Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
130 CÂU TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ ĐÁP ÁN
1. Công thức tính đạo hào tổng tích thương
1. 2.
3. 4.
Mở rộng: 1.
2.
2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số với . Khi đó:
3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản | Đạo hàm các hàm hợp |
, c là hằng số |
4. Phương trình tiếp tuyến
a. Tiếp tuyến tại một điểm
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm :
STUDY TIP
- Hệ số góc .
- Nếu cho thì thế vào tìm .
- Nếu cho thì thế vào giải phương trình tìm .
b. Tiếp tuyến biết hệ số góc
- Hệ số góc của tiếp tuyến:
Giải phương trình ta tìm được hoành độ của tiếp điểm thế và phương trình tìm tung độ .
- Khi đó phương trình tiếp tuyến:
* Tiếp tuyến .
* Tiếp tuyến
* , với là góc giữa và tia .
c. Tiếp tuyến đi qua một điểm
Lập phương trình tiếp tuyến với biết đi qua điểm
Phương pháp:
- Gọi là tiếp điểm.
- Phương trình tiếp tuyến tại .
- Vì đường thẳng đi qua nên . Giải phương trình ta tìm được rồi suy ra .
Điểm có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong
DẠNG 0: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A.. B.. C.. D..
A.. B..
C.. D..
A.. B.. C.. D. .
A.. B.. C.. D. Không tồn tại.
A.. B.. C.. D. Không tồn tại.
có đạo hàm tại thìliên tục tại.
có liên tục tại thìđạo hàm tại.
Mệnh đề nào đúng?
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây?
A.. B.. C.. D..
A. . B.. C.. D..
A.. B.. C.. D. Không tồn tại.
.
Hàm số không có đạo hàm tại.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ. B. Chỉ. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Hàm số liên tục tại .
Hàm số có đạo hàm tại .
Trong 2 câu trên:
A.đúng. B.đúng. C.Cả,đều đúng. D. Cả,đều sai.
A.. B.. C.. D.Không tồn tại.
1. .
2.Khi thì nên.
3.Do nên hàm số liên tục tại.
4.Từ liên tục tại có đạo hàm tại.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A.Bước 1. B.Bước 2. C.Bước 3. D.Bước 4.
Hàm số liên tục tại điểm .
Hàm số không có đạo hàm tại điểm .
Trong các mệnh đề trên:
A.Chỉđúng. B. Chỉđúng. C.Cả đều đúng. D. Cả đều sai.
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
I. là hàm số liên tục trái và liên tục phải của .
II..
III. có đạo hàm tại.
Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để liên tục tại là:
I.
II.
III.
Hàm số không có đạo hàm tạilà:
A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III.
Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. 0. B. 1. C. 2. D. 5.
A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. 8. D. 5.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. Không tồn tại.
A. . B. . C. . D. Không tồn tại.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. Hàm số có đạo hàm tại .
C. Hàm số liên tục tại . D. .
A. . B. . C. . D.
A. . B. . C. . D. .
A. .
B. .
C. .
D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. , . B. , . C. , . D. , .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
(I) (II) .
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả 2 đều đúng. D. Không có cách nào.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. , . B. , . C. , . D. , .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 3: VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
; ; ;
Số đẳng thức đúng là:
A. Chỉ . B. Chỉ . C.Chỉ và . D. Chỉ và .
A.. B.. C.. D..
A. . B.. C.. D. .
A. . B..
C.. D..
A. . B. .
C. . D. .
A.. B. . C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C. . D. .
A.. B. .
C. . D. .
A.. B. .
C.. D..
DẠNG 4: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI:
A.. B. . C.. D..
A. . B.. C.. D..
; . Đẳng thức nào đúng?
A.Chỉ . B.Chỉ . C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. . C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. . B. . C. . D. .
A.. B. .
C.. D..
A. . B.. C. . D..
A.. B. . C.. D..
A. . B. . C.. D. .
A. . B.. C.. D. .
A.. B.. C. . D..
A.. B..
C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. Gia tốc của chuyển động khi là .
B. Gia tốc của chuyển động khi là .
C. Gia tốc của chuyển động khi là .
D. Gia tốc của chuyển động khi là .
DẠNG 5: DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP
A.. B. . C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. . B.. C.. D..
A.. B..
C.. D..
A.. B.. C.. D..
A..
B..
C..
D..
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
A. 7. B. 5. C. 1. D. −1.
A. . B. . C. . D. .
A. và .
B. và .
C. và .
D. . và
A. . B. và .
C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. và .
C. và . D. và .
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. Vô số.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
A. . B. . C. . D. .
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. và . B. và .
C. và . D. và .
A. . B. . C. . D. .
A. hoặc . B. hoặc .
C. hoặc D. hoặc .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải chi tiết
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Với
(Với )
Xét
Vậy
Xét
(II) Sai : ví dụ:thì liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0
Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục tại đó
hàm số không có đạo hàm
Vậy không tồn tại
Vậy (I) sai, (II) đúng
Ta có: Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số không có đạo hàm tại
Ta có:
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa
không có giới hạn khi
Ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Xét
Lấy dãy (xn):có:
Lấy dãy , tương tự ta cũng có:
không tồn tại
Ta có:
Ta có hệ:
Suy ra hàm số liên tục tại
Vậy:
Ta có: . Vậy không có đạo hàm tại .
Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nhân liên hợp ta có: .
.
.
.
Cách 1: Tính .
Cách 2: Dùng MTCT ta được kết quả.
Ta có:
.
Ta có: , Hàm số liên tục tại .
Khi : .
: .
Với , ta xét: ; .
Vậy .
Điều kiện: .
; .
.
Ta có: với .
.
Ta có: .
Ta có: .
Ta có: .
Ta có: với .
.
Ta có: , , .
.
(1)
Với thì (loại).
Với đúng vô nghiệm.
Với hàm số luôn có đạo hàm.
Để hàm số có đạo hàm trên thì hàm số phải có đạo hàm tại .
, .
Để hàm số liên tục tại .
Xét ; .
. Vậy , .
; .
Theo bài ra ta có: .
Lập bảng dấu ta được: .
- Với hoặc .
- Với .
Ta có nên hàm số liên tục tại .
Xét , nên hàm số không có đạo hàm tại .
Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại .
Vậy .
.
.
.
Ta có: .
, , .
Vậy .
.
.
.
Ta có: nên .
.
Lấy đạo hàm vế ta có:
Thay .
.
Ta biểu diễn được điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.
. Do đó:
Ta có:
Với thì giới hạn không tồn tại và thì: .
Vậy hàm số có đạo hàm trên R khi .
Đặt .
Điều kiện phương trình có nghiệm là: .
Vậy .
Đặt
Khi đó phương trình
Với .
Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình .
Vậy tập giá trị của hàm số là .
.
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
.
Nên B đúng. Vì nên C sai.
Ta có:
Tương tự ta có biểu thức tiếp theo:
Ta có: .
Ta có: và đúng.
.
tại điểm ta có:
.
.
Ta có : .
Đặt
Từ
.
Chọn
.
.
(vì ) .
.
Lưu ý: có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại một điểm và thử lại vào các Đáp án ta được kết quả là A.
Ta có:.
.
Ta có:
và nên và sai.
Ta có .
Kết luận: Ta có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại 1 điểm của và thử với vào các Đáp án ta được kết quả.
Ta có:.
Áp dụng .
Áp dụng ta được: .
.
.
Áp dụng
.
Với .
.
.
Ta có: .
Ta có :
Gia tốc: .
Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi .
Vậy gia tốc
Từ nhị thức lấy đạo hàm hai vế:
.
Thay ta được .
Xét khai triển nhị thức . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được
Cho ta được .
Với ta được
Xét khai triển nhị thức . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được
Cho ta được
Xét
Từ câu 3 thì
Xét khai triển
Lấy đạo hàm hai vế:
Tiếp tục lấy đạo hàm ta có:
Cho
Với .
Từ khai triển lấy đạo hàm đến cấp 2 hai vế, sau đó thay ta được .
Từ ví dụ 3 - Dạng 3. Phần lý thuyết ta có: .
Theo yêu cầu của bài toán . Vậy chọn A.
Khai triển và lấy đạo hàm cấp 1.
Khai triển và lấy đạo hàm cấp 1.
Cộng vế với vế và thay ta được
Cách 1: Khai triển và lấy đạo hàm cấp 1.
Khai triển và lấy đạo hàm cấp 1.
Cộng vế với vế và thay ta được kết quả đáp án C.
Cách 2: Thử với và các đáp án thì ta được kết quả đáp án C đúng
Phương trình tiếp tuyến tại là: ⇔ .
Phương trình tiếp tuyến tại là ⇔ .
. Theo giả thiết ⇔
Do .
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.
Giao điểm của với Ox là .
Phương trình tiếp tuyến tại là :
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : và
TXĐ: nên không giao với .
giao với tại nên phương trình tiếp tuyến là: .
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến song song với trục hoành
⇒ ⇔ ⇒
Phương trình tiếp tuyến là: .
TXĐ: .
Theo giả thiết
Vậy phương trình tiếp tuyến là và
.Đồ thị hàm số có tâm đối xứng .
Lấy điểm , gọi B là điểm đối xứng với A qua I ⇒ . Ta có:
+ Hệ số góc của phưong trình tại A là:
+ Hệ số góc của phương trình tại B là:
Ta thấy nên có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Ta có .
Phương trình tiếp tuyến tại là :
giao với .
giao với .
Vậy .
Phương trình tiếp tuyến tại là : .
Gọi .
Tiếp tuyến tại lần lượt có hệ số góc là:
Theo giả thiết:
(Vô lý).
Vậy không tồn tại cặp điểm thỏa mãn.
. Gọi .
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Vì đi qua nên:
Ứng với 3 hoành độ ta viết được 3 phương trình tiếp tuyến với .
. Gọi .
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại :
Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là khi
.
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Phương trình hoành độ giao điểm:
giao điểm .
Ta có
Vậy góc giữa 2 tiếp tuyến đó là .
Theo bài ra
có 2 nghiệm dương phân biệt
Phương trình tiếp tuyến tại là:
giao với Ox tại
giao với Oy tại
Từ đó ta được 2 phương trình tiếp tuyến là:
và
Với
Phương trình tiếp tuyến tại M là
giao với Ox tại
giao với Oy tại
Với
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Đường tròn tâm và bán kính
Vì nên độ dài cung nhỏ nhất khi tiếp xúc với đường tròn tức là:
Giả sử (C) cắt Ox tại , , cắt Oy tại .
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
Tiếp tuyến đi qua A nên
Vì (C) cắt Ox tại 2 điểm nên (C) tiếp xúc với Ox (do tính chất đồ thị hàm bậc 3 học sinh sẽ được học rõ hơn lớp 12).
Nếu M là tiếp điểm đi qua A (vô lý)
tiếp xúc với tại N.
Do đó
Mặt khác
- Với (vô nghiệm)
- Với
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới