Quy tắc II tìm cực trị
Lý thuyết về Quy tắc II tìm cực trị
Định lí: Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và $f'(x_0) = 0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0$
- Nếu $f''(x_0) < 0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0$.
- Nếu $f''(x_0) > 0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.
Từ định lí trên ta có một quy tắ để tìm cực trị của hàm số (nếu hàm số có đạo hàm cấp hai) như sau:
Quy tắc:
- Tìm $f'(x)$ và các nghiệm $x_i (i = 1, 2, \cdots)$ của phương trình $f'(x) = 0$.
- Tìm $f''(x)$ và tính $f''(x_i)$.
Nếu $f''(x_i) < 0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i$.
Nếu $f''(x_i) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i$.
Ví dụ. Tìm cực trị cả hàm số $$f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}}+6$$
Giải.
Hàm số xác định với mọi $x\in R$
$f'\left( x \right)={{x}^{3}}-4x=x\left( {{x}^{2}}-4 \right);f'\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=-2,{{x}_{3}}=2$
$f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4$
$f''\left( \pm 2 \right)=8>0\Rightarrow x=-2$ và $x=2$ là điểm cực tiểu;
$f''\left( 0 \right)=-4<0\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại
Kết luận
$f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ;${{f}_{\text{CT}}}=f\left( \pm 2 \right)=2$
$f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=0$ và ${{f}_{\text{CĐ}}}=f\left( 0 \right)=6$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có cực đại tại $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$. Khẳng định sai là?
- A
- B
- C
- D
Hàm số $y=f(x)$ có cực đại tại $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ thì
${{x}_{0}}$ được gọi là điểm cực đại của hàm số, $f({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số
$M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giá trị cực đại của hàm số chưa chắc đã là giá trị lớn nhất của hàm số.
Câu 2: Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( -1;2 \right)$ và $f'\left( 0 \right)=0,\,f''\left( 0 \right)>0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( -1;2 \right)$ và $f'\left( 0 \right)=0,\,f''\left( 0 \right)>0\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu.
Câu 3: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$. Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì
- A
- B
- C
- D
Theo SGK Giải tích 12 (CB) trang 16 ta có: “Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$. Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.”
Câu 4: Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong $\left( 0;1 \right)$; $f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=0;f''\left( \dfrac{1}{2} \right)<0$ . Trong các khẳng đinh, khẳng định đúng là
- A
- B
- C
- D
Theo định lí 2 về quy tắc tìm cực trị trong SGK ta được khẳng định “Hàm số đạt cực đại tại $x=\dfrac{1}{2}$” đúng.
Câu 5: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( a;b \right)\,,\,{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\,:\,\,f'(x_0)=0\,\,;f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là
- A
- B
- C
- D
Dựa vào SGK phần định lí 2 quy tắc tìm cực trị ta được khẳng định “ Hàm số đạt cực đại tại $x={{x}_{0}}$” đúng.
Câu 6: Giả sử hàm số $y=f(x)$có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)$ với $h>0$. Chọn khẳng định đúng:
- A
- B
- C
- D
Xem lại quy tắc 2 về điểm cực trị trong SGK
Câu 7: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$. Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì
- A
- B
- C
- D
Theo SGK Giải tích 12 (CB) trang 16 ta có: “Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$. Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.”
Câu 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( a;b \right);{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$ . Khi đó khẳng định đúng là:
- A
- B
- C
- D
Hàm số không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ (VD $y=\left| x \right|$ không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$ nhưng lại có cực trị tại đểm đó)
$f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,f''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì hàm số có thể đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$ (VD hàm số $y={{x}^{4}}$ có $f'\left( 0 \right)=0,f''\left( 0 \right)=0$ có cực trị tại \({x}=0\) )
Vậy chọn đáp án: “$f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\exists f''\left( {{x}_{0}} \right):f''\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$ thì hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$”
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới