Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Bài sau

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a\sin x+b\cos x=c$

Trong đó $a,b$ và $c$ là những hằng số đã cho, $a≠0$ hoặc $b≠0$

Phương pháp giải:

+) Điều kiện có nghiệm: ${c^2} \le {a^2} + {b^2}$

+) Chia 2 vế của phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ : Khi đó phương trình tương đương với:

$\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\ \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.$

Khi đó phương trình tương đương với:

$\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ . Đây là phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Giải phương trình $2\sin 3x + \sqrt[{}]{5}\cos 3x = - 3$ $(2)$

Giải: Ta có

$\begin{array}{l} 2\sin 3x + \sqrt 5 \cos 3x = - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\cos 3x = - \dfrac{3}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\cos 3x = - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \beta } \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 3x - \beta = \pi + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{\beta + \pi }}{3} + k\dfrac{{2\pi }}{3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right) \end{array}$

Trong đó $\sin \beta = \dfrac{2}{3}$ và $\cos \beta = \dfrac{{\sqrt[{}]{5}}}{3}$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm $m$ để phương trình $m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$ có nghiệm .

A
$\dfrac{2}{11}\le m\le 2$ .
B
$-2\le m\le -1$ .
C
$0\le m\le 1$ .
D
$-2\le m\le 0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $2\cos x-\sin x+4 > 0$ với $\forall x$ nên

Phương trình $m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$

$\Leftrightarrow$ $m\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)=\cos x+2\sin x+3$ có nghiệm.

$\Leftrightarrow \left( 2m-1 \right)\cos x-\left( m+2 \right)\sin x=3-4m$ có nghiệm $\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3-4m \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 11{{m}^{2}}-24m+4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{2}\le m\le 2$ .

Câu 2: Phương trình $\tan x+2\cot x-3=0$ có các nghiệm dạng $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi$ và $x=\arctan m+k\pi ;k\in Z$ thì.

A $m=\dfrac{1}{2}$
B $m=1$
C $m=2$
D $m=-2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x\ne 0 \\ \cos x\ne 0 \end{array} \right.$
Phương trình

$\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{2}{\tan x}-3=0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-3\tan x+2=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \\ \tan x=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan 2+k\pi \end{array} \right. ;\left( k\in z \right) \end{array}$
Vậy

$m=2.$

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình $c{os}3x-\sin 3x=1$ trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là

A
$x=\dfrac{5\pi }{12}$ .
B
$x=\dfrac{7\pi }{6}$ .
C
$x=\dfrac{\pi }{12}$ .
D
$x=\dfrac{\pi }{4}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 1} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}} \\ { \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.} \end{array}$ $\begin{gathered} x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $\Rightarrow \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{7\pi }}{6}$

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình $2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x$ là

A
8.
B
6.
C
4.
D
2.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} 2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x \\ \Leftrightarrow 2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x+\sin x \\ \Leftrightarrow \sin 3x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=x+\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x=\pi -\left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array}$

Suy ra có 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là $x=\dfrac{\pi }{6},x=\dfrac{2\pi }{3},x=\dfrac{7\pi }{6},x=\dfrac{5\pi }{3}$

Câu 5: Phương trình $\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

A $1$
B $2$
C $4$
D $3$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1}\\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{360}^0}k}\\ { - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} + {{45}^0} + {{360}^0}k} \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1}\\ {x = - \frac{{{{165}^0}}}{2} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{165}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1} \end{array}} \right.} \end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

Câu 6: Phương trình ${{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{3}}2x$ có bao nhiêu điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác?

math widget

A
4.
B
6.
C
8.
D
3.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} {{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x \right)=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x \right]=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( 1-\dfrac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x \right)-\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ 2{{\cos }^{2}}2x-13\cos 2x+6=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ \cos 2x=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2} \\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right. \left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array}$

+ Ứng với họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}$ cho 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
+ Ứng với $x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi$ cũng cho 4 điểm biểu diễn
Vậy có 8 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Câu 7: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ ?

A
$2$ .
B
$0$ .
C
$3$ .
D
$1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có
$\begin{align} & PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\left( 1+\cos 2x \right)=3+\cos 2x \\ & \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\left( \sqrt{2}-1 \right)\cos 2x=3-\sqrt{2} \\ & a=\sqrt{2}\,\,;\,b=\sqrt{2}-1;\,c=3-\sqrt{2} \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=5-2\sqrt{2} \\ & {{c}^{2}}={{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{2}}=11-6\sqrt{2} \\ \end{align}$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$ , vô nghiệm.

Câu 8: Nghiệm của phương trình $2{{\tan }^{2}}x+\dfrac{3}{\cos x}=-3$ là.

A $x=k3\pi ;k\in Z$
B $x=\left( 2k+1 \right)\pi ;k\in Z$
C $x=k\dfrac{\pi }{3};k\in Z$
D $x=k\pi ;k\in Z$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện.

$\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Ta có.

$1+{{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow {{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1$
Phương trình

$\Leftrightarrow 2\left( \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)+\dfrac{3}{\cos x}=-3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2. \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}+3. \dfrac{1}{\cos x}+1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{\cos x}=-1 \\ \dfrac{1}{\cos x}=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1 \\ \cos x=-2\left( l \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array}$

Câu 9: Nghiệm phương trình $2{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0$ là

A
. $\left[ \begin{gathered} x = -\frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$
B
$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$
C
$\left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$
D
$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ không là nghiệm của phươn g trình nên chia cả 2 vế cho ${\cos ^2}x$ ta được

$2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 1 \hfill \\ \tan x = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 10: Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình $2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0$ là.

A $\dfrac{\pi }{6}$
B $\dfrac{4}{3}\pi$
C $\dfrac{5}{6}\pi$
D $\pi$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} 2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \operatorname{sinx}=\dfrac{1}{2} \\ \sin x=-4\left( VN \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array}$
Vậy tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là

$\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{5\pi }{6}=\pi$

Câu 11: Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$ có các nghiệm dạng $x=\alpha +k2\pi$ và $x=\beta +k2\pi$ với $-\pi <\alpha ;\beta <\pi$ thì $\alpha \beta =?$

A $-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{6}$
B $-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{12}$
C $-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}$
D $\dfrac{{{\pi }^{2}}}{12}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} \sin x+\sqrt{3}\cos x=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha . \beta =\dfrac{-\pi }{6}. \dfrac{\pi }{2}=\dfrac{-{{\pi }^{2}}}{12}, \end{array}$

Câu 12: Với giá trị nào của m thì phương trình $m\sin 2x+m\cos{2x}+2m =2\sin^2{x}-2$ có nghiệm

A
$-1\le m\le 0$
B
$0 < m < 3$
C
$\left[ \begin{matrix} m > 3 \\ m < 0. \\ \end{matrix} \right.$
D
$\left[ \begin{matrix} m\ge 3 \\ m\le 0 \\ \end{matrix} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Biến đổi PT để được $m\sin 2x+(m+1)\cos{2x} + 2m+1 = 0$

Phương trình $a\sin{x} + b\cos{x} =c$ có nghiệm khi và chỉ khi ${ a ^ 2 }+{ b ^ 2 }\ge { c ^ 2 }$

Áp dụng ta có:

$m^2 + \left( m+1 \right)^ 2 \ge \left( 2m+1 \right)^ 2$

$\Leftrightarrow 2m^2 + 2m+1\ge 4m^2+4m+1$

$\Leftrightarrow -2{ m ^ 2 }-2m\ge 0$

Từ đó ta được $-1\le m\le 0$

Câu 13: Phương trình $\sin x-3\cos x=0$ có nghiệm dạng $x=arc\cot m+k\pi ;k\in Z$ thì giá trị của $m$ là

A
5.
B
$3$ .
C
$\dfrac{1}{3}$ .
D
$-3$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{*{20}{l}} \sin x - 3\cos x = 0 \\ \Leftrightarrow 3\cos x = \sin x \\ \Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x = arc\cot \frac{1}{3} + k\pi ;k \in \mathbb{Z} \\ \end{array}$
Vậy $m=\dfrac{1}{3}.$

Câu 14: Nghiệm phương trình $\cos 7x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 7x)$ là

A
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{align} \right.$
B $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{4} \\ & x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.$
C $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{3} \\ \end{align} \right.$
D
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{align} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình $\Leftrightarrow$ $\cos 7x+\sqrt{3}\sin 7x=\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 7x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x+\dfrac{1}{2}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\cos 7x+\sin \dfrac{\pi }{3}\sin 7x=\cos \dfrac{\pi }{6}\cos 5x+\sin \dfrac{\pi }{6}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos (7x-\dfrac{\pi }{3})=\cos (5x-\dfrac{\pi }{6})$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\dfrac{\pi }{3}=5x-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 7x-\dfrac{\pi }{3}= -(5x-\dfrac{\pi }{6})+k2\pi \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 12x = \dfrac{{\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{24} + \dfrac{{k\pi }}{6} \end{array} \right.k \in Z$

Câu 15: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$

A
$0$
B
$1$
C
$3$
D
$2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 16: Số họ nghiệm của phương trình $\dfrac{3}{\operatorname{s}{inx}}=5+{{\cot }^{2}}x$ là

A $3$
B $1$
C $0$
D $2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{align} & DK:\sin x\ne 0 \\ & \Rightarrow PT\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sin x}=5+\dfrac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sin x}=5+\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \\ & \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0 \\ \end{align}$
Vậy PT vô nghiệm

Câu 17: Nghiệm phương trình $\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x$ là

A $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
B $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
C $\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
D $\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow \sin 2x - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Câu 18: Phương trình: $\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm

A
$3$ .
B
$2$ .
C
$1$ .
D
$0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Chia cả hai vế phương trình (1) cho

$\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}$ ta được

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin 2x-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos 2x=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
Đặt

$\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\sin \alpha ,\,\,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos \alpha$ . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng

$\begin{array}{l} \cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin (2x - \alpha ) = \sin x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \alpha = \alpha + k2\pi \\ 2x - \alpha = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z \end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Câu 19: Nghiệm phương trình $\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x$ là

A $\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
B $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
C $\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$
D $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 20: Phương trình $\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

A
$2$ .
B
$3$ .
C
$4$ .
D
$1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{180}^0}k} \\ { - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} - {{45}^0} + {{180}^0}k} \end{array}} \right.} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1,k = 2} \\ {x = - \frac{{{{75}^0}}}{2} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{75}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 2,k = 3} \end{array}} \right.} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = {\frac{{465}}{2}^0};x = {\frac{{285}}{2}^0} \hfill \\ \end{gathered}$

là 2 nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$ .

Câu 21: Phương trình: $\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm

A
1.
B $3$
C $0$
D $2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Chia cả hai vế phương trình (1) cho

$\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}$ ta được

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin 2x-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos 2x=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
Đặt

$\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\sin \alpha ,\,\,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos \alpha$ . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Câu 22: Nghiệm phương trình: $2\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x.\cos x=3+\sqrt{3}$

A
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\,$
B
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{8}+k2\pi \\ \end{align} \right.\,$
C
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} \right.\,$
D
$\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.\,$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình (1) $\Leftrightarrow \sqrt{3}(1+\cos 2x)+3\sin 2x=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \cos (2x-\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.k \in Z$

Câu 23: Cho các phương trình sau.
(1) $2\sin x-\sqrt{5}=0$
(2) ${{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0$
(3) ${{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4}$
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm ?

A
Chỉ phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm.
B
Chỉ phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm.
C
Cả 3 phương trình vô nghiệm.
D
Chỉ phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

(1) $2\sin x-\sqrt{5}=0$ ⇔ $sinx= \frac{\sqrt{5}}{2} > 1$ ⇒ Phương trình vô nghiệm
(2) ${{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0$ ⇒ Phương trình vô nghiệm
(3) ${{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4}$ ⇒ Phương trình vô nghiệm

Câu 24: Số nghiệm phương trình trong khoảng $0;2\pi$ là

A
$1.$
B
$2.$
C
$4.$
D
$3.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

ĐK: $\sin x \ne 0,\cos x \ne {0}$ .

Ta có $\dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cot x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi$ .
Khi đó phương trình chỉ có 2 nghiệm

$\in \left( 0;2\pi \right),x=\dfrac{\pi }{4},x=\dfrac{7\pi }{4} .$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Lý thuyết về Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm m m để phương trình m=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4 m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4} có nghiệm .

Câu 2: Phương trình tanx+2cotx−3=0 \tan x+2\cot x-3=0 có các nghiệm dạng x=π4+kπ x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi và x=arctanm+kπ;k∈Z x=\arctan m+k\pi ;k\in Z thì.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình cos3x−sin3x=1c{os}3x-\sin 3x=1 trong khoảng (0;π)\left( 0;\pi \right) là

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2sin3x−√3cosx=sinx 2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x là

Câu 5: Phương trình cos(2x−150)−sin(2x−150)=−1\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (900;2700)\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)

Câu 6: Phương trình cos6x−sin6x=138cos32x {{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{3}}2x có bao nhiêu điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác? math widget

Câu 7: Phương trình 2√2(sinx+cosx)cosx=3+cos2x2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)\left( 0;\pi \right) ?

Câu 8: Nghiệm của phương trình 2tan2x+3cosx=−3 2{{\tan }^{2}}x+\dfrac{3}{\cos x}=-3 là.

Câu 9: Nghiệm phương trình 2sin2x+sinx.cosx−3cos2x=02{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 là

Câu 10: Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình 2sin2x+7sinx−4=0 2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0 là.

Câu 11: Phương trình sinx+√3cosx=1 \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 có các nghiệm dạng x=α+k2π x=\alpha +k2\pi và x=β+k2π x=\beta +k2\pi với −π<α;β<π -\pi <\alpha ;\beta <\pi thì αβ=? \alpha \beta =?

Câu 12: Với giá trị nào của m thì phương trình msin2x+mcos2x+2m=2sin2x−2 m\sin 2x+m\cos{2x}+2m =2\sin^2{x}-2 có nghiệm

Câu 13: Phương trình sinx−3cosx=0 \sin x-3\cos x=0 có nghiệm dạng x=arccotm+kπ;k∈Z x=arc\cot m+k\pi ;k\in Z thì giá trị của m m là

Câu 14: Nghiệm phương trình cos7x−sin5x=√3(cos5x−sin7x)\cos 7x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 7x) là

Câu 15: Phương trình 2√2(sinx+cosx)cosx=3+cos2x2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)\left( 0;\pi \right)

Câu 16: Số họ nghiệm của phương trình 3sinx=5+cot2x\dfrac{3}{\operatorname{s}{inx}}=5+{{\cot }^{2}}x là

Câu 17: Nghiệm phương trình sin2x−2sin2x=2cos2x\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x là

Câu 18: Phương trình:sin2x−3cos2x=3\sin 2x-3\cos 2x=3 có bao nhiêu họ nghiệm

Câu 19: Nghiệm phương trình sin2x−2sin2x=2cos2x\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x là

Câu 20: Phương trình cos(2x−150)−sin(2x−150)=−1\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (900;2700)\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)

Câu 21: Phương trình:sin2x−3cos2x=3\sin 2x-3\cos 2x=3 có bao nhiêu họ nghiệm

Câu 22: Nghiệm phương trình: 2√3cos2x+6sinx.cosx=3+√32\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x.\cos x=3+\sqrt{3}

Câu 23: Cho các phương trình sau. (1) 2sinx−√5=0 2\sin x-\sqrt{5}=0 (2) sin32x+5cos2x−7=0 {{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0 (3) sin83x+cos83x=54 {{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4} Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm ?

Câu 24: Số nghiệm phương trình tanx−sinxsin3x=1cosx\dfrac{\tan x-\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\dfrac{1}{\cos x} trong khoảng 0;2π0;2\pi là

Câu 1: Tìm $m$ để phương trình $m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$ có nghiệm .

Câu 2: Phương trình $\tan x+2\cot x-3=0$ có các nghiệm dạng $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi$ và $x=\arctan m+k\pi ;k\in Z$ thì.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình $c{os}3x-\sin 3x=1$ trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình $2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x$ là

Câu 5: Phương trình $\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

Câu 6: Phương trình ${{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{3}}2x$ có bao nhiêu điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác?

math widget

Câu 7: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ ?

Câu 8: Nghiệm của phương trình $2{{\tan }^{2}}x+\dfrac{3}{\cos x}=-3$ là.

Câu 9: Nghiệm phương trình $2{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0$ là

Câu 10: Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình $2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0$ là.

Câu 11: Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$ có các nghiệm dạng $x=\alpha +k2\pi$ và $x=\beta +k2\pi$ với $-\pi <\alpha ;\beta <\pi$ thì $\alpha \beta =?$

Câu 12: Với giá trị nào của m thì phương trình $m\sin 2x+m\cos{2x}+2m =2\sin^2{x}-2$ có nghiệm

Câu 13: Phương trình $\sin x-3\cos x=0$ có nghiệm dạng $x=arc\cot m+k\pi ;k\in Z$ thì giá trị của $m$ là

Câu 14: Nghiệm phương trình $\cos 7x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 7x)$ là

Câu 15: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$

Câu 16: Số họ nghiệm của phương trình $\dfrac{3}{\operatorname{s}{inx}}=5+{{\cot }^{2}}x$ là

Câu 17: Nghiệm phương trình $\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x$ là

Câu 18: Phương trình: $\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm

Câu 19: Nghiệm phương trình $\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x$ là

Câu 20: Phương trình $\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

Câu 21: Phương trình: $\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm

Câu 22: Nghiệm phương trình: $2\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x.\cos x=3+\sqrt{3}$

Câu 23: Cho các phương trình sau.
(1) $2\sin x-\sqrt{5}=0$
(2) ${{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0$
(3) ${{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4}$
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm ?

Câu 24: Số nghiệm phương trình trong khoảng $0;2\pi$ là