Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất thuộc mặt phẳng đó .
2. Kí hiệu và thuật ngữ:
Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình :
- Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình , hay là điểm tạo ảnh của điểm .
- Nếu là một hình nào đó thì ( gồm các điểm là ảnh của ) được gọi là anh của qua phép biến hình .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình và . Gọi là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. là ảnh của qua , là ảnh của qua .
Ta nói, là ảnh của trong tích của hai phép biến hình và . Ký hiệu
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm thành hai điểm thì , từ đó suy ra .
Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Biểu thức tọa độ:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ có biểu thức tọa độ:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
A. B.
C. C.
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai.
STUDY TIP
Định nghĩa phép tịnh tiến: .
A. . B.
C.. D. là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D
Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
A. Không. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không có phép tịnh tiến nào biến thành .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai
A. B. C. D.
Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định.
A. Đường kính của đường tròn song song với .
B. Tiếp tuyến của tại điểm .
C. Tiếp tuyến của song song với .
D. Đường thẳng song song với và đi qua
Lời giải:
Đáp án B.
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm .
A. Đoạn thẳng nối từ tới chân đường cao thuộc của .
B. Cung tròn của đường tròn đường kính .
C. Đường tròn tâm bán kính là ảnh của qua .
D. Đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
Lời giải:
Đáp án D.
Kẻ đường kính là hình bình hành(Vì và cùng vuông góc với một đường thẳng)
.
Vậy thuộc đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
A. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
B. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
C. là đường thẳng .
D. là đường tròn tâm bán kính .
Lời giải:
Đáp án B.
Gọi là trung điểm của cố định.
Ta có .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
Cách 1. Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
Với mọi thì .
Từ biểu thức tọa độ ta được thế và phương trình ta được phương trình .
3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol…)
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm thuộc hình , thì thuộc ảnh ’ của hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Ta có .
STUDY TIP
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có: .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có .
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có tọa độ trọng tâm là ; .
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến trọng tâm của thành trọng tâm của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
Chọn .
Chọn .
đường thẳng chính là đường thẳng .
Đường thẳng qua và có một véctơ pháp tuyến có phương trình là:.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng .
Chọn .
Vậy phương trình .
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Lấy .
Ta có
Thay vào ta được .
Vậy .
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có: đường tròn có tâm , bán kính .
Suy ra: .
Vậy đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi
Thế vào phương trình đường tròn , ta có:
Vậy .
Study Tip
Phương trình đường tròn có tâm bán kính
Phương trình đường tròn có tâm bán kính
A. . B.. C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất thức ta được: .
Study Tip
Đồng nhất thức của 2 đa thức các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
A. . B.. C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
Mà
Do đó: .
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:
A. Là đường thẳng có phương trình .
B. Là đường thẳng có phương trình .
C. Là đường thẳng có phương trình .
D. Là đường tròn có phương trình .
Đáp án A.
Lời giải:
Vì hình bình hành nên
Vậy quỹ tích điểm là đường thẳng song song với . Ta tìm được phương trình .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Véc tơ có giá song song với
Gọi
Thế vào phương trình mà đi qua nên .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Gọi , ta có
Thế vào phương trình đường thẳng :
Từ giả thiết suy ra
Véc tơ chỉ phương của là . Do
Giải hệ và ta được .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
A. . B.. C. . D. Vô số.
A. . B.. C. . D. Vô số.
A. . B.. C. . D. Vô số.
A. Khoảng cách giữa hai điểm. B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm. D. Diện tích.
A. . B.. C. . D..
A. . B.. C. . D. Vô số.
A. đối xứng với qua . B. đối xứng với qua .
C. là giao điểm của qua . D. .
A.là trung điểm .
B. trùng với .
C. là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
D. là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
A.. B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A.. B.. C.. D..
A. . B.. C. . D. Vô số.
A.. B. . C. . D. .
A.. B. . C. . D. .
A.. B. . C. . D. .
A. Đường tròn tâm , bán kính là . B. Đường tròn tâm , bán kính là .
C. Đường tròn tâm , bán kính là . D. Đường tròn tâm , bán kính là .
A.. B. . C. . D. .
A.. B. . C. . D. .
A. . B. . C.. D..
DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
A. . B. . C. . D. .
A. . B.. C.. D..
A. . B.. C.. D..
A. . B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. . B.. C.. D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. là phép tịnh tiến theo . B. là phép tịnh tiến theo .
C. là phép tịnh tiến theo . D. là phép tịnh tiến theo .
A. là hình vuông. B. là hình bình hành.
C. là hình bình hành. D. thẳng hàng.
A. . B. .
C. . D. .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Khi véc tơ của phép tịnh tiến có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Khi : Đường tròn có tâm thì biến đường tròn thành chính nó.
Khi có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến .
Ta chỉ ra được là hình bình hành
Chẳng hạn lấy bất kỳ , thành nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn.
Ta có .
Ta có là hình bình hành.
Ta có .
Ta có nên đáp án D sai.
Từ hình vẽ ta có .
Từ hình vẽ ta có
với là các đoạn thẳng.
, với là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.
Ta có : .
Vậy tập hợp điểm là ảnh của đường tròn qua .
Xét
Khi đó cân tại .
đều.
và
Do đó (áp dụng định lí cosin).
.
Xét là hình bình hành.
và
Ta có
và là nửa tam giác đều.
Vậy cân tại .
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.
Cố định . Với
Từ giả thiết
(do ).
.
Suy ra quỹ tích là đường tròn tâm , bán kính ( là điểm đối xứng của qua )
Ta có
Vậy quỹ tích của là đường tròn tâm , bán kính .
Giả sử trung trực cắt tại , cắt tại ( ở giữa )
(Bạn đọc tự vẽ hình)
Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ đường tròn biến thành đường tròn . vì vậy biến thành , biến trhành , biến thành .
là hình bình hành nội tiếp nên là hình chữ nhật. Vậy .
(Bạn đọc tự vẽ hình).
Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ thì biến thành , thành . Vì vậy .
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ ta có :
biến thành , biến thành , biến thành
Ta có vuông tại và nên .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Theo biểu thức tọa độ
Ta có
Ta có .
Ta có .
Ta tìm được
.
Ảnh của có dạng
Chọn thế vào
.
Điểm biến thành thay vào
.
Chọn
Thử đáp án C (thỏa mãn)
Đường tròn có tâm , bán kính
Ta có .
Đường tròn có tâm , bán kính
Ta có
Vậy đường tròn ảnh là
Sử dụng quỹ tích điểm : Thay vào ta được đáp án B.
Sử dụng quỹ tích điểm : với mọi điểm
Thay vào ta được đáp án A.
Ta có
.
Ta có
.
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
, với
có dạng
Vì qua .
Để .
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của .
thẳng hàng.
Cách 1 : Thử các tọa độ ta được kết quả nhỏ nhất với và .
Cách 2 :
Gọi sao cho .
Gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
Gọi với
nhỏ nhất nhỏ nhất ( không đổi)
Dấu xảy ra khi
Lấy , điểm cần tìm là giao điểm của và trục hoành.
Gọi
Vì và cùng phương nên và .
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT
I. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng là phép biến hình biến điểm thành điểm đối xứng với qua đường thẳng .
Kí hiệu : (là trục đối xứng)
với là hình chiếu của trên .
là trung trực của đoạn .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng gọi là trục đối xứng của hình H nếu biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ :
Nếu
Nếu
II. Phép đối xứng tâm
1. Định nghĩa
Cho điểm . Phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành sao cho là trung điểm được gọi là phép đối xứng tâm .
Kí hiệu: ( là tâm đối xứng)
Nếu .
Nếu là trung điểm của .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Nếu và thì , từ đó suy ra .
Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
3. Tâm đối xứng của một hình.
Điểm được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , gọi và với
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM
DẠNG 1. KHAI THÁC DỊNH NGHĨA, TINH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM.
Phương pháp :
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Vận dụng đối xứng trục, đối xứng tâm để giải các bài toán hình học khác…
A. Các đường thẳng song song với .
B. Các đường thẳng vuông góc với .
C. Các đường thẳng hợp với một góc .
D. Các đường thẳng hợp với một góc .
Đáp án B.
Lời giải:
Giả sử là đường thẳng vuông góc với .
Lấy và và ngược lại vẫn thỏa mãn .
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Có phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và .
A. Hình vuông có vô số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vô số trục đối xứng .
D. Tam giác cân nhưng không đều có trục đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D.
Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác cân đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
A. cắt . B. Nếu thì .
C. Nếu qua thì cắt . D. và cắt nhau tại .
Lời giải:
Đáp án B
Thật vậy, . Qua phép đối xứng tâm ta được ảnh là , .
A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng.
B. Hình vuông có một tâm đối xứng.
C. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng.
D. Đường elip có vô số tâm đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D
Đường elip có một tâm đối xứng.
A. Góc giữa và bằng góc giữa và .
B. là giao điểm của và .
D. là giao điểm của và
Lời giải:
Đáp án D
Với do
.
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
A. B.
C. D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực . Gọi đối xứng với qua trung trực của
Do ,
A. không là phép dời hình B. là phép đối xứng trục.
C. là phép đối xứng tâm. D. là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: , .
. Vậy là phép tịnh tiến theo vectơ .
A. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua .
B. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua
C. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm
D. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm .
Lời giải:
Đáp án A
Gọi là điểm xác định bởi .
Khi đó .
Mặt khác là hình bình hành nên nên .
Từ giả thiết hay
khi di động trên thì di động trên đường là ảnh của qua phép đối xứng tâm .
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp:
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2:
Dựa vào vị trí tương đối của đường thẳng và trục đối xứng để tìm ảnh .
Áp dụng tính chất phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Với mọi điểm qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành .
Từ biểu thức tọa độ rút thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình đường thẳng ảnh .
Sử dụng quỹ tích: với mọi điểm thuộc hình , qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành thì thuộc ảnh của hình .
Với đường tròn áp dụng tính chất phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
Chọn mệnh đề đúng:
A. là phép đối xứng trục .
B. là phép đối xứng trục .
C. là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
D. là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Lời giải:
Đáp án C
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có . Gọi là trung điểm
là vectơ pháp tuyến của , và cùng phương và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có: .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: là trung trực của
Gọi
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Lấy đối xứng với qua .
Vậy ảnh của qua phép đối xứng trục tung là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Lấy qua phép đối xứng trục là .
Với
có phương trình
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Xét hệ phương trình:
Chọn . Gọi là ảnh của qua ta tìm được
là vectơ pháp tuyến của .
Vậy phương trình đường thẳng là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:
Thế vào phương trình ta có:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ
.
Vậy phương trình đường tròn là .
Study tip: Phép đối xứng trục :
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Cách 1: Với mọi qua phép đối xứng tâm ta được
. Thế vào ta có:
Vậy đường tròn : .
Cách 2: Đường tròn có tâm , bán kính , .
Vậy đường tròn : .
PHÉP QUAY
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho điểm cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm
thành điểm sao cho và được gọi là phép quay tâm góc quay .
Kí hiệu: ( là tâm phép quay, là góc quay lượng giác).
Nhận xét:
Phép quay:
là phép đồng nhất;
là phép đối xứng tâm.
Study tip:
2. Tính chất.
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 1: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Study tip. Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
Nhận xét: Gọi là góc của phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng :
Góc nếu ; góc nếu .
3. Biểu thức tọa độ của phép quay
Trong mặt phẳng với hệ trục , xét phép quay
Trường hợp 1: Khi tâm quay trùng với gốc tọa độ .
Đặt và góc góc
Hay
Nếu thì
Study tip:
Trường hợp 2: Khi tâm quay . Ta có:
Study tip:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY
Phương pháp chung:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
với là góc lượng giác.
Trong khi đó đáp án A: (không là góc lượng giác)
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án B.
khi tâm quay.
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Khi góc quay hoặc thì phép quay biến hình chữ nhật thành chính nó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiều âm và được một góc là .
Study tip: Chiều dương của góc quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm của góc quay là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
Study tip: Phép biến hình thành chính nó ta được phép đồng nhất.
A. với lần lượt là trung điểm của .
B. với lần lượt là trung điểm của .
C. với lần lượt là trung điểm của .
D. với lần lượt là trung điểm của .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có:
là trung điểm .
là trung điểm .
A. B. C. D.
Lời giải:
Đáp án C.
Từ hình C ta có qua phép ta luôn được một hình là chính nó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có: lại có
tâm là giao điểm của trung trực và cung chứa góc đi qua .
A. chạy trên là ảnh của qua phép quay .
B. chạy trên là ảnh của qua phép quay .
C. chạy trên và lần lượt là ảnh của qua phép quay và .
D. là ảnh của qua phép quay .
Đáp án C
đềuvà
Vì vậy khi chạy trên thì chạy trên là ảnh của qua và chạy trên là ảnh của qua .
DẠNG 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ
Phương pháp chung:
1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay.
- Sử dụng biểu thức tọa độ trong các biểu thức đã nêu.
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép quay.
Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt trên , Xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2: Áp dụng tính chất phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng có góc hoặc (đơn vị radian)
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
- Với mọi điểm thì
- Từ biểu thức tọa độ rút thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình ảnh
3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol…)
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm thuộc hình , thì thuộc ảnh của hình .
- Với đường tròn áp dụng tính chất phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
A. B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ
Cách 2: Vẽ biễu diễn tọa độ của điểm trên hệ trục .
Cách 3: Ta có
Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và cách 3 khá dễ hiểu nhưng dài hơn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Theo biểu thức tọa độ
Góc giữa 2 vecto:
Cách 2:
Giải hệ trên
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Cách 1: Chọn ,
Đường thẳng là đường thẳng
Cách 2: Vì góc quay là có dạng
Chọn qua phép quay ta được
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Với mọi điểm ta có
Từ biểu thức tọa độ .Thế vào phương trình đường thẳng ta được :
A. . B.
C. D.
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Đường tròn có tâm , bán kính .
Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Ta có với
Từ biểu thức tọa độ
Thế vào
A. . B. C. D.
Lời giải:
Đáp án D
Từ
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY
A. không có phép nào. B. có 1 phép duy nhất.
C. chỉ có 2 phép. D. có vô phép số.
A. . B. . C. . D.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. Vô số.
A.. B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A . B. // . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. là trung điểm của đoạn . B. là trung điểm của đoạn .
C. là trung điểm của đoạn . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
A. với . B. với .
C. với . D. với .
A. . B. . C. . D. .
A. cân . B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉP QUAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. 12. B. 8. C. 16. D. 32.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY
Thật vậy, các phép quay biến hình vuông thành chính nó:
Khi , phép quay trở thành phép đối xứng tâm I .
Gọi là tâm của phép quay, là tâm các đường tròn và .
. Vậy chỉ có 1 phép quay thỏa mãn.
, , .
Khi kim giờ chỉ đến năm giờ đúng thì kim giờ quay được đúng tức theo chiều âm.
Vì góc quay 1200 nên góc giữa hai đường thẳng là: 1800 – 1200 = 600
. Do đó và
Phép quay tâm góc quay biến các điểm lần lượt thành biến đoạn thành nên biến trung điểm của thành trung điểm của và đều.
Vì đều và cố định .
Ta có: .
Vậy, .
Cần chứng minh: thẳng hàng và cân tại .
Thật vậy: . Mà
thẳng hàng.
Ta có: .
Có: (do ) cân tại
Ta có: .
Mà và
là tam giác vuông cân.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Vận dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm và góc quay ta được đáp án .
Ta có: . là trung điểm ; là trung điểm
.
Ta có:
Đường thẳng có dạng: . Vì đi qua nên
Áp dụng biểu thức tọa độ
Ta có:
(Do nằm ở góc phần tư thứ hai, nằm ở góc phần tư thứ nhất)
Theo biểu thức tọa độ: . Do giá trị tọa độ
Chọn 2 điểm . Gọi và là ảnh của qua . Áp dụng biểu thức tọa độ:
Gọi đi qua và có vtcp
Đường tròn có tâm và bán kính .
Phương trình đường tròn
Đường tròn có tâm và bán kính .
.
Phương trình đường tròn:
Sử dụng tính chất của phép quay tâm thành . Khi đó ta được phương trình:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Nhận xét:
- Các phép Đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục và phép quay là những phép dời hình
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất.
Phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bào toàn thứ tự giữa chúng
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH
A. Phép biến mọi điểm thành điểm sao cho là trung điểm , với là điểm cố định cho trước.
B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d.
C. Phép biến mọi điểm thành điểm cho trước.
D. Phép biến mọi điểm thành điểm là trung điểm của đoạn , với là một điểm cho trước.
Lời giải:
Đáp án A
Với mọi điểm tương ứng có ảnh qua phép biến hình với quy tắc là trung điểm tương ứng Đây là phép dời hình.
(I) Phép biến hình
(II) Phép biến hình
A. Chỉ phép biến hình (I).
B. Chỉ phép biến hình (II).
C. Cả hai phép biến hình (I) và (II).
D. Cả hai phép biến hình (I) và (II) đều không là phép dời hình.
Lời giải:
Đáp án A
Chọn hai điểm bất kỳ.
Xét phép biến hình có:
Xét tương tự với phép biến hình (II) không là phép dời hình.
A. Phép tịnh tiến theo véc tơ .
B. Phép đối xứng trục .
C. Phép quay tâm góc quay .
D. Phép quay tâm góc quay .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có:
A. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai hình bình hành.
B. Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hai hình bình hành.
C. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành thứ nhất và một đỉnh của hình bình hành còn lại.
D. Đường chéo của một trong hai hình bình hành đó.
Lời giải:
Đáp án A
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
;
là ảnh của qua phép đối xứng tâm .
Lời giải:
có dạng .
Chọn
Đường thẳng .
A. một phép đồng nhất. B. phép tịnh tiến.
C. phép quay tâm O góc quay . D. phép quay tâm O góc quay là .
Lời giải::
Gọi ,
Ta có: và
và hay .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
A. Phép đồng nhất.
B. Phép chiếu lên một đường thẳng.
C. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước.
D. Phép biến mọi điểm M thành điểm là trung điểm của đoạn OM với O là điểm cho trước.
A. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
B. F biến đường thẳng thành chính nó.
C. F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.
D. F biến tam giác thành tam giác bằng nó.
A. Chỉ phép biến hình .
B. Chỉ phép biến hình .
C. Cả hai phép biến hình và .
D. Cả hai phép biến hình và đều không là phép dời hình.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. không tồn tại m.
A. . B. .
C. . D. Các khẳng định trên đều sai.
A. . B. . C. . D. .
A. Hai hình bằng nhau thì luôn phải trùng khít lên nhau.
B. Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
C. Gọi A, B tương ứng là tập hợp điểm của hình và .
D. Hai hình trùng khít lên nhau thì luôn phải bằng nhau.
A. và đối xứng nhau qua . B. và đối xứng nhau qua .
C. với mọi . D. .
A. Đường nối tâm sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
B. Đường vuông góc với đường nối tâm và đi qua trung điểm của sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
C. Đường nối hai điểm bất kì (không trùng với ) với A thuộc , B thuộc sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
D. Mỗi đường thẳng bất kì đi qua hoặc chia hình thành hai phần bằng nhau.
A. Hai hình thang và bằng nhau.
B. Hai hình thang và bằng nhau.
C. Hai hình thang và bằng nhau.
D. Hai hình thang và bằng nhau.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. qua hai phép đối xứng trục có các trục cắt nhau là một phép quay.
B. qua hai phép tịnh tiến ta được một phép tịnh tiến.
C. qua hai phép đối xứng tâm ta được phép tịnh tiến hoặc đối xứng tâm.
D. qua hai phép quay ta luôn được một phép đồng nhất.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Phép đồng nhất bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì
biến tam giác thành tam giác bằng nó tức bảo toàn khoảng cách hay độ dài các cạnh.
Xét hai điểm và qua hai phép biến hình và . Với phép biến hình ;
Tương tự với phép biến hình thì nên ta chọn đáp án C
Nếu ta có (do )
(do )
(do )
M thuộc đường tròn tâm C bán kính CA
M thuộc đường tròn tâm B bán kính
M thuộc đường tròn tâm A bán kính .
Vậy
Theo giả thiết
.
Ta xác định ảnh của D qua phép dời hình F.
Giả sử , ta có
Vậy điểm E là điểm chung của ba đường tròn. Đường tròn tâm B bán kính AD, tâm A bán kính BD và tâm D bán kính b.
Vậy hay qua F
Lấy ta có:
F là phép dời hình .
Lấy điểm
(vô lí) . Nên F không là phép dời hình
Ta có F là phép đồng nhất
Theo tính chất phép dời hình
Ta có:
, thế vào ta có:
Ví dụ: và phân biệt.
Gọi và nên theo tính chất phép dời hình ta có
Có 2 khả năng xảy ra: C và đối xứng với nhau qua hoặc
Theo giả thiết C và cùng phía so với .
Với mọi M ta vẽ đường thẳng qua M cắt AB, AC tại D và E. Theo câu 7: .
Ta có hình thang biến thành hình thang qua hai phép dời hình là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục EH.
Ta có
.
Vậy phương trình là:
Ta có:
Thật vậy xét 2 phép quay: và (với tâm ) Không có phép đồng nhất thỏa mãn.
PHÉP VỊ TỰ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Cho điểm O cố định và số k không đổi, . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: (O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự)
Nhận xét:
- Khi , và nằm cùng phía đối với điểm O
- Khi , và nằm khác phía đối với điểm O
Khi , và đối xứng nhau qua tâm O nên
- Khi phép vị tự trở thành phép đồng nhất
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới