Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Lý thuyết về Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_k$. Có $n_1$cách thực hiện phương án $A_1, n_2$ cách thực hiện công việc $A_2,...$ và $n_k$ cách thực hiện phương án $A_k$. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi \[{n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\]  cách.

Ví dụ: Giả sử từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$ có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$. Theo quy tắc cộng, ta có $10+5+3+2=20$ sự lựa chọn phương tiện để đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$.

Chú ý: Quy tắc cộng có thể phát biểu dạng sau:

Nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì số phần tử của $A \cup B$ được tính như sau: 
\[\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\] .

2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm $k$ công đoạn $A_1,A_2,A_3,...,A_k$.   Công đoạn $A_1$ có thể thực hiện theo $n_1$ cách, công đoạn $A_2$ có thể thực hiện theo $n_2$ cách, …,công đoạn $A_k$ có thể thực hiện theo $n_k$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2...n_k$ cách.

Ví dụ: Biển số xe máy của tỉnh $A$ (nếu không tính cả mã số tỉnh) có 6 ký tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự thứ hai là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\], mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {0;1;2;;...;9} \right\}\]. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh $A$ có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Giải: Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên. Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Theo quy tắc nhân , ta có tất cả \[26.9.10.10.10.10 = 2340000\] (biển số xe).

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Có 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10.
Chọn đồng thời 3 học sinh trong đó mỗi khối có một em ta áp dụng quy tắc nhân có: $ 5.4.3=60 $ cách.

Câu 2: Từ các chữ số $ 1,2,3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm một chữ số

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ các chữ số $ 1,2,3,4 $ có thể lập được 4 số tự nhiên gồm một chữ số đó là: $ 1,2,3,4 $ .

Câu 3: Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Số cách chọn một bộ gồm một quần, một áo và một cà vạt là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số cách chọn một cái quần là 4 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cáchchọn là: $ 4.6.3=72 $ (cách).

Câu 4: Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số cách chọn một cái quần là 5 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là: $ 4+6+3=13 $ (cách).

Câu 5: Từ thành phố A đến thành phố B có 5 con đường, từ B đến C có 4 con đường. Số cách đi từ A đến C, qua B là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số cách đi từ A đến C, qua B là $ 5.4=20 $

Câu 6: Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đầu tiên ta chọn một chữ cái có 24 cách chọn, sau đó chọn phần 2 là số nguyên dương nhỏ hơn 26 có 25 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có $ 24.25=600$ cách để ghi các nhãn ghế.

Câu 7: Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả 3 màu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đểc họn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu ta cần thực hiện 3 bước: Chọn 1 hoa hồng trắng, 1 hoa hồng đỏ và 1 hoa hồng vàng.
Theo quy tắc nhân có $ 5.6.7=210 $ cách.

Câu 8: Từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 $ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm một chữ số?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,5,6,7,8,9 $ có thể lập được 9 số tự nhiên gồm một chữ số có 9 chữ số đó là $ 1,2,3,4,5,5,6,7,8,9 $ .

Câu 9:

Trong 1 túi có 5 quả cầu trắng , 10 quả cầu đen. Số cách chọn một quả cầu trong túi là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số cách chọn một quả cầu trong túi là: $10+5=15$

Câu 10: Trong một tủ đồ có 5 cái quần, có 3 cái áo. Số cách chọn một bộ quần áo từ tủ đồ trên để mặc là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số cách chọn một bộ quần áo từ tủ đồ để mặc là $ 5.3=15 $ .

Câu 11: Giả sử từ tỉnh $ A $ đến tỉnh $ B $ có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh $ A $ đến tỉnh $ B $ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.
Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.
Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.
Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có $ 10+5+3+2=20 $ cách chọn.

Câu 12: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.
Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.
Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.
Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có $ 8+7+10+6=31 $ cách chọn.