Lý thuyết chung về axit

Lý thuyết chung về axit

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Lý thuyết chung về axit

Lý thuyết về Lý thuyết chung về axit

 Axit cacboxylic

I. ĐỊNH NGHĨA, PHÂN LOẠI, DANH PHÁP

1. Định nghĩa

       Axit cacboxylic là hợp chất hữu cơ mà phân tử có nhóm cacboxyl (-COOH) liên kết trực tiếp với nguyên tử cacbon hoặc nguyên tử hiđro.

2. Phân loại

      · Nếu nhóm cacboxyl liên kết trực tiếp với nguyên tử hiđro hoặc gốc ankyl thì tạo thành dãy axit no, mạch hở, đơn chức, công thức chung là \[{{C}_{n}}{{H}_{2n+1}}COOH\] , gọi là dãy đồng đẳng của axit fomic (\[HCOOH\] ).

      · Nếu gốc hiđrocacbon trong phân tử axit có chứa liên kết đôi, liên kết ba thì gọi là axit không no, ví dụ \[C{{H}_{2}}=CH-COOH,CH{}^\text{o}C-COOH\] ,...

      · Nếu gốc hiđrocacbon là vòng thơm thì gọi là axit thơm, ví dụ \[{{C}_{6}}{{H}_{5}}-COOH\] (axit benzoic),...

      · Nếu trong phân tử có nhiều nhóm cacboxyl (-COOH) thì gọi là axit đa chức, ví dụ : \[HOOC-COOH\]  (axit oxalic), \[HOOCC{{H}_{2}}COOH\]  (axit malonic),...

3. Danh pháp

      · Theo IUPAC, tên của axit cacboxylic mạch hở chứa không quá 2 nhóm cacboxyl được cấu tạo bằng cách đặt từ axit trước tên của hiđrocacbon tương ứng. Theo mạch chính (mạch chính bắt đầu từ nguyên tử C của nhóm –COOH) rồi thêm vào đó đuôi oic.

Tên một số axit thường gặp

Công thức

Tên thông thường

Tên thay thế

\[H-COOH\]

Axit fomic

Axit metanoic

\[C{{H}_{3}}-COOH\]

Axit axetic

Axit ethanoic

\[C{{H}_{3}}C{{H}_{2}}-COOH\]

Axit propionic

Axit propanoic

${(C{H_3})_2}CH - COOH$

Axit isobutiric

Axit 2-metylpropanoic

\[C{{H}_{3}}{{\left( C{{H}_{2}} \right)}_{3}}-COOH\]

Axit valeric

Axit pentanoic

$C{H_2} = CH - COOH$

Axit acrylic

Axit propenoic

\[C{{H}_{2}}=C\left( C{{H}_{3}} \right)-COOH\]

Axit metacrylic

Axit 2-metylpropenoic

\[HOOC-COOH\]

Axit oxalic

Axit etanđioic

\[{{C}_{6}}{{H}_{5}}-COOH\]

Axit benzoic

Axit benzoic

II. TÍNH CHẤT VẬT LÍ

      Ở điều kiện thường, tất cả các axit cacboxylic đều là những chất lỏng hoặc rắn. Điểm sôi của các axit cacboxylic cao hơn của anđehit, xeton và cả ancol có cùng số nguyên tử cacbon. Do  nhóm cacboxyl  tạo thành liên kết hiđro liên phân tử ở axit cacboxylic.

      Axit cacboxylic cũng tạo liên kết hiđro với nước và nhiều chất khác. Các axit fomic, axetic, propionic tan vô hạn trong nước. Khi số nguyên tử C tăng lên thì độ tan trong nước giảm.

III.TÍNH CHẤT HOÁ HỌC

1. Tính axit

      Axit cacboxylic là những axit yếu. Tuy vậy, chúng có đầy đủ tính chất của một axit nh­ư : làm hồng quỳ tím, tác dụng với kim loại giải phóng hiđro, phản ứng với bazơ, đẩy được axit yếu hơn ra khỏi muối.       

            $RCOOH+NaOH\to RCOONa+{{H}_{2}}O$

            $2RCOOH+N{{a}_{2}}C{{O}_{3}}\to 2RCOONa+{{H}_{2}}O+C{{O}_{2}}$

            $2RCOOH+Zn\to {{(RCOO)}_{2}}Zn+{{H}_{2}}$

            $2RCOOH+CuO\to {{(RCOO)}_{2}}Cu+{{H}_{2}}O$

2. Phản ứng thế nhóm OH

      · Phản ứng của axit axetic với etanol xúc tác axit là phản ứng thuận nghịch

$C{{H}_{3}}-COOH$  +  \[{{C}_{2}}{{H}_{5}}-O-H\] $\overset {{H^ + },{t^o}} \leftrightarrows $$C{{H}_{3}}COO{{C}_{2}}{{H}_{5}}$ + $ {{H}_{2}}O$

                                                                  etyl axetat

      Một cách tổng quát, phản ứng giữa axit cacboxylic và ancol được viết như sau :

                         

      Kết luận : Phản ứng exte hóa là phản ứng thuận nghich : Chiều thuận là phản ứng este hoá, chiều nghịch là phản ứng thuỷ phân este.

IV. ĐIỀU CHẾ

1. Lên men giấm là phương pháp cổ nhất, ngày nay chỉ còn dùng để sản xuất giấm ăn :

\[C{{H}_{3}}C{{H}_{2}}OH+{{O}_{2}}\] $\xrightarrow[25-{{30}^{o}}C]{\text{Men gi }\!\!\hat{\mathrm{E}}\!\!\text{ m}}$\[C{{H}_{3}}COOH+{{H}_{2}}\]

2. Oxi hoá anđehit axetic trư­ớc đây là phương pháp chủ yếu sản xuất axit axetic :

\[C{{H}_{3}}CH=\ O\ \ +\ \ \frac{1}{2}{{O}_{2}}\]$\xrightarrow[{}]{xt,\ {{t}^{o}}}\ \ \ C{{H}_{3}}COOH\ \ $ 

3. Đi từ metanol và cacbon oxit, nhờ xúc tác thích hợp là phư­ơng pháp hiện đại sản xuất axit axetic :

\[C{{H}_{3}}OH+CO\] $\xrightarrow{xt,\,\,\,\,{{t}^{o}}}$ \[C{{H}_{3}}COOH\]

4. Oxi hóa ankan

- Oxi hóa butan thu được axit axetic:

\[2C{{H}_{3}}C{{H}_{2}}C{{H}_{2}}C{{H}_{3}}+5{{O}_{2}}\xrightarrow[{{180}^{o}}C,50atm]{xt}4C{{H}_{3}}COOH+2{{H}_{2}}O\]  

- Oxi hóa không hoàn toàn các ankan có mạch C dài để thu được các axit có phân tử khối lớn:

            $2R-C{{H}_{2}}-C{{H}_{2}}-{{R}^{1}}+5{{O}_{2}}\xrightarrow{{{t}^{o}},xt}2R-COOH+2{{R}^{1}}-COOH+2{{H}_{2}}O$

           

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Để điều chế axit trực tiếp từ anđehit ta có thể dùng chất oxi hóa nào sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dùng dung dịch $ AgN{ O _ 3 }/N{ H _ 3 } $ hoặc $ Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }/O{ H ^ - },{ t ^ o }. $ đều thu được muối của axit chứ không thu được axit

Câu 2: Hợp chất $ C{ H _ 3 }C{ H _ 2 }\left( C{ H _ 3 } \right)C{ H _ 2 }C{ H _ 2 }CH\left( { C _ 2 }{ H _ 5 } \right)COOH $ có tên quốc tế là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \overset 6 {\mathop C }\,{ H _ 3 }\overset 5 {\mathop C }\,{ H _ 2 }\left( C{ H _ 3 } \right)\overset 4 {\mathop C }\,{ H _ 2 }\overset 3 {\mathop C }\,{ H _ 2 }\overset 2 {\mathop C }\,H\left( { C _ 2 }{ H _ 5 } \right)\overset 1 {\mathop C }\,OOH $ : axit 2 – etyl – 5 - metylhexanoic

Câu 3: Axit nào dưới đây là axit không no, đơn chức, mạch hở ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Asxit không no, đơn chức, mạch hở là $ { C _ 4 }{ H _ 6 }{ O _ 2 } $

Câu 4: Hợp chất X có công thức phân tử $ { C _ 4 }{ H _ 6 }{ O _ 2 } $ . X tác dụng được với dung dịch bazơ và với

natri. X thuộc loại hợp chất nào sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

X tác dụng được với bazơ và Na nên X có nhóm COOH, X có CTPT là $ { C _ 4 }{ H _ 6 }{ O _ 2 } $ nên X là axit đơn chức.

Câu 5: Độ dài liên kết đơn C  O trong axit cacboxylic $ \left( RCOOH \right) $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit có dạng $ R-\underset O {\mathop{\underset{|\,|}{\mathop C }\,}}\,-O-H $ , ancol có dạng $ R-C{ H _ 2 }-O-H $

Axit có nhóm C=O hút e còn ancol thì không nên làm độ dài liên kết đơn C – O của axit ngắn hơn so với ancol

Câu 6: Phản ứng nào sau đây không thể hiện tính axit của axit axetic ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phản ứng không thể hiện tính axit của axit axetic là $ 2C{ H _ 3 }\text{COOH}\xrightarrow{{ P _ 2 }{ O _ 5 }}{{(C{ H _ 3 }CO)}_ 2 }O+{ H _ 2 }O $

Câu 7: Axit butanoic là sản phẩm của phản ứng oxi hoá không hoàn toàn

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ { C _ 3 }{ H _ 7 }CHO\,+\, \!\![\!\! O]\to { C _ 3 }{ H _ 7 }\text{COOH}\,\text{(butanoic)} $

Câu 8: Dung dịch axit acrylic $ \left( C{ H _ 2 }=CH-COOH \right) $ không phản ứng được với chất nào sau đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \left( C{ H _ 2 }=CH-COOH \right) $ không phản ứng với $ Mg{{\left( N{ O _ 3 } \right)}_ 2 } $

Câu 9: Công thức chung của axit cacboxylic không no, một liên kết đôi, đơn chức là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Công thức chung của axit cacboxylic không no, một liên kết đôi, đơn chức là $ { C _ n }{ H _{2n2}}{ O _ 2 }\,(n\ge 2) $

Câu 10: Phát biểu nào sau đây không đúng khi nói về axit cacboxylic ?

Khi tăng mạch cacbon thì

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phát biếu không đúng là : "Khi tăng mạch C thì tính axit tăng" do tính axit tăng hay giảm phụ thuộc vào nhóm hiđrocacbon đính với gốc COOH có khả năng hút e hay đẩy e. Với axit no, tăng mạch C làm tăng khả năng đẩy e của gốc HC thì làm tính axit giảm

Câu 11: Trong công nghiệp, phương pháp hiện đại nhất được dùng để điều chế axit axetic là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

phương pháp hiện đại nhất được dùng để điều chế axit axetic là đi từ metanol

$ C{ H _ 3 }OH + CO \to C{ H _ 3 }COOH~ $

Câu 12: Đốt cháy hoàn toàn hỗn hợp X gồm 2 axit cacboxylic được mol $ C{ O _ 2 } $ = mol $ { H _ 2 }O $ . X gồm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ { n _{C{ O _ 2 }}}={ n _{{ H _ 2 }O}} $ $ \to $ 2 axit đều có 1 liên kết pi trong phân tử nên X gồm 2 axit no, đơn chức, mạch hở

Câu 13: Công thức phân tử của axit fomic là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit fomic $ HCOOH\to C{{H}_{2}}{{O}_{2}} $

Câu 14: Tráng gương hoàn toàn hợp chất hữu cơ X bằng $ AgN{ O _ 3 }/N{ H _ 3 } $ thu được hỗn hợp sản phẩm chỉ gồm các chất vô cơ. X có cấu tạo

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

X có thể là : $ HCHO, $ $ HCOON{ H _ 4 } $ , $ HCOOH. $

$ HCHO+4AgN{ O _ 3 }+6N{ H _ 3 }+2{ H _ 2 }O\to {{(N{ H _ 4 })}_ 2 }C{ O _ 3 }+4N{ H _ 4 }N{ O _ 3 }+4Ag $

$ HC\text{OOH}+2AgN{ O _ 3 }+4N{ H _ 3 }+{ H _ 2 }O\to {{(N{ H _ 4 })}_ 2 }C{ O _ 3 }+2N{ H _ 4 }N{ O _ 3 }+2Ag $

$ HC\text{OON}{{ H }_ 4 }+2AgN{ O _ 3 }+3N{ H _ 3 }+{ H _ 2 }O\to {{(N{ H _ 4 })}_ 2 }C{ O _ 3 }+2N{ H _ 4 }N{ O _ 3 }+2Ag $

Câu 15: Chất nào sau đây là axit metacrylic ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ C{ H _ 2 }=C(C{ H _ 3 })COOH $ : axit metacrylic

Câu 16: Cho axit X có CTCT : $ C{ H _ 3 }-CH(C{ H _ 3 })-C{ H _ 2 }-C{ H _ 2 }-C\text{OOH} $ . Tên của X là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \overset 5 {\mathop C }\,{ H _ 3 }-\overset 4 {\mathop C }\,H(C{ H _ 3 })-\overset 3 {\mathop C }\,{ H _ 2 }-\overset 2 {\mathop C }\,{ H _ 2 }-\overset 1 {\mathop C }\,\text{OOH} $ : axit 4-metylpentanoic.

Cách gọi: Axit + số chỉ vị trí nhánh + tên nhánh + tên hiđrocacbon no tương ứng mạch chính + oic

Câu 17: Công thức nào dưới đây là công thức cấu tạo của axit 2,4-đimetylpentanoic?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

2,4-đimetylpentanoic: $ \overset 5 {\mathop C }\,{ H _ 3 }-\overset 4 {\mathop C }\,H(C{ H _ 3 })-\overset 3 {\mathop C }\,{ H _ 2 }-\overset 2 {\mathop C }\,H(C{ H _ 3 })-\overset 1 {\mathop C }\,\text{OOH} $

Cách gọi :Axit + số chỉ vị trí nhánh + tên nhánh + tên hiđrocacbon no tương ứng mạch chính + oic

Câu 18: Giấm ăn là dung dịch axit axetic có nồng độ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Giấm ăn là dung dịch axit $ C{ H _ 3 }\text{COOH} $ có nồng độ 2% →5%

Câu 19: Axit 2-metylpropanoic có công thức cấu tạo là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \overset 3 {\mathop C }\,{ H _ 3 }-\overset 2 {\mathop C }\,H(C{ H _ 3 })-\overset 1 {\mathop C }\,\text{OOH} $ : 2-metylpropanoic

Câu 20: Phương trình hóa học nào sau đây không đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình không đúng là :

$ {{\left( C{ H _ 3 }COO \right)}_ 2 }Ca +\text{ C}{{ O }_ 2 }+{ H _ 2 }O\to CaC{ O _ 3 }+~2C{ H _ 3 }COOH~ $ do $ C{ O _ 2 }\,+\,{ H _ 2 }O $ là axit yếu, yếu hơn axit $ C{ H _ 3 }COOH~ $ nên chỉ có phản ứng ngược lại.

Câu 21: Axit axetic tác dụng được với dung dịch nào ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit axetic tác dụng được với natri hiđroxit, amoni cacbonat và natri phenolat

$ C{ H _ 3 }\text{COOH}\, + \,\text{NaOH}\,\to C {{ H }_ 3 }\text{COONa}\, + \,{{ H }_ 2 }O $

$ {{(N{ H _ 4 })}_ 2 }C{ O _ 3 }+2C{ H _ 3 }\text{COOH}\to 2 C {{ H }_ 3 }\text{COON}{{ H }_ 4 }+{ H _ 2 }O+C{ O _ 2 } $

$ { C _ 6 }{ H _ 5 }ONa+C{ H _ 3 }\text{COOH}\to {{ C }_ 6 }{ H _ 5 }OH+\,C{ H _ 3 }\text{COONa} $ $ $

Câu 22: Phản ứng nào sau đây đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình đúng là : $ HCOOH + Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }\xrightarrow { }{{\left( HCOO \right)}_ 2 }Cu + { H _ 2 }O $

Câu 23: Cho các dung dịch sau đây : axit propionic, axit acrylic, phenol, nước, ancol etylic. Những chất nào làm quỳ đổi tím chuyển sang màu đỏ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit làm quỳ tím chuyển sang màu đỏ :axit propionic, axit acrylic

Câu 24: Chất tạo được kết tủa đỏ gạch khi đun nóng với $ Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }/O{ H ^ - } $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Các chất tạo kết tủa đỏ gạch với $ Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }/O{ H ^ - } $ khi trong phân tử có nhóm CHO

Đáp án là : $ HCHO, $ $ HOC{ H _ 2 }CHO, $ $ HCOOH $

Câu 25: Gọi tên hợp chất sau : $ C{ H _ 2 }=CH-\underset{{ C _ 2 }{ H _ 5 }}{\mathop{\underset | {\mathop{C}}\,}}\,=CH-C\text{OOH} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \overset 5 {\mathop C }\,{ H _ 2 }=\overset 4 {\mathop CH }\,-\underset{{ C _ 2 }{ H _ 5 }}{\mathop{\underset | {\mathop{\overset 3 {\mathop C }}}\,}}\,=\overset 2 {\mathop C }\,H-\overset 1 {\mathop C }\,\text{OOH} $

Câu 26: Axit X có công thức tổng quát là $ {{C}_{n}}{{H}_{2n2}}{{O}_{4}} $ thuộc loại axit nào sau đây:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

X thuộc loại no, hở, 2 chức

Câu 27: Ứng dụng nào sau đây không phải của axit axetic

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit axetic không dùng làm thuốc tẩy rửa

Câu 28: Trong các chất có công thức phân tử sau đây, chất nào có thể là axit?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Chất có thể là axit là $ { C _ 5 }{ H _{10}}{ O _ 2 } $ .

Câu 29: Cho hợp chất sau : $ HOOC{{(C{ H _ 2 })}_ 4 }COOH $ . Tên hợp chất theo danh pháp thông thường là :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ HOOC{{(C{ H _ 2 })}_ 4 }COOH $ : Axit ađipic.

Câu 30: Axit acrylic không có phản ứng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit acrylic : $ C{ H _ 2 }=CH-C\text{OOH} $ $ \to $ X không phản ứng với $ BaC{ l _ 2 }. $

Câu 31: Axit nào sau đây không phải là axit béo ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit béo là axit có số C chẵn, $ C\ge 16 $ . Nên axit không phải là axit béo là axit acrylic

$ C{ H _ 2 }=CH-COOH $

Câu 32: Axit fomic làm quỳ tím chuyển màu gì ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit làm quỳ đổi màu đỏ

Câu 33: Phản ứng nào sau đây không đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ { C _ 6 }{ H _ 5 }COONa + C{ O _ 2 }+ { H _ 2 }O\xrightarrow { }{ C _ 6 }{ H _ 5 }COOH + NaHC{ O _ 3 } $

Là phản ứng sai do axit $ { H _ 2 }C{ O _ 3 } $ yếu hơn axit $ { C _ 6 }{ H _ 5 }COOH $

Câu 34: Axit nào sau đây được dùng để điều chế xà phòng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Axit dùng để điều chế xà phòng là axit béo : axit panmitic $ ({ C _{15}}{ H _{31}}COOH) $

Câu 35: Có các phương trình hóa học sau :

$ HCOOH + A{ g _ 2 }O\to C{ O _ 2 }+ 2Ag + { H _ 2 }O \left( 1 \right) $

$ 2HCOOH + Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }\xrightarrow { }{{\left( HCOO \right)}_ 2 }Cu +\text{ 2}{ H _ 2 }O \left( 2 \right) $

$ HCOOH + 2Cu{{\left( OH \right)}_ 2 }\xrightarrow{O{ H ^ - },\,{ t ^ o }}C{ u _ 2 }O + 3{ H _ 2 }O + C{ O _ 2 }\left( 3 \right) $

$ HCOOH + CaC{ O _ 3 }\to {{\left( HCOO \right)}_ 2 }Ca + C{ O _ 2 }+ { H _ 2 }O \left( 4 \right) $

$ HCOOH + CH\equiv CH\to HCOOCH=C{ H _ 2 }\left( 5 \right) $

Phản ứng đúng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cả 5 phản ứng đều đúng

Câu 36: Axit không no, đơn chức, mạch hở có một liên kết đôi trong gốc hiđrocacbon có công thức là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Công thức phù hợp là $ { C _ n }{ H _{2n-1}}COOH\,\,(n\ge 2). $

Câu 37: Một axit cacboxylic có công thức tổng quát là $ { C _ n }{ H _{2n+22am}}{{\left( COOH \right)}_ m } $ . Các giá trị n, a, m lần lượt được xác định là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ { C _ n }{ H _{2n+22am}}{{\left( COOH \right)}_ m } $

m là số nhóm COOH $ \to m\ge 1 $

a là số liên kết $ \pi $ +v trong hiđrocabon nên $ a\ge 0 $

n $ \ge $ 0