Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 2. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
QUY TẮC ĐẾM
A. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiên, hành động kia có n cách thực hiên không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là |X| hoặc n(X)
Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động
.Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có cách thực hiện.
2. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi k hành độngliên tiếp. Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A1 có m2 cách thực hiện hành động A2,…, có mk cách thực hiện hành động Ak thì công việc đó có cách hoàn thành.
HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
1. Hoán vị
Cho tập hợp A có n phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn
Định lí 1: với Pn là số các hoán vị
chứng minh
Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách
Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách
Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách.
.
Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có 1 cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có hoán vị.
STUDY TIP Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau. |
2. Chỉnh hợp
Cho tập A gồm n phần tử .
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho.
STUDY TIP: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp A có n phần tử là một chỉnh hợp chập n của A. |
Định lý 2: với là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử .
Chứng minh
Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện.
Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có cách thực hiện.
.
Sau khi thực hiện xong công đoạn (chọn phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., ), công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách thực hiện.
Công đoạn cuối, công đoạn k có cách thực hiện.
Thoe quy tắc nhân thì có chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử.
3. Tổ hợp
Giả sử tập A có n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là .
STUDY TIP Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện . Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. |
QUY ƯỚC
Định lý 3
Chứng minh
Ta có mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy .
Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số )
a. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó .
b. Hằng đẳng thức Pascal
Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với . Khi đó .
Đọc thêm
Trên máy tính cầm tay có chức năng tính tổ hợp, chỉnh hợp như sau:
Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím
Ví dụ ta muốn tính ta ấn
Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím
Ví dụ ta muốn tính ta ấn tổ hợp phím
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM
Phương pháp chung:
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để thực hiện công việc (có nghĩa công việc có thể hoàn thành bằng một trong các phương án ).
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các phương án
Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc là
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc (giả sử chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công đoạn hoàn thành).
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các công đoạn
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc là
a) một học sinh đi dự trại hè của trường.
b) một học sinh nam và một học sinh nữ dự trại hè của trường. Số cách Chonju trong mỗi trường hợp a và b lần lượt là
A. 45 và 500. B. 500 và 45. C. 25 và 500. D. 500 và 25.
Lời giải
Chọn A
a) Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có cách chọn.
b) Bước 1: Với bài toán b thì ta thấy công việc là chọn học sinh nam và một học sinh nữ. Do vậy ta có 2 công đoạn.
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 1 học sinh nam trong số 25 học sinh nam thì có 25 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ trong số 20 học sinh nữ thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.
Vậy ta có cách chọn.
STUDY TIP Bài toán ở ví dụ 1 giúp ta cũng cố và định hình các bước giải quyết bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng; quy tắc nhân. |
Chú ý:
Quy tắc cộng: Áp dụng khi công việc có nhiều phương án giải quyết.
Quy tắc nhân: Áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn.
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Lời giải
Chọn D
Theo quy tắc nhân ta có:
cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau.
cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn 2 quyển sách khác môn là cách.
STUDY TIP
Ta thấy bài toán ở ví dụ 2 là sự kết hợp của cả quy tắc cộng và quy tắc nhân khi bài toán vừa cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước.
A. B. C. 33384960. D.
Lời giải
Chọn A
Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.
Chữ cái đầu tiên có 24 cách chọn.
Chữ cái tiếp theo cũng có 24 cách chọn.
Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn.
Chữ số thứ hai có 10 cách chọn.
Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.
Chữ số thứ tư có 10 cách chọn.
Chữ số thứ năm có 10 cách chọn.
Chữ số thứ sau có 10 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.
STUDY TIP Có thể phân biệt bài toán sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân là phân biệt xem công việc cần làm có thể chia trường hợp hay phải làm theo từng bước. |
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Lời giải
Chọn C
Ta thấy ở đây bài toán xuất hiện hai đối tượng.
Đối tượng 1: Hai bạn và (hai đối tượng này có tính chất riêng).
Đối tượng 2: Các bạn còn lại có thể thay đổi vị trí cho nhau.
Bước 1: Ta sử dụng tính chất riêng của hai bạn và trước. Hai bạn này chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có cách xếp.
Bước 2: Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có cách xếp.
Vậy ta có cách xếp.
STUDY TIP Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của phần tử, ta dựa trên dấu hiệu a. Tất cả phần tử đều có mặt. b. Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần. c. Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. d. Số cách xếp phần tử là số hoán vị của phần tử đó |
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Kí hiệu là ghế đàn ông ngồi, là ghế cho phụ nữ ngồi, là ghế cho trẻ con ngồi. Ta có các phương án sau:
PA1:
PA2:
PA3:
Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ông có cách.
Bốn vị trí ghế cho phụ nữ có thể có cách.
Hai vị trí ghế trẻ con ngồi có thể có cách.
Theo quy tắc nhân thì ta có cách.
Lập luận tương tự cho phương án 2 và phương án 3.
Theo quy tắc cộng thì ta có cách.
STUDY TIP Với các bài toán gồm có ít phần tử và vừa cần chia trường hợp vừa thực hiện theo bước thì ta cần chia rõ trường hợp trước, lần lượt thực hiện từng trường hợp (sử dụng quy tắc nhân từng bước) sau đó mới áp dụng quy tắc cộng để cộng số cách trong các trường hợp với nhau. |
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Lời giải
Chọn C.
Bước 1: Do đề bài cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau nên ta sẽ coi như “buộc” các quyển sách Toán lại với nhau thì số cách xếp cho “buộc” Toán này là cách.
Bước 2: Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho “buộc” Lý này là cách.
Bước 3: Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:
+ 1 “buộc” Toán.
+ 1 “buộc” Lý.
+ 5 quyển Hóa.
Thì sẽ có cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có cách xếp.
STUDY TIP Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau thì ta sẽ “buộc” các phần tử này một nhóm và coi như 1 phần tử. |
A. B. C. D.
Phân tích
Bài toán sử dụng quy tắc nhân khi ta phải thực hiện hai bước:
Bước 1: Chọn 9 người vào vị trí lễ tân.
Bước 2: Chọn 12 người vào vị trí khách mời.
Dấu hiệu nhận biết sử dụng chỉnh hợp ở phần STUDY TIP.
Lời giải
Chọn D.
Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân.
Do ở đây được sắp theo thứ tự nên ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. Số cách chọn ra 9 người vào vị trí lễ tân là cách.
Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời. Số cách chọn là 12 thành viên trong số các thành viên còn lại để xếp vào khách mời là cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách chọn các hội viên để đi dự hội thảo theo đúng quy định là cách.
STUDY TIP Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập của phần tử, ta cần có các dấu hiệu: a. Phải chọn phần tử từ phần tử cho trước. b. Có sự phân biệt thứ tự giữa phần tử được chọn. c. Số cách chọn phần tử có phân biệt thứ tự từ phần tử là cách. |
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Trước hết, xếp 6 học sinh thành một hàng có cách.
Lúc này giữa hai học sinh bất kì sẽ tạo nên một vách ngăn và 6 học sinh sẽ tạo nên 7 vị trí có thể xếp các thầy vào đó tính cả hai vị trí ở hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới). 7 vị trí dấu nhân chính là 7 vách ngăn được tạo ra.
+ Do đề yêu cầu 2 thầy giáo không đứng cạnh nhau nên ta xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vị trí vách ngăn được tạo ra có cách.
Theo quy tắc nhân ta có tất cả cách xếp.
Cách 2:
Khi đó có cách xếp. Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là cách xếp.
STUDY TIP Khi bài toán yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau. Chúng ta có thể tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng. |
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Phân tích
Ta thấy do chỉ chọn 7 bông hồng mà có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ nên chỉ có 3 trường hợp sau:
TH1: Chọn được 3 bông hồng vàng và 4 bông hồng đỏ.
TH2: Chọn được 4 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ.
TH3: Chọn được 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng.
Lời giải
Chọn D.
TH1: Số cách chọn 3 bông hồng vàng là cách.
Số cách chọn 4 bông hồng đỏ là cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách.
TH2: Tương tự TH1 thì ta có cách.
TH3: Tương tự thì có cách.
Vậy theo quy tắc cộng thì có cách.
STUDY TIP Để nhận dạng bài toán sử dụng tổ hợp chập của phần tử, ta dựa trên dấu hiệu: a. Phải chọn ra phần tử từ phần tử cho trước. b. Không phân biệt thứ tự giữa phần tử được chọn. c. Số cách chọn phần tử không phân biệt thứ tự từ phần tử đã cho là cách. |
Từ các bài toán trên ta rút ra được quy luật phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp như sau:
+ Không thứ tự:
+ Có thứ tự:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là cách.
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
TH1: Lớp có hai học sinh, các lớp mỗi lớp có 1 học sinh:
Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp có cách.
Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp có cách.
Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp có cách.
Suy ra số cách chọn là cách.
TH2: Lớp có 2 học sinh, các lớp mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là cách.
TH3: Lớp có 2 học sinh, các lớp mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là cách.
Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là cách.
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là cách.
STUDY TIP Trong nhiều bài toán, làm trực tiếp sẽ khó trong việc xác định các trường hợp hoặc các bước thì ta nên làm theo hướng gián tiếp như bài toán ở ví dụ 9. Ta sử dụng cách làm gián tiếp khi bài toán giải bằng cách trực tiếp gặp khó khan do xảy ra quá nhiều trường hợp, chúng ta tìm cách gián tiếp bằng cách xét bài toán đối. |
A. số. B. số. C. số. D. số.
Lời giải
Chọn C.
Giả sử các số tự nhiên gồm 8 chữ số tương ứng với 8 ô.
Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta sẽ coi như tìm số các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số
Số hoán vị của 8 số trong 8 ô trên là
Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là kể cả trường hợp số đứng đầu.
Xét trường hợp ô thứ nhất là chữ số 0, thì số cách xếp là
STUDY TIP Bài toán trên là một dấu hiêu của hoán vị lặp. Để biết thêm về hoán vị lặp thì ta sẽ nghiên cứu ở phần đọc thêm. |
🏵 ĐỌC THÊM: Cho phần tử khác nhau Một cách sắp xếp n phân tử trong đó gồm phần tử phần tử phần tử theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị lặp cấp và kiểu của phần tử. Số các hoán vị lặp dạng như trên là
Vậy các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là số.
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Lời giải
Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn.
Ta chọn cố định vị trị của , sau đó xếp vị trí cho bạn còn lại có cách.
Vậy có cách.
ĐỌC THÊM
Hoán vị vòng quanh: Cho tập gồm phần tử. Một cách sắp xếp phần tử của tập thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của phần tử là
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Lời giải
Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có môn hết sách.
TH1: Môn Toán hết sách:
Số cách chọn cuốn sách Toán là cách.
Số cách chọn cuốn trong cuốn còn lại là cách.
Vậy có cách chọn sách.
Số cách tặng cuốn sách đó cho em học sinh là cách.
Vậy có cách.
TH2: Môn Lí hết sách:
Số cách chọn cuốn sách Lí là cách.
Số cách chọn cuốn trong cuốn còn lại là cách.
Vậy có cách chọn sách.
Số cách tặng cuốn sách đó cho em học sinh là cách.
Vậy có cách.
TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp thì có cách.
Số cách chọn cuốn bất kì trong cuốn và tặng cho em là cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là cách.
STUDY TIP
Ở đây có nhiều độc giả không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn, trong đó có một bạn nam và một bạn nữ?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn nam làm lớp trưởng?
A. a. cách và b. cách.
B. a. cách và b. cách.
C. a. cách và b. cách.
D. a. cách và b. cách.
C
D
B
A
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Bộ phim A: có người đã xem.
Bộ phim B: có người đã xem.
Bộ phim B: có người đã xem.
Có người đã xem hai bộ phim A và B
Có người đã xem hai bộ phim B và C
Có người đã xem hai bộ phim A và C
Có người đã xem cả ba bộ phim A, B và C.
Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim là:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. số. B. số. C. số. D. số.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. số. B. số. C. số. D. số.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính?
A. . B. . C. . D. .
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào?
A. . B. . C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Đi từ đến có cách.
Đi từ về có cách.
Vậy đi từ đến rồi quay lại B có cách.
Gọi là tập các học sinh khá môn Toán, là tập các học sinh khá môn Ngữ Văn. Theo đề ta có:.
Theo quy tắc tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có:
Vậy lớp học có học sinh.
Kí hiệu tương ứng là tập hợp các thí sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học.
Lúc này ta có là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học. Ta có:
Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU là .
Theo quy tắc tính số phần tử của ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem ít nhất một bộ phim là người.
Vậy số người không xem bất cứ bộ phim nào là người.
Chọn vở kịch có cách. Chọn điệu múa có cách. Chọn bài hát có cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có cách.
Nhận xét: Bài toán là sự kết hợp giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Do hai viên bi cùng màu không được ớ cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ. Có cách chọn bi đỏ ở vị trí số.
Có cách chọn bi đỏ ờ vị trí số.
….
Có cách chọn bi đỏ ờ vị trí số.
Suy ra có cách xếp bi đỏ.Tương tự có cách xếp bi xanh.
Vậy có cách xếp.
Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có.
Cách 1:
Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp có cách chọn ghế.
Bước 2: Có cách chọn ra một học sinh lớp ngồi vào ghế đối diện.
Bước 3: Có cách chọn ra một học sinh lớp vào ghế tiếp theo.
Bước 4: Có cách chọn ra học sinh lớp vào ghế đối diện.
Bước 5: Có cách chọn ra học sinh lớp .
Bước 6: Có cách chọn học sinh lớp vào ghế đối diện.
Bước 7: Có cách chọn học sinh lớp vào ghế tiếp.
Bước 8: Có cách chọn học sinh lớp vào ghế đối diện.
Bước 9: Có cách chọn học sinh lớp vào ghế kế tiếp.
Bước 10: Có cách chọn học sinh lớp vào ghế đối diện.
Theo quy tắc nhân thì có cách.
Cách 2:
Vì học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi học sinh lớp và học sinh lớp.
Số cách xếp học sinh lớp vào cặp ghế là cách. Số cách xếp học sinh lớp vào cặp ghế là cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách.
Bước 1: Có cách chọn người đàn ông đầu tiên.
Bước 2: Sau đó chi có cách chọn vợ của anh ta.
Bước 3: Có cách chọn người đàn ông tiếp theo.
Bước 4: Sau đó chi có cách chọn vợ của anh ta.
Vậy theo quy tắc nhân thì có cách.
TH1: Số có chữ số : chi có số duy nhất.
TH2: Số có chữ số và chữ số.
Xếp số thành hàng có cách. Khi đó tạo nên "vách ngăn" đế xếp số.
TH3: Số có chữ số và chữ số.
Tưong tự sử dụng phương pháp tạo vách ngăn như TH2 thì tìm được số.
TH4: Số có chữ số và chữ số : có số.
TH5: Số có chữ số và chữ số : có số.
TH6: Có chữ số và chữ số : có số.
Vậy theo quy tắc cộng thì có số.
Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn" được giới thiệu ờ phần lí thuyết.
Bước 1: Xếp vị trí cho học sinh có cách.
Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính vách ngăn được tạo ra giữa học sinh. Số cách xếp thầy giáo vào vị trí là cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì có cách.
Do ở đây việc tìm trực tiếp sẽ có nhiều trường hợp nên ta sẽ giải bài toán bằng cách gián tiếp. Ta sẽ đi tìm bài toán đối.
Ta đi tìm số cách chọn ra bạn mà trong đó có cả hai bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm em trong em, trừ Thùy và Thiện thì có cách.
Bước 2: Ghép 2 em Thùy và Thiện có cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì có cách chọn em trong đó cả Thùy hoặc Thiện đều được chọn.
- Chọn em bất kì trong số em có cách. Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn.
Do ở đây xuất hiện dấu hiệu cúa phương pháp "buộc" phần từ đó là các phần tử được xếp cạnh nhau nên ta áp dụng như sau:
Bước 1: Buộc em nữ thành một buộc thì số cách đổi vị trí các em nữ trong buộc đó là cách.
Bước 2: Sau khi buộc em nữ thì ta chỉ còn phần tử. Số cách xếp phần từ này là cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách.
Gọi là số cần lập. Theo giả thiết Suy ra hoặc
TH1:
Có cách chọn . Xếp có cách. Vậy theo quy tắc nhân thì có số.
TH2:
Tương tự ta cũng tìm được số.
Vậy có tất cả số.
Số tam giác có 3 đỉnh là trong điểm là .
Ứng với hai đường chéo đi qua tâm của đa giác cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh
là điểm trong điểm và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đỉnh là nên số hình chữ nhật có đỉnh là trong điểm là
Theo đề bài ta có: .
Số cách chọn ra màu trong màu mà không có màu nào trùng nhau là .
Bưóc 1: Xếp chỗ cho hai ông bà An có cách.
Bước 2: xếp chỗ cho người con có cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách
Xét các trường hợp:
THI: Đề gồm câu dễ, câu khó, câu trung bình thì có đề.
TH2: Đề gồm câu dễ, câu khó và câu trung bình thì có đề.
TH3: Đề gồm câu dễ, câu khó và câu trung bình thì có đề.
Theo quy tắc cộng thì có đề.
Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước. Chữ cái đầu tiên có cách chọn. Chữ cái tiếp theo cũng có cách chọn.
Chữ số đầu tiên có cách chọn
Chữ số thứ hai có cách chọn.
Chữ số thứ ba có cách chọn
Chữ số thứ bốn có cách chọn
Chữ số thứ năm có cách chọn
Chữ số thứ sáu có cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có là số ô tô nhiều nhất có thể đăng ký.
Có cách chọn trong tiêu chuẩn.
Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, cỡ” thì có miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.
Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, màu” thì có miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.
Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, dạng” thì có miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.
Với hai tiêu chuẩn “cỡ, dạng” thì có miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.
Với hai tiêu chuẩn “cỡ, màu” thì có miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.
Tóm lại có miếng.
Ta thấy điều kiện xếp là hai bi cùng màu không nằm cạnh nhau nên ta phải xếp xen kẽ các viên bi.
Có cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng). Mỗi cách chọn có cách xếp bi đỏ và có cách xếp bi trắng. Vậy có cách xếp.
Nhiều bạn có lời giải sai như sau: Ở đây ta áp dụng quy tắc “vách ngăn” để giải quyết bài toán.
Số cách xếp bi đỏ là có cách. bi đỏ tạo ra vách ngăn để xếp bi trắng vào. Số cách xếp bi trắng là cách.
Vậy số cách xếp các viên bi là . Từ đây chọn là sai. Do nếu theo quy tắc vách ngăn ở đây có vách mà có bi, tức là có thể có vách ngăn trống khiến cho viên bi cùng màu cạnh nhau.
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng.
TH1: Nếu khi đó cócách chọn chữ số xếp vào .
TH2: Nếu , khi đó: Có cách chọn a. Có cách xếp chữ số vào số cần tạo ở vị trí hoặc. Các chữ số còn lại trong số cần tạo có cách chọn. Như vậy trường hợp này có số. Vậy có tất cả số.
Chú ý: Nhiều độc giả quên mất nên tính cả nên dẫn đến ra là sai.
Các trường hợp lấy được bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng như sau:
*TH1: Số bi lấy được không có bi vàng:
- lấy bi đỏ: Có cách
- Lấy bi đỏ, bi xanh có cách.
- Lấy bi đỏ, bi xanh có cách.
- Lấy bi đỏ, bi xanh có cách.
*TH2: bi lấy được có đúng bi vàng
- Lấy bi đỏ, bi vàng, bi xanh có cách.
- Lấy bi đỏ, bi vàng có cách.
Vậy số cách là:
Ta có 2 trường hợp:
TH1:tam giác gồm hai đỉnh thuộc và một đỉnh thuộc . Số cách chọn bộ hai điểm trong điểm thuộc là . Số cách chọn một điểm trong điểm thuộc là .Theo quy tắc nhân thì có tam giác.
TH2: Gồm một đỉnh thuộc và hai đỉnh thuộc. Tương tự ta tìm được tam giác thỏa mãn.
Vậy theo quy tắc cộng thì có tất cả tam giác.
Có cách để xếp chữ số. Khi đó có cách xếp chữ số còn lại. Vậy có số.
Cách 1: Chú ý: Bài toán không nói vectơ có khác vectơ không nên ta vẫn xét cả vectơ không ở đây. Và 2 điểm khác nhau tạo nên 2 vectơ có điểm đầu và điểm cuối hoán vị cho nhau nên ở đây việc chọn vectơ sẽ sử dụng chỉnh hợp chứ không phải tổ hợp.
TH1: Có vectơ không được tạo thành.
TH2: Các vectơ khác vectơ không
Mỗi vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập của , nên số vectơ cần tìm là . Theo quy tắc cộng thì có vectơ tạo thành.
Cách 2: Có cách chọn điểm đầu. có cách chọn điểm cuối. Có vectơ.
Tương tự Câu 24 ta có số tam giác được tạo thành theo là .
*Gọi điểm đã cho là . Xét một điểm cố định, khi đó có đường thẳng được xác định bởi trong điểm còn lại nên sẽ có đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.
*Do đó có tất cả đường thẳng vuông góc nên có giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau)
*Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại
- Qua một điểm có đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi điểm.
- Qua ba điểm của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với và 3 đường thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi
- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi .
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: .
Do các thành viên cùng câu lạc bộ thì ngồi cạnh nhau nên ta sử dụng phương pháp “buộc” các phần tưt để giải quyết bài toán.
Lúc này ta có phần tử đó là câu lạc bộ. Theo công thức hoán vị vòng quanh được giới thiệu ở phần ví dụ thì ta có cách xếp câu lạc bộ vào bàn tròn. Với mỗi cách xếp thì có:
cách xếp các thành viên CLB Máu Sư phạm.
cách xếp các thành viên CLB Truyền thông.
cách xếp các thành viên CLB Kỹ năng.
Vậy theo quy tắc nhân thì có tất cả: cách xếp.
Cách 1: Số cách lấy bông hồng bất kì:
Số cách lấy bông hòng chỉ có một màu:
Số cách lấy bông hồng có đúng hai màu:
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là.
Cách 2: Có cách chọn bông hồng màu đỏ. Có cách chọn bông hồng màu vàng. Có cách chọn bông hồng màu trắng. Có cách.
Áp dụng quy tắc “buộc” các phần tử ta có cách xếp hai vợ chồng. Sau khi “buộc” hai vợ chồng lại thì ta có tất cả phần tử. Theo công thức hoán vị vòng quanh thì số cách xếp phần tử quanh bàn tròn là .
Vậy theo quy tắc nhân thì có .
Ta lần lượt đánh số các ghế từ đến.
Vậy có tất cả cách.
Chọn toa cho vị khách thứ nhất có cách. Chọn toa cho vị khách thứ hai có cách.
Chọn toa cho vị khách thứ ba có cách. Chọn toa cho vị khách thứ tư có cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách chọn toa cho bốn khách.
Bước 1:Chọn bi
- Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là cách.
Bước 2: Sắp xếp các viên bi.
Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là
Theo quy tắc nhân thì có .
Xét các trường hợp sau:
- Lấy được 1 lá cờ, 3 lá rô và 4 chuồn thì có cách lấy.
Theo quy tắc cộng thì có tất cả cách lấy.
Gọi số cần tìm là .
Có 9 cách chọn a.
Có 10 cách chọn b.
Có 10 cách chọn c.
Vậy có tất cả số.
Gọi là phương án: Chọn nhóm có học sinh và chỉ định nhóm trưởng của nhóm.
Thầy chủ nhiệm có các phương án . Ta tính xem có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án có hai công đoạn:
- Công đoạn 1: Chọn học sinh có cách chọn.
- Công đoạn 2: Chỉ định nhóm trưởng: có cách chọn.
Theo quy tắc nhân thì phương án có cách thực hiện.
Vậy theo quy tắc cộng thì .
a) Đáp án C.
* Có nam họ Nguyễn và có nữ họ Nguyễn. Vậy có cặp cùng họ Nguyễn mà khắc giới tính.
* Tương tự có cách chọ cặp cùng họ Trần mà khác giới tính.
Vậy có cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính.
b) Đáp án A.
Ta có cặp anh em trong đó 8 cặp họ Nguyễn và 3 cặp họ Trần.
Chọn bất kì 2 người trong số 36 người thì có cách chọn.
Vậy có tất cả cách chọn các cặp sao cho không có cặp anh em nào.
NHỊ THỨC NEWTON
A. LÝ THUYẾT
1. Công thức nhị thức Newton
Khai triển được cho bởi công thức sau:
Định lý 1
Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có Quy ước |
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
STUDY TIP
Trong biểu thức ở VP của công thức (1)
a) Số các hạng tử là .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đén 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Hệ quả
Với thì ta có .
Với , ta có
Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton
2. Tam giác Pascal.
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ n thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
Nhận xét: Xét hàng thứ nhất, ta có:
Ở hàng thứ 2, ta có
Ở hàng thứ 3, ta có
STUDY TIP
Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm số
B. Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Newton
DẠNG 1. Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp chung:
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển (số hạng thứ ).
- Từ kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến k).
- Giải phương trình để tìm kết quả.
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Đáp án B.
Theo công thức tổng quát ở lý thuyết thì ta có số hạng thứ 5 là
.
A. 4354560. B. 13440. C. 60466176. D. 20736.
Lời giải
Đáp án A.
Ta có
Từ lý thuyết ở trên ta có số hạng thứ trong khai triển là. Theo yêu cầu đề bài ta có .
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là
STUDY TIP
Trong các bài toán tìm số hạng trong khi khai triển các nhị thức, ta chú ý các công thức sau
Cho bài toán:
Cho nhị thức tìm số hạng chứa (không chứa khi ) trong khai triển đa thức
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án C.
Điều kiện
Ta có
Với ta có
Số hạng thứ trong khai triển là
Suy ra
Vậy số hạng chứa trong khai triển là
STUDY TIP
Chú ý phân biệt giữa hệ số và số hạng.
Với Số hạng chứa tương ứng với giải phương trình ta tìm được
Nếu thì hệ số phải tìm là
Nếu hoặc thì trong khai triển không có số hạng chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án B.
Ta có số hạng tổng quát
Ta thấy bậc hai của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó để là một số nguyên thì
Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án A.
Ta có số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức là
Xét bất phương trình với ẩn số ta có
Do đó bất đẳng thức đúng với và dấu đẳng thức không không xảy ra.
Ta được và
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
Phương pháp giải
Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức
Xét các khả năng sau:
1. Nếu (trường hợp tương tự)
Ta xét bất phương trình thông thường giải ra được nghiệm Do nguyên nên Từ đó suy ra bất phương trình có nghiệm
Chú ý rằng trong các bài toán về nhị thứ Newton thì phương trình là bậc nhất theo nên có nhiều nhất một nghiệm và nếu có thì phương trình đó là Như vậy có hai khả năng xảy:
Nếu thì ta có:
Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là
Nếu phương trình vô nghiệm thì ta có:
Khi đó ta có là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức.
2. Nếu và (trường hợp và tương tự) thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số . Ta cũng xét bất phương trình rồi làm tương tự như phần 1.
STUDY TIP
Phương pháp tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
+ Áp dụng khai triển
+ Xác định số hạng tổng quát suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo .
+ Xét tính tăng giảm của từ đó tìm được tương ứng. Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.
✹Đọc thêm
Một thuật toán khai triển nhanh tam thức Newton
Bài toán: khai triển tam thức Newton sau
Lời giải tổng quát
Bước 1: Viết tam giác Pascal đến dòng thứ , để có được hệ số của nhị thức Newton
Bước 2: Ở các đầu dòng ta viết các đơn thức là khai triển nhị thức Newton
Bước 3: Nhân lần lượt các đơn thức ở đầu dòng mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi dòng đó rồi cộng các kết quả lại, ta thu được kết quả khai triển.
Cụ thể ta có ở dưới đây
Sau khi cộng lại ta được:
STUDY TIP
Sau khi khai triển với số hạng thứ trong khai triển là .
A. 1695. B. 1485. C. 405. D. 360.
Đáp án A.
Lời giải
Với thì số hạng tổng quát của khai triển là:
Theo đề bài thì
Do nên .
Vậy hệ số của trong khai triển là:
.
STUDY TIP
Chú ý khi ra nhiều trường hợp của thì ta công hệ số các trường hợp với nhau để có kết quả.
A. 135. B. 45. C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Với thì số hạng tổng quát của khai triển là:
Theo đề bài thì
Do nên .
Vậy hệ số của trong khai triển là: .
Dạng 2: Các bài toán về công thức tổ hợp và nhị thức Newton
Các bài toán về công thức tổ hợp và nhị thức Newton
Một số công thức thường dùng trong các bài tập dạng này như sau:
STUDY TIP
Ngoài ra từ công thức ta mở rộng được công thức:
A. . B. .
C. . D.
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Giải theo phương pháp tự luận
Với A: Ta có
Từ A ta suy ra từ đây ta có luôn D sai. Ta chọn D.
Đọc thêm: Chứng minh B; C.
Với B:
Với C: Ta có
Cách 2: Sử dụng máy tính để thử
Với các bài toán xét đẳng thức đúng thi ta có thể sử dụng máy tính để thử. Ta thử với từng trường hợp, thử với cặp số cụ thể.
Ví dụ với A ta thử ngay với ta thấy đẳng thức này đúng, suy ra A đúng, từ đây suy ra D sai.
Math
0
STUDY TIP
Đẳng thức ở phương án A là một đẳng thức quan trọng trong các bài toán về công thức tổ hợp Ta có hai hệ quả quan trọng như sau:
Với mọi
A. 10 số. B. 9 số. C. 8 số. D. 7 số.
Đáp án A.
Lời giải
Điều kiện . Ta có
A. B. C. D.
Đáp án B
Lời giải
Cách 1: Sử dụng đẳng thức ta được:
Vậy
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio
Do bài toán này, tổng bé và số các số hạng trong tổng ít nên ta có sử dụng lệnh tổng trong máy tính Caiso bằng cách bấm máy: .
Ta nhập
STUDY TIP
Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Với các bài toán tính tổng ở trên ta cần chú ý kỹ thuật sử dụng các đẳng thức cơ bản sau:
và các hệ quả:
Đẳng thức Pascal:
Xét
Cộng vế theo vế, trừ vế theo vế, ta được kết quả sau:
Xét m = 2n + 1, hoàn toàn tương tự, ta được:
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án D.
Lời giải
Ta có thể sử dụng máy tính để thử trường hợp riêng của đẳng thức trên, tôi xin phép không đưa cách làm cụ thể vì độc giả có thể dễ dàng giải được.
Tôi xin giới thiệu cách chứng minh cụ thể như sau:
Với A: Ta sẽ dùng đẳng thức .
Khi đó ta có:
Vậy A đúng.
Với B: Ta sẽ dùng đẳng thức .
Khi đó ta có:
Vậy B đúng.
Với C: Ta có .
Khi đó ta có: .
.
.
.
Vậy C đúng.
Từ đây ta chọn D.
Đọc thêm tính tổng : Các số hạng của có dạng nên ta sẽ dùng đẳng thức .
Khi đó ta có: .
.
STUDY TIP.
* Các số hạng của có dạng nên ta dùng đẳng thức .
* Các số hạng của có dạng nên ta sẽ dùng đẳng thức .
Bước 1: Ta áp dụng công thức .
.
.
Bước 2: Mở dấu ngoặc ta có:
Bước 3: Vậy với mọi thì .
Kết luận nào sau đây là đúng:
A. Lời giải trên sai từ bước 1. B. Lời giải trên sai từ bước 2.
C. Lời giải trên sai ở bước 3. D. Lời giải trên đúng.
Đáp án A.
Lời giải.
Ta thấy lời giải trên sai khi đã không xét hai trường hợp ; hoặc .
Vì nếu thì không tồn tại .
Rất nhiều học sinh mắc sai lầm khi giải như trên, hoặc sai lầm khi giải như sau:
.
Ta có lời giải đúng như sau:
TH1: Với , ta áp dụng công thức , ta có:
.
.
Vậy khi .
TH2: Với , thì .
STUDY TIP.
Trong các bài toán mà các số , tổng quát ta cần lưu ý phân rõ trường hợp và .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A.
Lời giải.
Cách 1: Xét số hạng tổng quát.
.
Cho chạy từ 1 đến 2018 ta được:
.
STUDY TIP.
Với các bài toán tính tổng thường sử dụng công thức .
Cách 2: Khi các em học đạo hàm ở cuối chương trình lớp 11 ta sẽ nghiên cứu ở chương đạo hàm. Khi đó ta xét hàm số:.
.
.
.
ta chọn A.
A. . B. . C. . D. .
Đáp án B.
Lời giải.
Cách 1: Xét số hạng tổng quát , ta có:.
.
Vậy , cho chạy từ 0 đến 2017 thì ta được:.
.
Cách 2: Sử dụng tích phân (các em sẽ học ở chương trình lớp 12).
Xét .
.
.
Chọn B.
.
Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng.
A. (1) đúng, (2) sai. B. (1) sai, (2) đúng.
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Đáp án D.
Lời giải.
Ta có thể sử dụng máy tính để thử trường hợp riêng của các đẳng thức trên, tôi xin phép không đưa ra cách làm cụ thể vì độc giả có thể dễ dàng thử được.
Dưới đây tôi xin giới thiệu hai phương pháp tính tổng sử dụng đạo hàm và tích phân ta học cuối chương trình 11 và đầu chương trình 12.
STUDY TIP.
Có thể tính tổng.
.
khi xét đa thức và chứng tỏ rằng
Xét đa thức và chứng tỏ rằng.
Ta có thể giải thích cụ thể như sau:
* Với :
Ta khai triển đa thức .
nên.
.
Mặt khác
Vậy .
* Với S2:
Xét đa thức , ta có:
Suy ra .
Do đó
STUDY TIP.
Có thể tính tổng: khi xét đa thức: và chứng tỏ rằng .
Ta thường gặp bài toán với một trong 2 cận của tích phân là 0 và 1, hoặc -1. Trong một số trường hợp ta phải xét đa thức với
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp.
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A.
Lời giải.
Điều kiện . Phương trình đã cho có dạng:.
.
.
(sử dụng lệnh SHIFT SOLVE trên máy tính).
STUDY TIP.
Khi sử dụng lệnh SHIFT SOLVE ta nên rút gọn phương trình về đa thức, không nên để dạng phân thức vì máy tính ưu tiên sử lý các dạng phương trình không chứa phân thức trước.
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải.
Điều kiện .
Ta có bất phương trình .
.
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta có Vậy là tập nghiệm của bất phương trình.
A. 2451570. B. 3848222. C. 836418. D. 1307527.
Đáp án A.
Lời giải.
Giả sử 3 số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi .
.
.
.
Vậy .
STUDY TIP.
Một số tình huống thường gặp thì lập phương trình tổ hợp là:.
* Ba số lập thành cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và chỉ khi (hoặc ).
* Cho tập hợp có phần tử, số tập con của gồm phần tử bằng lần số tập con của gồm phần tử, tương ứng với phương trình .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
Xét khai triển . Hệ số lớn nhất của là
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A.. B..
C.. D..
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A.. B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. .
B. .
C. .
D. .
A. .
B. .
C. .
D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ số của số hạng có số mũ và bằng nhau ứng với:
Vậy số hạng cần tìm là .
Ta có
Từ giả thiết ta có:
Vậy là các số cần tìm.
Số hạng tổng quát sau khi khai triển
Số hạng chứa trong khai triển là . Đề bài hỏi hệ số nên ta chọn C.
Ta có
Số hạng chứa tương ứng với nên hệ số của trong khai triển trên là
Ta có
Số hạng không chứa tương ứng với . Do vậy số hạng đó là.
Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức là
Số hạng không chứa trong khai triển ứng với . Mà và nên . Lúc này số hạng không chứa trong khai triển là
Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức là
Ta có: . Suy ra . Lúc này hệ số của trong khai triển là
Theo giả thiết ta có:
Khi đó ta có
Số hạng không chứa tương ứng với . Vậy số hạng không chứa trong khai triển đã cho là.
Ta cần biết công thức tổng quát của để thay vào điều kiện , rồi sau đó giải ra để tìm . Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
Do đó . Khi đó theo giả thiết ta có Như vậy.
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
Do đó . Như vậy ta có, suy ra hệ số của ứng với và đó là số
Ta có
vì .
Lúc này ta có
Từ công thức tổng quát tam thức Newton ta có với thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức là
Ta có: . Kết hợp với điều kiện ở trên ta có: . Suy ra số hạng không chứa là
Theo giả thiết ta có:
Thay ta được. Như vậy ta chỉ cần xác định được
Với thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức là
Hệ số của ứng với: .
Suy ra
Hệ số của ứng với: .
Suy ra
Vậy
Vì nên ta có , suy ra ta chỉ cần tìm số lớn nhất trong các số. Bằng tính toán trực tiếp, ta có
Như vậy
Do đó:
Ta có với. Bài toán tương đương với tìm sao cho lớn nhất. Xét bất phương trình sau:
Từ đây ta có:
Do đó: hay là hệ số lớn nhất cần tìm.
Xét bất phương trình:
Từ đây ta có:
Do đó:
Vậy
Từ đây ta có:
Do đó:
Vậy
Giả sử là số nguyên dương sao cho:
Theo công thức khai triển newton ta có:
Ta có:
Các phép biến đổi trên là đương tương nên ta không cần phải thử lại các giá trị trên.
Vậy là tất cả các giá trị thỏa mãn bài toán (thử lại thấy thở mãn).
Theo công thức khai triển Newton ta có:
Số hạng chứa tương ứng với cặp thỏa mãn:
Do đó hệ số của là:
Ta có: .
Từ giả thiết ta có:
Vậy là các số cần tìm.
Các số hạng của tổng vế trái có dạng:
Do đó ta có:
.
Như vậy ta cần dùng số nguyên dương thỏa mãn:.
Cách 1: Ta có
Cộng các dẳng thức trên vế theo vế ta được:
Ta có:
.
Áp dụng câu với , thay bởi ta được:
Vậy .
Cách 2: Với bài toán này ta có thể dùng máy tính để thử trường hợp riêng.
Xét khai triển:
.
Chọn ta được
Xét khai triển: .
Chọn ta được:
Các số hạng của có dạng:
.
Do đó .
Nhận thấy là hệ số của trong khai triến .
Vì vậy xét , theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
=
Từ đó ta có:
.
Suy ra:
Theo giả thiết ta có:
.
Khi đó và .
Suy ra
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
.
Vậy
Xét khai triển
Chọn , ta được:
Chọn ,, ta được:
Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Nhận thấy rằng:
Lần lượt thay , vào khai triển đã cho ta được:
Trừ hai đẳng thức này vế theo vế, ta được:
Vậy
Nhận thấy là hệ số của trong khai triển
Vì thế xét , theo khai triển nhị thức NewTon, ta có:
Thay vào ta được:
Chú ý: Ta cũng có thể xét khai triển rồi sau đó thay vào.
Ta có
Cho thì A đúng.
Cho thì B đúng.
Cho thì D đúng.
Cho thì .
Vậy C sai.
.
XÁC SUẤT
A. LÝ THUYẾT
I. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU
1. Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
2. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là .
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó, tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N).
Không gian mẫu của phép thử là
II. BIẾN CỐ
1. Một biến cố (còn gọi là sự kiện ) liên quan tới phép thử là biến cố mà việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của .
Mỗi kết quả của phép thử làm cho biến cố xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho .
2. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho được kí hiệu bởi . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho .
Khi đó ta cũng nói biến cố được mô tả bởi tập .
3. Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử . Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập và được ký hiệu là .
4. Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử . Biến cố không thể được mô tả bởi tập .
Các phép toán trên biến cố
* Tập được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Giả sử và là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập được gọi là hợp của các biến cố và .
* Tập được gọi là giao của các biến cố và .
* Nếu thì ta nói và xung khắc.
Bảng đọc ngôn ngữ biến cố.
Kí hiệu | Ngôn ngữ biến cố |
| là biến cố |
| là biến cố không |
| là biến cố chắc chắn |
| là biến cố “ hoặc ” |
| là biến cố “ và ” |
| và xung khắc |
| và đối nhau |
III. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Giả sử phép thử có một số hữu hạn kết quả có thể đồng khả năng. Khi đó xác suất của một biến cố liên quan tới là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho và số kết quả có thể
Trong cuộc sống khi nói về biến cố, ta thường nói biến cố này có nhiều khả năng xảy ra, biến có kia có ít khả năng xảy ra, biến cố này có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một số không âm, nhỏ hơn hoặc bằng 1 gọi là xác suất của biến cố.
Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có các bước để tính xác suất của một biến cố như sau:
Bước 1: Xác định không gian mẫu rồi tính số phần tử của , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử .
Bước 2: Xác định tập con mô tả biến cố rồi tính số phần tử của , tứ là đếm số kết quả thuận loại cho .
Bước 3: Lấy kết quả của bước 2 chia cho bước 1.
Nhận xét: Việc tính số kết quả có thể (bước 1) thường dễ dàng hơn hiều so với việc tính số kết quả thuận lợi cho (bước 1). Để giải quyết tốt các bài toán xác suất ta cần nắm chắc phần tổ hợp trước.
STUDY TIP
Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta suy ra:
Chú ý: Các kí hiệu được hiểu tương đương với là số phần tử của không gian mẫu và của tập hợp thuận lợi cho biến cố .
4. Quy tắc cộng xác suất
a) Quy tắc cộng xác suất
* Nếu hai biến cố xung khắc nhau thì * Nếu các biến cố xung khắc nhau thì |
STUDY TIP
Vì và nên theo công thức cộng xác suất thì
b) Công thức tính xác suất biến cố đối
Xác suất của biến cố của biến cố là |
Dưới đây là một ví dụ để ta hiểu rõ hơn về quy tắc cộng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án A.
Gọi là biến cố : “Chọn được hai viên bi xanh”.
là biến cố : “Chọn được hai viên bi đỏ”.
là biến cố : “Chọn được hai viên bi vàng”.
Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố . Do đôi một xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có
Ta có .
Vậy
5) Quy tắc nhân xác suất
Biến cố giao | Biến cố độc lập |
Cho biến cố và . Biến cố “ cả và đều xảy ra” kí hiệu là gọi là giao của hai biến cố và . | Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia. |
Một cách tổng quát, cho biến cố . Biến cố: “Tất cả biến cố đều xảy ra”, kí hiệu là được gọi là giao của biến cố đó. | Một cách tổng quát, cho biến cố . Chúng được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kì trong các biến cố trên không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. |
Quy tắc nhân xác suất
Nếu và là hai biến cố độc lập thì Một cách tổng quát, nếu biến cố là độc lập thì |
Chú ý:
* Nếu và độc lập thì và độc lập, và độc lập, và độc lập. Do đó Nếu và độc lập thì ta còn có các đẳng thức
* Nếu một trong các đẳng thức trên bị vi phạm thì hai biến cố và không độc lập với nhau
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án B.
Gọi là biến cố : “Con súc sắc thứ ra mặt chấm”
và là hai biến cố độc lập và ta có
Thay vì tính ta đi tính . Ta có .
Vậy
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT
DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM.
Bài toán 1. Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố.
Phương pháp chung:
Trong bài toán này, việc xác định số phần tử thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (có thể liệt kê các phương án, có thể tính được các cách chọn ngắn gọn).
Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu.
Bước 2: Đếm số phần tử thuận lợi của không gian mẫu.
Bước 3: Tính xác suất .
STUDY TIP
Phần lớn các bài toán xác suất đều có thể quy về 2 bài toán đếm:
* Đếm số phần tử của tập thuận lợi với biến cố.
* Đếm số phần tử của không gian mẫu .
Các bước làm bài đã được trình bày rõ ở lý thuyết trước.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án A.
Gọi là biến cố: “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm”.
Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu.
Do mỗi xúc sắc có thể xảy ra trường hợp nên số kết quả có thể xảy ra là .
Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho .
Ta có các trường hợp sau:
Bước 3: Xác suất của biến cố là .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án B.
Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu.
Chọn ngẫu nhiên em trong em đưa vào nhóm thứ nhất có số khả năng xảy ra là
Chọn ngẫu nhiên em trong em đưa vào nhóm thứ hai có số khả năng xảy ra là .
Còn em đưa vào nhóm còn lại thì số khả năng xảy ra là cách.
Vậy
Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho .
Phân nữ vào nhóm trên có cách.
Phân nam vào nhóm theo cách như trên có cách khác nhau.
Bước 3: Xác suất của biến cố là .
STUDY TIP
Bài toán ở ví dụ 2 liên quan chặt chẽ với phép đếm. Ta cần nắm chắc phần quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải quyết các bài toán tính xác suất theo phương pháp cổ điển.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đáp án B.
Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu.
Chọn ngẫu nhiên viên bi trong viên bi thì số cách chọn là
Bước 2: Tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố.
Gọi là biến cố : “Chọn viên bi cộng các số trên viên bi đó thu được là số lẻ”.
Trong viên bi có viên bi mang số lẻ đó là và viên bi mang số chẵn .
* Trường hợp 1: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.
Số cách chọn trong trường hợp là cách.
* Trường hợp 2: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.
Số cách chọn trong trường hợp là cách.
* Trường hợp 3: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.
Số cách chọn trong trường hợp là cách.
Suy ra
Bước 3: Tính xác suất .
STUDY TIP
Giải thích thực tế: Ta có thể đưa ra các trường hợp như vậy là vì ta có:
Để có được tổng là số lẻ thì ta phải có: lẻ + chẵn = lẻ.
TH1: số chẵn cộng lại với nhau sẽ ra số chẵn. Do đó cộng với lẻ thì ra số lẻ.
TH2: lẻ = ( lẻ + lẻ ) + lẻ = chẵn + lẻ = lẻ.
số chẵn cộng lại với nhau ra chẵn. Do đó cộng với lẻ thì ra số lẻ.
…
số viên bi mang số lẻ phải là số lẻ.
Gọi là biến cố : “ đều chia hết cho ”. Xác suất của biến cố là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có , với .
Vậy và .
Suy ra (mỗi điểm là một giao điểm trên hình).
Ta có : “ đều chia hết cho ”. Nên ta có
Theo quy tắc nhân ta có
STUDY TIP
Với các bài toán có miền giới hạn nhỏ, ta nên liệt kê các phần tử ra tránh sử dụng miền sẽ nhầm lẫn số phần tử.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi 4 lá thư lần lượt là và 4 phong bì thư có địa chỉ đúng với các lá thư trên lần lượt
là
Số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố “ có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
Ta có các trường hợp sau:
*TH1: Cả 4 lá thư đều bỏ đúng địa chỉ: Chỉ có một trường hợp duy nhất
*TH2: Có đúng 2 lá thư bỏ đúng địa chỉ. Có 6 trường hợp xảy ra là:A3 hoặc
*TH3: Có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ: Chỉ có lá thư bỏ đúng địa chỉ thì có 2 trường hợp
Tương tự với lá thư có 2 trường hợp.
Lá thư chỉ có đúng 2 trường hợp.
Lá thư chỉ có đúng 2 trường hợp.
Suy ra có 8 trường hợp chỉ có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ.
Vậy số phần tử của biến cố là
Nên .
STUDY TIP
Giải thích thực tế: có nhiều độc giả sẽ thêm trường hợp có 3 lá thư bỏ đúng địa chỉ, tuy nhiên như vậy là lặp lại trường hợp 4 lá thư bỏ đúng địa chỉ. Do đó nếu 3 lá thư đúng địa chỉ rồi thì lá thư cuối cùng cũng nghiễm nhiên đúng địa chỉ và trùng với TH1.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là .
Gọi là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ”. Số trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
*Trường hợp 1: Lấy được 1 viên màu đỏ, số cách lấy là: .
*Trường hợp 2: Lấy được 2 viên màu đỏ, số cách lấy là: .
*Trường hợp 3: Lấy được 3 viên màu đỏ, số cách lấy là: .
Số trường hợp thuận lợi cho biến cố là
Vậy .
Bài toán 2: Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp.
Trong nhiều bài toán tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố trở nên khó khăn do có quá nhiều trường hợp, thì ta đi tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố . Sau đó lấy số phần tử không gian mẫu trừ đi kết quả vừa tìm được thì ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố .
Ta sẽ sử dụng bài toán ở ví dụ 6 như sau:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là .
Gọi là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ” thì là biến cố “ cả ba viên bi lấy ra đều không có màu đỏ” ( tức là lấy ra cả ba viên bi đều màu xanh”
Số cách chọn ra 3 viên bi mà 3 viên bi đó đều màu xanh là
Số cách chọn ra 3 viên bi mà trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là cách
STUDY TIP
Giải thích thực tế: Dấu hiệu nhận biết các bài toán thực tế chọn đồ vật mà sử dụng cách tính gián tiếp đó là câu hỏi xuất hiện từ “có ít nhất …” thì thường ta sẽ giải quyết theo cách gián tiếp đó là tìm số cách chọn sao cho “không xuất hiện…” Ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn ở ví dụ 8.
A. . B.. C.. D. .
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 6 dây từ 16 dây thì số cách chọn là
Gọi là biến cố “ 6 dây bạn An chọn có ít nhất 1 dây vàng và không quá 4 dây đỏ”.
Do đó nếu tính trực tiếp sẽ có quá nhiều trường hợp, và từ STUDY TIP ở ví dụ 7, ta sẽ sử dụng biến cố đối để giải quyết bài toán:
Trường hợp 1: Không có dây nào vàng, số cách lấy là: .
Trường hợp 2: Có 1 dây vàng và 5 dây đỏ, số cách lấy là: .
Suy ra
Nên
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn 8 học sinh bất kì trong 18 học sinh thì số cách chọn là cách.
Tương tự với dấu hiệu mà STUDY TIP đưa ra thì ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố đối của biến cố cần tìm.
Chọn 8 học sinh mà không có khối 10, có cách.
Chọn 8 học sinh mà không có khối 11, có cách.
Chọn 8 học sinh mà không có khối 12, có cách.
Gọi là biến cố “ 8 học sinh được chọn, mỗi khối có ít nhất 1 học sinh”. Số trường hợp thuận lợi cho là
Vậy xác suất cần tìm là .
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi ”.
Thì biến cố là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi ”
Buộc các số lại thì ta còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số đứng đầu là cách cách
Nên
STUDY TIP
Phương pháp “buộc” các phần tử được giới thiệu kĩ ở phần quy tắc đếm, được áp dụng khi các phần tử có điều kiện đứng liền kề nhau.
DẠNG 2. SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố để biểu diễn.
Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.
Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.
Suy ra là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” “ xe không chạy được nữa”.
Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên và là hai biến cố độc lập.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là.
Vậy xác suất để xe đi được là .
STUDY TIP
Các bài toán không nói bất kì đối tượng nào mà chỉ cho các giá trị xác suất thì ta bắt buộc phải sử dụng công thức cộng hoặc công thức nhân xác suất. Ở đây hai động cơ độc lập nên và là hai biến cố độc lập, do vậy ta áp dụng công thức nhân xác suất.
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là biến cố bi rút được từ túi I là trắng, đỏ, xanh.
Gọi lần lượt là biến cố bi rút được từ túi II là trắng, đỏ, xanh.
Các biến cố độc lập với .
Vậy xác suất để lấy được hai bi cùng màu là
STUDY TIP
Nhận thấy bài toán bên là bài toán sử dụng cả hai công thức tính là công thức cộng và công thức nhân xác suất. Bài toán sử dụng công thức cộng xác suất vì các biến cố lần lượt là các biến cố đôi một xung khắc (do biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra). Trong khi đó các biến cố và ; và ; và lần lượt là các cặp biến cố độc lập (việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến biến cố kia) nên sử dụng công thức nhân xác suất.
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt là biến cố “ Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt chấm chẵn”;
là biến cố “ Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt chấm chẵn”;
là biến cố “ Tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn”.
Ta có .
Ta thấy và là hai biến cố xung khắc nên
Vì và là hai biến cố độc lập nên theo STUDY TIP ở trên thì
Vậy .
STUDY TIP
Ở đây vì tổng hai chấm xuất hiện ở hai lần gieo là chẵn có nghĩa là có 2 trường hợp:
*TH1: Hai lần gieo đều được số chẵn .
*TH2: Hai lần gieo đều được số lẻ .
STUDY TIP
Ta có bởi xúc sắc có số mặt chẵn và số mặt lẻ bằng nhau, do vây ta dễ dàng có xác suất là .
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi tương ứng là các biến cố “bắn trúng”; “ bắn trúng”; “ bắn trúng”.
là ba biến cố độc lập. Do là các biến cố đôi một nên:
Xác suấy để cả ba người đều bắn trượt là
STUDY TIP
Nhắc lại chú ý phần lý thuyết nhân xác suất, tôi có đưa ra: Nếu là hai biến cố độc lập thì
Và bài toán ở ví dụ 9 này là bài toán mở rộng của chú ý đó đối với ba biến cố đối một cách độc lập
Vậy xác suất để có ít nhất một trong ba người bắn trùng là .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. là các biến cố sau:
: “Ba viên trúng vòng ”
: “Hai viên trúng vòng và một viên trúng vòng ”
: “Một viên trúng vòng và hai viên trúng vòng ”
: “Hai viên trúng vòng và một viên trúng vòng ”
Các biến cố là các biến cố xung khắc từng đôi một và
Suy ra theo quy tắc cộng mở rộng ta có
Mặt khác
Do đó
STUDY TIP
Ở các phần tính xác suất biến cố ta có các trường hợp như vậy bởi vì thứ tự trúng vòng của lần bắng khác nhau là các trường hợp khác nhau. Nhiều độc giả không tính các trường hợp khác nhau. Nhiều độc giả không tính các trường hợp đó dẫn đến chọn là sai
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là . B. Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là . C. Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là . D. Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt và Phong là .
A. . B. . C. . D. .
A. điểm 3. B. điểm 4. C. điểm 5. D. điểm 6.
- Tâm 10 điểm: 0,5.
- Vòng 9 điểm: 0,25.
- Vòng 8 điểm: 0,1.
- Vòng 7 điểm: 0,1.
- Ngoài vòng 7 điểm: 0,05.
Tính xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ đó được 27 điểm
A. . B. . C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi là biến cố “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Số chấm nhỏ hơn 4 dễ thấy chỉ có thể là 1, 2 và 3.
Gọi là biến cố “số chấm xuất hiện là ” . Có thể thấy rằng các biến cố này đôi một xung khắc.
Do viên xúc sắc là cần đối nên xác suất chia đều ra cho 6 mặt, mỗi mặt có xác suất là .
Ta có
Gọi là biến cố “học sinh chọn được tăng điểm”.
Gọi là biến cố “học sinh chọn học giỏi ngoại ngữ”.
Gọi là biến cố “học sinh chọn học giỏi tin học”.
Thì và là biến cố “học sinh chọn học giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học”.
Ta có
Gọi là biến cố “lấy được ít nhất 2 bóng tốt”.
Không gian mẫu: lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng thì số cách lấy là
TH1: Lấy 3 bóng trong đó có 2 bóng tốt và 1 bóng xấu thì số cách chọn là cách
TH2: Lấy 3 bóng đều tốt thì số cách lấy là cách
Suy ra . Vậy
Số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên bi là .
Gọi là biến cố “Trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng”
Trong đó:
Số cách chọn 5 viên bi toàn bi xanh là cách.
Số cách chọn 5 viên bi toàn bi trắng là cách.
Suy ra
Gọi là tập hợp những em học khá môn Toán, là tập hợp những em học khá môn Văn.
Tập hợp những em học khá cả Toán và Văn là học sinh.
Gọi là biến cố “chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn”.
Ta có
Số học sinh học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn là .
cách.
.
Con xúc xắc thứ nhất có thể xảy ra 6 kết quả, con thứ hai cũng vậy nên tổng số kết quả có thể xảy ra là
Gọi là biến cố “Tổng hai mặt xuất hiện mặt bằng 7”. Dùng phương pháp liệt kê
.
Gọi là tập hợp các học sinh giỏi Toán, là tập hợp các học sinh giỏi Văn.
là tập hợp các học sinh giỏi cả 2 môn và là tập hợp những học sinh giỏi một trong hai môn (tập hợp các học sinh giỏi). Theo quy tắc cộng tổng quát ta có
Gọi là biến cố “chọn được 2 em là học sinh giỏi” và .
Đặt 19 là một số . Ta có số các số có các chữ số khác nhau tạo thành từ với là chữ số đứng đầu là (số)
Số các số có 5 chữ số khác nhau lập được từ tập là (số)
Gọi số cần tìm là ta có hoặc (do số đó phải chia hết cho ). Khi đó ta có các trường hợp:
Số các số thỏa mãn yêu cầu là số.
Vậy xác suất cần tìm là .
Gọi là biến cố “Chọn em có ít nhất một nam và một nữ”.
Số cách chọn bạn bất kì vào ban cán sự lớp là cách.
Số cách chọn bạn nam vào ban cán sự lớp là cách.
Số cách chọn bạn nữ vào ban cán sự lớp là cách.
Vậy số cách chọn ban cán sự lớp có cả nam lẫn nữ là
Vậy xác suấtcần tìm là .
Số cách chọn ra học sinh mà không có điều kiện gì là cách
Ta sẽ loại trừ các trường hợp có cặp anh em sinh đôi. Đầu tiên ta chọn cặp sinh đôi có cách chọn. Sau đó chọn học sinh còn lại từ học sinh, có cách chọn.
Vậy số cách chọn em học sinh thỏa yêu cầu đề bài là:
Vậy xác suất cần tìm là .
Số cách xếp người vào bàn là (do ở đây là hoán vị vòng quanh).
Gộp các thành viên cùng quốc tịch vào cùng nhóm, trước tiên ta tính số cách xếp mọi người trong các nhóm đó.
Theo nguyên tắc “buộc” các phần tử, ta buộc thành các phần tử lớn là Mỹ, Nga, Anh, Pháp.
Lúc này bài toán trở thành xếp bốn phần tử vào bốn ghế trên bàn tròn.
Cố định nhóm Mỹ, có cách xếp chỗ cho nhóm Nga, cách xếp chỗ cho nhóm Anh, cách xếp chỗ cho nhóm Pháp.
Vậy có cách xếp.
Vậy xác suất để xếp cho các vị cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau là .
Vì đồng xu là cân đối nên xác suất sấp – ngửa của mỗi lần tung là như nhau và bằng .
Xác suất để lần tung đồng xu đều sấp là
Gọi là biến cố “Xạ thủ thứ bắn trúng”. Với .
;
Gọi là biến cố “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng” thì
Gọi là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai”, là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần đầu”, là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần thứ 2”, là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần thứ ba”.
;
Mỗi đồng xu có hai khả năng: ngửa hoặc sấp. Do đó số phần tử của không gian mẫu khi gieo ba đồng xu là .
Ta có biến cố đối của là : “Không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa” “Cả ba đồng xu đều xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó .
Nhận xét: Do con xúc xắc chỉ có mặt và để ý rằng là giá trị tối đa của tổng Và không lớn hơn là bao nhiêu nên ta sẽ sử dụng phương pháp tính phần bù.
Số các bộ thứ tự với là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng và nhỏ hơn hoặc bằng là
Xét các bộ thứ tự có tổng . Ta có:
Như vậy có tổng cộng bộ thỏa mãn .
Số bộ thỏa mãn là
Xác suất cần tính là .
Nhận xét: Do con xúc xắc chỉ có mặt và để ý rằng là giá trị tối đa của tổng Và không lớn hơn là bao nhiêu nên ta sẽ sử dụng phương pháp tính phần bù.
Số các bộ thứ tự với là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng và nhỏ hơn hoặc bằng là
Xét các bộ thứ tự có tổng . Ta có:
Như vậy có tổng cộng bộ thỏa mãn .
Số bộ thỏa mãn là
Xác suất cần tính là .
Vì hai con xúc xắc có cùng mặt nên số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là số chấm xuất hiện lần lượt trên mặt xanh và mặt đỏ.
Khi đó
.
Số cách chọn tấm bìa trong tấm bìa và xếp thành một hang ngang là
Số cách xếp tấm bìa để không có được số có ba chữ số tức là vị trí đầu tiên là chữ số là Số cách xếp tấm bìa để tạo được số có ba chữ số là
Vậy xác suất cần tìm là .
Ta có điều kiện chủ chốt “tích hai số được chọn là một số chẵn” Tồn tại Doít nhất một trong hai số được chọn là chẵn.
Gọi là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho
Số cách chọn cách; Số cách chọn cách Số các số có hai chữ số khác nhau tạo được là số có phần tử.
Số cách lấy ngẫu nhiên số từ tập : cách
Gọi biến cố : “Tích hai số được chọn là một số chẵn”
Gọi biến cố : “Tích hai số được chọn là một số lẻ”
Số các số lẻ trong : ( cách chọn chữ số hàng đơn vị là lẻ, cách chọn chữ số hang chục khác ).
Số cách lấy ngẫu nhiên số lẻ trong số lẻ: cách
. Vậy
Chọn ba quả cân có cách.
Chọn ba quả cân có tổng trọng lượng nhỏ hơn hoặc bằng có các trường hợp sau:
TH1: Trong các quả được lấy ra không có quả cân trọng lượng kg.
Ta có là tổng trọng lượng nhỏ nhất có thể. Do đó trong trường hợp này có đúng cách chọn.
TH2: Trong các quả được lấy ra có quả cân trọng lượng kg. Khi đó ta có:
Trường hợp này ta có cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn ycbt là .
Xác suất cần tính là: .
Số cách lấy ra tùy ý viên bi trong viên bi đã cho là:
Để chọn ra không quá viên bi đỏ từ viên lấy ra là:
Lấy ra được viên bi đỏ, viên bi xanh: cách.
Lấy ra được viên bi đỏ, viên bi xanh: cách.
Lấy ra được viên bi đỏ, viên bi xanh: cách.
Vậy xác suất để viên bi chọn ra không quá viên bi đỏ là .
Gọi biến cố : “Lấy tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho ”
Số cách lấy ngẫu nhiên tấm thẻ trong tấm thẻ : cách
Trong tấm thẻ có tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn, tấm thẻ mang số chia hết cho (chú ý là các thẻ chia hết cho đều là số chẵn)
Số cách chọn tấm thẻ mang số lẻ: cách.
Số cách chọn tấm thẻ mang số chia hết cho cách
Số cách chọn tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho cách
Số cách lấy tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ chia hết cho : cách.
Vậy
Trong thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho (các thẻ ghi số và ), thẻ còn lại có ghi số không chia hết cho .
Giả sử rút , số cách chọn từ thẻ trong hộp là , số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “Trong số thẻ rút ra có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho ”
Số cách chọn tương ứng với biến cố là
Ta có
Do đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của là . Vậy số thẻ ít nhất phải rút là.
Phân tích: Cần nhớ lại kiến thức cơ bản về bất đẳng thức tam giác.
Ba đoạn thẳng với chiều dài có thể là cạch của một tam giác khi và chỉ khi
Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi là biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là
Số trường hợp thuận lợi của biến cố là . Suy ra xác suất của biến cố là .
Gọi là biến cố “ và có giải thưởng giống nhau”. Vì mỗi học sinh nhận được cuốn sách các loại, nên giả sử có học sinh nhận sách (Lí và Hóa) và học sinh nhận sách (Toán và Hóa).
Số phần tử của không gian mẫu là
TH1: và nhận sách (Toán, Lí), số khả năng là
TH2: và nhận sách (Toán, Hóa), số khả năng là
TH1: và nhận sách (Lí, Hóa), số khả năng là
Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có:
Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có cách, giữa bạn nam đó ta sẽ có được ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp bạn nữ vào ngăn đó có cách.
Vậy xác suất xảy ra là:.
Phân tích: Đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắn gọn dễ hiểu hơn.
+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng .
+) “Khi Đạt thắng được ván và Phong thắng được ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng một ván nữa là được ván, còn Phong phải thắng ván nữa mới đạt được.
Lời giải:
Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt ván liên tiếp (vì Đạt chỉ còn một ván nữa là thắng).
Như vậy xác suất thắng cuộc của Phong là:
Xác suất thắng cuộc của Đạt là Đ
Tỉ lệ chia tiền phù hợp là
Phân tích: Bài này điểm mấu chốt là phải liệt kê được các trường hợp mà An thắng Bình ching cuộc. Ví dụ như: Séc : An thắng; Séc : An thắng; Séc : Bình thắng; Séc : An thắng.
An thắng chung cuộc.
Lưu ý là ta phải tính cả thứ tự các séc An thắng hoặc thua. Như ở ví dụ trên là An thua ở séc thứ.
Lời giải: Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình là . Dễ dàng nhận thấy .
Ta xét các trường hợp:
TH1: Trận đấu có séc An thắng cả séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là:
TH2: Trận đấu có séc An thua trong séc: hoặc và thắng séc thứ .
Số cách chọn séc để An thua là: (Chú ý xác xuất để An thua trong séc là )
TH3: Trận đấu có séc An thua 2 séc và thắng ở séc thứ .
Số cách chọn trong séc đầu để An thua là cách.
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là:
Nhận xét: Trong bài này các bạn rất dễ mắc sai lầm sau: ở trường hợp lại tính số cách chọn ván An thua là mà không để ý rằng séc thứ chắc chắn phải là An thắng.
Phân tích: Với một bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất như thế này thì cách mà ta nghĩ đến đầu tiên là đặt ẩn (là số điểm) rồi sau đó tính biểu thức cần tính (xác suất đạt được số điểm) rồi sau đó tính biểu thức cần tính (xác suất đạt được số điểm) theo ẩn đó, việc còn lại là xử lí biểu thức.
Lời giải: Gọi là số điểm bạn đó đạt được ()( )
Bạn đó trả lời đúng câu và trả lời sai câu.
+) Xác suất mỗi câu bạn đó đúng là: ; sai là .
+) Có cách chọn ra câu đúng. Do đó xác suất được điểm là:
Do là lớn nhất nên
. Mà nên
Nên xác suất bạ đó đạt điểm là lớn nhất.
Ta có
Với bộ có cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có cách xáo trộn điểm các lần bắn.
Do đó xác suất để sau lần bắn xạ thủ được đúng điểm là:
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới