Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Lý thuyết về Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số thực k là một vectơ, kí hiệu là $\overrightarrow{ka}$ được xác định như sau
1) Nếu k⩾0 thì vectơ $\overrightarrow{ka}$ cùng hướng với vectơ$\overrightarrow{a}$
Nếu k<0 thì vectơ $\overrightarrow{ka}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$
2) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{ka}$ bằng |k|.∣$\overrightarrow{a}$∣
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ)
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy ngay 1$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$,(-1)$\overrightarrow{a}$là vectơ đối của $\overrightarrow{a}$, tức là (−1)$\overrightarrow{a}$=−$\overrightarrow{a}$
Vi dụ: Ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta có:
a) $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
b) $\overrightarrow{BC}=\left( -2 \right)\overrightarrow{NM};\overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{CB}$
c) $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MB};\overrightarrow{AN}=\left( -\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{CA}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tứ giác $ ABCD $ . Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $ , $ I $ là điểm trên $ GC $ sao cho $ IC=3IG $ . Với mọi điểm $ M $ ta luôn có $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} $ bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ 3\overrightarrow{IG}=-\overrightarrow{IC} $ .
Do $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $ nên
$ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=3\overrightarrow{IG}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=-\overrightarrow{IC}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0} $
Khi đó: $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} $
$ \begin{array}{l} =\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID} \\ =4\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}) \\ =4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0} \\ =4\overrightarrow{MI} \end{array} $
Câu 2: Cho ngũ giác $ ABCDE $ . Gọi $ M,N,P,Q $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB,BC,CD,DE $ . Gọi $ I $ và $ J $ lần lượt là trung điểm các đoạn $ MP $ và $ NQ $ . Khẳng định nào sau đây đúng ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{PN} $
$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EQ} \\ \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ} \end{array} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD} \right) $ , $ \overrightarrow{PN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} $
Suy ra: $ 2\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD} \right)-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\Rightarrow \overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AE} $
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ và $I$ thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{IB} $ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CI}=3\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CI} \right)\,\,$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{CI}=3\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \right) $.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới