1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ax + by = c{\text{ }}\left( 1 \right)} \\
{a'x + b'y = c'{\text{ }}(2)}
\end{array}} \right.$
Trong đó $a,b,c,a',b',c'$ là các số thực cho trước; $x$ và $y$ là ẩn số
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung \[\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\] thì \[\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\]được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng $d:ax+by=c$ và $d':a'x+b'y=c'$.
+ Trường hợp 1: $d\cap d'=A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ $\Leftrightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.
+ Trường hợp 2: $d//d'\Leftrightarrow $ Hệ phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 3: $d\equiv d'\Leftrightarrow $ Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Chú ý:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'}$;
Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'}$
Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$
Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+my=-1 \\ mx+y=1 \end{array} \right. $ vô nghiệm thì $ \dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\ne \dfrac{-1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\pm 1 \\ m\ne -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $ .
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right. $
+, Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'} $
+, Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'} $
+, Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'} $ .
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Thay $ \left( 2;1 \right) $ vào các phương án ta được:
$ \left\{ \begin{array}{l} -2.2+3.1=-1 \\ -2+3.1=1 \end{array} \right. $ (đúng) mà $ \dfrac{-2}{-1}\ne \dfrac{3}{3} $ nên hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -2x+3y=-1 \\ -x+3y=1 \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất là $ \left( 2;1 \right) $ hay tương đương với hệ trên.
$ \left\{ \begin{array}{l} 2-2.1=0 \\ 2+1=-3 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=0 \\ x+y=-3 \end{array} \right. $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} -2+3.1=3 \\ 3.2-4.1=2 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -x+3y=3 \\ 3x-4y=2 \end{array} \right. $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} 2.2+2.1=6 \\ 2+1=3 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( 2;1 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=6 \\ x+y=3 \end{array} \right. $ . Nhưng chú ý rằng $ \dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{3} $ nên hệ này có vô số nghiệm, nên không tương đương với hệ trên.
Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi $ \dfrac{m}{1}\ne \dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m\ne 1 $ .
Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} mx-y=1 \\ x-my={{m}^{2}} \end{array} \right. $ có vô số nghiệm thì $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}}=1 $ .
Vậy có 1 giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm.
Ta có $ \dfrac{3}{-6}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{4}{-8} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} 3\text{x}-2y=4 \\ -6\text{x}+4y=-8 \end{array} \right. $ có vô số nghiệm.
Ta có $ \dfrac{0}{3}\ne \dfrac{4}{-2} $ nên hệ có nghiệm duy nhất.
Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=3 \\ 2x+y=4 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2-(-3)=1\ne 3 \\ 2.(-2)-3=-7\ne 4 \end{array} \right. $ nên loại.
Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=8 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7\ne 8 \end{array} \right. $ nên loại.
Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-2y=0 \\ x-3y=5 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4.(-2)-2.(-3)=-2\ne 0 \\ -2-3.(-3)=7\ne 5 \end{array} \right. $ nên loại.
Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=-1 \\ 7=7 \end{array} \right. $ Đúng.
Vậy $ \left( -2;-3 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $
Ta có $ \dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{-2}{-6}\ne \dfrac{3}{-7} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2}x-2y=3 \\ 3\sqrt{2}x-6y=-7 \end{array} \right. $ vô nghiệm.
Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} mx-2y=1 \\ 2x-my=2{{m}^{2}} \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{m}{2}\ne \dfrac{-2}{-m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ne 4\Leftrightarrow m\ne \pm 2 $ .
Vì hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right)x+y=4 \\
& m\text{x-}y=1 \\
\end{array} \right. $ có nghiệm $ \left( x\,;y \right)=\left( 1\,;1 \right) $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right).1+1=4 \\
& m.1\text{-1}=1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& {{m}^{2}}=4 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& m=\pm 2 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m=2 $ .
Thay lần lượt từng cặp nghiệm vào hệ ta có cặp (x;y) = (-4; 5) là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x-2y=-12 \\ x+\dfrac{1}{3}y=-\dfrac{7}{3} \end{array} \right. $ .
Ta có $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} $ nên hệ có vô số nghiệm.
Thay các đáp án để kiểm tra.
Với cặp $ \left( 21;-15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.21+3.15=3 \\ -4.21+5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 21;-15 \right) $ không phải nghiệm của hệ.
Với cặp $ \left( -21;15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-21)+3.15=3 \\ -4.(-21)-5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3=3 \\ 9=9 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( -21;15 \right) $ là nghiệm của hệ.
Với cặp $ \left( 1;1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.1=3 \\ -4.1-5.1=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.
Với cặp $ \left( 1;-1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.(-1)=3 \\ -4.1-5.(-1)=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=3 \\ 1=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;-1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.
$ \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}\ne \dfrac{3}{1} $ nên hệ vô nghiệm.
Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=-1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ vô nghiệm khi và chỉ khi $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{1}\ne \dfrac{2m}{-1} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=1 \\ m\ne -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $
Thay cặp số (-4; 5) vào hệ phương trình ta có cặp số thỏa mãn $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=-3 \\ -3x-2y=2 \end{array} \right. $ nên (-4; 5) là nghiệm của hệ.