Các phép toán trên tập số phức

\[{z^2} = {\left( {1 + 3i} \right)^2} =  - 8 + 6i\]

Lấy PT đầu trừ PT thứ hai ta được PT: $\left( 1+i \right)\text{w}=1+5i\Leftrightarrow \text{w}=\dfrac{1+5i}{1+i}=3+2i$
$\Rightarrow z=4+3i-\left( 3+2i \right)=1+i$

\(\begin{array}{l} z - \overline z = {z^2} \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right) = {\left( {a + bi} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2bi = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - {b^2} = 0\\ 2b = 2ab \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b = 0\\ a = 1;b = \pm 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 0;z = 1 \pm i \end{array}\)

$a = b = 0,a = b = 1,a = 1,b = - 1$

Ta có: $2\left( z+2-3i \right)i+2i=6-2i\Leftrightarrow 2\left( z+2-3i \right)i=6-4i$
$\Leftrightarrow z+2-3i=\dfrac{6-4i}{2i}\Leftrightarrow z=\dfrac{6-4i}{2i}-2+3i=-4$

Ta có $ \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( 1+2i \right)-\left( -2-2i \right) \right|=\left| 3+4i \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5 $ .

Tổng của hai số phức $ {{z}_{1}}=1-2i,{{z}_{2}}=1-3i $ là $ z=1-2i+1-3i=2-5i $ .

Ta có $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+5i \right)\left( 3-4i \right)=6-8i+15i-20{{i}^{2}}=26+7i $ .

Ta có $z=2i-z\Leftrightarrow z=\dfrac{2i}{2}=i$, có phần ảo là $1.$

Tổng của hai số phức là $ {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2+3i+1-2i=3+i $

Hiệu của hai số phức là $ {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2+3i-1+2i=1+5i $

Tích của hai số phức là $ {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+3i \right)\left( 1-2i \right)=2-4i+3i-6{{i}^{2}}=8-i $ .

Ta có $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=i\left( 1+2i \right)=i+2{{i}^{2}}=i-2 $ .

Ta có $ w={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 5+2i \right)\left( 4+3i \right)=20+15i+8i+6{{i}^{2}}=14+23i $

Do đó số phức liên hợp của số phức $ w $ là $ 14-23i $ .

\(w=-2+3i\Rightarrow \overline{w}=-2-3i\)

Ta có $ {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1+i+2-3i=3-2i $

$ \Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{13} $ .

Ta có : $z=3i(1-2i)=6+3i\Rightarrow \overline{z}=6-3i$.

Ta có $z=i\left( 1+i \right)=-1+i\Rightarrow \overline{z}=-1-i$

$z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=5-7i+2+3i=7-4i$

Ta có $ w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=5+2i+3+7i=8+9i $ .

Vậy phần thực và phần ảo của số phức $ w $ lần lượt là $ 8 $ và $ 9 $ .

Cách 1: Ta có \(w=2z=-2+4i\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{5}\)
Cách 2: Dùng casio.

Ta có $ {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=1-3i+2+5i=3+2i $

Vậy phần ảo của số phức $ z $ là $ b=2 $ .

$z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( 4-3i \right)-\left( 7+3i \right)=\left( 4-7 \right)+\left( -3i-3i \right)=-3-6i$

Ta có $ w=\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)=12-{{i}^{2}}=1+1=2 $

Vậy phần ảo của số phức $ w $ là $ 0 $ .