Tìm hệ số của số hạng $\Large x^4$ trong khai triển nhị thức Niuton $\

Tìm hệ số của số hạng $\Large x^4$ trong khai triển nhị thức Niuton $\Large \left(2 x-\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)^{n}$ với $\Large x > 0$, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $\Large A _{n}^{5} \leq 18 A _{n-2}^{4}$

• A. 8064
• B. $\Large -8064x^4$
• C. -8064
• D. $\Large 8064x^4$

Điều kiện $\Large n \in \mathbb N , n \geq 6$. Ta có:

$\Large A_{n}^{5} \leq 18 A_{n-2}^{4} \Leftrightarrow \frac{n !}{(n-5) !} \leq 18 \frac{(n-2) !}{(n-6) !}$ $\Large \Leftrightarrow n(n+1) \geq 18(n-5) \Leftrightarrow n^{9}-19 n+90 \leq 0$ $\Large \Leftrightarrow 9 \leq n \leq 10$

Suy ra, só tự nhiên lớn nhất là $\Large n=10$

Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng $\Large C_{10}^{k} \cdot 2^{10-k} \cdot x^{10-k} \cdot x^{-\frac{k}{5}}$

Số hạng chứa $\Large x^4$ ứng với $\Large 10-k-\frac{k}{5}=4 \Leftrightarrow k=5$

Vậy hệ só của $\Large x^4$ là $\Large C_{10}^{5} \cdot 2^{5}=8064$

Chọn đáp án A