Nhân đa thức với đa thức

Nhân đa thức với đa thức

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Nhân đa thức với đa thức

Lý thuyết về Nhân đa thức với đa thức

1. Qui tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

2. Công thức nhân đa thức với đa thức

Cho $A, B, C, D$ là các đa thức ta có:
$(A + B) . (C + D) = A(C + D) + B(C + D)$$= AC + AD + BC + BD.$

3. Ví dụ

$\begin{array}{l}a)\left( {x + xy} \right)\left( {x - 2y} \right)\\ = x\left( {x - 2y} \right) + xy\left( {x - 2y} \right)\\ = {x^2} - 2xy + {x^2}y - 2x{y^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}b)\left( {2x + {y^2}} \right)\left( {x + y - xy} \right)\\ = 2x\left( {x + y - xy} \right) + {y^2}\left( {x + y - xy} \right)\\ = 2{x^2} + 2xy - 2{x^2}y + x{y^2} + {y^3} - x{y^3}\end{array}$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Thực hiện phép nhân: $ \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-5 \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c $ , với $ a,b,c\in \mathbb{Z} $ . Khi đó $ a+b+c $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{*{35}{l}} \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-5 \right) \\ =x.\left( {{x}^{2}}+3x-5 \right)+3.\left( {{x}^{2}}+3x-5 \right) \\ ={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5x+3{{x}^{2}}+9x-15 \\ ={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+4x-15. \end{array} $

Khi đó $ a+b+c=4+6-15=-5 $

Câu 2: Thực hiện phép nhân $ \left( xy-1 \right)\left( xy+x+5 \right) $ ta được kết quả

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{l} \left( xy-1 \right)\left( xy+x+5 \right) \\ =xy.\left( xy+x+5 \right)-\left( xy+x+5 \right) \\ ={{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y+5xy-xy-x-5 \\ ={{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y-x+4xy-5 \end{array} $

Câu 3: Phép nhân $ \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( x-1 \right) $ được kết quả là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{*{35}{l}} \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( x-1 \right) \\ =x.\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right) \\ ={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}+2x-1 \\ ={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1 \end{array} $

Câu 4: Gọi $ x $ là giá trị thoả mãn $ 5(3x+5)-4(2x-3)=5x+3(2x-12)+1 $ . Khi đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ 5(3x+5)-4(2x-3)=5x+3(2x-12)+1\Leftrightarrow 15x+25-8x+12=5x+6x-36+1 $

$ \Leftrightarrow 7x+37=11x-35\Leftrightarrow 4x=72\Leftrightarrow x=18 $ .

Vậy $ x=18 $ .

Suy ra $ 17 < x < 19 $ .

Câu 5: Cho biểu thức $ C=x(y+z)-y(z+x)-z(x-y) $ . Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ C=x(y+z)-y(z+x)-z(x-y) $

$ =xy+xz-yz-xy-zx+zy=(xy-xy)+(zy-zy)+(xz-zx)=0 $

Nên $ C $ không phụ thuộc vào $ x;y;z $ .

Câu 6: Thực hiện phép nhân $ \left[ \left( {{x}^{2n}}+{{x}^{n}}\cdot {{y}^{n}}+{{y}^{2n}} \right)\cdot \left( {{x}^{n}}-{{y}^{n}} \right) \right]\cdot \left( {{x}^{3n}}+{{y}^{3n}} \right) $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{l} \left[ \left( {{x}^{2n}}+{{x}^{n}}\cdot {{y}^{n}}+{{y}^{2n}} \right)\left( {{x}^{n}}-{{y}^{n}} \right) \right]\cdot \left( {{x}^{3n}}+{{y}^{3n}} \right) \\ =\left( {{x}^{3n}}+{{x}^{2n}}{{y}^{n}}+{{x}^{n}}{{y}^{2n}}-{{x}^{2n}}{{y}^{n}}-{{x}^{n}}{{y}^{2n}}-{{y}^{3n}} \right)\left( {{x}^{3n}}+{{y}^{3n}} \right) \\ =\left( {{x}^{3n}}-{{y}^{3n}} \right)\left( {{x}^{3n}}+{{y}^{3n}} \right) \\ ={{x}^{6n}}+{{x}^{3n}}{{y}^{3n}}-{{x}^{3n}}{{y}^{3n}}-{{y}^{6n}} \\ ={{x}^{6n}}-{{y}^{6n}} \end{array} $

Câu 7: Thực hiện phép nhân $ \left( xy-1\text{ } \right)\left( \text{ }{{x}^{3}}-2x-6 \right) $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \begin{array}{l} \left( xy-1\text{ } \right)\left( \text{ }{{x}^{3}}-2x-6 \right) =xy\left( \text{ }{{x}^{3}}-2x-6 \right)\text{ }+~~\left( -1 \right)\left( \text{ }{{x}^{3}}-2x-6 \right) \\ =xy.\text{ }{{x}^{3}}+xy.\left( -2x \right)+xy.\left( -6 \right)\text{ }+\left( -1 \right).\text{ }{{x}^{3}}+\left( -1 \right).\left( -\text{ }2x \right)+\left( -1 \right).\left( -6 \right) \\ ={{x}^{4}}y-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}y\text{ }+2x-6xy+6 \end{array} $

Câu 8: Cho biểu thức $ A=x(x+1)+(1-x)(1+x)-x $ . Khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ A=x(x+1)+(1-x)(1+x)-x={{x}^{2}}+x+1+x-x-{{x}^{2}}-x=1 $

Suy ra $ A=1 > 0 $ .

Câu 9: Giá trị của biểu thức: $ P={{x}^{10}}-13{{x}^{9}}+13{{x}^{8}}-13{{x}^{7}}+...-13x+10 $ tại $ x=12 $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ P={{x}^{10}}-13{{x}^{9}}+13{{x}^{8}}-13{{x}^{7}}+...-13x+10 $

$ ={{x}^{10}}-12{{x}^{9}}-{{x}^{9}}+12{{x}^{8}}+{{x}^{8}}-12{{x}^{7}}-{{x}^{7}}+12{{x}^{6}}+...+{{x}^{2}}-12x-x+10 $

$ ={{x}^{9}}(x-12)-{{x}^{8}}(x-12)+{{x}^{7}}(x-12)-...+x(x-12)-x+10 $

Thay $ x=12 $ vào $ P $ ta được:

$ P={{12}^{9}}.(12-12)-{{12}^{8}}(12-12)+{{12}^{7}}(12-12)-...+12(12-12)-12+10=0+...+0-2=-2 $

Vậy $ P=-2 $ .

Câu 10: Thực hiện phép tính $ \left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right) $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right) $

$ \begin{array}{l} ={{a}^{3}}+a{{b}^{2}}+a{{c}^{2}}+{{a}^{2}}b-abc+{{a}^{2}}c-{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}+b{{c}^{2}}- \\ a{{b}^{2}}+{{b}^{2}}c-abc-{{a}^{2}}c-{{b}^{2}}c+{{c}^{3}}-abc+b{{c}^{2}}-a{{c}^{2}} \\ ={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc \end{array} $

Câu 11: Giá trị của biểu thức $ M=x({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x-2)-({{x}^{2}}-2)({{x}^{2}}+x-1) $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ M=x({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x-2)-({{x}^{2}}-2)({{x}^{2}}+x-1) $

$ =x.{{x}^{3}}+x.{{x}^{2}}-3x.x-2.x-({{x}^{2}}.{{x}^{2}}+{{x}^{2}}.x-{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}-2x+2) $

$ ={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-2x-({{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-2x+2) $

$ ={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-2x-{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-2=-2 $ .

Vậy $ M=-2 $ .

Câu 12: Thực hiện phép nhân $ \left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+2y \right)\left( x-2y \right) $ ta được

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} \left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+2y \right)\left( x-2y \right) \\ =x\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+2y \right)-2y\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+2y \right) \\ ={{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y+2xy-2{{x}^{2}}{{y}^{3}}+2x{{y}^{2}}-4{{y}^{2}} \end{array} $

Câu 13: Biểu thức $ D=x({{x}^{2n-1}}+y)-y(x+{{y}^{2n-1}})+{{y}^{2n}}-{{x}^{2n}}+5\, $

D có giá trị là.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ D=x({{x}^{2n-1}}+y)-y(x+{{y}^{2n-1}})+{{y}^{2n}}-{{x}^{2n}}+5 $

$ =x.{{x}^{2n-1}}+x.y-y.x-y.{{y}^{2n-1}}+{{y}^{2n}}-{{x}^{2n}}+5 $

$ ={{x}^{2n}}+xy-xy-{{y}^{2n}}+{{y}^{2n}}-{{x}^{2n}}+5=({{x}^{2n}}-{{x}^{2n}})+(xy-xy)+({{y}^{2n}}-{{y}^{2n}})+5 $

$ =0+0+0+5=5 $ .

Câu 14: Cho $ A=(3x+7)(2x+3)-(3x-5)(2x+11);B=x(2x+1)-{{x}^{2}}(x+2)+{{x}^{3}}-x+3 $ .

Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ A=(3x+7)(2x+3)-(3x-5)(2x+11) $

$ =3x.2x+3x.3+7.2x+7.3-(3x.2x+3x.11-5.2x-5.11) $

$ =6{{x}^{2}}+9x+14x+21-(6{{x}^{2}}+33x-10x-55) $

$ =6{{x}^{2}}+23x+21-6{{x}^{2}}-33x+10x+55=76 $

$ B=x(2x+1)-{{x}^{2}}(x+2)+{{x}^{3}}-x+3 $

$ =x.2x+x-({{x}^{2}}.x+2{{x}^{2}})+{{x}^{3}}-x+3 $

$ =2{{x}^{2}}+x-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-x+3=3 $

Nên $ A=25B+1 $ .

Câu 15: Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao $ 2 $ đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ x\,\,(x > 2) $ là độ dài đáy nhỏ của hình thang.

Theo giả thiết ta có độ dài đáy lớn là $ 2x $ , chiều cao của hình thang là $ x-2 $ .

Diện tích hình thang là $ S=\dfrac{(x+2x)(x-2)}{2}=\dfrac{3x(x-2)}{2}=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x}{2} $ (đvdt).