Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x|-3\sqrt{2}y=12 \\ 2|x|-\sqrt{2}y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |x|-3\sqrt{2}y=12 \\ 6|x|-3\sqrt{2}y=12 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5|x|=0 \\ |x|-3\sqrt{2}y=12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-2\sqrt{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(0;-2\sqrt{2})$ .

$\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-x=4 \\ {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2y \\ {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{(-2y)}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=1 \\ y=-2 \end{array} \right.$

Với $y=1\Rightarrow x=-2$

Với $y=-2\Rightarrow x=4$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: $(x;y)=\left\{ (-2;1) ;(4;-2) \right\}$

Điều kiện: $x\ne 0$ .

Khi đó từ hệ phương trình đã cho suy ra

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 6-xy=3{{x}^{2}} \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6-x(4x-1)=3{{x}^{2}} \\ y=4x-1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{{x}^{2}}-x-6=0 \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{6}{7} \end{array} \right. \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\dfrac{6}{7} \\ y=-\dfrac{31}{7} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$

Vậy nghiệm nguyên của hệ phương trình là $({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(1;3)$

Ta có: $x_{o}^{2}+y_{o}^{2}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10.$

$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=1(1) \\ \sqrt{x}+\sqrt{2y+1}=y+2(2) \end{array} \right.$ Điều kiện: $x\ge 0;y\ge -\dfrac{1}{2}$

Từ (1) $\Rightarrow x=1+2y$ thế vào (2) ta được:

$\begin{array}{l} \sqrt{1+2y}+\sqrt{2y+1}=y+2 \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{1+2y}=y+2 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\ge -\dfrac{1}{2} \\ 4(1+2y)={{(y+2)}^{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\ge -\dfrac{1}{2} \\ {{y}^{2}}-4y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=0 \\ y=4 \end{array} \right. \end{array}$

Với $y=0\Rightarrow x=1.$

Với $y=4\Rightarrow x=9.$

Vì $x > 1$ nên nghiệm của hệ thỏa mãn đề bài là: $({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(9;4)$

Ta có: $\dfrac{{{x}_{o}}}{{{y}_{o}}}=\dfrac{9}{4}$ .

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {{(x-2y)}^{2}}+4xy=y \\ {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=2x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=y \\ {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=2x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x \\ {{x}^{2}}+4.{{\left( 2x \right)}^{2}}=2x \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x \\ x(17x-2)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{2}{17} \\ y=\dfrac{4}{17} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$

Vì $x < y$ nên $(x;y)=\left( \dfrac{2}{17};\dfrac{4}{17} \right)$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn đề bài là $({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{2}{17};\dfrac{4}{17} \right)$ .

Ta có: ${{x}_{o}}-{{y}_{o}}=\dfrac{2}{17}-\dfrac{4}{17}=-\dfrac{2}{17}$

$\left\{ \begin{array}{l} x+|y|=5 \\ 2x-|y|=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x=9 \\ |y|=5-x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ |y|=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=-2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=2 \end{array} \right. \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(x;y)=\left\{ (3;-2),(3;2) \right\}$ .

$\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3(1) \\ {{x}^{3}}-3(x+y)=1(2) \end{array} \right.$

Thế $3={{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}$ vào phương trình (2) ta được:

${{x}^{3}}-\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)(x+y)=1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)=1\Leftrightarrow {{y}^{3}}=1\Leftrightarrow y=1$

Với $y=1$ thay vào phương trình (1) ta được:

${{x}^{2}}-x=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ x=2 \end{array} \right.$

Vì $x < 0$ nên nghiệm của hệ thỏa mãn đề bài là $({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(-1;1)$

Ta có: $|{{x}_{o}}-{{y}_{o}}|=|-1-1|=2$ .