1. Định nghĩa tam giác cân Tam giác cân là tam giác có hai

$DA=DC\Rightarrow \Delta DAC$ cân $\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{DAC}.$

$\widehat{ADB}$ là góc ngoài của $\Delta DAC$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{C}+\widehat{DAC}=2\widehat{C}$

Tam giác $ABD$ có $AB=AD$ $\Rightarrow \Delta ABD$ cân.

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{ADB}.$

Do đó: $\widehat{B}=2\widehat{C}.$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}$

$\Rightarrow {{60}^{0}}+2\widehat{C}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{40}^{0}}$ .

Cần bổ sung thêm một điều kiện:

+ Cặp cạnh đáy bằng nhau: $BC=B'C',$ khi đó $\Delta ABC=\Delta A'B'C'\left( c.c.c \right).$

+ Hoặc cặp góc ở đỉnh bằng nhau: $\widehat{A}=\widehat{A'}$ , khi đó $\Delta ABC=\Delta A'B'C'\left( c.g.c \right).$

+ Hoặc cặp góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{B}=\widehat{B'},$ khi đó $\Delta ABC=\Delta A'B'C'$ (c.g.c hoặc g.c.g).

Tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}={{60}^{0}}.$

Tam giác ACD vuông cân tại C nên $\widehat{CAD}=\left( {{180}^{0}}-{{90}^{0}} \right):2={{45}^{0}}.$

$\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}={{60}^{0}}+{{45}^{0}}={{105}^{0}}.$

$DE=DF\Rightarrow \Delta D\text{EF}$ cân tại D mà $\widehat{D}={{60}^{0}}$ nên $\Delta D\text{EF}$ đều

Giả sử $\Delta MNP$ cân tại N thì ta có $\widehat{M}=\widehat{P}=\dfrac{{{180}^{o}}-\widehat{N}}{2}={{40}^{o}}$

Giả sử $\Delta MNP$ cân tại M thì $\widehat{P}=\widehat{N}=\dfrac{180-\widehat{M}}{2}\Rightarrow$ loại

Tương tự $\Delta MNP$ cân tại P thì $\widehat{M}=\widehat{N}=\dfrac{180-\widehat{P}}{2}\Rightarrow$ loại

+ Trường hợp 1: Nếu góc ${{40}^{0}}$ là góc ở đỉnh. Chẳng hạn $\Delta ABC$ cân tại A có $\widehat{A}={{40}^{o}}$ .

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ . (1)

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\,\,\,$

$\Rightarrow \,\,\widehat{B}+\widehat{C}\,\,={{180}^{o}}-\widehat{A}={{180}^{o}}-{{40}^{o}}={{140}^{o}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}={{140}^{o}}:2={{70}^{o}}$ .

+ Trường hợp 2: Nếu góc ${{40}^{0}}$ là góc ở đáy. Chẳng hạn $\Delta ABC$ cân tại A có $\widehat{B}={{40}^{o}}$ .

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}={{40}^{o}}$ . (1)

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\,\,\,$

$\Rightarrow \,\widehat{A}={{180}^{o}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{180}^{o}}-\left( {{40}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}}$ .

Vậy nếu một tam giác cân có một góc bằng ${{40}^{0}}$ thì số đo các góc còn lại là:

${{70}^{0}}$ và ${{70}^{0}}$ hoặc ${{40}^{0}}$ và ${{100}^{0}}.$

Do tam giác ABC cân tại A nên AC=AB, $\widehat{B}=\widehat{C}$ .

Xét $\Delta AB\text{D}$ và $\Delta AC\text{E}$ có

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat{B}=\widehat{C} \\ AB=AC \\ B\text{D}=CE \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{E}\left( c.g.c \right)\Rightarrow A\text{D}=A\text{E}\Rightarrow \Delta \text{AD}E$ cân tại A nên AM là trung trực của DE

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}+2\widehat{\text{A}}\text{+2}\widehat{\text{A}}=5\widehat{\text{A}}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{36}^{o}}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}={{72}^{o}}$

Tam giác ABC có AB = AC nên $\Delta ABC$ cân tại A.

Ta có $\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{{{180}^{o}}-\widehat{A}}{2}={{40}^{o}}$

Vì $\Delta ABC$ đều có chu vi là 16cm nên $AB=AC=BC=\dfrac{16}{3}\,cm.$

Vì $\Delta ABD$ cân tại D có chu vi là 20cm

$\Rightarrow$ Tổng hai cạnh bên $AD+BD=20-AB=20-\dfrac{16}{3}=\dfrac{44}{3}cm$ .

$\Rightarrow \,AD=BD=\dfrac{22}{3}\,cm.$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}={{45}^{0}}.$

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{DBC}={{180}^{o}}$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{DBC}={{180}^{o}}-\widehat{ABC}={{180}^{0}}-{{45}^{0}}={{135}^{0}}.$

Vì $\Delta BDC$ cân tại B nên $\widehat{BDC}=\widehat{BCD}$

$\Rightarrow \,2\widehat{BDC}={{180}^{o}}-\widehat{DBC}$

$\Rightarrow \,\,\widehat{BDC}=\left( {{180}^{0}}-{{135}^{0}} \right):2=22,{{5}^{0}}$ .

Xét $\Delta ABD$ có $AB=BD$ $\Rightarrow \,\Delta ABD$ cân tại B $\Rightarrow \,\,\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$ .

Khi đó: $2\widehat{ADB}={{180}^{o}}-\widehat{ABD}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\left( {{180}^{0}}-{{80}^{0}} \right):2={{50}^{0}}.$

Ta có: $\widehat{ADC}+\widehat{ADB}={{180}^{o}}$ (kề bù)

$\Rightarrow \,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{50}^{o}}={{130}^{o}}$ .

Xét tam giác $ADC$ có $AD=DC$ $\Rightarrow \,\Delta ADC$ cân tại D $\Rightarrow \,\widehat{DAC}=\widehat{ACD}$ .

Do đó: $y=\widehat{ACD}=\left( {{180}^{o}}-\widehat{ADC} \right):2=\left( {{180}^{o}}-{{130}^{o}} \right):2={{25}^{o}}$ .

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}={{36}^{o}}+{{36}^{o}}={{72}^{o}}=\widehat{ACB}$ ;

$\widehat{BAC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{72}^{o}}+{{72}^{o}} \right)={{36}^{o}}=\widehat{ABD}$ ;

$\widehat{BDC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{DBC}+\widehat{DCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{36}^{o}}+{{72}^{o}} \right)={{72}^{o}}=\widehat{BCD}$ .

Vậy trong hình vẽ ta có các tam giác cân là:

$\Delta ABC$ cân tại A, $\Delta ABD$ cân tại D, $\Delta BCD$ cân tại B.

$\Delta BDA=\Delta CDA\left( c.c.c \right)$ vì: $BD=CD;\,\,BA=CA;\,$ cạnh chung $AD$ .

$\Rightarrow {{\widehat{D}}_{1}}={{\widehat{D}}_{2}}.$

Ta lại có $\widehat{BDC}={{60}^{0}}$ (do $\Delta BDC$ đều)

$\Rightarrow {{\widehat{D}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{0}}$ .

Tam giác MNP cân tại M $\Rightarrow \widehat{N}=\widehat{P}={{30}^{0}}.$

Mà $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{0}}$ nên $\widehat{M}={{180}^{0}}-\left( {{30}^{0}}+{{30}^{0}} \right)={{120}^{0}}.$