Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+dy=f(x)=ax3+bx2+cx+d với a,b,c,da,b,c,d phụ thuộc tham số. Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng y=αx+βy=αx+β ( hoặc trục OxOx) tại 3 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:
ax3+bx2+cx+d=αx+β⇔ax3+bx2+(c−α)x+d−β=0(∗)ax3+bx2+cx+d=αx+β⇔ax3+bx2+(c−α)x+d−β=0(∗)
Giả sử (∗)(∗) có 1 nghiệm x=x0x=x0 khi đó ta có (x−x0)(Ax2+Bx+C)=0⇔[x=x0g(x)=Ax2+Bx+C=0
Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt ⇔g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác x0
⇔{Δg>0g(x0)=0
Phương trình hoành độ giao điểm:
1−xx+2=2x−1⇔{x≠−22x2+3x−2=1−x⇔x=−2±√102
⇒ Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm.
Ta thấy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x−2x+3 nên đường thẳng không cắt đồ thị hàm số.
Phương trình hoành độ giao điểm:
x3−4x+5=3−x⇔x3−3x+2=0⇔x=1;x=−2
Với x=1⇒y=2⇒A(1;2) , với x=−2⇒y=5⇒B(−2;5) . Ta có AB=3√2 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3+x2−3x+5=2x+2⇔x3+x2−5x+3=0⇔[x=1x=−3
⇒ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.
Đồ thị hàm số y=2x+11−x cắt trục Oy⇒x=0⇒y=1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3+2x2+x+3=2x+5⇔x3+2x2−x−2=0⇔[x=1x=−1x=−2
⇒ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 3 điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−4x2+3x+5=2x−1⇔x3−4x2+x+6=0⇔[x=−1⇒y=−3x=3⇒y=5x=2⇒y=3
⇒ Tích tung độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là −45 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−x2−6x+10=2x−2⇔x3−x2−8x+12=0⇔[x=−3x=2
⇒ Tích hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là −6
d:2x+y−3=0⇔y=−2x+3
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−6x2+10x−5=−2x+3⇔x3−6x2+12x−8=0⇔x=2⇒y=−1
⇒ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại điểm có tọa độ (2;−1)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−4x2+6x−1=x+1⇔x3−4x2+5x−2=0⇔[x=2⇒y=3x=1⇒y=2
⇒AB=√(2−1)2+(3−2)2=√2
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−x2−6x+10=2x−2⇔x3−x2−8x+12=0⇔[x=−3⇒y=−8x=2⇒y=2
⇒ Tọa độ trung điểm I của AB là (−12;−3)
Phương trình hoành độ giao điểm:
6xx+1=x+2⇔{x≠−1x2+3x+2=6x⇔[x=1⇒y=3x=2⇒y=4⇒I(32;72)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
8x3+12x2+6x−1=−2⇔8x3+12x2+6x+1=0⇔x=−12
⇒ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.
Phương trình trục tung là x=0 mà hàm đã cho xác định khi x≠0 nên số giao điểm là0
d:x−2y−2=0⇔y=12x−1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−2x2−12x+1=12x−1⇔x3−2x2−x+2=0⇔[x=1x=−1x=2
⇒ Tổng hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là 2 .
Phương trình hoành độ giao điểm x3−3x2−2=0 có 1 nghiệm thực.
⇒ Đồ thị hàm số y=x3−3x2−2 cắt trục Ox tại 1 điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
−2x3+x−3=2x−1⇔2x3+x+2=0
Sử dụng Casio ta thấy, phương trình có 1 nghiệm.
⇒ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−4x2+3x+5=2x−1⇔x3−4x2+x+6=0⇔[x=−1⇒y=−3x=3⇒y=5x=2⇒y=3
⇒ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: G(43;53)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3−4x2+6x−1=x+1⇔x3−4x2+5x−2=0⇔[x=2x=1
⇒ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 2 điểm phân biệt.
Đồ thị (Cm) cắt trục Oy tại M(0;m) . Suy ra OM=|m|=4⇔m=±4 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3+x2−x+1=−x+3⇔x3+x2−2=0⇔x=1⇒y=2
⇒ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.
Phương trình hoành độ giao điểm:
3−x2x−1=x+2⇔{x≠122x2+3x−2=3−x⇔x=−2±√142⇒y=2±√142
⇒y1+y2=2
Phương trình hoành độ giao điểm:
3x−2x−1=−x+2⇔{x≠1−x2+3x−2=3x−2⇔x=0
⇒ Hai đồ thị giao nhau tại 1 điểm.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
x+1x−2=2x−1⇔{x≠2x+1=(2x−1)(x−2)⇔{x≠22x2−6x+1=0⇔{x≠2x=3±√72⇔[x=3+√72;y=2+√7x=3−√72;y=2−√7
Suy ra y1+y2=2+√7+(2−√7)=4 .
Vì đồ thị hàm số y=x3 luôn đồng biến trên R nên hàm số luôn cắt trục hoành tại một điểm.