Tính tổng $\Large T$ tất cả các nghiệm của phương trình $\Large 2020^{

Tính tổng $\Large T$  tất cả các nghiệm của phương trình $\Large 2020^{\sin^{2}x} - 2020^{\cos^{2}x} =\cos 2x$ trên đoạn $\Large [0; \pi]$.

• A.

  A. $\Large T = \dfrac{\pi}{4}$

• B.

  B. $\Large T = \dfrac{3\pi}{4}$

• C.

  C. $\Large T = \pi$

• D.

  D. $\Large T = \dfrac{\pi}{2}$

Chọn C

Phương trình $\Large \Leftrightarrow 2020^{\sin^{2}x} + \sin^{2} x= 2020^{\cos^{2}x} + \cos^{2} x$

Xét hàm số $\Large f(t) = 2020^{t} + t$ với $\Large t \in [-1;1]$

$\Large f{}'(t) = 2020^{t} \ln 2020 + 1 > 0$ với mọi $\Large t \in [-1;1]$

Hàm số đồng biến trên $\Large [-1;1]$

Phương trình $\Large \Leftrightarrow \sin^{2}x = \cos^{2}x$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{1 - \cos 2x}{2} = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$

$\Large \Leftrightarrow \cos 2x = 0$

$\Large \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$

Phương trình có nghiệm $\Large \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4} \in [0; \pi]$.

Vậy $\Large T = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = \pi$.