Tập hợp các số hữu tỉ

$ \dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}\Rightarrow xy=6\Rightarrow \left( x,\,y \right) $ là các ước số nguyên cùng dấu của 6.

$ \left( x;y \right)=\left\{ \left( 2;3 \right);\left( 3;2 \right);\left( 1;6 \right);\left( 6;1 \right);\left( -2;-3 \right);\left( -3;-2 \right);\left( -1;-6 \right);\left( -6;-1 \right) \right\} $ _.

Ta có $ -\dfrac{1}{4} < \dfrac{2}{7} < \dfrac{3}{4} $ _.

Ta có: $ \dfrac{-2}{3} $ và $ \dfrac{-3}{4} $ là số hữu tỉ âm, luôn nhỏ hơn 0; $ \dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3}. $

$ \dfrac{4}{9} $ và $ \dfrac{3}{7} $ là số hữu tỉ dương, luôn lớn hơn 0; $ \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}. $

Vậy $ \dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3} < 0 < \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}. $

Ta có: $ \dfrac{-3}{4} < \dfrac{a}{12} < \dfrac{-5}{9}\Rightarrow \dfrac{-27}{36} < \dfrac{3a}{36} < \dfrac{-20}{36}\Rightarrow -27 < 3a < -20. $

Vì $ a\in \mathbb{Z} $ nên $ 3a=-24\Rightarrow a=-8 $ hoặc $ 3a=-21\Rightarrow a=-7. $

Vậy $ a\in \left\{ -8;-7 \right\}. $

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 2x-1\in \left\{ -1;-3 \right\}\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;\,-1 \right\} $ _.

Ta thấy: $ -3 < 0 $ .

Để $ y $ là số dương thì $ 2a-1 < 0\Rightarrow 2a < 1\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}. $

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3 $ _.

Có vô số hữu tỉ không nằm giữa

Ta có $ -\dfrac{4}{9} < -\dfrac{3}{9}=-\dfrac{1}{3} $

Nên số hữu tỉ không nằm giữa $ -\dfrac{1}{3} $ và $ \dfrac{2}{3} $ là $ -\dfrac{4}{9} $ .

Vì $ 11 > 9 > 8 > 7 > 4 > 3 > 2 $ nên $ \dfrac{5}{2} > \dfrac{5}{3} > \dfrac{5}{4} > \dfrac{5}{7} > \dfrac{5}{8} > \dfrac{5}{9} > \dfrac{5}{11}. $

Vậy $ \dfrac{-5}{11} > \dfrac{-5}{9} > \dfrac{-5}{8} > \dfrac{-5}{7} > \dfrac{-5}{4} > \dfrac{-5}{3} > \dfrac{-5}{2}. $

Những phân số bằng số hữu tỉ $ \dfrac{2}{-5} $ là những phân số có giá trị bằng $ \dfrac{2}{-5} $ .

Các phân số đó là:

${\dfrac{6}{{ - 15}} = \dfrac{{6:3}}{{ - 15:3}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}$

\[{\dfrac{{ - 14}}{{35}} = \dfrac{{ - 14:\left( { - 7} \right)}}{{35:\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}\]

\[{\dfrac{4}{{ - 10}} = \dfrac{{4:2}}{{ - 10:2}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}\]

Để $ x $ không là số nguyên dương và cũng không là số nguyên âm thì $ x=0. $

Ta có: $ 2\ne 0 $ và nếu $ x=0 $ thì $ a-3=0\Rightarrow a=3. $

Yêu cầu bài toán

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \,5\vdots \,\left( x-1 \right)\Rightarrow x-1\in \left\{ 1;\,5;\,-1;\,-5 \right\} \\ \Rightarrow x\in \left\{ 2;\,\,6;\,\,0;-4 \right\}. \end{array} $

Gọi phân số $ \dfrac{a}{21} $ là phân số phải tìm.

Ta có: $ \dfrac{1}{3} < \dfrac{a}{21} < \dfrac{4}{7}\Rightarrow \dfrac{7}{21} < \dfrac{a}{21} < \dfrac{12}{21}\Rightarrow 7 < a < 12. $

Vậy phân số lớn hơn $ \dfrac{1}{3} $ và nhỏ hơn $ \dfrac{4}{7} $ trong các phân số đã cho là $ \dfrac{8}{21}. $

Để $ \dfrac{4}{2-x} $ là số hữu tỉ âm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-x < 0 \\ 2-x\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ x\in \mathbb{Z} \end{array} \right. $ _.

Ta thấy: $ \dfrac{2}{9} $ là số hữu tỉ nên $ \dfrac{2}{9}\notin \mathbb{Z}. $

Để $ \dfrac{2x-6}{3} $ là số hữu tỉ dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-6\in \mathbb{Z} \\ 2x-6 > 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\in \mathbb{Z} \\ x > 3 \end{array} \right. $ _.

Ta có $ \dfrac{1941}{1031} > \dfrac{2011}{2001}\Leftrightarrow -\dfrac{1941}{1031} < -\dfrac{2011}{2001} $ _.

Ta có $ \dfrac{3}{2} > \dfrac{2}{3} $ ; $ \dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} $ ; $ -\dfrac{3}{2} < -\dfrac{2}{3} $ ; $ -\dfrac{1}{7} < \dfrac{3}{4} $ .

Ta có $ -\dfrac{6}{7} < -\dfrac{4}{9} < -\dfrac{3}{10} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5} $ _.

Phân số lớn nhất là phân số có tử lớn nhất và mẫu nhỏ nhất.

Vậy phân số lớn nhất là $ \dfrac{c+d}{a+b}. $

Ta có: $ \dfrac{-2}{3} < 0;\,\,\,\dfrac{-1}{7}=\dfrac{5}{-35}. $