Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $MA=MB.$

N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $NA=NB.$

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta BMN\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{MBN};\,\,\widehat{MNB}=\widehat{MNA}.$

Vậy khằng định sai cần chọn là: " $\,\widehat{MNB}=\widehat{MAN}$ ".

$\Delta ABD=\Delta AED\left( c.g.c \right)\Rightarrow DB=DE$ ; $\widehat{ADB}=\widehat{ADE}$ ; $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$

Ta có: $DB=DE$ $\Rightarrow$ Điểm D nằm trên đường trung trực của BE. (1)

Theo giả thiết: $AB=AE$ $\Rightarrow$ Điểm A nằm trên đường trung trực của BE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BE.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $\widehat{B}=\widehat{ADE}$ ".

I thuộc trung trực của BC $\Rightarrow IB=IC\Rightarrow \widehat{C}={{\widehat{B}}_{1}}.$

Ta lại có: $\widehat{ABI}=\widehat{ABC}-{{\widehat{B}}_{1}}=\widehat{ABC}-\widehat{C}={{40}^{0}}.$

M thuộc đường trung trực của AB nên $MA=MB.$

Theo giả thiết: $AC=BD$ nên $MA-AC=MB-BD$ hay $MC=MD.$

Suy ra M thuộc đường trung trực của CD.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: "M không thuộc đường trung trực của AD".

Ta có: IM là đường trung trực của AC $\Rightarrow IA=IC.$

Chu vi $\Delta IBC$ bằng: $BC+BI+IC=BC+BI+IA$ $=BC+BA=4+6=10\,(cm)$ .

Để $\Delta PMN$ cân tại P thì PM = PN

Vậy điểm $P$ luôn cách đều hai đầu mút đoạn thẳng MN nên P thuộc trung trực của đoạn thẳng $MN$ .

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) $\Rightarrow \,\,MH=8cm$

Ta có: MH là đường trung trực của AB

$\Rightarrow$ H là trung điểm của AB

$\Rightarrow \,\,HA=HB=\dfrac{1}{2}AB=6cm.$

Xét tam giác AMH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

$AM=\sqrt{M{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10\,(cm)$ .

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên $MA=MB=10cm.$

Chu vi tam giác MAB là: $MA+MB+AB=10+10+12=32\,(cm).$

Do $D$ thuộc đường trung trực của $BC\Rightarrow DC=BD=11cm$

Mà $DC=DA+AC\Rightarrow DA=DC-AC=11-5=6$ cm.

Theo tính chất đường trung trực: $EB=EC,KB=KC.$

Ta có: $AK+KB=AK+KC > AC=AE+EC=AE+EB.$

$\Rightarrow AB+AK+KB > AB+AE+EB.$

Vậy chu vi $\Delta AKB$ lớn hơn chu vi $\Delta AEB.$

Ta có: $AM+MB=AB$ (M thuộc AB).

Mà $AM+AN=AB$ (theo giả thiết)

$\Rightarrow \,\,MB=AN$ .

Xét $\Delta AON$ và $\Delta BOM$ có:

$OA=OB$ (Vì O nằm trên đường trung trực của AB);

$AN=MB$ (theo chứng minh trên);

$\widehat{MBO}={{\widehat{A}}_{2}}$ (Vì cùng bằng ${{\widehat{A}}_{1}}$ )

$\Rightarrow \,\Delta AON=\Delta BOM\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,OM=ON$

$\Rightarrow$ O nằm trên đường trung trực của MN.

Vậy khẳng định đúng cần chọn là: "O nằm trên đường trung trực của MN".

Gọi E là giao của đường trung trực của BC với BC.

$\Rightarrow$ E là trung điểm của BC.

Vì các góc B và C nhọn nên H nằm trên cạnh BC.

Ta có: độ dài đường xiên AB lớn hơn độ dài đường xiên AC.

$\Rightarrow$ Độ dài hình chiếu HB lớn hơn độ dài hình chiếu HC.

Vì điểm D nằm trên đường trung trực của BC nên $DB=DC$ .

Tam giác ACD vuông tại A nên $AD < CD\,\,\Rightarrow \,\,AD < BD$ .

Vậy khẳng định đúng cần chọn là: " $DC=DB$ ".

Ta có $\Delta IAB$ có $IA=IB$ nên tam giác $\Delta IAB$ cân tại I.

Lại có $M$ là trung điểm của $AB$ nên IM là đường trung tuyến hạ từ đỉnh I

Nên IM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác và là đường trung trực của $\Delta IAB$

$\Rightarrow MI\bot AB$ .

$AB=AC\Rightarrow$ A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

$DB=DC\Rightarrow$ D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

$EB=EC\Rightarrow$ E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Khi đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: "E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB".