Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết về Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {ax + by = c{\text{     }}\left( 1 \right)} \\ 
  {a'x + b'y = c'{\text{ }}(2)} 
\end{array}} \right.$

Trong đó $a,b,c,a',b',c'$ là các số thực cho trước; $x$ và $y$ là ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung \[\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\] thì \[\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\]được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương  nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng $d:ax+by=c$ và $d':a'x+b'y=c'$.

+ Trường hợp 1: $d\cap d'=A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ $\Leftrightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.

+ Trường hợp 2: $d//d'\Leftrightarrow $ Hệ phương trình vô nghiệm.

+ Trường hợp 3: $d\equiv d'\Leftrightarrow $ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'}$

Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Với giá trị nào của m để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+my=-1 \\ mx+y=1 \end{array} \right. $ vô nghiệm?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+my=-1 \\ mx+y=1 \end{array} \right. $ vô nghiệm thì $ \dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\ne \dfrac{-1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\pm 1 \\ m\ne -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $ .

Câu 2: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right. $

+, Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'} $

+, Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'} $

+, Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'} $ .

Câu 3: Biết rằng hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right. $ có nghiệm là $ \left( 2;1 \right) $ . Hệ trên tương đương với hệ phương trình nào sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Thay $ \left( 2;1 \right) $ vào các phương án ta được:

$ \left\{ \begin{array}{l} -2.2+3.1=-1 \\ -2+3.1=1 \end{array} \right. $ (đúng) mà $ \dfrac{-2}{-1}\ne \dfrac{3}{3} $ nên hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -2x+3y=-1 \\ -x+3y=1 \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất là $ \left( 2;1 \right) $ hay tương đương với hệ trên.

$ \left\{ \begin{array}{l} 2-2.1=0 \\ 2+1=-3 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=0 \\ x+y=-3 \end{array} \right. $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} -2+3.1=3 \\ 3.2-4.1=2 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -x+3y=3 \\ 3x-4y=2 \end{array} \right. $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} 2.2+2.1=6 \\ 2+1=3 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( 2;1 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=6 \\ x+y=3 \end{array} \right. $ . Nhưng chú ý rằng $ \dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{3} $ nên hệ này có vô số nghiệm, nên không tương đương với hệ trên.

Câu 4: Giá trị của tham số m để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi $ \dfrac{m}{1}\ne \dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m\ne 1 $ .

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} mx-y=1 \\ x-my={{m}^{2}} \end{array} \right. $ có vô số nghiệm?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} mx-y=1 \\ x-my={{m}^{2}} \end{array} \right. $ có vô số nghiệm thì $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}}=1 $ .

Vậy có 1 giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm.

Câu 6: Hệ $ \left\{ \begin{array}{l} 3\text{x}-2y=4 \\ -6\text{x}+4y=-8 \end{array} \right. $ có bao nhiêu nghiệm?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \dfrac{3}{-6}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{4}{-8} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} 3\text{x}-2y=4 \\ -6\text{x}+4y=-8 \end{array} \right. $ có vô số nghiệm.

Câu 7: Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=4 \\ 0x+4y=-8 \end{array} \right. $ . Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \dfrac{0}{3}\ne \dfrac{4}{-2} $ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Câu 8: Cặp số $ \left( -2;-3 \right) $ là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=3 \\ 2x+y=4 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2-(-3)=1\ne 3 \\ 2.(-2)-3=-7\ne 4 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=8 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7\ne 8 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-2y=0 \\ x-3y=5 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4.(-2)-2.(-3)=-2\ne 0 \\ -2-3.(-3)=7\ne 5 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=-1 \\ 7=7 \end{array} \right. $ Đúng.

Vậy $ \left( -2;-3 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $

Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2}x-2y=3 \\ 3\sqrt{2}x-6y=-7 \end{array} \right. $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{-2}{-6}\ne \dfrac{3}{-7} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2}x-2y=3 \\ 3\sqrt{2}x-6y=-7 \end{array} \right. $ vô nghiệm.

Câu 10: Tìm $ m $ để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} mx-2y=1 \\ 2x-my=2{{m}^{2}} \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} mx-2y=1 \\ 2x-my=2{{m}^{2}} \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{m}{2}\ne \dfrac{-2}{-m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ne 4\Leftrightarrow m\ne \pm 2 $ .

Câu 11: Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right)x+y=4 \\
& mx\text{-}y=1 \\
\end{array} \right. $ (tham số $ m $ ). Tìm $ m $ để hệ phương trình có nghiệm $ \left( x\,;y \right)=\left( 1\,;1 \right) $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right)x+y=4 \\
& m\text{x-}y=1 \\
\end{array} \right. $ có nghiệm $ \left( x\,;y \right)=\left( 1\,;1 \right) $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right).1+1=4 \\
& m.1\text{-1}=1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& {{m}^{2}}=4 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& m=\pm 2 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m=2 $ .

Câu 12: Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x-2y=-12 \\ x+\dfrac{1}{3}y=-\dfrac{7}{3} \end{array} \right. $ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay lần lượt từng cặp nghiệm vào hệ ta có cặp (x;y) = (-4; 5) là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x-2y=-12 \\ x+\dfrac{1}{3}y=-\dfrac{7}{3} \end{array} \right. $ .

Câu 13: Dự đoán số nghiệm của phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} $ nên hệ có vô số nghiệm.

Câu 14: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+3y=3 \\ -4x-5y=9 \end{array} \right. $ nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay các đáp án để kiểm tra.

Với cặp $ \left( 21;-15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.21+3.15=3 \\ -4.21+5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 21;-15 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( -21;15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-21)+3.15=3 \\ -4.(-21)-5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3=3 \\ 9=9 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( -21;15 \right) $ là nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( 1;1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.1=3 \\ -4.1-5.1=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( 1;-1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.(-1)=3 \\ -4.1-5.(-1)=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=3 \\ 1=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;-1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

Câu 15: Dự đoán số nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} x+2y=3 \\ 2\text{x}+4y=1 \end{array} \right. $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}\ne \dfrac{3}{1} $ nên hệ vô nghiệm.

Câu 16: Tìm $ m $ để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=-1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ vô nghiệm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=-1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ vô nghiệm khi và chỉ khi $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{1}\ne \dfrac{2m}{-1} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=1 \\ m\ne -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $

Câu 17: Cặp số (x;y) = (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay cặp số (-4; 5) vào hệ phương trình ta có cặp số thỏa mãn $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=-3 \\ -3x-2y=2 \end{array} \right. $ nên (-4; 5) là nghiệm của hệ.