Với các số $a$ và $b$ không âm ta có:
$\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt {b} $
Lưu ý. Với hai biểu thức không âm $A$ và $B$, ta cũng có: $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B $
Chú ý: Nếu không có điều kiện $a$ và $b$ không âm thì không được viết đẳng thức $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$
Ví dụ:
$\sqrt{\left( -9 \right).\left( -4 \right)}=\sqrt{\left( -9 \right)}.\sqrt{\left( -4 \right)}$: cách viết sai
Cách viết đúng: $\sqrt{(-9)(-4)}=\sqrt{9.4}=\sqrt{9}.\sqrt{4}$
Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
Nói cách khác, với các số $a, b,…c$ không âm ta có:
$\sqrt {a.b.c} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c $
Ví dụ:
$\begin{array}{l}\sqrt {12.3.50.18} = \sqrt {4.3.3.25.2.2.9} \\ = \sqrt {{{4.3}^2}{{.5}^2}{{.2}^2}{{.3}^2}} = \sqrt 4 .\sqrt {{3^2}} .\sqrt {{5^2}} .\sqrt {{2^2}} .\sqrt {{3^2}} \\ = 2.3.5.2.3\\ = 180\end{array}$
Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nói cách khác, với các số $a, b,c$ không âm ta có:
$\sqrt a .\sqrt b .\sqrt c = \sqrt {a.b.c} $
Ví dụ:
$\begin{array}{l}\sqrt 6 .\sqrt {32} .\sqrt {75} = \sqrt {6.32.75} \\ = \sqrt {3.2.2.16.3.25} \\ = \sqrt {{3^2}{{.2}^2}{{.4}^2}{{.5}^2}} \\ = 2.3.4.5 = 120\end{array}$
Áp dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai ta được kết quả
$ \begin{array}{l} A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75}=\sqrt{60.45.75}=\sqrt{\left( 15.4 \right).\left( 15.3 \right).\left( 25.3 \right)} \\ A=\sqrt{{{15}^{2}}{{.2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 15.2.3.5 \right)}^{2}}}=15.2.3.5=450 \end{array} $
$ \sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}=\sqrt{2,5.14,4}=\sqrt{36}=\sqrt{{{6}^{2}}}=6 $ .
Ta có đkxđ $ \left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ {{x}^{2}}+3x-10\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ \left( x+5 \right)\left( x-2 \right)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ \left[ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ x\le -5 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow x > 2 $
Khi đó
$\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {{x^2} + 3x - 10} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 5} }}{{x - 2}} = \sqrt {x + 5} } \end{array}$
Ta có
$ \sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09}.\sqrt{{{(3-x)}^{2}}}=0,3.|3-x| $
Mà $ x > 3\Rightarrow 3-x < 0\Leftrightarrow |3-x|=x-3 $
Nên $ \sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=0,3.(x-3) $ .
$ \sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}=\sqrt{1,25.51,2}=\sqrt{64}=\sqrt{{{8}^{2}}}=8 $ .
Áp dụng quy tắc khai phương của 1 tích ta được
$ \begin{array}{l} A=\sqrt{45.80}=\sqrt{9.5}.\sqrt{16.5}=\sqrt{9}.\sqrt{5}.\sqrt{16}.\sqrt{5}=3.5.4=60 \\ B=\sqrt{75.48}=\sqrt{3.5.5.3.16}=3.5.4=60 \end{array} $
Khi đó $ A=B $
Điều kiện xác định: $ {{x}^{2}}-4\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow \left| x \right|\ge 2\Leftrightarrow x < -2;x > 2 $
Khi đó ta có, $ \sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3 $ đều thỏa mãn
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Ta có
$ \begin{array}{l} {{\left( \sqrt{2003}+\sqrt{2005} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2003}.\sqrt{2005}=4008+2\sqrt{2003.2005} \\ {{\left( 2\sqrt{2004} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2004}+\sqrt{2004} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2004.2004} \\ 2003.2005=\left( 2004-1 \right)\left( 2004+1 \right)={{2004}^{2}}-1 < {{2004}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{2003}+\sqrt{2005} < 2\sqrt{2004} \end{array} $
$ \sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{4}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\mid {{a}^{2}}\mid .|2a-1|={{a}^{2}}.\left| 2a-1 \right|={{a}^{2}}.\left( 2a-1 \right) $
(vì $ a\ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow 2a-1\ge 0 $ $ \Rightarrow \left| 2a-1 \right|=2a-1 $ .
Điều kiện
$ \left\{ \begin{array}{l} 4x-20\ge 0 \\ x-5\ge 0 \\ 9x-45\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-5\ge 0 \\ 4(x-5)\ge 0 \\ 9(x-5)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge 5 $
Với điều kiện trên ta có
$ \sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4\Leftrightarrow \sqrt{4(x-5)}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9(x-5)}=4 $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{4}.\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.\sqrt{9}.\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.3.\sqrt{x-5}=4 \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow \sqrt{x-5}=2\Leftrightarrow x-5={{2}^{2}}\Leftrightarrow x-5=4\Leftrightarrow x=9(TM) \end{array} $
Vậy nghiệm của phương trình là $ x=9 $ .
$ \sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-3)}^{2}}}=|a|.|2a-3|=a.(3-2a) $
( vì $ 0\le a < \dfrac{3}{2}\Rightarrow 2a-3\le 0\Rightarrow \left| 2a-3 \right|=3-2a $ )
Điều kiện xác định: $ 4-2x\ge 0\Leftrightarrow x\le 2 $
Khi đó ta có, $\sqrt {4 - 2x} = 3 \Leftrightarrow 4 - 2x = 9 \Leftrightarrow - 2x = 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$ thỏa mãn
$ \sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}}.\sqrt{{{(-11)}^{2}}}=|12|.|-11|=12.11=132 $ .
Ta có $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}} $ $ =\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}(x+2)}}{\sqrt{x+2}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}}.\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+}2}=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right| $ mà $ x > 0 $ nên $ \left| x \right|=x $
Từ đó $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}=x $ .
Ta có: $ A=3\sqrt{27}-\sqrt{12}=9\sqrt{3}-2\sqrt{3}=7\sqrt{3} $ .
$ \sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}=\sqrt{36.7}-\sqrt{100.7}+\sqrt{144.7}-\sqrt{64.7} $
$ =6\sqrt{7}-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}-8\sqrt{7}=\sqrt{7}(6-10+12-8)=0 $ .
Điều kiện xác định: $ 2{{x}^{2}}-3\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left| x \right|\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
Khi đó ta có, $ \sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3=25\Leftrightarrow {{x}^{2}}=14\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{14} $ đều thỏa mãn
Vậy $ x=\pm \sqrt{14} $ là nghiệm
Ta có $ \sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}=\sqrt{{{x}^{2}}-4} $ với $ x\ge 2 $
Thay $ x=\sqrt{29} $ (TMĐK)
Vào biểu thức ta được $ \sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{{{\left( \sqrt{29} \right)}^{2}}-4} $ $ =\sqrt{25}=5 $ .
ĐKXĐ: $ x\ge 3 $ , khi đó ta có
$ \begin{array}{l} \sqrt{x}\sqrt{x-3}=2\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)=4 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0 \\ \Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( x-4 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x=-1;x=4 \end{array} $
Vậy chỉ có $ x=4 $ thỏa mãn$ M=\dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}}=3\dfrac{\left| a-b \right|}{a-b} $ . Vì $ a > b\Rightarrow \left| a-b \right|=a-b $ .
$ M=3. $