Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{2+m}{2x+1}.$ Gọi S là tập hợp các số ng

Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{2+m}{2x+1}.$ Gọi S là tập hợp các số nguyên dương $\Large m \leq 7$ sao cho với mọi bộ số thực $\Large a, b, c \in [2; 3]$ thì $\Large |\mathrm{ln}f(a)|, |\mathrm{ln}f(b)|, |\mathrm{ln}f(c)|$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tổng tất cả các phần tử của S là

• A. 10.
• B. 15.
• C. 16.
• D. 14.

Chọn C

Ta có $\Large {f}'(x)=\dfrac{1-2m}{(2x+1)^2}$

Vì $\Large m \in \mathbb{Z}, m \leq 7 \Rightarrow {f}'(x) < 0 \forall x \in [2; 3]$

$\Large \Rightarrow \underset{[2; 3]}{min}f(x)=\dfrac{3+m}{7} > 0; \underset{[2; 3]}{max}f(x)=\dfrac{2+m}{5} > 0.$

Trường hợp 1: $\Large \mathrm{ln}\dfrac{3+m}{7} > 0 \Leftrightarrow m > 4.$

Yêu cầu bài toán $\Large \Leftrightarrow 2\underset{[2; 3]}{min}|\mathrm{ln}f(x)| > \underset{[2; 3]}{max}|\mathrm{ln}f(x)|$

$\Large \Leftrightarrow 2\mathrm{ln}\dfrac{3+m}{7} > \mathrm{ln}\dfrac{2+m}{5} \Leftrightarrow \left(\dfrac{3+m}{7}\right)^2 > \dfrac{2+m}{5} \Leftrightarrow 5m^2-19mp-53 > 0 \Leftrightarrow m \in \begin{Bmatrix} 6; 7 \end{Bmatrix}$

Trường hợp 2: $\Large \mathrm{ln}\dfrac{2+m}{7} < 0 \Leftrightarrow m < 3.$

Yêu cầu bài toán $\Large \Leftrightarrow 2\underset{[2; 3]}{min}|\mathrm{ln}f(x)| > \underset{[2; 3]}{max}|\mathrm{ln}f(x)|$

$\Large \Leftrightarrow -2\mathrm{ln}\dfrac{2+m}{5} > -\mathrm{ln}\dfrac{3+m}{7}$ $\Large \Leftrightarrow \left(\dfrac{2+m}{5}\right)^2 < \dfrac{3+m}{7}$ $\Large \Leftrightarrow m \in \begin{Bmatrix} 1; 2 \end{Bmatrix}.$

Vậy tổng các giá trị của m là 16.