Phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết về Phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax+by=c$
Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$.
- Nếu các số thực ${{x}_{0}};{{y}_{0}}$ thỏa mãn $ax+by=c$ thì cặp số $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax+by=c$.
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, mỗi nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ của phương trình $ax+by=c$được biểu diễn bới điểm có tọa độ $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax+by=c$.
+ Nếu $a\ne 0$ và $b=0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{c}{a} \hfill \\ y \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và đường thẳng $d$song song hoặc trùng với trục tung.
+ Nếu $a=0$ và $b\ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = \dfrac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và đường thẳng $d$song song hoặc trùng với trục hoành.
+ Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tìm điều kiện của m và n để phương trình $ \left( m-1 \right)x+\left( {{n}^{2}}-4 \right)y=m+n $ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
- A
- B
- C
- D
Để là phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi $ \left[ \begin{array}{l} m-1\ne 0 \\ {{n}^{2}}-4\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\ne 1 \\ n\ne \pm 2 \end{array} \right. $ .
Câu 2: Cho đường thẳng $ \left( d \right) $ có phương trình: $ \left( 2m+1 \right)x+my=3m-1 $ . Tìm m để đường thẳng $ \left( d \right) $ đi qua gốc tọa độ
- A
- B
- C
- D
$ \left( d \right) $ đi qua gốc tọa độ $ O\left( 0;0 \right) $ $ \Rightarrow $ $ \left( 2m+1 \right).0+m.0=3m-1\Leftrightarrow 3m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{3} $
Câu 3: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình $ 5\text{x}-3y=2 $
- A
- B
- C
- D
Với $ x=1;y=1\Rightarrow 5.1-3.1=2 $ (đúng) $ \Rightarrow $ cặp $ \left( 1;1 \right) $ là nghiệm của phương trình.
Với $ x=-1;y=2\Rightarrow 5.\left( -1 \right)-3.2=-11\ne 2 $ $ \Rightarrow $ cặp $ \left( -1;2 \right) $ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $ x=2;y=0\Rightarrow 5.2-3.0=10\ne 2 $ $ \Rightarrow $ cặp $ \left( 2;0 \right) $ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $ x=3;y=-1\Rightarrow 5.3-3.\left( -1 \right)=18\ne 2 $ $ \Rightarrow $ cặp $ \left( 3;-1 \right) $ không phải là nghiệm của phương trình.
Câu 4: Cho đường thẳng $ \left( d \right) $ có phương trình: $ \left( m+1 \right)x+2my=m-2y-2 $ . Tìm m để đường thẳng $ \left( d \right) $ song song với trục tung.
- A
- B
- C
- D
$ \left( m+1 \right)x+2my=m-2y-2\Leftrightarrow \left( m+1 \right)x+\left( 2m+2 \right)y=m-2 $
Để đường thẳng $ \left( d \right) $ song song với trục tung $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+1\ne 0 \\ 2m+2=0 \\ m-2\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $ . Vậy không tồn tại $ m $ để đường thẳng song song với trục tung.
Câu 5: Cho đường thẳng $ \left( d \right) $ có phương trình: $ \left( m-1 \right)x+\left( 3m-4 \right)y=-2m-5 $ . Tìm m để đường thẳng $ \left( d \right) $ đi qua điểm $ A\left( 2;-1 \right) $ .
- A
- B
- C
- D
$ \left( d \right) $ qua $ A\left( 2;-1 \right) $
$ \begin{array}{l} \Rightarrow \left( m-1 \right).2+\left( 3m-4 \right)\left( -1 \right)=-2m-5 \\ \Leftrightarrow 2m-2-3m+4+2m+5=0 \\ \Leftrightarrow m=-7 \end{array} $
Câu 6: Phương trình nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?
- A
- B
- C
- D
$ 2x-y=3+2x-y\Leftrightarrow 0=3 $ (vô lý). Đây không là phương trình bậc nhất 2 ẩn.
Phương trình $ 2x-3y+2=0 $ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình $ 3x=1 $ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số của $ y $ bằng 0.
Phương trình $ 2y-3=0 $ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số của $ x $ bằng 0.
Câu 7: Cặp số nào sau đây không phải nghiệm của phương trình $ 2x+y=3 $
- A
- B
- C
- D
$ 2.1+1=3 $ (đúng) nên $ \left( 1;1 \right) $ là nghiệm của phương trình.
$ 2.0+1=2\ne 3 $ nên $ \left( 0;1 \right) $ không là nghiệm của phương trình.
$ 2.0+3=3 $ (đúng) nên $ \left( 0;3 \right) $ là nghiệm của phương trình.
$ 2.2+\left( -1 \right)=3 $ (đúng) nên $ \left( 2;-1 \right) $ là nghiệm của phương trình.
Câu 8: Nghiệm tổng quát của phương trình $ 2\text{x}-3y=5 $ là
- A
- B
- C
- D
$2{\rm{x}} - 3y = 5 \Leftrightarrow 3y = 2x - 5 \Leftrightarrow y = \frac{{2x - 5}}{3}$
Đặt x = t $\Rightarrow y = \frac{{2t - 5}}{3}$
nghiệm tổng quát của phương trình là \[ \left( t;\dfrac{2t-5}{3} \right) \] với t bất kỳ.
Câu 9: Cho đường thẳng $ \left( d \right) $ có phương trình: $ \left( m-2 \right)x+\left( m+1 \right)y=2m+1 $ . Tìm m để đường thẳng $ \left( d \right) $ song song với trục hoành
- A
- B
- C
- D
Để $ \left( d \right) $ song song với trục hoành $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-2=0 \\ m+1\ne 0 \\ 2m+1\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=2 $
Câu 10: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $ 2x-y=1 $
- A
- B
- C
- D
$ 2x-y=1\Leftrightarrow y=2x-1\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( t;2t-1 \right) $ , $ \left( t\in \mathbb{Z} \right) $
Câu 11: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình $ 0x+3y=9 $
- A
- B
- C
- D
$ 0x+3y=9\Leftrightarrow y=3\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( t;3 \right) $ , $ t $ bất kỳ.