Các định lý về giới hạn hữu hạn

Các định lý về giới hạn hữu hạn

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Các định lý về giới hạn hữu hạn

MỤC LỤC

Lý thuyết về Các định lý về giới hạn hữu hạn

Các định lý và quy tắc sau đúng cho mọi trường hợp: $x\to {{x}_{0}},x\to x_{0}^{+},x\to x_{0}^{-},x\to +\infty ,x\to -\infty$ .
Định lý 1:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M;$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$ ;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = LM$ ;

Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {cf\left( x \right)} \right] = cL$ ;
d) Nếu $m\ne 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}$ .

Định lý 2: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = L$ , khi đó
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| L \right|$ ;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[3]{L};$

c) Nếu $f\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in J\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ , trong đó J là một khoảng nào đó chứa ${{x}_{0}}$ thì $L\ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$ .

Định lý 3: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left| {f\left( x \right)} \right| = + \infty$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0$ .

Định lý 4: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: $B=\underset{x\to \dfrac{\pi } 6 }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{\sin }^ 2 }2 x -3\cos x }{\tan x}$ bằng

A
$1$
B
$-\infty$
C
$\dfrac{3\sqrt{3} } 4 -\dfrac{9}{2}$
D
$+\infty$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$B=\underset{x\to \dfrac{\pi } 6 }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{\sin }^ 2 }2 x -3\cos x }{\tan x}=\dfrac{{{\sin }^ 2 }\dfrac{\pi } 3 -3\cos \dfrac{\pi } 6 }{\tan \dfrac{\pi } 6 }$

$=\dfrac{\dfrac{3}{4} -\dfrac{3\sqrt{3} } 2 }{\dfrac{1}{{}\sqrt{3} }}=\dfrac{3}{4} \left( \sqrt{3} -6 \right)$

Câu 2: $D=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt[3]{3x+1}-2}$ bằng

A
$1$
B
$-\dfrac{1}{6}$
C
0
D
$\dfrac{\sqrt{3} -2}{\sqrt[3] 3 -2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$D=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt[3]{3x+1}-2}=\dfrac{\sqrt{3+1}-2}{\sqrt[3]{3+1}-2}=\dfrac{0}{{}\sqrt[3] 4 -2}=0$

Câu 3: $A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }-x+1}{x+1}$ bằng

A
$\dfrac{1}{2}$
B
$-\infty$
C
$1$
D
$+\infty$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }-x+1}{x+1}=\dfrac{1-1+1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ .

Câu 4: $A=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1}{{ x ^ 2 }+x+4}$ bằng

A
$-\infty$
B
$1$
C
$-\dfrac{1}{6}$
D
$+\infty$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$A=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1}{{ x ^ 2 }+x+4}=\dfrac{-2+1}{{{\left( -2 \right)}^ 2 }-2+4}=-\dfrac{1}{6}$

Câu 5: $C=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+2}-x+1}{3x+1}$ bằng

A
$1$
B
$-\infty$
C
$+\infty$
D
$\sqrt[3] 2 +1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $C=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+2}-x+1}{3x+1}=\sqrt[3] 2 +1$

Câu 6: $\underset{x\to -{ 1 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }+3x+2}{\left| x+1 \right|}$ bằng

A
$+\infty$
B
$-1$
C
$-\infty$
D
$-2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $x\to -{ 1 ^ - }\Rightarrow \left| x+1 \right|=-(x+1)$ . Đáp số: $\underset{x\to -{ 1 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }+3x+2}{\left| x+1 \right|}=-1$

Câu 7: $C=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2{ x ^ 2 }-x+1}-\sqrt[3]{2x+3}}{3{ x ^ 2 }-2}$ bằng

A
$+\infty$
B
$\dfrac{3\sqrt{3} } 4 -\dfrac{9}{2}$
C
$\sqrt{2} -\sqrt[3] 5$
D
$0$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$C=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2{ x ^ 2 }-x+1}-\sqrt[3]{2x+3}}{3{ x ^ 2 }-2}=\sqrt{2} -\sqrt[3] 5$

Câu 8: $\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }-4}{\sqrt{\left( { x ^ 4 }+1 \right)\left( 2-x \right)}}$ bằng

A
$1$
B
$+\infty$
C
$-\infty$
D
0

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{ x ^ 2 }-4}{\sqrt{\left( { x ^ 4 }+1 \right)\left( 2-x \right)}}$

$=\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{\left( { x ^ 4 }+1 \right)\left( 2-x \right)}}$

$=\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-\sqrt{2-x}\left( x+2 \right)}{\sqrt{{ x ^ 4 }+1}}=0$

Câu 9: $D=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{7x+1}+1}{x-2}$ bằng

A
$-2$
B
$-\infty$
C
$+\infty$
D
$-3$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $D=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{7x+1}+1}{x-2}=\dfrac{\sqrt[3] 8 +1}{1-2}=-3$ .

Câu 10: $B=\underset{x\to \dfrac{\pi } 6 }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\tan x+1}{\sin x+1}$ bằng

A
$\dfrac{4\sqrt{3} +6} 9$ .
B
$\sqrt3-1$ .
C
$1$ .
D
$+\infty$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $B=\underset{x\to \dfrac{\pi } 6 }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\tan x+1}{\sin x+1}=\dfrac{2\tan \dfrac{\pi } 6 +1}{\sin \dfrac{\pi } 6 +1}=\dfrac{4\sqrt{3} +6} 9$ .

Câu 11: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & { x ^ 2 }-3\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,x\ge 2 \\ & x-1\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,x < 2 \\ \end{align} \right.$ . Chọn kết quả đúng của $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ :

A
$0$ .
B
Không tồn tại.
C
$-1$ .
D
$1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\underset{x\to { 2 ^ + }}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to { 2 ^ + }}{\mathop{\lim }}\,\left( { x ^ 2 }-3 \right)=1$

$\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=1$

Vì $\underset{x\to { 2 ^ + }}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to { 2 ^ - }}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$ nên $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$ .

Câu 12: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( { x ^ 2 }+x-1 \right)$ bằng

A
$-2$
B
$+\infty$
C
$-\infty$
D
$1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( { x ^ 2 }+x-1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{ x ^ 2 }\left( 1+\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }} \right)=+\infty$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới