Xét các số thực dương $\Large a, b, c > 1$ với $\Large a > b$ thỏa mãn

Xét các số thực dương $\Large a, b, c > 1$ với $\Large a > b$ thỏa mãn $\Large 4(\mathrm{log}_ac+\mathrm{log}_bc)=25\mathrm{log}_{ab}c.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\mathrm{log}_ba+\mathrm{log}_ac+\mathrm{log}_cb$ bằng

• A.

  5.

• B.

  3.

• C.

  8.

• D.

  $\Large \dfrac{17}{2}.$

Chọn B

Đặt $\Large \left\{\begin{align} & x=\mathrm{log}_ca \\ & y=\mathrm{log}_cb \end{align}\right.$ $\Large \mathrm{log}_{ab}c=\dfrac{1}{x+y},$ với $\Large x > y > 0.$

Ta có: $\Large 4(\mathrm{log}_ac+\mathrm{log}_bc)=25\mathrm{log}_{ab}c \Rightarrow 4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=25.\dfrac{1}{x+y}$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & x=4y \\ & y=4x (\text{loại}) \end{align}\right.$

Suy ra: $\Large P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{x}+y.$ Với $\Large x=4y: P=4+\dfrac{1}{4y}+y \leq 3.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\mathrm{log}_ba+\mathrm{log}_ac+\mathrm{log}_cb$ bằng 3.