1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_k$. Có $n_1$cách thực hiện phương án $A_1, n_2$ cách thực hiện công việc $A_2,...$ và $n_k$ cách thực hiện phương án $A_k$. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi \[{n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\] cách.
Ví dụ: Giả sử từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$ có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$. Theo quy tắc cộng, ta có $10+5+3+2=20$ sự lựa chọn phương tiện để đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$.
Chú ý: Quy tắc cộng có thể phát biểu dạng sau:
Nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì số phần tử của $A \cup B$ được tính như sau:
\[\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\] .
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm $k$ công đoạn $A_1,A_2,A_3,...,A_k$. Công đoạn $A_1$ có thể thực hiện theo $n_1$ cách, công đoạn $A_2$ có thể thực hiện theo $n_2$ cách, …,công đoạn $A_k$ có thể thực hiện theo $n_k$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2...n_k$ cách.
Ví dụ: Biển số xe máy của tỉnh $A$ (nếu không tính cả mã số tỉnh) có 6 ký tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự thứ hai là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\], mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {0;1;2;;...;9} \right\}\]. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh $A$ có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
Giải: Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên. Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.
Theo quy tắc nhân , ta có tất cả \[26.9.10.10.10.10 = 2340000\] (biển số xe).
Có 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10.
Chọn đồng thời 3 học sinh trong đó mỗi khối có một em ta áp dụng quy tắc nhân có: $ 5.4.3=60 $ cách.
Từ các chữ số $ 1,2,3,4 $ có thể lập được 4 số tự nhiên gồm một chữ số đó là: $ 1,2,3,4 $ .
Số cách chọn một cái quần là 4 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cáchchọn là: $ 4.6.3=72 $ (cách).
Số cách chọn một cái quần là 5 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là: $ 4+6+3=13 $ (cách).
Số cách đi từ A đến C, qua B là $ 5.4=20 $
Đầu tiên ta chọn một chữ cái có 24 cách chọn, sau đó chọn phần 2 là số nguyên dương nhỏ hơn 26 có 25 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có $ 24.25=600$ cách để ghi các nhãn ghế.
Đểc họn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu ta cần thực hiện 3 bước: Chọn 1 hoa hồng trắng, 1 hoa hồng đỏ và 1 hoa hồng vàng.
Theo quy tắc nhân có $ 5.6.7=210 $ cách.
Từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,5,6,7,8,9 $ có thể lập được 9 số tự nhiên gồm một chữ số có 9 chữ số đó là $ 1,2,3,4,5,5,6,7,8,9 $ .
Trong 1 túi có 5 quả cầu trắng , 10 quả cầu đen. Số cách chọn một quả cầu trong túi là
Số cách chọn một quả cầu trong túi là: $10+5=15$
Số cách chọn một bộ quần áo từ tủ đồ để mặc là $ 5.3=15 $ .
Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.
Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.
Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.
Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có $ 10+5+3+2=20 $ cách chọn.
Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.
Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.
Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.
Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có $ 8+7+10+6=31 $ cách chọn.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới