A của và là nghiệm của hệ:

Giả sử d đi qua . Khi đó, ta có:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 58: Đáp án C

Dễ thấy

Giả sử:

Dấu xảy ra khi:

Đáp án đúng là C.

Câu 59: Đáp án D

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 60: Đáp án B

Cách 1:

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: từ đây ta chọn B.

Câu 61: Đáp án C

Kiểm tra ta thấy đáp án đúng là C.

Câu 62: Đáp án D

vuông góc với d nên:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 63: Đáp án C.

Cách 1: Mặt phẳng song song với Ox nên:

Đáp án đúng là C.

Cách 2: Mặt phẳng song song với Ox loại A; D.

Thay tọa độ điểm A vào đáp án đáp án B đúng.

Câu 64: Đáp án D

Giao điểm I là nghiệm của hệ:

Đáp án đúng là D.

Câu 65: Đáp án A

Mặt phẳn song song với nên:

A thuộc nên:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 66: Đáp án B

là điểm nằm trên đoạn BC sao cho thì:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 67: Đáp án D

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 68: Đáp án B

Cách 1: Gọi sao cho AB là đường vuông góc chung của . Khi đó ta có:

Mặt phẳng đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB nên:

Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Ta có loại A; C.

Lấy một điểm trên rồi tính khoảng cách từ hai điểm đó đến các mặt phẳng đáp án, nếu bằng thì chọn.

Đáp án đúng là B.

Câu 69: Đáp án B

Gọi M;N là trung điểm thì:

O là trung điểm MN sẽ đồng thời là trung điểm . Ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 70: Đáp án C

Giả sử là góc giữa và . Ta có:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 71: Đáp án A

Ta có

Lấy , nhận thấy . Do vậy

Câu 72: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 73: Đáp án C

Đường thẳng .

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với , , suy ra N là trung điểm của .

Khi đó

Do d vuông góc với nên

Khi đó

Câu 74: Đáp án C

Dễ thấy nên:

tiếp xúc với khi:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 75: Đáp án B

Giả sử đường thẳng cần tìm là đi qua M:

Gọi H là hình chiếu của A lên .

Dấu xảy ra khi . Do đó, ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 76: Đáp án B

Chọn là hai điểm nằm trên đường thẳng d, suy ra hai điểm A, B cũng nằm trong mặt phẳng cần tìm.

Bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm .

Mặt phẳng có vtpt

Mà mặt phẳng chứa điểm nên

Câu 77: Đáp án A

D song song với mặt phẳng khi:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 78: Đáp án D

Cách 1:

Vậy đáp án đúng là D.

Cách 2: Ta có chọn D (do cùng phương với .

Câu 79: Đáp án C

Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với . Khi đó, có:

Gọi giao điểm và là .

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 81: Đáp án A

nên đều

Câu 82: Đáp án B

với

Câu 83: Đáp án D

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có

Câu 84: Đáp án A

Gọi

Ta có:

Từ đó:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 85: Đáp án A

Gọi . Khi đó, ta có:

Nếu thì

Nếu thì chọn . Giải hệ hai ẩn trên được:

Do đó, đáp án đúng là A.

Câu 86: Đáp án D

Dấu xảy ra khi:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 87: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 88: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 89: Đáp án A

tiếp xúc khi:

Do đó, đáp án đúng là A.

Câu 90: Đáp án C

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với :

Giao điểm B của và là:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 91: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 92: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 93: Đáp án B

Hiển nhiên nhìn ra ngay vì nó vuông góc với

Câu 94: Đáp án C

Dấu xảy ra khi:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 95: Đáp án C

M là trung điểm AC cũng là trung điểm BD nên:

Vậy đáp án đúng là C

Câu 96: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 97: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 98: Đáp án A

Ta có:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 99: Đáp án A

Câu 100: Đáp án D

Mặt phẳng có vec-tơ pháp tuyến .

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .

Khi đó

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có:

.

Phương trình đường thẳng d đi qua là:

Câu 101: Đáp án B

Câu 102: Đáp án C

Câu 103: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 104: Đáp án C

Gọi khi đó:

Vậy đáp án đúng là C

Câu 105: Đáp án C

Chọn C.

Câu 106: Đáp án B

Do nên đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là

Ta loại được hai đáp án A và D.

Với phương án B: Với thì nên đường thẳng đi qua điểm .

Câu 107: Đáp án D

Do

Lại có:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 108: Đáp án A

Có

Vậy đáp án đúng là A do cùng phương với

Câu 109: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 110: Đáp án A

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 111: Đáp án C

Gọi

Ta có:

Chọn:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 112: Đáp án A

Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên .

Đáp án đúng là A.

Cách 2: Ta có

loại B và D.

Thay tọa độ điểm A vào phương án chỉ thấy A thỏa mãn. Từ đấy ta chọn A.

Câu 113: Đáp án D

Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là ;

Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là .

Ta có .

Đường thẳng d cần tìm có vec-tơ chỉ phương là .

Từ giả thiết: Loại đáp án A, C.

Đường thẳng d đi qua điểm nên có phương trình:

Câu 114: Đáp án D

Gọi khi đó:

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 115: Đáp án C

Giao điểm của và có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là:

Gọi là mặt phẳng cần tìm. Từ giả thiết, ta có nên mặt phẳng có vec-tơ pháp tuyến là

Phương trình

Câu 116: Đáp án C

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 117: Đáp án B

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 118: Đáp án A

Sử dụng công thức:

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 119: Đáp án C

Gọi H là hình chiếu của O lên .

Ta có:

Dấu xảy ra khi: tức là

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 120: Đáp án A

Cách 1: Giả sử thì:

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Mẹo: nhân 3 vào tọa độ điểm G rồi đẩy xuống các giá trị a,b,c tương ứng đáp án A đúng.

Câu 121: Đáp án C

Vì nên . Ta có:

Dấu xảy ra khi: .

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 122: Đáp án C

Dễ thấy

Khi đó ta có:

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 123: Đáp án D

Theo tính chất đường xiên đường vuông góc dễ thấy:

Điều này xảy ra khi: là hình chiếu của A lên cũng là hình chiếu của A lên . Do đó, ta có:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 124: Đáp án A

Gọi K là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Phương trình tham số của AK:

Khi đó ta tìm được tọa độ điêm là .

Ta có vuông tại H, khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn đường kính BK cố định.

Bán kính đường tròn là

Câu 125: Đáp án A

Trung điểm của AB là .

Ta có Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên có vec-tơ pháp tuyến là

và đi qua điểm .

Phương trình

IV. Mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu

Định lý

Phương trình có dạng như phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I, bán kính R.

Nhận xét: Khi biến đổi phương trình (1) ta được:

Nếu đặt thì phương trình trên trở thành

(2)

Với điều kiện thì phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm và bán kính

2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

STUDY TIP

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính R tại điểm có phương trình

Cho mặt cầu và mặt phẳng . Đặt . Khi đó ta có các trường hợp:

a. Trường hợp 1:

b. Trường hợp 2: , M là hình chiếu của I lên mặt phẳng . Trường hợp này ta nói mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại M. Lúc này được gọi là tiếp diện của mặt cầu , M được gọi là tiếp điểm của và .

Tóm lại: Cho hai mặt cầu

Đọc thêm: Với trường hợp 2: Ta dễ thấy với , ta có . Từ đó ta thu được kết quả sau.

Lời giải

Áp dụng công thức ở trên ta được mặt phẳng có phương trình .

c. Trường hợp 3: , là đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên , có bán kính .

3. Các dạng toán thường gặp liên quan đến mặt cầu

a. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng .

mặt cầu có bán kính

b. Mặt cầu cắt mặt phẳng theo một đường tròn có bán kính r cho trước.

bán kính mặt cầu được xác định bởi:

c. Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng

bán kính mặt cầu được xác định bởi công thức: trong đó M là một điểm trên đường thẳng d. (công thức ở phần khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong bài Phương trình đường thẳng).

d. Mặt cầu cắt đường thẳng d theo một dây cung có độ dài l cho trước.

bán kính mặt cầu được tính bằng công thức:

Cách làm: Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số, khi đó tham số hóa tọa độ điểm I theo một ẩn, sử dụng dữ kiện đề bài tìm ra I, từ đó quay về dạng I, tìm R.

