Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $ MA=MB. $

N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $ NA=NB. $

$ \Rightarrow \Delta AMN=\Delta BMN\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{MBN};\,\,\widehat{MNB}=\widehat{MNA}. $

Vậy khằng định sai cần chọn là: " $ \,\widehat{MNB}=\widehat{MAN} $ ".

$ \Delta ABD=\Delta AED\left( c.g.c \right)\Rightarrow DB=DE $ ; $ \widehat{ADB}=\widehat{ADE} $ ; $ \widehat{ABD}=\widehat{AED} $

Ta có: $ DB=DE $ $ \Rightarrow $ Điểm D nằm trên đường trung trực của BE. (1)

Theo giả thiết: $ AB=AE $ $ \Rightarrow $ Điểm A nằm trên đường trung trực của BE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BE.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ \widehat{B}=\widehat{ADE} $ ".

I thuộc trung trực của BC $ \Rightarrow IB=IC\Rightarrow \widehat{C}={{\widehat{B}}_{1}}. $

Ta lại có: $ \widehat{ABI}=\widehat{ABC}-{{\widehat{B}}_{1}}=\widehat{ABC}-\widehat{C}={{40}^{0}}. $

M thuộc đường trung trực của AB nên $ MA=MB. $

Theo giả thiết: $ AC=BD $ nên $ MA-AC=MB-BD $ hay $ MC=MD. $

Suy ra M thuộc đường trung trực của CD.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: "M không thuộc đường trung trực của AD".

Ta có: IM là đường trung trực của AC $ \Rightarrow IA=IC. $

Chu vi $ \Delta IBC $ bằng: $ BC+BI+IC=BC+BI+IA $ $ =BC+BA=4+6=10\,(cm) $ .

Để $ \Delta PMN $ cân tại P thì PM = PN

Vậy điểm $ P $ luôn cách đều hai đầu mút đoạn thẳng MN nên P thuộc trung trực của đoạn thẳng $ MN $ .

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) $ \Rightarrow \,\,MH=8cm $

Ta có: MH là đường trung trực của AB

$ \Rightarrow $ H là trung điểm của AB

$ \Rightarrow \,\,HA=HB=\dfrac{1}{2}AB=6cm. $

Xét tam giác AMH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ AM=\sqrt{M{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10\,(cm) $ .

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $ MA=MB=10cm. $

Chu vi tam giác MAB là: $ MA+MB+AB=10+10+12=32\,(cm). $

Do $ D $ thuộc đường trung trực của $ BC\Rightarrow DC=BD=11cm $

Mà $ DC=DA+AC\Rightarrow DA=DC-AC=11-5=6 $ cm.

Theo tính chất đường trung trực: $ EB=EC,KB=KC. $

Ta có: $ AK+KB=AK+KC > AC=AE+EC=AE+EB. $

$ \Rightarrow AB+AK+KB > AB+AE+EB. $

Vậy chu vi $ \Delta AKB $ lớn hơn chu vi $ \Delta AEB. $

Ta có: $ AM+MB=AB $ (M thuộc AB).

Mà $ AM+AN=AB $ (theo giả thiết)

$ \Rightarrow \,\,MB=AN $ .

Xét $ \Delta AON $ và $ \Delta BOM $ có:

$ OA=OB $ (Vì O nằm trên đường trung trực của AB);

$ AN=MB $ (theo chứng minh trên);

$ \widehat{MBO}={{\widehat{A}}_{2}} $ (Vì cùng bằng $ {{\widehat{A}}_{1}} $ )

$ \Rightarrow \,\Delta AON=\Delta BOM\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,OM=ON $

$ \Rightarrow $ O nằm trên đường trung trực của MN.

Vậy khẳng định đúng cần chọn là: "O nằm trên đường trung trực của MN".

Gọi E là giao của đường trung trực của BC với BC.

$ \Rightarrow $ E là trung điểm của BC.

Vì các góc B và C nhọn nên H nằm trên cạnh BC.

Ta có: độ dài đường xiên AB lớn hơn độ dài đường xiên AC.

$ \Rightarrow $ Độ dài hình chiếu HB lớn hơn độ dài hình chiếu HC.

Vì điểm D nằm trên đường trung trực của BC nên $ DB=DC $ .

Tam giác ACD vuông tại A nên $ AD < CD\,\,\Rightarrow \,\,AD < BD $ .

Vậy khẳng định đúng cần chọn là: " $ DC=DB $ ".

Ta có $ \Delta IAB $ có $ IA=IB $ nên tam giác $ \Delta IAB $ cân tại I.

Lại có $ M $ là trung điểm của $ AB $ nên IM là đường trung tuyến hạ từ đỉnh I

Nên IM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác và là đường trung trực của $ \Delta IAB $

$ \Rightarrow MI\bot AB $ .

$ AB=AC\Rightarrow $ A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

$ DB=DC\Rightarrow $ D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

$ EB=EC\Rightarrow $ E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Khi đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: "E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB".