Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

4.3/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Lý thuyết về Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

1. Phương pháp thực hiện

Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Chú ý

Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

3 Ví dụ

\[\begin{array}{l}
a){x^2} - 3x + 2\\
 = {x^2} - x - 2x + 2\\
 = x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right)\\
 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
b) 2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy\\
 = 2xy({x^2} - {y^2} - 2y - 1)\\
 = 2xy{x^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)\\
 = 2xy\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\\
 = 2xy\left( {x + y + 1} \right)\left( {x - y - 1} \right)
\end{array}\]

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Chọn câu đúng.

Gọi $ {{x}_{0}} $ là giá trị thoả mãn $ {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-16x+16=0 $ thì

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-16x+16=0 $

$ \Leftrightarrow ({{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+16)-(4{{x}^{3}}+16x)=0 $

$ \Leftrightarrow {{({{x}^{2}}+4)}^{2}}-4x({{x}^{2}}+4)=0 $

$ \Leftrightarrow ({{x}^{2}}+4)({{x}^{2}}+4-4x)=0\Leftrightarrow ({{x}^{2}}+4){{(x-2)}^{2}}=0 $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}+4=0 \\ {{(x-2)}^{2}}=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}=-4(L) \\ x-2=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=2 $ .

Vậy $ {{x}_{0}}=2 $ .

Câu 2: Phân tích thành nhân tử đa thức $ {{x}^{4}}+16 $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} {{x}^{4}}+16 \\ ={{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+16-8{{x}^{2}} \\ ={{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}-{{\left( x\sqrt{8} \right)}^{2}} \\ =\left( {{x}^{2}}-x\sqrt{8}+4 \right)\left( {{x}^{2}}+x\sqrt{8}+4 \right) \end{array} $

Câu 3: Dạng nhân tử của biểu thức $ {{x}^{3}}-4x+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-4y $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ {{x}^{3}}-4x+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-4y $

$ \begin{array}{l} =\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}} \right)-4\left( x+y \right) \\ ={{\left( x+y \right)}^{3}}-4\left( x+y \right) \end{array} $

$ =\left( x+y \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-4 \right]=\left( x+y \right)\left( x+y-2 \right)\left( x+y+2 \right) $

Câu 4: Giá trị của $ x $ thỏa mãn $ 3{{x}^{2}}+8x+5=0 $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 3{{x}^{2}}+8x+5=0 $

$ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+5x+5=0\Leftrightarrow 3x(x+1)+5(x+1)=0\Leftrightarrow (3x+5)(x+1)=0 $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 3x+5=0 \\ x+1=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\dfrac{5}{3} \\ x=-1 \\ \end{matrix} \right. $ .

Vậy $ x=-\dfrac{5}{3};x=-1 $ .

Câu 5: Cho $ (I):4{{x}^{2}}+4x-9{{y}^{2}}+1=(2x+1+3y)(2x+1-3y) $

$ (II):5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}}=5(x+y+2z)(x+y-2z) $ . Chọn câu đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ (I):4{{x}^{2}}+4x-9{{y}^{2}}+1=(4{{x}^{2}}+4x+1)-9{{y}^{2}}={{(2x+1)}^{2}}-{{(3y)}^{2}}=(2x+1+3y)(2x+1-3y) $ nên $ (I) $ đúng.

Và $ (II):5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}}=5({{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-4{{z}^{2}})=5[{{(x-y)}^{2}}-{{(2z)}^{2}}] $

= 5(x - y - 2z)(x - y + 2z) nên $ (II) $ sai.

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của $ x $ thoả mãn $ 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}=2x $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow x(6{{x}^{2}}+x-2)=0\Leftrightarrow x(6{{x}^{2}}+4x-3x-2)=0 $

$ \Leftrightarrow x[2x(3x+2)-(3x+2)]=0\Leftrightarrow x(3x+2)(2x-1)=0 $

$ \Rightarrow x=0 $ hoặc $ 3x+2=0 $ hoặc $ 2x-1=0 $

Suy ra $ x=0;x=-\dfrac{2}{3};x=\dfrac{1}{2} $ .

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $ x=-\dfrac{2}{3} $ .

Câu 7: Chọn câu đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-5={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}-5={{x}^{2}}({{x}^{2}}-1)+5({{x}^{2}}-1)=({{x}^{2}}+5)({{x}^{2}}-1) $

$ =({{x}^{2}}+5)(x-1)(x+1) $ .

+ $ {{x}^{2}}+5x+4={{x}^{2}}+x+4x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4) $ .

+ $ {{x}^{2}}-9x+8={{x}^{2}}-x-8x+8=x(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x-8) $ .

+ $ {{x}^{2}}+x-6={{x}^{2}}-2x+3x-6=x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3) $ .

Câu 8: Số nghiệm nguyên của phương trình $ 4{{x}^{2}}-4x-3=0 $ thành nhân tử ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} Pt\Leftrightarrow \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)-4=0 \\ \Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-{{2}^{2}}=0 \\ \Leftrightarrow \left( 2x-3 \right)\left( 2x+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2} \\ x=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} $

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Câu 9: Phân tích đa thức $ {{x}^{3}}-2{{y}^{3}}-3x{{y}^{2}} $ thành nhân tử ta được kết quả là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ {{x}^{3}}-2{{y}^{3}}-3x{{y}^{2}}={{x}^{3}}+{{y}^{3}}-3{{y}^{3}}-3x{{y}^{2}} $

$ =\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)-3{{y}^{2}}\left( y+x \right) $

$ =\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3{{y}^{2}} \right) $

$ =\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-3xy-3{{y}^{2}} \right) $

$ =\left( x+y \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-3y\left( x+y \right) \right] $

$ =\left( x+y \right)\left( x+y \right)\left( x+y-3y \right) $

$ ={{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x-2y \right) $

Câu 10: Giá trị của biểu thức $ D={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}+{{y}^{3}} $ khi $ x=y $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ D={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}=(x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})-xy(x+y)=(x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-xy) $

$ =(x+y)[{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}]=(x+y){{(x-y)}^{2}} $ .

Vì $ x=y\Leftrightarrow x-y=0 $ nên $ D=(x+y){{(x-y)}^{2}}=0 $ .

Câu 11: Phân tích thành nhân tử đa thức $ {{x}^{2}}+5x-6 $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+5x-6={{x}^{2}}-x+6x-6 \\ =\left( {{x}^{2}}-x \right)+6\left( x-1 \right) \\ =x\left( x-1 \right)+6\left( x-1 \right) \\ =\left( x-1 \right)\left( x+6 \right) \end{array} $

Câu 12: Đa thức $ 25-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}} $ được phân tích thành

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 25-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}=25-({{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}})={{5}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}=(5+a-b)(5-a+b) $ .

Câu 13: Đa thức $ ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) $ được phân tích thành

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc[b-a+a-c\text{ }\!\!]\!\!\text{ }+ac(c-a) $

$ =ab(a-b)-bc(a-b)+bc(a-c)-ac(a-c)=(a-b)(ab-bc)+(a-c)(bc-ac) $

$ =b(a-b)(a-c)-c(a-c)(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c) $ .

Câu 14: Phân tích thành nhân tử đa thức $ 5{{x}^{3}}z-10{{x}^{2}}z-5x{{z}^{3}}-5x{{y}^{2}}z+5xz+10xy{{z}^{2}} $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ 5{{x}^{3}}z-10{{x}^{2}}z-5x{{z}^{3}}-5x{{y}^{2}}z+5xz+10xy{{z}^{2}} $

$ =5xz\left( {{x}^{2}}-2x-{{z}^{2}}-{{y}^{2}}+1+2yz \right) $

$ =5xz\left[ \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-\left( {{y}^{2}}-2yz+{{z}^{2}} \right) \right] $

$ =5xz\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{\left( y-z \right)}^{2}} \right] $

$ =5xz\left( x-1-y+z \right)\left( x-1+y-z \right) $

Câu 15: Ta có $ {{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}=(x-2y)(...) $ . Biểu thức thích hợp điền vào dấu (…) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}={{x}^{2}}-2xy-5xy+10{{y}^{2}}=({{x}^{2}}-2xy)-(5xy-10{{y}^{2}}) $

$ =x(x-2y)-5y(x-2y)=(x-2y)(x-5y) $ .

Vậy ta cần điền $ x-5y $ .

Câu 16: Cho biểu thức $ C=xyz-(xy+yz+zx)+x+y+z-1 $ . Phân tích $ C $ thành nhân tử và tính giá trị của $ C $ khi $ x=9;y=10;z=101 $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ C=xyz-(xy+yz+zx)+x+y+z-1 $

$ =(xyz-xy)-(yz-y)-(zx-x)+(z-1) $

$ =xy(z-1)-y(z-1)-x(z-1)+(z-1)=(z-1)(xy-y-x+1) $

$ =(z-1).\text{ }\!\![\!\!\text{ }y(x-1)-(x-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=(z-1)(y-1)(x-1) $

Với $ x=9;y=10;z=101 $ , ta có:

$ C=(101-1)(10-1)(9-1)=100.9.8=7200 $ .

Câu 17: Giá trị của biểu thức $ A={{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+4x+4 $ tại $ x=62,y=-18 $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ A={{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+4x+4=({{x}^{2}}+4x+4)-4{{y}^{2}} $

$ ={{(x+2)}^{2}}-{{(2y)}^{2}}=(x+2-2y)(x+2+2y) $

Thay $ x=62,y=-18 $ ta được:

$ A=(62+2-2.(-18))(62+2+2.(-18))=100.28=2800 $ .

Câu 18: Phân tích đa thức $ 5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}} $ thành nhân tử ta được kết quả

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} 5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}} \\ =5\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-4{{z}^{2}} \right) \end{array} $

$ \begin{array}{l} =5\left[ \left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)-4{{z}^{2}} \right] \\ =5\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( 2z \right)}^{2}} \right] \end{array} $

$ =5\left( x-y+2z \right)\left( x-y-2z \right) $

Câu 19: Phân tích đa thức $ {{x}^{4}}+64 $ thành hiệu hai bình phương, ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{x}^{4}}+64={{({{x}^{2}})}^{2}}+16{{x}^{2}}+64-16{{x}^{2}}={{({{x}^{2}})}^{2}}+2.8.x+{{8}^{2}}-{{(4x)}^{2}} $

$ ={{({{x}^{2}}+8)}^{2}}-{{(4x)}^{2}} $ .

Câu 20: Chọn câu sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 3{{x}^{2}}-5x-2=3{{x}^{2}}+x-6x-2=x(3x+1)-2(3x+1)=(x-2)(3x+1) $ .

+ $ {{x}^{2}}+5x+4={{x}^{2}}+x+4x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4) $ .

+ $ {{x}^{2}}-9x+8={{x}^{2}}-x-8x+8=x(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x-8) $ .

+ $ {{x}^{2}}+x-6={{x}^{2}}+3x-2x-6=x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2) $ .

Câu 21: Gọi $ {{x}_{1}};{{x}_{2}} $ là hai giá trị thoả mãn $ 3{{x}^{2}}+13x+10=0 $ . Khi đó $ 2{{x}_{1}}.{{x}_{2}} $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 3{{x}^{2}}+13x+10=0 $

$ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+10x+10=0\Leftrightarrow 3x(x+1)+10(x+1)=0 $

$ \Leftrightarrow (x+1)(3x+10)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+1=0 \\ 3x+10=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=-\dfrac{10}{3} \\ \end{matrix} \right. $ .

$ \Rightarrow 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2.(-1).\left( -\dfrac{10}{3} \right)=\dfrac{20}{3} $ .

Câu 22: Phân tích đa thức $ {{x}^{2}}-6x+8 $ thành nhân tử ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{x}^{2}}-6x+8={{x}^{2}}-4x-2x+8=x(x-4)-2(x-4)=(x-4)(x-2) $ .

Câu 23: Cho $ {{({{x}^{2}}+x)}^{2}}+4{{x}^{2}}+4x-12=({{x}^{2}}+x-2)({{x}^{2}}+x+...) $ . Điền vào dấu … số hạng thích hợp.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{({{x}^{2}}+x)}^{2}}+4{{x}^{2}}+4x-12={{({{x}^{2}}+x)}^{2}}+4({{x}^{2}}+x)-12 $ .

Đặt $ t={{x}^{2}}+x $ ta được

$ {{t}^{2}}+4t-12={{t}^{2}}+6t-2t-12=t(t+6)-2(t+6)=(t-2)(t+6)=({{x}^{2}}+x-2)({{x}^{2}}+x+6) $

Vậy số cần tìm là $ 6 $ .

Câu 24: Phân tích thành nhân tử đa thức $ 16x-5{{x}^{2}}-3 $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{l} 16x-5{{x}^{2}}-3 \\ =15x-5{{x}^{2}}-3+x \\ =\left( 15x-5{{x}^{2}} \right)-\left( 3-x \right) \end{array} $

$ \begin{array}{l} =5x\left( 3-x \right)-\left( 3-x \right) \\ =\left( 3-x \right)\left( 5x-1 \right) \end{array} $