Cách 1:

Ở phần 2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng (trường hợp 2) ta có bài toán ngược của bài toán này.

STUDY TIP

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng

Do vậy khi đã biết phương trình mặt phẳng ở đề bài, do vậy ta chỉ cần giải hệ:

thì bài toán được giải quyết.

Vậy ở đây khi đã biết mặt phẳng , điểm M nên ta sẽ tìm tâm I và bán kính R bằng cách đồng nhất hệ số phương trình mặt phẳng .

Cách 2:

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm M

Tiếp theo, sử dụng các công thức ở dạng I tìm ra t.

Từ đây ta có l, có R nên viết được phương trình chính tắc của mặt cầu.

Ta gọi phương trình mặt cầu là (1).

Do A, B, C, D thuộc mặt cầu thế nên thay tọa độ từng điểm vào (1) ta sẽ có hệ phương trình bốn ẩn a, b, c, d.

Giải hệ ta tìm được a, b, c, d. Từ đây ta có mặt cầu tâm và bán kính .

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng Mặt phẳng (P) chứa A và d. Phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 2: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm , , , . Tìm tọa độ tâm I.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Mệnh đề nào đúng?

A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).

B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng (Oxy ), (Oxz), (Oyz).

C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).

D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz).

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .

A.

B. .

C. .

D. .

Câu 6: Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu: .

A. ,. B. .

C. . D. .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Mặt cầu (S) đường kính AB có phương trình là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có chu vi bằng . Phương trình mặt cầu (S) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

A. . B..

C. . D. .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm đi qua điểm có phương trình là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Cho hai điểm . Phương trình của mặt cầu (S) đường kính AB là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12: Cho mặt cầu và đường thẳng . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và tại B vuông góc với nhau.

A. hoặc .

B. hoặc .

C. hoặc .

C. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A. , .

B. , .

C. , .

D. , .

Câu 14: Mặt cầu (S) có tâm và bán kính có phương trình:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (P) cắt (S).

B. (P) tiếp xúc với (S).

C. (P) không cắt (S).

D. Tâm của mặt cầu (S) nằm trên mặt phẳng (P)

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm m để và (S) không có điểm chung.

A. hoặc .

B. .

C. .

D. hoặc .

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình ; . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q).

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . có bán kính . Tìm giá trị của m.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình: . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu?

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng , . Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng và có tâm nằm trên đường thẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Tìm số thực m để cắt (S) theo một đường tròn có chu vi bằng .

A. –2. B. –4. C. –1. D. –3.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại H. Tìm tọa độ H.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Câu 27: Mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:

A. 8. B. . C. 10. D. 6.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và . Gọi D là điểm khác O sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tính .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm và . Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục Ox. Phương trình mặt cầu (S) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu , điểm và mặt phẳng . Gọi là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng có một vecto chỉ phương là , tính

A. . B. .

C. . D. .

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và hai đường thẳng , . Phương trình nào dưới đâu là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và ?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1: Đáp án D

Ta có:

Vậy ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: .

Câu 2: Đáp án C

Phương trình mặt cầu có dạng:

(ĐK: )

Do M, N, P, Q thuộc mặt cầu

(thỏa mãn)

Vậy .

Câu 3: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Mặt phẳng

Mặt phẳng

Mặt phẳng

Câu 4: Đáp án B

Ta có:

Gọi I là trung điểm của AB.

Theo bài ra, mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương tình mặt cầu (S) là:

.

Câu 5: Đáp án C

Ta có:

Do (S) tiếp xúc với (P) nên mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 6: Đáp án B

Mặt cầu

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Câu 7: Đáp án B

I là trung điểm

Do (S) nhận AB là đường kính nên mặt cầu (S) có tâm I và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 8: Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính R.

Mặt phẳng

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 9: Đáp án C

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD có dạng

(ĐK: )

Do (S) ngoại tiếp ABCD nên

(thỏa mãn)

Vậy

Câu 10: Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 11: Đáp án D

Ta có: AB là đường kính

I là trung điểm AB

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 12: Đáp án A

Phân tích: ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau thì hai vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau. Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là Với là tâm của mặt cầu (S).

Vậy ta có hai điều kiện sau:

1. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

2.

Lời giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viet ta có ; .

Khi đó ,

Vậy

(TM).

Câu 13: Đáp án C

Mặt cầu (S):

Vậy mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Câu 14: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

Câu 15: Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Mặt phẳng (P):

tiếp xúc với (S).

Câu 16: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm có bán kính

(S) và không có điểm chung

Câu 17: Đáp án B

Ta có:

(S) tiếp xúc với (P) và (Q)

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

Câu 19: Đáp án B

Mặt cầu

Câu 20: Đáp án B

Mặt cầu

Vậy mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Câu 21: Đáp án A

Mặt cầu

Vậy mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Câu 22: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.

Đường thẳng ()

Mặt khác

(S) tiếp xúc với (Q)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

Câu 23: Đáp án C

Đường thẳng ()

Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.

Do

(S) qua A và (S) tiếp xúc với (P)

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

Câu 24: Đáp án D

Ta có:

Mặt cầu (S) có tâm và

Theo bài ra ta có:

(thỏa mãn)

Câu 25: Đáp án B

Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

có phương trình tham số ()

Khi đó H là giao điểm của và (P). Tìm được

Câu 26: Đáp án A

Mặt cầu

Vậy mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Câu 27: Đáp án A

Mặt cầu

(S) có tâm và bán kính

Mặt phẳng

Câu 28: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

Mặt phẳng .

Do (S) tiếp xúc với (P)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 29: Đáp án B

Giả sử .

Ta có:

Từ giả thiết:

Do D khác O nên .

Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là (S) có phương trình dạng:

có tâm

Do nên có hệ:

Vậy

Câu 30: Đáp án D

Ta có:

Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm

Phưng trình mặt phẳng (P) là:

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Do (S) tiếp xúc với (BCD)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 31: Đáp án B

Phân tích: Nếu như giải bằng hình thức tự luận, thì bài toán sẽ trở nên rất khó xử lí với những dữ kiện mà đề bài cho. Cách nhanh nhất ở đây là thử các kết quả được cho trong các đáp án A, B, C, D xem có thỏa mãn với những dữ kiện đề cho không rồi kết luận.

Lời giải:

Với phương án A: Mặt cầu đi qua điểm , không đi qua hai điểm và . Ta loại ngay A.

Với phương án B: Mặt cầu đi qua ba điểm , , .

Mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng . Vậy chọn ngay B.

Câu 32: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R

Do

Lại có (S) qua A, B

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

.

Câu 33: Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Ta thấy điểm và nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) tâm H. Suy ra

Từ giả thiết, ta có đi qua M và cắt đường trong (C) tại hai điểm A, B . Gọi K là trung điểm của AB, nên và AB nhỏ nhất khi và chỉ khi HK lớn nhất.

Mà vuông tại K nên hay

Vậy khi Khi đó đường thẳng đi qua , có vtcp

Phương trình OH đi qua O, vec-tơ chỉ phương

Do nên

Vậy

Câu 34: Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm , bán kính

Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là .

Ta có

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Ta có:

Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình dạng

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên

V. Tổng ôn tập chủ đề 7

Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết.

BÀI KIỂM TRA

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu có bán kính R là:

A. B.

C. D.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho và Vectơ chỉ phương của đường thẳng là giao tuyến của (P) và mặt phẳng trung trực của AB là:

A. B.

C. D.

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm Mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm , và mặt phẳng Nếu M thay đổi thuộc (P) thì giá trị nhỏ nhất của là:

A. 60. B. 50.

C. . D. .

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có và . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không gian Oxyz thành số phần là:

A. 9. B. 12. C. 15. D. 16.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và các điểm . Gọi C, D là các điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho và mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. Khi đó trung điểm của CD là:

A. B.

C. D.

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Tìm m để song song với .

A. Không tồn tại m.

B.

C.

D.

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua các điểm và với có phương trình là:

A. B.

C. D.

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B. .

C. cắt và không vuông góc với.

D.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm , và Điểm M nằm trong đoạn thẳng BC sao cho Độ dài đoạn thẳng AM bằng

A. B. C. D.

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi d là đường thẳng nằm trên đồng thời cắt đường thẳng và trục Oz. Một vectơ chỉ phương của d là

A. B.

C. D.

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng Biết rằng và tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau. Tìm giá trị của a.

A. hoặc B. hoặc

C. D.

Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho biết đường cong là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng , Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong bằng:

A. B. C. D. 3.

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).

A.

B.

C.

D.

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, trong các điểm cho dưới đây điểm nào thuộc trục Oy?

A. B.

C. D.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

A. B.

C. D.

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng M là điểm nằm trên d sao cho Tính cao độ của điểm M.

A. B.

C. D.

Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại đúng 1 điểm.

B. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

C. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P).

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d, (P) tiếp xúc với (S) đồng thời (P) cắt trục Oz tại điểm có cao độ tương đương.

A.

B.

C.

D.

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh và điểm Gọi là mặt phẳng đi qua các điểm D, M sao cho (P) chia tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính

A. B. C. D.

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm và mặt cầu . Gọi là điểm trên (S) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A. B. C. D.

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm , , . Tìm toạ độ điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

A. B.

C. D.

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A. B.

C. D.

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng và

A. B.

C. D.

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm , và mặt phẳng . M là điểm di động trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị lớn nhất của

A. B. C. D.

Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng và chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là A. B.

C. D.

Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình tham số của trục Oz là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu Hai mặt phẳng và chứa d và tiếp xúc với . Gọi M, N là tiếp điểm. Tính dộ dài đoạn thẳng MN.

A. 4. B. C. D.

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi M là giao của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa M và vuông góc với d.

A.

B.

C.

D.

Câu 32: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. B.

C. D.

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Trong các điểm M, N, E, F, được cho dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng .

A. B.

C. D.

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Xét mặt phẳng , m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

A. và B.

C. D. và

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là

A. B.

C. D.

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương trình sau đây tiếp xúc với mặt cầu (S).

A.

B.

C.

D.

Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và các điểm Gọi d là đường thẳng đi qua B, cắt đường thẳng và có khoảng cách từ A tới d lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng d vuông góc với đưởng thẳng .

B. Đường thẳng d vuông góc với trục Oz.

C. Đường thẳng d vuông góc với trục Ox.

D. Đường thẳng d vuông góc với trục Oy.

Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

A.

B.

C.

D.

Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua có dạng , chọn giá trị đúng của d.

A. B. C. 2. D.

Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khối cầu đường kính AB với thì có thể tích là

A. B. C. D.

Câu 41: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm , . Khi đó, độ dài đoạn AB nhận giá trị nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua và song song với thì cắt Oy tại điểm có tung độ là

A. 3. B. C. 1. D.

Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Q) song song với và cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là Biết phương trình (Q) có dạng , giá trị của c sẽ là

A. –13. B. 13.

C. 1 hoặc 13. D. –1 hoặc 13.

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng , và điểm . Biết phương trình mặt phẳng (P) chứa có dạng và khoảng cách từ A đến (P) là 3. Giá trị của d là

A. B. C. D. 1.

Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm , và mặt phẳng . Nếu C là điểm trên (P) sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, thì tổng hoành độ và tung độ của C nhận giá trị nào sau đây?

A. 2. B. 3. C. –2. D. 1.

Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có và C nằm trên trục Ox. Biết tam giác ABC vuông tại A, khi đó hoành độ của C là

A. 15. B. 17. C. 16. D. -12.

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng Điểm nào dưới đây thuộc d vàcó khoảng cách đến (P) bằng 2?

A. . B.

C. D.

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng là

A. B.

C. D.

Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm , , . Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxz sao cho là

A. một đường thẳng.

B. một điểm.

C. một đường tròn.

D. tập rỗng.

Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm , và mặt phẳng . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho và góc có số đo lớn nhất.

A.

B.

C.

D.